高考物理模型101专题讲练：第18讲 水平面内的圆周运动(圆锥摆模型)及其临界问题

第18讲水平面内的圆周运动（圆锥摆模型）及其临界问题
1．（江苏高考）如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上，不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是（）
A．A的速度比B的大
B．A与B的向心加速度大小相等
C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等
D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小
一.知识总结
1．圆周运动相关物理量
3.匀速圆周运动与变速圆周运动的区别与联系
匀速圆周运动变速圆周运动
运动特点线速度的大小不变，角速度、周期和频率
都不变，向心加速度的大小不变
线速度的大小、方向都变，角速度变，
向心加速度的大小、方向都变，周期
可能变也可能不变
受力
特点
所受到的合力为向心力，大小不变，方向
变，其方向时刻指向圆心所受到的合力不总指向圆心，合力产生两个效果：
①沿半径方向的分力F n，即向心力，它改变速度的方向；
②沿切线方向的分力F t，它改变速度的大小
运动性质非匀变速曲线运动(加速度大小不变，方向
变化)
非匀变速曲线运动(加速度大小、方向
都变化)
二. 圆锥摆模型及其临界问题
1.圆锥摆模型的受力特点
受两个力，且两个力的合力沿水平方向，物体在水平面内做匀速圆周运动。

2．运动实例
运动模型向心力的来源图示
飞机水平转弯
火车转弯
圆锥摆
物体在光滑半圆形碗 内做匀速圆周运动
3．解题方法
(1)对研究对象进行受力分析，确定向心力来源。

(2)确定圆心和轨道半径。

(3)应用相关力学规律列方程求解。

4．规律总结 (1)圆锥摆的周期
如图摆长为L ，摆线与竖直方向夹角为θ。

受力分析，由牛顿第二定律得：mg tan θ＝m 4π2
T 2r
r ＝L sin θ
解得T ＝2πL cos θ
g ＝2πh g 。

(2)结论
①摆高h ＝L cos θ，周期T 越小，圆锥摆转得越快，θ越大。

②摆线拉力F ＝mg
cos θ，圆锥摆转得越快，摆线拉力F 越大。

③摆球的加速度a ＝g tan θ。

5．圆锥摆的两种变形
变形1：具有相同锥度角的圆锥摆(摆长不同)，如图甲所示。

由a ＝g tan θ知A 、B 的向心加速度大小相等。

由a ＝ω2r 知ωA <ωB ，由a ＝v 2
r 知v A >v B 。

变形2：具有相同摆高、不同摆长和摆角的圆锥摆，如图乙所示。

由T＝2πh
g知摆高h相同，则T A＝T B，ωA＝ωB，由v＝ωr知v A>v B，由a＝ω2r知a A>a B。

6. 解决圆锥摆临界问题的技巧
圆锥摆的临界问题，主要就是与弹力有关的临界问题。

(1)绳子松弛或断开的临界条件是：①绳恰好拉直且没有弹力；②绳上的拉力恰好达最大值。

(2)接触或脱离的临界条件是物体与物体间的弹力恰好为零。

(3)对于火车转弯、半圆形碗内的水平圆周运动有两类临界情况：①摩擦力的方向发生改变；②发生相对滑动。

三.例题精讲
题型一：圆锥摆模型常规问题
例1．如图所示，一根不可伸长的轻质细绳（绳长为L），一端系着质量为m的小球（可视为质点），另一端悬于O点。

重力加速度大小为g，当小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω时，下列说法正确的是（）
A．细绳的拉力大小为2mω2l
B．悬点O到轨迹圆心高度为2g
ω2
C．小球的向心加速度大小为√ω4l2−g2
D．小球的线速度大小为2√ω2l2−g2ω2
题型二：圆锥摆模型临界问题
例2．质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为L，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g，则下列说法正确的是（）
A．a绳的张力可能为零
B．a绳的张力随角速度的增大而增大
C．当角速度ω＞√g
Ltanθ，b绳将出现弹力
D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
四.举一反三，巩固训练
1.有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁高速行驶，做匀
速圆周运动。

如图所示，图中虚线表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h，下列说法中正确的是（）
A．h越高，摩托车对侧壁的压力将越大
B．h越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大
C．h越高，摩托车做圆周运动的周期将越小
D．h越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大
2.火车轨道的转弯处外轨高于内轨，如图所示。

若已知某转弯处轨道平面与水平面夹角为θ，弯道
处的圆弧半径为R。

在该转弯处规定的安全行驶的速度为v，则下列说法中正确的是（）
A．该转弯处规定的安全行驶的速度为v=√Rgtanθ
B ．该转弯处规定的安全行驶的速度为v =√Rgsinθ
C ．当实际行驶速度大于v 时，轮缘挤压内轨
D ．当实际行驶速度小于v 时，轮缘挤压外轨
3. 3D 地图技术能够为无人驾驶汽车分析数据，提供操作的指令.如图所示为一段公路拐弯处的地
图，则（ ）
A ．若弯道是水平的，汽车拐弯时受到重力、支持力、摩擦力和向心力
B ．若弯道是水平的，为防止汽车侧滑，汽车拐弯时收到的指令是让车速大一点
C ．若弯道是倾斜的，为了防止汽车侧滑，道路应为内（东北）高外（西南）低
D ．若弯道是倾斜的，为了防止汽车侧滑，道路应为外（西南）高内（东北）低
4. 如图所示是利用圆锥摆粗略验证向心力表达式的实验装置图，已知小球质量为m ，小球距悬点
的竖直高度为h ，小球在水平面内做圆周运动的半径为r ，用秒表测得小球运动n 圈的时间为t ，则下列说法正确的是（ ）
A ．小球受到重力、拉力、向心力
B ．向心力的表达式F n ＝m
4π2t 2
r
C ．小球所受的合外力为F 合＝mg r ℎ
D ．小球转动越快，细线与竖直方向的夹角越小
5. 铁路在弯道处的内、外轨道高度是不同的，已知内、外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图所
示，弯道处的圆弧半径为R ，若质量为m 的火车转弯时速度等于√gRtanθ，则（ ）
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．这时铁轨对火车的支持力等于mg
cosθ
D．这时铁轨对火车的支持力大于mg
cosθ
6.如图所示，一辆汽车正通过一段弯道公路，视汽车做匀速圆周运动，则（）
A．该汽车速度恒定不变
B．汽车左右两车灯的线速度大小相等
C．若速率不变，则跟公路内道相比，汽车在外道行驶时的向心力较小
D．若速率不变，则跟晴天相比，雨天路滑时汽车在同车道上行驶时的向心力较小
7.一球绕直径匀速转动，如图所示，球面上有A、B两点，则（）
A．可能v A＜v B，也可能v A＞v B
B．A、B两点的向心加速度都指向球心O
C．由a=v2
r可知a A＞a B
D．由a＝ω2r可知a A＜a B
8.如图所示，转动轴垂直于光滑平面，交点O的上方h
处固定细绳的一端，细绳的另一端拴接一质量为m的小球B，绳长AB＝l＞h，小球可随转动轴转动并在光滑水平面上做匀速圆周运动．要使球不离开水平面，转动轴的转速的最大值是（）
A．1
2π√g
l
B．π√gℎC．2π√
l
g D．
1
2π
√g
ℎ
9.（多选）如图所示，足够大的水平圆台中央固定一光滑竖直细杆，原长为L的轻质弹簧套在竖
直杆上，质量均为m的光滑小球A、B用长为L的轻杆及光滑铰链相连，小球A穿过竖直杆置于弹簧上。

让小球B以不同的角速度ω绕竖直杆匀速转动，当转动的角速度为ω0时，小球B 刚好离开台面。

弹簧始终在弹性限度内，劲度系数为k，重力加速度为g，则（）
A．小球均静止时，弹簧的长度为L−mg k
B．角速度ω＝ω0时，小球A对弹簧的压力为mg
C．角速度ω0=√
kg kL−2mg
D．角速度从ω0继续增大的过程中，小球A对弹簧的压力不变
10.（多选）如图所示，叠放在水平转台上的物体A、B、C能随转台一起以角速度ω匀速转动，
A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B和C与转台间的动摩擦因数都为μ，A和B、
C离转台中心的距离分别为r、1.5r．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（）
A．B 对A 的摩擦力一定为3μmg B．B 对A 的摩擦力一定为3mω2r
C．转台的角速度一定满足ω≤√μg r
D．转台的角速度一定满足ω≤√2μg 3r
11.（多选）转笔（PenSpinning）是一项用不同的方法与技巧、以手指来转动笔的休闲活动，如图
所示．转笔深受广大中学生的喜爱，其中也包含了许多的物理知识，假设某转笔高手能让笔绕其上的某一点O做匀速圆周运动，下列有关该同学转笔中涉及到的物理知识的叙述正确的是（）
A．笔杆上的点离O点越近的，做圆周运动的向心加速度越小
B．笔杆上的各点做圆周运动的向心力是由万有引力提供的
C．若该同学使用中性笔，笔尖上的小钢珠有可能因快速的转动做离心运动被甩走
D．若该同学使用的是金属笔杆，且考虑地磁场的影响，由于笔杆中不会产生感应电流，因此金属笔杆两端一定不会形成电势差
12.某同学用如图甲所示装置做探究向心力大小与线速度大小的关系。

装置中光滑水平直杆随竖直
转轴一起转动，一个滑块套在水平光滑杆上，用细线将滑块与固定在竖直转轴上的力传感器连接，当滑块随水平杆一起转动时，细线的拉力就是滑块做圆周运动需要的向心力。

拉力的大小可以通过力传感器测得，滑块转动的线速度可以通过速度传感器测得。

（1）要探究影响向心力大小的因素，采用的方法是。

A．控制变量法B．等效替代C．微元法D．放大法
（2）实验中，要测量滑块做圆周运动的半径时，应测量滑块到（选“力传感器”或“竖直转轴”）的距离。

若仅多次改变竖直转轴转动的快慢，测得多组力传感器的示数F及速度传感器的示数v，将测得的多组F、v值，在图乙F﹣v2坐标轴中描点，请将描出的点进行作图。

若测得滑块做圆周运动的半径为r＝0.2m，由作出的F﹣v2的图线可得滑块与速度传感器的总质量m ＝kg（结果保留两位有效数字）。

13.如图甲所示是某同学探究做圆周运动的物体质量、向心力、轨道半径及线速度关系的实验装置，
圆柱体放置在水平光滑圆盘上做匀速圆周运动。

力传感器测量向心力F，速度传感器测量圆柱体的线速度v，该同学通过保持圆柱体质量和运动半径不变，来探究向心力F与线速度v的关系：
（1）该同学采用的实验方法为。

A．等效替代法
B．控制变量法
C．理想化模型法
（2）改变线速度v，多次测量，该同学测出了五组F、v数据，如下表所示：
1.0 1.5
2.0 2.5
3.0
v/（m•s﹣
1）
F/N0.88 2.00 3.50 5.507.90
该同学对数据分析后，在图乙坐标纸上描出了五个点。

①作出F﹣v2图线；
②若圆柱体运动半径r＝0.2m，由作出的F﹣v2的图线可得圆柱体的质量m＝kg．（结果
保留两位有效数字）
14.如图所示为赛车场的一个“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R的大圆弧和r的小圆弧，直道
与弯道相切，直道长度L。

赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的K倍，假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在圆心角为120°弯道上做匀速圆周运动，若R＝4r，要使赛车安全且绕赛道一圈时间最短（发动机功率足够大，重力加速度为g）。

求：（1）赛车行驶的最大速率；
（2）赛车绕赛道一圈的最短时间。

第18讲水平面内的圆周运动（圆锥摆模型）及其临界问题
1．（江苏高考）如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上，不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是（）
A．A的速度比B的大
B．A与B的向心加速度大小相等
C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等
D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小
【解答】解：A、A、B的角速度相等，根据公式：v＝ω•r，A的运动半径小，A的速度就小。

故A错误。

B、根据公式：a＝ω2r，A的运动半径小，A的向心加速度就小，A的向心力就小，根据平行四边
形定则知，A对缆绳的拉力就小，故D正确，B错误。

C、对任一座椅，受力如图，由绳子的拉力与重力的合力提供向心力，则得：mgtanθ＝mω2r，则
得tanθ=ω2r
g，A的半径r较小，ω相等，可知A与竖直方向夹角θ较小，故C错误。

故选：D。

一.知识总结
1．圆周运动相关物理量
定义、意义公式、单位
线速度描述做圆周运动的物体沿圆弧运动快慢
的物理量(v)
(1)v＝
Δs
Δt＝
2πr
T
(2)单位：m/s
角速度描述物体绕圆心转动快慢的物理量(ω)(1)ω＝
Δθ
Δt＝
2π
T (2)单位：rad/s
周期物体沿圆周运动一圈的时间(T)(1)T＝
2πr
v＝
2π
ω，单位：s (2)f＝
1
T，单位：Hz (3)n＝
1
T，单位：r/s
向心加速度(1)描述速度方向变化快慢的物理量(a n)
(2)方向指向圆心
(1)a n＝
v2
r＝rω2
(2)单位：m/s2
2.圆周运动各物理量间的关系
3.匀速圆周运动与变速圆周运动的区别与联系
匀速圆周运动变速圆周运动
运动特点线速度的大小不变，角速度、周期和频率
都不变，向心加速度的大小不变
线速度的大小、方向都变，角速度变，
向心加速度的大小、方向都变，周期
可能变也可能不变
受力
特点
所受到的合力不总指向圆心，合力产
所受到的合力为向心力，大小不变，方向变，其方向时刻指向圆心生两个效果：
①沿半径方向的分力F n，即向心力，它改变速度的方向；
②沿切线方向的分力F t，它改变速度的大小
运动性质非匀变速曲线运动(加速度大小不变，方向
变化)
非匀变速曲线运动(加速度大小、方向
都变化)
二. 圆锥摆模型及其临界问题
1.圆锥摆模型的受力特点
受两个力，且两个力的合力沿水平方向，物体在水平面内做匀速圆周运动。

2．运动实例
运动模型向心力的来源图示
飞机水平转弯
火车转弯
圆锥摆
物体在光滑半圆形碗
内做匀速圆周运动
3．解题方法
(1)对研究对象进行受力分析，确定向心力来源。

(2)确定圆心和轨道半径。

(3)应用相关力学规律列方程求解。

4．规律总结
(1)圆锥摆的周期
如图摆长为L ，摆线与竖直方向夹角为θ。

受力分析，由牛顿第二定律得：mg tan θ＝m 4π2
T 2r
r ＝L sin θ
解得T ＝2πL cos θ
g ＝2πh g 。

(2)结论
①摆高h ＝L cos θ，周期T 越小，圆锥摆转得越快，θ越大。

②摆线拉力F ＝mg
cos θ，圆锥摆转得越快，摆线拉力F 越大。

③摆球的加速度a ＝g tan θ。

5．圆锥摆的两种变形
变形1：具有相同锥度角的圆锥摆(摆长不同)，如图甲所示。

由a ＝g tan θ知A 、B 的向心加速度大小相等。

由a ＝ω2r 知ωA <ωB ，由a ＝v 2
r 知v A >v B 。

变形2：具有相同摆高、不同摆长和摆角的圆锥摆，如图乙所示。

由T ＝2π
h
g 知摆高h 相同，则T A ＝T B ，ωA ＝ωB ，由v ＝ωr 知v A >v B ，由a ＝ω2
r 知a A >a B 。

6. 解决圆锥摆临界问题的技巧
圆锥摆的临界问题，主要就是与弹力有关的临界问题。

(1)绳子松弛或断开的临界条件是：①绳恰好拉直且没有弹力；②绳上的拉力恰好达最大值。

(2)接触或脱离的临界条件是物体与物体间的弹力恰好为零。

(3)对于火车转弯、半圆形碗内的水平圆周运动有两类临界情况：①摩擦力的方向发生改变；②发生相对滑动。

三.例题精讲
题型一：圆锥摆模型常规问题
例1．如图所示，一根不可伸长的轻质细绳（绳长为L ），一端系着质量为m 的小球（可视为质点），另一端悬于O 点。

重力加速度大小为g ，当小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω时，下
列说法正确的是（）
A．细绳的拉力大小为2mω2l
B．悬点O到轨迹圆心高度为2g
ω2
C．小球的向心加速度大小为√ω4l2−g2
D．小球的线速度大小为2√ω2l2−g2ω2
【解答】解：设小球做匀速圆周运动时细绳与竖直方向的夹角为θ，有Fsinθ＝mω2lsinθ，得F＝mlω2，故A错误；
由mgtanθ＝mω2lsinθ，h＝lcosθ，得h=g
ω2
，故B错误；
由mgtanθ＝mω2lsinθ，可得cosθ=
g
lω2
，小球的向心加速度大小a＝ω2lsinθ=√ω4l2−g2，故C
正确；
由cosθ=
g
lω2
，得小球的线速度大小v＝ωlsinθ=√ω2l2−
g2
ω2
，故D错误．
故选：C。

题型二：圆锥摆模型临界问题
例2．质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为L，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g，则下列说法正确的是（）
A ．a 绳的张力可能为零
B ．a 绳的张力随角速度的增大而增大
C ．当角速度ω＞√g
Ltanθ，b 绳将出现弹力 D ．若b 绳突然被剪断，则a 绳的弹力一定发生变化
【解答】解：A 、小球做匀速圆周运动，在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，所以a 绳在竖直方向上的分力与重力相等，可知a 绳的张力不可能为零，故A 错误； BC 、当b 绳恰好拉直且拉力为零时，有：mg tanθ
=mLω2，解得ω=√
g
Ltanθ
，可知当角速度ω＞√
g
Ltanθ
时，b 绳出现弹力；此后角速度再增大时，竖直方向上受力始终平衡，得：F a sin θ＝mg ，解得F a =mg
sinθ，可知a 绳的拉力不再变化，故B 错误，C 正确；
D 、由于b 绳可能没有弹力，故b 绳突然被剪断，a 绳的弹力可能不变，故D 错误。

故选：C 。

四.举一反三，巩固训练
1. 有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁高速行驶，做匀
速圆周运动。

如图所示，图中虚线表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h ，下列说法中正确的是（ ）
A ．h 越高，摩托车对侧壁的压力将越大
B ．h 越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大
C ．h 越高，摩托车做圆周运动的周期将越小
D ．h 越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大
【解答】解：A 、摩托车做匀速圆周运动，提供圆周运动的向心力是重力mg 和支持力F 的合力，作出力图。

侧壁对摩托车的支持力F =mg
cosθ不变，则摩托车对侧壁的压力不变。

故A 错误。

B 、第二定律得F n ＝m
v 2r
，h 越高，r 越大，F n 不变，则v 越大。

故B 正确。

C 、根据牛顿根据牛顿第二定律得F n ＝mr 4π2T 2
，h 越高，r 越大，F n 不变，则T 越大。

故C 错误。

D 、如图向心力F n ＝mgtan θ，m ，θ不变，向心力大小不变。

故D 正确。

故选：B 。

2. 火车轨道的转弯处外轨高于内轨，如图所示。

若已知某转弯处轨道平面与水平面夹角为θ，弯道
处的圆弧半径为R 。

在该转弯处规定的安全行驶的速度为v ，则下列说法中正确的是（ ）
A ．该转弯处规定的安全行驶的速度为v =√Rgtanθ
B ．该转弯处规定的安全行驶的速度为v =√Rgsinθ
C ．当实际行驶速度大于v 时，轮缘挤压内轨
D ．当实际行驶速度小于v 时，轮缘挤压外轨
【解答】解：AB 、火车以某一速度v 通过某弯道时，内、外轨道均不受侧压力作用，其所受的重力和支持力的合力提供向心力，由图得：
F 合＝mgtan θ（θ为轨道平面与水平面的夹角），根据合力提供向心力得：mgtan θ＝m v 2R
，解得：
v =√Rgtanθ，故A 正确，B 错误；
C 、当转弯的实际速度大于规定速度时，火车所受的重力和支持力的合力不足以提供所需的向心力，火车有离心趋势，故其外侧车轮轮缘会与铁轨相互挤压，外轨受到侧压力作用方向平行轨道
平面向外，轮缘挤压外轨，故C 错误；
D 、当转弯的实际速度小于规定速度时，火车所受的重力和支持力的合力大于所需的向心力，火车有向心趋势，故其内侧车轮轮缘会与铁轨相互挤压，内轨受到侧压力作用方向平行轨道平面向内，轮缘挤压内轨，故D 错误； 故选：A 。

3. 3D 地图技术能够为无人驾驶汽车分析数据，提供操作的指令.如图所示为一段公路拐弯处的地
图，则（ ）
A ．若弯道是水平的，汽车拐弯时受到重力、支持力、摩擦力和向心力
B ．若弯道是水平的，为防止汽车侧滑，汽车拐弯时收到的指令是让车速大一点
C ．若弯道是倾斜的，为了防止汽车侧滑，道路应为内（东北）高外（西南）低
D ．若弯道是倾斜的，为了防止汽车侧滑，道路应为外（西南）高内（东北）低
【解答】解：A 、如果弯道是水平的，则“无人驾驶”汽车在拐弯时受到重力、支持力、摩擦力，向心力不是汽车实际受到的力，故A 错误；
B 、如果弯道是水平的，由静摩擦力提供向心力，根据f ＝m
v 2R
可知，速度越大，所需要的向心力
越大，当需要的向心力大于最大静摩擦力时，汽车做离心运动，所以“无人驾驶”汽车在拐弯时收到的指令应让车速小一点，防止汽车做离心运动而发生侧翻，故B 错误；
CD 、如果弯道是倾斜的，重力和支持力的合力可以提供向心力，而向心力指向圆心，所以3D 地图上应标出外（西南）高内（东北）低，故C 错误，D 正确。

故选：D 。

4. 如图所示是利用圆锥摆粗略验证向心力表达式的实验装置图，已知小球质量为m ，小球距悬点
的竖直高度为h ，小球在水平面内做圆周运动的半径为r ，用秒表测得小球运动n 圈的时间为t ，则下列说法正确的是（ ）
A ．小球受到重力、拉力、向心力
B ．向心力的表达式F n ＝m
4π2t 2
r
C ．小球所受的合外力为F 合＝mg r ℎ
D ．小球转动越快，细线与竖直方向的夹角越小
【解答】解：A 、小球受到重力和绳子拉力，两者的合力提供向心力，故A 错误；
B 、小球做圆周运动的周期 T =t n ，其向心力公式为F n =m 4π2T
2r =m 4π2n 2
t 2r ，故B 错误；
C 、设绳子与竖直方向的夹角为θ，则有tanθ=r ℎ
，其所受重力和绳子拉力的合力提供向心力，有F 合=mgtanθ=mg r ℎ
，故C 正确；
D 、设绳长为L ，根据牛顿第二定律有 mgtan θ＝m •Lsin θ•ω2，解得；ω=√g
Lcosθ
，由此可知，角速度越大，θ越大，故D 错误； 故选：C 。

5. 铁路在弯道处的内、外轨道高度是不同的，已知内、外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图所
示，弯道处的圆弧半径为R ，若质量为m 的火车转弯时速度等于√gRtanθ，则（ ）
A ．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B ．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C ．这时铁轨对火车的支持力等于
mg cosθ
D ．这时铁轨对火车的支持力大于mg cosθ
【解答】解：CD
、火车在水平面内运动，所以，在竖直方向上受力平衡，所以，铁轨对火车的支持力F N 的竖直分量与重力平衡，即F N cos θ＝mg ，所以，F N =mg cosθ
，故C 正确，D 错误； AB 、铁轨对火车的支持力F N 的水平分量为F N sin θ＝mgtan θ，火车在弯道半径为R 的转弯处的速
度v =√gRtanθ，所以，火车转弯时需要的向心力F =mv 2R =mgtanθ；
支持力的水平分量正好等于向心力，故火车轮缘对内外轨道无挤压，故A 错误，B 错误； 故选：C 。

6. 如图所示，一辆汽车正通过一段弯道公路，视汽车做匀速圆周运动，则（ ）
A ．该汽车速度恒定不变
B ．汽车左右两车灯的线速度大小相等
C ．若速率不变，则跟公路内道相比，汽车在外道行驶时的向心力较小
D ．若速率不变，则跟晴天相比，雨天路滑时汽车在同车道上行驶时的向心力较小
【解答】解：A 、圆周运动速度方向时刻变化，故A 错误；
B 、汽车整体的角速度相等，v ＝ωr ，左右两个灯的半径不同，线速度大小不同，故B 错误；
C 、若汽车以恒定的线速度大小转弯，根据F n ＝m
v 2r ，在外轨道是转弯半径大，故在外轨道时向
心力小，故C 正确；
D 、根据C 项知向心力不会因为天气而变化，只是雨天路面较滑，最大静摩擦力减小，故D 错误； 故选：C 。

7. 一球绕直径匀速转动，如图所示，球面上有A 、B 两点，则（ ）
A．可能v A＜v B，也可能v A＞v B
B．A、B两点的向心加速度都指向球心O
C．由a=v2
r可知a A＞a B
D．由a＝ω2r可知a A＜a B
【解答】解：A、由于AB两点是同轴转动，故它们的角速度相同，由图可知r A＜r B，根据v＝ωr，可知v A＜v B，故A错误；
B、质点A、B的向心加速度方向都指向圆心，如题图，A、B的加速度都是垂直转轴直线转轴，它们都不是指向圆心。

故B错误。

C、由于AB两点是同轴转动，故它们的角速度相同，由图可知r A＜r B，而且v A＜v B，所以不能
使用a=v2
r判断知a A和a B的关系。

故C错误。

D、由于AB两点是同轴转动，故它们的角速度相同，由图可知r A＜r B，根据a＝ω2r可知a A＜
a B，故D正确。

故选：D。

8.如图所示，转动轴垂直于光滑平面，交点O的上方h处固定细绳的一端，细绳的另一端拴接一
质量为m的小球B，绳长AB＝l＞h，小球可随转动轴转动并在光滑水平面上做匀速圆周运动．要使球不离开水平面，转动轴的转速的最大值是（）
A．1
2π√g
l
B．π√gℎC．2π√
l
g D．
1
2π
√g
ℎ
【解答】解：当小球对水平面的压力为零时，有：Tcosθ＝mg，Tsinθ＝mlsinθω2，
解得最大角速度为：ω=√
g
lcosθ
=√gℎ，
则最大转速为：n=ω
2π
=12π√gℎ．故D正确，A、B、C错误。

故选：D。

9.（多选）如图所示，足够大的水平圆台中央固定一光滑竖直细杆，原长为L
的轻质弹簧套在竖直杆上，质量均为m的光滑小球A、B用长为L的轻杆及光滑铰链相连，小球A穿过竖直杆置于弹簧上。

让小球B以不同的角速度ω绕竖直杆匀速转动，当转动的角速度为ω0时，小球B刚好离开台面。

弹簧始终在弹性限度内，劲度系数为k，重力加速度为g，则（）
A．小球均静止时，弹簧的长度为L−mg k
B．角速度ω＝ω0时，小球A对弹簧的压力为mg
C．角速度ω0=√
kg kL−2mg
D．角速度从ω0继续增大的过程中，小球A对弹簧的压力不变
【解答】解：A、光滑小球均静止时，则可知，杆没有作用力，否则B球不可能平衡的，对A受
力分析，重力与弹簧的弹力，处于平衡，依据胡克定律，那么弹簧的形变量△x=mg
k，因此弹簧
的长度为L′＝L−mg
k，故A正确；
B、角速度ω＝ω0时，球B在杆及重力作用下，提供向心力，做匀速圆周运动，那么，杆对小球A有作用力，因此弹簧对A的支持力大于mg，则球A对弹簧的压力也大于mg，故B错误；
C、当转动的角速度为ω0时，小球B刚好离开台面，对B分析，杆的拉力与重力的合力提供向心力，如下图所示：
根据矢量的合成法则，结合牛顿第二定律，则有mg
tanθ
=mω02Lcosθ，对AB整体分析，弹簧的弹力F′＝2mg。