小升初六年级数学名校冲刺精编讲义第8讲--式与方程(教师版)

小升初六年级数学名校冲刺精编讲义第8讲-
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第8讲 式与方程
知识点一：用字母表示数、数量关系、计算公式和运算定律
1.用字母表示数
（1）一班有男生a 人，有女生b 人，一共有（a+b ）人；
（2）每袋面粉重25千克，x 袋面粉一共重25x 干克
2.用字母表示数量关系
（1）路程=速度×时间，用字母表示为s=vt ；
（2）正比例关系：y x
=k （一定），反比例关系：x ×y=k （一定）等。

3.用字母表示计算公式
（1）长方形的周长：C=2（a+b ）；
（2）长方形的面积：S=ab ；
（3）长方体的体积：V=abh 或V=Sh 等。

4．用字母表示运算定律
加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）
乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：（ab ）c=a （bc ）
乘法分配律：（a+b ）c-ac+bo
重点提示：
○
1数与字母、字母与字母相乘时，乘号可以记作简写为一个点或省略不写，但要注意，省略乘号后，数字要写在字母的前面。

○2两个相同的字母相乘时，可以写成这个字母的平方，如a ×a 可以写作a 2 知识点二：等式与方程
1.等式与方程的意义及关系
2.等式的性质
（1）性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。

（2）性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。

3.解方程
（1）方程的解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。

（2）解方程的概念：求方程的解的过程叫作解方程。

（3）解方程的依据：可以根据等式的性质和四则运算中各部分之间的关系解方程。

（4）检验方程的解是否正确，步骤如下：（01）把求出的未知数的值代入原方程中；（02）计算，看等式是否成立；（03）等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解。

知识点三：列方程解应用题
（1）列方程解应用题的优点。

先用一个字母代替未知数，再把它看作已知数参与列式和运算，便于把题中的数量关系直接反映出来，使问题简单化。

（2）列方程解应用题的一般步骤。

①弄清题意，找出未知数并用字母表示；②根据题中数量间的相等关系列出方程；
③根据等式的性质解方程，求出方程中的未知数；④检验写答。

考点一：用含字母的式子表示数或数量关系
【例1】（2019•深圳）一个两位数，十位上的数字是6，个位上的数字是a，表示这个两位数的式子是()
A．60a
+D．6a
+C．610a
+B．6a
【思路分析】两位数=十位数字10
⨯+个位数字．
【规范解答】解：因为十位数字为6，个位数字为a，所以6个10与1个a的和为：60a
+．故选：A．
【名师点评】解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
1．（2019•海淀区）李老师买国库券x元，定期5年，年利率是4.14%，到期时她一共可得到利息元．
【思路分析】根据：利息=本金⨯年利率⨯时间，代入字母计算即可．
【规范解答】解：利息为： 4.14%50.207
⨯⨯=（元)．
x x
答：到期时她一共可得到利息0.207x元．
故答案为：0.207x元．
【名师点评】解决本题的关键是根据利息计算公式代入字母计算．
2．（2019春•福田区期末）天虹商场有一件衣服，原来售价a元，五一期间八折销售．用含有字母的式子表示打折后的价格是元．如果打折后的价格是180元，那么原来售价是元．
【思路分析】根据题意，八折销售是指打折后的价格是原价的80%，根据百分数乘法的意义，用原来售价乘80%，求出打折后的价格是多少元，再用打折后的价格180元除以80%就是原价，据此即可解答．【规范解答】解：80%0.8
⨯=（元)
a a
18080%225
÷=（元)
答：用含有字母的式子表示打折后的价格是0.8a元．如果打折后的价格是180元，那么原来售价是225元．
故答案为：0.8a，225．
【名师点评】此题主要考查了打折和百分数除法的意义的应用．
3．（2019•深圳）爸爸说：“我的年龄比小明的4倍多3．”小明说：“我今年a岁．”用含有字母的式子表示爸爸的年龄，写作43
a+岁；如果小明今年8岁，那么爸爸今年岁．
【思路分析】（1）根据题意知道，爸爸的年龄=小明的年龄43
⨯+．把字母代入，即可得出爸爸的年龄；
（2）把小明的年龄代入（1）所求出的式子，即可得出爸爸今年的年龄．
【规范解答】解：43
a⨯+，
=+（岁)，
43
a
（2）把8
a+，
a=，代入43
即，43a +，
483=⨯+，
323=+，
35=（岁)，
故答案为：43a +岁，35．
【名师点评】解答此题的关键是，把所给的字母当成已知数，再根据题中的数量关系，即可得到用字母表示的式子；再把字母表示的数代入式子，即可求出答案．
4．（2019•朝阳区）一套茶具由4个茶杯和1个茶壶组成（如图所示）．其中1个茶杯的价格是a 元，茶壶的价格是b 这套茶具的价格是( )元
A ．4a b +
B ．a b +
C ．4()a b +
D ．4a b +
【思路分析】先求出4个茶杯的价格，即44a a ⨯=元，再据加法的意义，用茶壶的单价加上4个茶杯的总价即可求得一套茶具的价格．
【规范解答】解：44a b a b ⨯+=+（元)
答：这套茶具的价格是(4)a b +元；
故选：A ．
【名师点评】解答此题的关键是：求出买茶杯的价格，问题即可得解．
5．（2019•岳麓区校级自主招生）某品牌的电脑降价30%后，每台售价为a 元，则该品牌电脑每台原价应为( )
A ．0.7a
B ．0.3a
C ．0.3a
D ．0.7
a 【思路分析】由“降价30%，”知道单位“1”是原价，即现价是原价的(130%)-，由此用除法即可求出电脑的原价．
【规范解答】解：(130%)a ÷-，
70%a =÷，
0.7
a =（元)， 故选：D ．
【名师点评】关键是找准单位“1”，找出数量关系，把给出的字母当做已知数，用除法列式解答即可． 考点二：等式与方程的意义及关系
【例2】（2019•沈阳）下面各式：140X -=，63X -，2918⨯=，53X >，1X =，23X =，
26X =，其中不是方程的式子的个数是( )个．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【思路分析】根据方程的意义，含有未知数的等式叫做方程；以此解答即可．
【规范解答】解：根据题干分析可得，这几个式子中：63x -，含有未知数，但不是等式，所以不是方程；2918⨯=，不含有未知数，不是方程；53X >，含有未知数，但不是等式，所以不是方程， 所以不是方程的一共有3个．
故选：B ．
【名师点评】此题主要考查方程的意义，具备两个条件，一含有未知数，二必须是等式；据此判断选择．
1．（2019春•射阳县期中）在5.67.8x +=；953758-=；8y -；3075x +<；97218x =+中，等式有 ，方程有 ．
【思路分析】等式是指用“=”连接的式子，方程是指含有未知数的等式；据此进行分类．
【规范解答】解：等式有：5.67.8x +=、953758-=、97218x =+
方程有：5.67.8x +=、97218x =+．
故答案为：5.67.8x +=、953758-=、97218x =+，5.67.8x +=、97218x =+．
【名师点评】此题考查等式和方程的辨识，熟记定义，才能快速辨识．
2．（2019秋•潍坊校级期中）下面的式子， 是方程， 是等式．
.12 3.58.5A -= .9 1.325.7B a -= .632C x + .5630D x +<．
【思路分析】表示左右两边相等的式子叫做等式，含有未知数的等式叫方程，据此可得出正确答案．
【规范解答】解：根据题干分析可得，12 3.58.5-=、9 1.325.7a -=都是等式，
其中只有9 1.325.7a -=是含有未知数的等式，是方程．
所以等式有A 、B ；方程是B ．
故答案为：B；A、B．
【名师点评】方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）．
3．（2019秋•天津期末）方程和等式的关系可以用下面()图来表示．
A．B．C．
【思路分析】等式是指用“=”号连接的式子；而方程是指含有未知数的等式．所以等式的范围大，而方程的范围小，它们之间是包含关系．
【规范解答】解：等式是指用“=”号连接的式子；而方程是指含有未知数的等式．
方程和等式的关系可以用下图来表示：
．
故选：A．
【名师点评】此题考查方程与等式的关系：所有的方程都是等式，但等式不一定是方程．
考点三：等式的性质
【例3】（2019春•江苏校级期末） 1.8 2.5
+=+，那么(x)y．
x y
A．>B．<C．=D．无法确定
【思路分析】在等式 1.8 2.5
+=+的左右两边同时减去1.8，再同时减去y，即可得解．
x y
【规范解答】解： 1.8 2.5
+=+
x y
+-=+-
1.8 1.8
2.5 1.8
x y
x y y y
-=+-
0.7
-=
0.7
x y
所以x y
>．
故选：A．
【名师点评】解决此题也可以根据两个算式的“和”相等，一个加数大，另一个加数反而小，一个加数小，另一个加数反而大得解．
1．（2019春•枣庄期中）如果500a b +=，那么(20)a b ++= ．如果40x y ⨯=，那么5x y ⨯⨯= ．
【思路分析】首先根据加法结合律，(20)()2050020520a b a b ++=++=+=．然后根据乘法交换律和结合律，5()5405200x y x y ⨯⨯=⨯⨯=⨯=解答即可．
【规范解答】解：(20)()2050020520a b a b ++=++=+=．
5()5405200x y x y ⨯⨯=⨯⨯=⨯=．
故答案为：520、200．
【名师点评】此题主要考查了学生含字母式子求值和灵活运用加法结合律以及乘法运算定律解题的能力．
2．（2019秋•如东县期末）如果A B C -=（其中0)C ≠．那么()A B C A ++÷= 2 ．
【思路分析】把C A B =-代入式子()A B C A ++÷中，进而计算即可得解．
【规范解答】解：当C A B =-时，
()A B C A ++÷，
()A B A B A =++-÷，
2A A =÷，
2=．
故答案为：2．
【名师点评】解决此题关键是把式子中的C 换成A B -，进而得解．
3．（2019春•东台市校级期中）35m n +=+，那么(m )n ．
A ．大于
B ．小于
C ．等于
D ．无法确定
【思路分析】如果35m n +=+，根据等式的性质，等式的两边同减去3，可得2m n =+，所以m 大于n ，据此进行选择．
【规范解答】解：如果35m n +=+，
则有2m n =+，所以m 大于n ；
故选：A ．
【名师点评】此题考查等式的意义和性质，解决此题关键是根据等式的性质把等式的两边同时减去或加上同一个数，等式仍然成立，进而得出m 和n 两个数的大小关系．
考点四：解方程
【例4】（2019•深圳）解方程或比例．
（1）19313
288
x-=（2）
280.4
0.1
x
=（3）
1
730.9
2
x
-=
（4）1132
13
545
x+=（5）
21
2.52
36
x-=（6）
35
51
48
x
⨯-=
【思路分析】（1）根据等式的性质，方程的两边同时加上3
8
，然后方程的两边同时除以
19
2
求解；
（2）根据比例的基本性质的性质，把原式化为0.4280.1
x=⨯，然后方程的两边同时除以0.4求解；
（3）根据等式的性质，方程的两边同时加上3x，把方程化为
1
30.97
2
x+=，方程的两边同时减去0.9，
然后方程的两边同时除以3求解．
（4）根据等式的性质，方程的两边同时减去
3
1
4
，然后方程的两边同时除以
11
5
求解；
（5）根据等式的性质，方程的两边同时加上2.5，然后方程的两边同时除以2
3
求解；
（6）先计算315
5
44
⨯=，根据等式的性质，方程的两边同时加上
5
8
x，把原式化为
515
1
84
x+=，方程的两
边同时减去1，然后方程的两边同时除以5
8
求解．
【规范解答】解：（1）19313 288
x-=
1933133 28888
x-+=+
19
2
2
x=
191919
2
222
x÷=÷
4
19
x=
（2）280.4
0.1 x
=
0.4280.1
x=⨯
0.40.4280.10.4
x÷=⨯÷
7
x=
（3）
1
730.9 2
x
-=
1
7330.932x x x -+=+ 1
30.972x += 1
30.90.970.92x +-=-
3 6.6x = 33 6.63x ÷=÷ 2.2x =
（4）11
32
13545x += 11
3
3
2
3
113154454x +-=- 11
13
1520x = 1111
13
11
155205x ÷=÷ 3
4x =
（5）21
2.5236x -= 2
1
2.5 2.52 2.5
36x -+=+ 2
2
433x = 2
2
22
43333x ÷=÷
7x =
（6）35
5148x ⨯-= 155
148x -= 15
5
5
5
14888x x x -+=+ 5
15
184x += 5
15
11184x +-=-
55115
8848
x÷=÷
22
5
x=
【名师点评】本题考查解方程和解比例，解题的关键是掌握等式的性质与比例的基本性质：方程两边同时加上或减去相同的数，等式仍然成立；方程两边同时乘（或除以）相同的数(0除外），等式仍然成立；两个外项的积等于两个内项的积．
1．（2019•井冈山市自主招生）求未知数x
230%9.2 x x
+=
11
4
82
x-=
111
::
442
x=．
【思路分析】（1）先化简方程，再根据的等式的性质，方程两边同时除以2.3求解；
（2）根据的等式的性质，方程两边同时加上1
8
，再两边同时除以4求解；
（3）根据比例的基本性质，原式化成111
244
x=⨯，再根据的等式的性质，方程两边同时除以
1
2
求解．
【规范解答】解：（1）230%9.2
x x
+=
2.39.2
x=
2.3 2.39.2 2.3
x÷=÷
4
x=；
（2）
11
4
82
x-= 1111
4
8828 x-+=+
5
4
8
x=
5
444
8
x÷=÷
5
32
x=；
（3）
111 ::
442 x=
1111
22162
x÷=÷
1
8
x=．
【名师点评】本题考查了学生利用等式的性质和比例的基本性质解方程的能力，注意等号对齐．2.（2019•永春县校级自主招生）求未知数．
22440 x-=312
811
a a
+==
4
3.55
x
=
3
3:16:0.125
8
m=．
【思路分析】（1）根据等式的性质，方程两边同时加上24，再两边同时除以2求解；
（2）先化简方程，再根据等式的性质，方程两边同时除以11
8
求解；
（3）根据比例的基本性质，原式化成5 3.54
x=⨯，再根据等式的性质，方程两边同时除以5求解；
（4）根据比例的基本性质，原式化成
3
0.125316
8
m
⨯=⨯，再根据等式的性质，方程两边同时除以0.375
求解．
【规范解答】解：（1）22440
x-= 224244024
x-+=+
264
x=
22642
x÷=÷
32
x=；
（2）312 811 a a
+== 1112 811
a==
11111211 88118
a÷==÷
96
121
x=；
（3）
4
3.55
x
=
5 3.54 x=⨯
55145 x÷=÷
2.8
x=；
（4）33:16:0.1258
m = 30.1253168
m ⨯=⨯ 0.3750.37560.375m ÷=÷
16m =．
【名师点评】本题考查了学生根据等式的性质解答方程的能力，注意等号对齐．
3．（2019•海门市校级模拟）看图列方程并解答．
【思路分析】（1）设三角形的高为x 厘米，利用三角形面积公式：面积=底⨯高2÷，列方程求解即可．
（2）设每枝铅笔x 元，有关系式：三枝铅笔的价钱1+个文具盒的价钱22.7=元，列方程求解即可．
（3）设西红柿有x 千克，则大白菜有5x 千克，有关系式：西红柿质量+大白菜质量27=千克．列方程求解即可．
（4）设三角形斜边上的高为x 厘米，根据三角形面积相等，列方程求解即可．
【规范解答】解：（1）设三角形的高为x 厘米，
252100x ÷=
25200x =
8x =
答：这个三角形的高为8厘米．
（2）321.522.7x +=
3 1.2x =
0.4x =
答：每枝铅笔0.4元．
（3）设西红柿有x千克，
x x
+=
527
x=
627
x=
4.5
答：西红柿有4.5千克．
（4）设三角形斜边上的高为x厘米，
x=⨯
1068
x=
1048
x=
4.8
答：这个三角形斜边上的高为4.8厘米．
【名师点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题．
考点五：列方程解决和差倍问题
【例5】（2019秋•历城区校级期末）某工厂的甲、乙两个车间共有工人160人，如果从甲车间调8人到乙车间，两个车间的人数正好相等．甲、乙两个车间原来各有多少人（
列方程解）
【思路分析】根据“从甲车间调8人到乙车间后，两个车间的人数相等”，说明两车间原来的人数相差
x+人，又因为两个车间共有工人160人，据此列出方程82
⨯人，设乙车间有x人，则甲车间就有16
即可解答．
【规范解答】解：设乙车间有x人
+⨯+=
x x
82160
x+=
216160
2144
x=
x=
72
8288
x+⨯=（人)
答：甲车间原来有72人，乙车间原来有88人．
【名师点评】本题主要考查和差问题，本题还可以运用和差问题的公式即：（和+差）2
÷=大数，（和-差）2÷=小数，或和-大数=小数解答．
1．（2019秋•法库县期末）弟弟和姐姐一共有120张邮票，姐姐比弟弟多40张邮票．姐、弟各有邮票多少张（
列方程解答）
【思路分析】根据“弟弟和姐姐一共有120张邮票”得出等量关系式：弟弟邮票张数+姐姐邮票张数=一共邮票张数，设弟弟邮票x张，姐姐的邮票40
x+张，列并解方程即可．
【规范解答】解：设弟弟邮票x张，
++=，
40120
x x
x+=，
240120
x=，
280
x=，
40
姐姐邮票张数：404080
+=（张)；
答：姐姐邮票80张，弟弟的邮票40张．
【名师点评】据题意确定题的等量关系式是解决此题的关键．
2．（2019秋•古丈县期末）果园里桃树和杏树一共有180棵，杏树的棵数是桃树的3倍，桃树和杏树各有多少棵（
列方程解）
【思路分析】根据题干分析可得，此题等量关系是：“桃树的棵数+杏树的棵数=总棵数180棵”，由此设桃树x棵，则杏树就是3x棵，根据等量关系列出方程即可解答问题．
【规范解答】解：设桃树x棵，则杏树就是3x棵，根据题意可得方程：
+=，
3180
x x
x=，
4180
45
x=，
则杏树有：453135
⨯=（棵)，
答：桃树45棵，杏树135棵．
【名师点评】此题也可以利用和倍公式解答：把总棵数看做4份，则桃树占其中的1份，杏树占其中的3份，则根据除法的意义求出1份就是桃树的棵数，再乘3就是杏树的棵数：180445
÷=（棵)，⨯=（棵)，答：桃树45棵，杏树135棵．
453135
3．（2019•湖南模拟）爸爸的年龄比小凤大30岁，今年爸爸的年龄恰好是小凤的6倍．今年爸爸和小凤各多少岁（
列方程解答）
【思路分析】根据题意可得等量关系式：今年爸爸的年龄-小凤的年龄30
=，然后今年小凤x岁，则爸爸6x岁，然后列方程解答即可．
【规范解答】解：设今年小凤x岁．
-=
x x
630
x=
530
x=
6
+=（岁)
30636
答：今年爸爸36岁，小凤6岁．
【名师点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题．
考点六：列方程解决鸡兔同笼问题
【例6】（2019秋•临河区期中）小毛参加数学竞赛，共做20道题，得64分，已知做对一道得5分，不做得0分，错一题扣1分，又知道他做错的题和没做的一样多．问小毛做对几道题？
【思路分析】根据题意，运用鸡兔同笼问题原理，设x道题错了，则x道题没做，(202)x
-道题做对了，列方程为：(202)5264
-⨯-⨯=，解方程可求出做错的题目数，然后求做对的道数即可．
x x
【规范解答】解：设x道错了，x道没做，(202)x
-道做对了，则
-⨯-⨯=
x x
(202)5264
x=
1236
x=
3
2032
-⨯
=-
206
=（道)
14
答：小毛做对14道题．
【名师点评】本题主要考查鸡兔同笼问题，关键根据题意，正确设出未知数，列出方程即可解答问题．
1．（2019•湖南模拟）鸡兔共有71只，兔的腿数比鸡的腿数多116条．鸡和兔各有多少只？
【思路分析】设笼子里有鸡x只，则兔有(71)x
-只，根据等量关系：鸡的只数2116
⨯，
⨯+=兔的只数4
列方程解答，求出鸡的只数，进而求出兔的只数．
【规范解答】解：设有鸡x只，则兔有(71)x
-只，
x x
+=⨯-
21164(71)
x x
+=-
21162844
x=
6168
x=
28
712843
-=（只)
答：鸡有28只，兔有43只．
【名师点评】本题考查了列方程解应用题，关键是根据等量关系：鸡的只数240
⨯，列方
⨯+=兔的只数4
程．
3．小明的爸爸在旅行社工作，本月为顾客订制了2种门票共30张，一共用去2400元．其中瘦西湖门票为150元，个园门票为45元．两种票各买了多少张？
【思路分析】根据题干，设买了x张150元的，则买了(30)x
-张45元的，根据等量关系：买每张150元花掉的钱数+买每张45元花掉的钱数=总钱数2400，列出方程即可解决问题．
【规范解答】解：买了x张150元的，则买了(30)x
-张45元的，根据题意可得方程：+⨯-=
15045(30)2400
x x
+-=
1501350452400
x x
x=
1051050
x=
10
301020
-=（张)
答：150元的买了10张，45元的买了20张．
【名师点评】此题属于典型的鸡兔同笼题，解答此题可以是先进行假设，然后根据假设后的情况进行计算，即可得出答案；也可以用方程解答，设其中的一个量为未知数，另一个数也用未知数表示，根据题意，列出方程，解答即可．
3．（2019•海门市校级模拟）小明储蓄罐里一共有87.5元，都是1元和5角的硬币，已知1元的硬币的枚数是5角硬币的3倍，求1元和5角的硬币各有多少枚？
【思路分析】设5角硬币的有x枚，那么1元硬币的有3x枚，根据5角硬币的总钱数1
+元硬币的总钱数=，列方程解答即可．
87.5
【规范解答】解：设5角硬币的有x枚，那么1元硬币的有3x枚，
5角0.5
=元
+=
x x
0.5387.5
x=
3.587.5
x=
25
⨯=（枚)
25375
答：1元的有75枚，5角的硬币有25枚．
【名师点评】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题可以用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用方程进行解答．
4．（2019•重庆模拟）启蒙书社五天内卖出《中学生手册》和《小学生手册》共120本．《中学生手册》每本5元，《小学生手册》每本3.75元．营业员统计的结果表明：这五天内所卖《中学生手册》的收入比卖《小学生手册》的收入多162.5元．这五天内启蒙书社卖出的《中学生手册》和《小学生手册》各多少本？
【思路分析】设中学生手册卖出x本，那么小学生手册可以用120x
-本表示，分别用本数乘单价就是它们的总价，它们总价的差是162.5元，由此列出方程．
【规范解答】解：设中学生手册卖出x本，根据题意得：
-⨯-=，
x x
5 3.75(120)162.5
-+=，
x x
5450 3.75162.5
x=，
8.75612.5
x=；
70
12050
x
-=．
答：这五天内启蒙书社卖出的《中学生手册》70本，《小学生手册》50本．
【名师点评】本题根据总价、单价、数量之间的关系把总价表示出来，由总价之间的差列出方程．
考点七：列方程解决行程问题
【例7】（2019春•桐梓县期末）A、B两地相距210km，甲、乙两列火车同时从两地相向而行，经过1.5小时相遇．已知甲、乙两车的速度之比为3:4，求甲、乙两车的速度各是多少（
列方程解）
【思路分析】首先根据题意，设甲车的速度是x千米/时，则乙车的速度是4
3
x千米/时，然后根据：两车
的速度之和⨯两车相遇用的时间=两地之间的距离，列出方程，求出甲车的速度，进而求出乙车的速度是多少即可．
【规范解答】解：设甲车的速度是x千米/时，则乙车的速度是4
3
x千米/时，
所以
4
1.5()210
3
x x
+=
3.5210
x=
3.5 3.5210 3.5
x÷=÷
60
x=
4
6080
3
⨯=（千米/时）
答：甲车的速度是60千米/时，乙车的速度是80千米/时．
【名师点评】此题主要考查了行程问题，以及一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解答此类问题的关键．
1．（2019春•溧阳市期末）学校环形跑道长400米，笑笑和淘气从跑道的同一地点同时出发，都按顺时针方向跑，经过20分钟，笑笑第一次追上淘气．淘气的速度是240米/分，笑笑每分跑多少米（
列方程解答）
【思路分析】笑笑第一次追上淘气时，笑笑比淘气多跑一圈，即400米，设笑笑每分钟跑x 米，在20分钟跑20x 米，淘气跑了24020⨯米，然后根据笑笑跑的路程-淘气跑的路程400=米列出方程求解．
【规范解答】解：设笑笑每分钟跑x 米，则：
2024020400x -⨯=
204800400x -=
205200x =
260x =
答：笑笑每分钟跑260米．
【名师点评】本题考查了环形跑道上的追及问题．利用追及问题常用的等量关系为：甲路程-乙路程=环形跑道的长度得出是解题关键．
2．（2019•长沙）甲、乙二人赛跑，每秒钟甲比乙所跑的路程多15
，现在甲在乙后面24米所处同时起跑，15秒钟后，甲已到终点，乙落后甲6米．求甲跑过的距离．
【思路分析】根据“每秒钟甲比乙所跑的路程多15，”设乙的速度是v 米/秒，则甲的速度是1(1)5
v +米/秒，此时甲在乙后面24米，15秒钟后，甲行驶的路程是1(1)155
v +⨯米，乙行驶的路程是15v 米，甲比乙多行了24630+=米，据此可得方程：1(1)15152465
v v +⨯-=+，据此解方程即可解答问题． 【规范解答】解：设乙的速度是v 米/秒，则甲的速度是1(1)5
v +米/秒，根据题意可得方程： 1(1)15152465
v v +⨯-=+， 181530v v -=，
330v =，
10v =， 所以甲的速度是：110(1)125
⨯+=（米/秒）， 则甲行驶的路程是：1215180⨯=（米)，
答：甲跑过的路程是180米．
【名师点评】解答此题的关键是根据开始甲在乙后面24米和15秒后乙落后甲6米得出，甲比乙多行驶了24630+=米，据此根据速度、时间与路程之间的关系列出方程解决问题．
3．（2019•闽侯县）甲乙两车同时从东、西两城出发，甲车在超过中点20千米的地方与乙车相遇，已知甲车所走的路程与乙车所行路程的比是7:6，东西两城相距多少千米？
【思路分析】设出东西两城相距的距离为x 千米，甲车在超过中点20千米的地方，用x 表示出来；又因甲车所走的路程与乙车所行路程的比是7:6，可知道甲车所走的路程占东西两城距离几分之几，继而用x 表示出来，两个联立方程问题得解．
【规范解答】解：设东西两城相距为x 千米，由题意得，
1720276
x x +=+， 7120132
x x -=， 12026
x =， 520x =；
答：东西两城相距为520千米．
【名师点评】解答此题的关键是找出用两种不同的式子表示出甲车所走的路程（或乙车所行路程），用同一个两连理方程解决问题．
考点八：列方程解分数应用题
【例8】（2019•郑州）列方程求解：小强的妈妈说：小强真能干，摘了很多桃子．爸爸问：摘的有全部的14吗？妈妈说比14
还多15个，爸爸问：有13吗？妈妈说：比13少3个，问小强摘了多少个桃子？ 【思路分析】设一共摘了x 个桃子；比
14还多15个，即小强摘桃数1154x =+；比13少3个，即小强摘桃数133x =-；根据小强摘桃数不变列方程为：1131534
x x -=+；根据等式的性质解出x 的值，进而求出小强摘了多少个桃子．
【规范解答】解：设一共摘了x 个桃子，根据题意得： 1131534
x x -=+ 1115334
x x -=+ 11812
x = 216x =
121633
⨯- 723=-
69=（个)
答：小强摘了69个桃子．
【名师点评】解答此题，首先弄清题意，分清已知与所求，再找出基本数量关系，由此列式或方程解答．
【例9】（2019•长沙）（列方程解应用题）小明读一本书，已读与未读的页数比是1:5，如果再读30页，则已读和未读的页数为3:5．这本书共有多少页？
【思路分析】原来已读与未读的页数比是1:5，那么此时已读的页数就是总页数的
11156=+，后来已读和未读的页数为3:5，那么后来已读的页数是总页数的33358
=+；把总页数看成单位“1”，并设为x 页，那么后来读的页数比原来多占总页数的31()86-，也就是31()86
x -页，这与30页相等，由此列出方程求解．
【规范解答】解：
11156
=+， 33358=+； 设总页数是x 页，由题意得：
31()3086
x -= 53024
x = 53024x =÷
144x =
答：这本书一共有144页．
【名师点评】先把比变成看的页数占总页数的几分之几，再找出等量关系，列出方程求解．
1．（2019•龙湖区）六年（1）班学生人数是本年级学生人数的24%，六年级学生人数是全校的16
，如果六年（1）班有学生48人，全校有多少多少人（
列方程解）
【思路分析】设全校的人数是x 人，把全校的人数看成单位“1”，它的16是六年级的人数，即16x ，再把六年级的总人数看成单位“1”，用乘法求出它的24%就是六（1）班的人数48人，由此列出方程求解．
【规范解答】解：设全校有x 人，由题意得：
124%486
x ⨯=， 14825
x =， 1200x =；
答：全校有多少1200人．
【名师点评】解答此题的关键是分清两个不同的单位“1”，已知单位“1”的量，求它的几分之几是多少用乘法．
2．（2019•东莞校级模拟）李阿姨到家具市场买了一张床和一把椅子，一共花了968元，椅子的价钱是床的110
．李阿姨买床付了多少钱（ 列方程解答）
【思路分析】设买床付了x 元，那么椅子就需要
110
x 元，根据床和椅子共需要968元可列方程：196810x x +=，依据等式的性质即可求解． 【规范解答】解：设买床付了x 元， 196810x x +
=， 1196810
x =， 111111968101010
x ÷=÷， 880x =，
答：李阿姨买床付了880元．
【名师点评】依据数量间的等量关系列方程，并依据等式的性质解方程，是本题考查知识点．
3．（2019•湖南模拟）电冰箱厂6月份生产冰箱2400台，比5月份多生产了15
，两个月一共生产冰箱多少台（
画线段图分析并列方程解决问题．
)
【思路分析】设五月份产生了x 台，则6月份生产的台数相当于5月份的1(1)5
+台，根据“5月份生产的台数的1(1)65
+=月份产生的台数”列方向解答即可求出5月份产生的台数，进而求出两个月一共生产冰箱多少台．
【规范解答】解：如图：
设五月份产生了x 台．
1(1)24005
x += 624005
x = 3662400555
x ÷=÷ 2000x =
200024004400+=（台)
答：两个月一共生产冰箱4400台．
【名师点评】列方程解答应用题的关键是设未知数，找出等量关键式．列方程解答应用题要注意书写格式，等号对齐，设、答要带单位，解答过程中不能带单位．
4．（2019春•桐梓县期末）仓库里有一批化肥，第一次取出总数的
14，第二次取出总数的16，这时仓库里还剩84袋，仓库里原来共有多少袋化肥（
列方程解答）
【思路分析】设仓库里原来共有x 袋化肥，第一次取出总数的14，即14x 袋，第二次取出总数的16，即16
x 袋．根据“总袋数-第一次取出的袋-第二次取出的袋数=剩下的袋数”即可列方程解答． 【规范解答】解：设仓库里原来共有x 袋化肥． 118446
x x --= 78412
x = 77784121212
x ÷=÷ 144x =。