第六章线性空间与线性变换

第六章线性空间与线性变换
第六章线性空间与线性变换
1. 验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间, 并写出各个空间的一个基.
(1) 2阶矩阵的全体S 1;
解设A , B 分别为二阶矩阵, 则A , B ∈S 1. 因为
(A +B )∈S 1, kA ∈S 1,
所以S 1对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间.
=00
011ε, ??? ??=00102ε, ??? ??=0100
3ε, ??? ??=1000
4ε
是S 1的一个基.
(2)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S 2;
解设
-=a c b a A , ?
-=d f e d B , A , B ∈S 2. 因为
2
)(S d a a c b c d a B A ∈??? ??++++-=+,
2S ka kc kb ka kA ∈??? ??-=,
所以S 2对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间.
-=10011ε,
=00102ε,
=0100
3ε
是S 2的一个基.
(3) 2阶对称矩阵的全体S 3.
解设A , B ∈S 3, 则A T =A , B T =B . 因为 (A +B )T =A T +B T
=A +B , (A +B )∈S 3, (kA )T =kA T =kA , kA ∈S 3,
所以S 3对于加法和乘数运算构成线性空间.
=00
011ε, ??? ??=0110
2ε,
=1000
3ε
是S 3的一个基.
2. 验证: 与向量(0, 0, 1)T 不平行的全体3维数组向量, 对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间.
解设V ={与向量(0, 0, 1)T 不平行的全体三维向量}, 设r 1=(1, 1, 0)T , r 2=(-1, 0, 1)T , 则r 1, r 2∈V , 但r 1+r 2=(0, 0, 1)T ?V , 即V 不是线性空间.
3. 设U 是线性空间V 的一个子空间, 试证: 若U 与V 的维数相等, 则U =V .
证明设ε1,ε2,,εn为U的一组基,它可扩充为整个空间V的一个基,由于dim(U)=dim(V),从而ε1,ε2,,εn也为V的一个基,则:对于x∈V可以表示为x=k1ε1+k2ε2++k rεr.显然,x∈U,故V?U,而由已知知U?V,有U=V.
4.设V r是n维线性空间V n的一个子空间,a1,a2,,a r是V r的一个基.试证:V n中存在元素a r+1,,a n,使a1,a2,,a r,a r+1,,a n成为V n的一个基.
证明设r<="" p="" r+1),则a1,a2,,a="" r+1?v="" r+1是线性无关的.若r+1="n,则命题得证,否则存在a" r+1添加进来,则a1,a2,,a="" r+2?l(a1,a2,,="" r+2线性无关,依此类推,可找到n 个线性无关的向量a1,a2,,a="" r,它不能被a1,a2,,a="" r线性表示,将a="" 则在v="">
5.在R3中求向量α=(3, 7, 1)T在基α1=(1, 3, 5)T,α2=(6, 3, 2)T,α3=(3, 1, 0)T下的坐标.
解设ε1,ε2,ε3是R3的自然基,则
(α1,α2,α3)=(ε1,ε2,ε3)A, (ε1,ε2,ε3)=(α1,α2,α3)A-1, 其中
=
2
5
1
3
3
3
6
1
A
,
-
-
-
-
= - 15 28 9 8 15 5 3 6 2 1 A . 因为
=
=-
7 3 ) , , ( 1 7 3 ) , , (1 3 2 1 3 2 1 A αααεεεα
- - - - - = 1 7 3 15 28 9 8 15 5 3 6 2 ) ,
(
3 2 1 ααα
- = 154 82 33 ) ,
, (
3 2 1 ααα,
所以向量α在基α1,α2,α3下的坐标为(33,-82, 154)T.
6.在R3取两个基
α1=(1, 2, 1)T,α2=(2, 3, 3)T,α3=(3, 7, 1)T;
β1=(3, 1, 4)T,β2=(5, 2, 1)T,β3=(1, 1,-6)T.
试求坐标变换公式.
解设ε1,ε2,ε3是R3的自然基,则
(β1,β2,β1)=(ε1,ε2,ε3)B,
(ε1,ε2,ε3)=(β1,β2,β1)B-1,
(α1,α2,α1)=(ε1,ε2,ε3)A=(β1,β2,β1)B-1A,
其中
=131732121A , ???? ??-=614121153B .
设任意向量α在基α1, α2, α3下的坐标为(x 1, x 2, x 3)T , 则
=???? ??=-3211321321321) , ,() , ,(x x x A B x x x βββαααα,
故α在基β1, β2, β3下的坐标为
= ??'''-3211321x x x A B x x x ??---=321499107263
139********x x x .
7. 在R 4中取两个基
e 1=(1,0,0,0)T , e 2=(0,1,0,0)T , e 3=(0,0,1,0)T , e 4=(0,0,0,1)T ; α1=(2,1,-1,1)T , α2=(0,3,1,0)T , α3=(5,3,2,1)T , α3=(6,6,1,3)T . (1)求由前一个基到后一个基的过渡矩阵; 解由题意知
-=31
0112116331
6502
) , , ,() , , ,(43214321e e e e αααα,
从而由前一个基到后一个基的过渡矩阵为
-=31
01121163316502
A .
(2)求向量(x 1, x 2, x 3, x 4)T 在后一个基下的坐标; 解因为
=????? ??=-432114321432
14321) , , ,() , , ,(x x x x A x x x x αααααe e e e ,向量α在后一个基下的坐标为
-=????? ??-43211
432131
66123501301112x x x x y y y y ??
-------=4321269
37
1800923912133279
12
271x x x x .
(3)求在两个基下有相同坐标的向量.
解令
=????? ??????? ??-------43214321269
37
180092391213327912
271x x x x x x x x ,
解方程组得?
=
11114321k x x x x (k 为常数).
8. 说明xOy 平面上变换?
=??
y x A y x T 的几何意义, 其中 (1)
-=10
01A ;
解因为
-=??? ????? ?
-=??? ??y x y x y x T 1001
,
所以在此变换下T (α)与α关于y 轴对称.
(2)
=10
00A ;
解因为
=??? ????? ?
=??? ??y y x y x T 01000
,
所以在此变换下T (α)是α在y 轴上的投影.
(3)
=01
10A ;
解因为
=??? ????? ?
=??? ??x y y x y x T 01
10,
所以在此变换下T (α)与α关于直线y =x 对称.
(4)
-=0110A .
解因为
-=??? ????? ??-=??? ??x y y x y x T 0110, 所以在此变换下T (α)是将α顺时针旋转2π
.
9. n 阶对称矩阵的全体V 对于矩阵的线性运算构成一个
2)
1(+n n 维线性空间. 给出n 阶矩阵P , 以A 表示V 中的任一元素, 变换T (A )=P T AP 称为合同变换. 试证合同变换T 是V 中的线性变换.
证明设A , B ∈V , 则A T =A , B T =B . T (A +B )=P T (A +B )P =P T (A +B )T P =[(A +B )P ]T P =(AP +BP )T P
=(P T A +P T B )P =P T AP +P T BP =T (A )+T (B ), T (kA )=P T (kA )P =kP T AP =kT (A ), 从而, 合同变换T 是V 中的线性变换.
10. 函数集合
V 3={α=(a 2x 2+a 1x +a 0)e x | a 2, a 1, a 0 ∈R }
对于函数的线性运算构成3维线性空间, 在V 3中取一个基
α1=x 2e x , α2=xe x , α3=e x .
求微分运算D 在这个基下的矩阵. 解设
β1=D (α1)=2xe x +x 2e x =2α2+α1, β2=D (α2)=e x +xe x =α3+α2, β3=D (α3)=e x =α3.
易知β1, β2, β3线性无关, 故为一个基.
由
=110012001) , ,() , ,(321321αααβββ, 知即D 在基α1, α2, α3下的矩阵为
=110012001P .
11. 2阶对称矩阵的全体
}
,,|{32132213R x x x x x x x A V ∈
==
对于矩阵的线性运算构成3维线性空间. 在V 3中取一个基
=00
011A , ??? ??=0110
2A ,
=1000
3A .
在V 3中定义合同变换
=10111101)(A A T ,
求T 在基A 1, A 2, A 3下的矩阵. 解因为
=10110001
1101)(1
A T 3211111A
A A ++=??? ??=,
=101111101101)(2A T 3222110A
A +=??? ??=,
=101110001101)(3A T 31000
A
=??? ?
=,
故
=121011001) , ,())( ),( ),((321321A A A A T A T A T , 从而, T 在基A 1, A 2, A 3下的矩阵
=121011001A .。