河南郑州中学2020-2021学年八年级(上)月考数学试卷(一)解析版

2020-2021学年河南郑州中学八年级（上）月考数学试卷（一）一．选择题
1．下列实数﹣2、3、0、﹣中，最小的数是（）
A．﹣2B．3C．0D．﹣
2．已知△ABC的三边分别为a、b、c，下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A＝∠B+∠C B．a：b：c＝1：1：
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．b2＝a2+c2
3．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A．x＞﹣2B．x≤﹣2C．x＜﹣2D．x≥﹣2
4．图1是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2所示）演化而成的．如果图2中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…A7A8＝1，那么OA8的长为（）
A．2B．3C．D．
5．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）
A．B．C．D．
6．下列等式成立的是（）
A．B．C．D．
7．如图，架在消防车上的云梯AB长为10m，∠ADB＝90°，AD＝2BD，云梯底部离地面的距离BC为2m，则云梯的顶端离地面的距离AE为（）
A．（2+2）m B．（4+2）m C．（5+2）m D．7m
8．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）
A．76B．72C．68D．52
9．已知数列，…，则3是它的（）
A．第23项B．第24项C．第19项D．第25项
10．如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE＝1，则EF的长为（）
A．B．C．D．3
二．填空题
11．比较大小：（用“＜”或“＝”或“＞”填空）．
12．有一个三角形的两边长是4和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为．
13．实数a、b、c在数轴上表示如图，则+|c﹣b|＝．
14．如图，15只空油桶（每只油桶底面的直径均为1m）堆放一起，这堆油桶的高度为m．
15．已知，如图，线段CD长为8，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，AC＝4，BD＝3，EF为线段CD上两动点，F在E右侧且EF＝1，则由A到B的路径：AE+EF+FB的最小值为．
三．解答题
16．已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+2b ﹣c的平方根．
17．计算下列各题：
（1）4﹣；
（2）；
（3）+；
（4）．
18．在如图所示的数轴上作出所对应的点（不要求写作法，保留作图痕迹）．
19．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，CD＝4，AD＝2，求四边形ABCD的面积．
20．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图2中，画一个三角形，使它的三边长分别为3，2，；
（3）在图3中，画一个三角形，使它的面积为5．
21．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地°送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度．
22．观察下列等式：a1＝﹣ 1 a2＝
a3＝a4＝﹣2…
按上述规律，回答下列问题：
（1）填空：a5＝，a6＝；
（2）求a1+a2+…+a2020的值；
（3）知识运用，计算：．
23．已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三
角形PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下列问题：
（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC＝．P为AB中点，
①线段PB＝；
②猜想：连接BQ，则BQ与AB的位置关系为；
P A2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为；
（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论是否仍然成立，请你利用图②给出证明过程．
2020-2021学年河南郑州中学八年级（上）月考数学试卷（一）
参考答案与试题解析
一．选择题
1．下列实数﹣2、3、0、﹣中，最小的数是（）
A．﹣2B．3C．0D．﹣
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵|﹣|＝，|﹣2|＝2，
又∵＜2，
∴﹣＞﹣2，
故在实数﹣2、3、0、﹣中，最小的数是：﹣2．
故选：A．
2．已知△ABC的三边分别为a、b、c，下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠A＝∠B+∠C B．a：b：c＝1：1：
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．b2＝a2+c2
【分析】根据三角形内角和定理可分析出A、C的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B、D的正误．
【解答】解：A、∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
B、∵（）2＝12+12，
∴能构成直角三角形，故此选项不合题意；
C、设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，
3x+4x+5x＝180，
解得：x＝15，
则5x°＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；
D、∵b2＝a2+c2，
∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意．
故选：C．
3．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A．x＞﹣2B．x≤﹣2C．x＜﹣2D．x≥﹣2
【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．
【解答】解：根据题意得：x+2≥0，
解得x≥﹣2．
故选：D．
4．图1是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2所示）演化而成的．如果图2中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…A7A8＝1，那么OA8的长为（）
A．2B．3C．D．
【分析】OA1＝1，根据勾股定理可得OA2＝＝，OA3＝＝，找到OA n＝的规律，即可计算OA8的长．
【解答】解：∵OA1＝1，
∴由勾股定理可得OA2＝＝，
OA3＝＝，
…，
∴OA n＝，
∴OA8＝＝2．
故选：A．
5．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）
A．B．C．D．
【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
【解答】解：A、＝3，故此选项错误；
B、＝，故此选项错误；
C、是最简二次根式，故此选项正确；
D、＝3，故此选项错误；
故选：C．
6．下列等式成立的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据算术平方根和立方根的定义求解可得．
【解答】解：A．＝9，此选项错误；
B．，此选项正确；
C．（﹣）2＝2，此选项错误；
D．＝5，此选项错误；
故选：B．
7．如图，架在消防车上的云梯AB长为10m，∠ADB＝90°，AD＝2BD，云梯底部离地面的距离BC为2m，则云梯的顶端离地面的距离AE为（）
A．（2+2）m B．（4+2）m C．（5+2）m D．7m
【分析】设AD＝x米，由AD：BD的比值以及AB的长，利用勾股定理可建立方程，求出AD的长再加DE即BC的长，即可求出云梯的顶端离地面距离AE的大小．
【解答】解：设AD＝x米，
∴BD＝0.5x，
∵AB长为10m，
∴AD2+BD2＝102，
∴x2+0.25x2＝100，
解得：x＝4米，
∴AE＝AD+DE＝（4+2）米，
∴云梯顶端离地面的距离AE为（4+2）米．
故选：B．
8．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）
A．76B．72C．68D．52
【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．
【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则
x2＝122+52＝169
所以x＝13
所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4＝76．
故选：A．
9．已知数列，…，则3是它的（）
A．第23项B．第24项C．第19项D．第25项
【分析】通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为4，即a n2﹣a n﹣12＝4从而利用等差数列通项公式a n2＝3+（n﹣1）×4＝4n﹣1＝99，得解n即可．
【解答】解：∵7﹣3＝11﹣7＝15﹣11＝4，
即a n2﹣a n﹣12＝4，
∴a n2＝3+（n﹣1）×4＝4n﹣1，
由于（3）2＝99．
令4n﹣1＝99，则n＝25．
故选：D．
10．如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE＝1，则EF的长为（）
A．B．C．D．3
【分析】由正方形纸片ABCD的边长为3，可得∠C＝90°，BC＝CD＝3，由根据折叠的性质得：EG＝BE＝1，GF＝DF，然后设DF＝x，在Rt△EFC中，由勾股定理EF2＝EC2+FC2，即可得方程，解方程即可求得答案．
【解答】解：∵正方形纸片ABCD的边长为3，
∴∠C＝90°，BC＝CD＝3，
根据折叠的性质得：EG＝BE＝1，GF＝DF，
设DF＝x，
则EF＝EG+GF＝1+x，FC＝DC﹣DF＝3﹣x，EC＝BC﹣BE＝3﹣1＝2，
在Rt△EFC中，EF2＝EC2+FC2，
即（x+1）2＝22+（3﹣x）2，
解得：x＝，
∴DF＝，EF＝1+＝．
故选：B．
二．填空题
11．比较大小：＜（用“＜”或“＝”或“＞”填空）．
【分析】根据算术平方根的概念得到＜2，根据不等式的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵＜2，
∴﹣1＜1，
∴＜，
故答案为：＜．
12．有一个三角形的两边长是4和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为3或．
【分析】因为没有指明哪个是斜边，所以分两种情况进行分析．
【解答】解：①当第三边为斜边时，第三边＝＝；
②当边长为5的边为斜边时，第三边＝＝3．
13．实数a、b、c在数轴上表示如图，则+|c﹣b|＝a+b﹣c．
【分析】根据数轴上点的位置判断出a与c﹣b的正负，原式利用二次根式性质及绝对值的代数意义计算即可求出值．
【解答】解：由数轴上点的位置得：c＜b＜0＜a，
∴c﹣b＜0，
则原式＝|a|+|c﹣b|＝a+b﹣c．
故答案为：a+b﹣c．
14．如图，15只空油桶（每只油桶底面的直径均为1m）堆放一起，这堆油桶的高度为（2 +1）m．
【分析】仔细观察上图，可以看出15只油桶堆成的底面刚好构成一等边三角形，取三个角处的三个油桶的圆心，连接组成一个等边三角形，它的边长是4×50＝200，这堆油桶的最高点距地面的高度是该三角形的高加一只油桶的高．
【解答】解：取三个角处的三个油桶的圆心，连接组成一个等边三角形，它的边长是4×1＝4m，这个等边三角形的高是＝2m，这堆油桶的最高点距地面的高度是：（2+1）m．
故答案为：2+1．
15．已知，如图，线段CD长为8，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，AC＝4，BD＝3，EF为线段CD上两动点，F在E右侧且EF＝1，则由A到B的路径：AE+EF+FB的最小值为7+1．
【分析】过A作AA′∥CD且AA′＝EF＝1，作A′关于CD的对称点A″，连接A″B 交CD于点F，过A作AE∥A′F交CD于E，则此时，AE+EF+FB的值最小，AE+FB 的最小值＝A″B，过A″作A″H⊥BD交BD的延长线于H，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过A作AA′∥CD且AA′＝EF＝1，作A′关于CD的对称点A″，连接A″B交CD于点F，过A作AE∥A′F交CD于E，
则此时，AE+EF+FB的值最小，AE+FB的最小值＝A″B，
过A″作A″H⊥BD交BD的延长线于H，
则A″H＝7，BH＝7，
∴A″B＝7，
∴AE+EF+FB的最小值为7+1，
故答案为：7+1．
三．解答题
16．已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+2b ﹣c的平方根．
【分析】先依据算术平方根和平方根的定义列出关于a、b的方程组求得a、b的值，然后估算出的大小，可求得c的值，接下来，求得a+2b﹣c的值，最后求它的平方根即可．
【解答】解：由题意得：，
∴a＝5，b＝2．
∵9＜13＜16，
∴3＜＜4．
∴c＝3．
∴a+2b﹣c＝6．
∴a+2b﹣c的平方根是±．
17．计算下列各题：
（1）4﹣；
（2）；
（3）+；
（4）．
【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用完全平方公式和平方差公式计算；
（3）利用二次根式的除法法则和零指数幂的意义计算；
（4）根据二次根式的乘除法则运算．
【解答】解：（1）原式＝4+3﹣2+4
＝7+2；
（2）原式＝5﹣6+9+11﹣9
＝16﹣6；
（3）原式＝2+1+1
＝4+1+1
＝6；
（4）原式＝﹣﹣2
＝4﹣﹣2
＝4﹣3．
18．在如图所示的数轴上作出所对应的点（不要求写作法，保留作图痕迹）．
【分析】直接利用数轴结合勾股定理得出答案．
【解答】解：如图所示：
19．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，CD＝4，AD＝2，求四边形ABCD的面积．
【分析】连接AC，利用勾股定理和逆定理以及三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：连接AC，如图所示：
∵∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，
∴AC＝，
∵CD＝4，AD＝2，
∴，
∴AC2+CD2＝AD2．，
∴△ACD是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积＝△ABC的面积+△ACD的面积＝
．
20．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图2中，画一个三角形，使它的三边长分别为3，2，；
（3）在图3中，画一个三角形，使它的面积为5．
【分析】（1）直接利用网格结合勾股定理得出答案；
（2）直接利用网格结合勾股定理进而得出答案；
（3）直接利用网格结合勾股定理进而得出答案．
【解答】解：（1）如图1所示，即为所求；
（2）如图2所示，即为所求；
（3）如图3所示，即为所求．
21．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地°送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC＝1尺），将它往前推进两步（EB＝10尺），此时踏板升高离地五尺（BD＝5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度．
【分析】设OA＝OB＝x尺，表示出OE的长，在直角三角形OEB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：设OA＝OB＝x尺，
∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺，
∴EA＝EC﹣AC＝5﹣1＝4（尺），OE＝OA﹣AE＝（x﹣4）尺，
在Rt△OEB中，OE＝（x﹣4）尺，OB＝x尺，EB＝10尺，
根据勾股定理得：x2＝（x﹣4）2+102，
整理得：8x＝116，即2x＝29，
解得：x＝14.5．
则秋千绳索的长度为14.5尺．
22．观察下列等式：a1＝﹣ 1 a2＝
a3＝a4＝﹣2…
按上述规律，回答下列问题：
（1）填空：a5＝，a6＝；
（2）求a1+a2+…+a2020的值；
（3）知识运用，计算：．
【分析】（1）根据题目中的式子，可以直接写出a5和a6的值；
（2）根据（1）中的结果和发现，可以求出所求式子的值；
（3）将题目中的分母有理化，然后计算即可解答本题．
【解答】解：（1）由题目中的式子可得，
a5＝，a6＝，
故答案为：，；
（2）a1+a2+…+a2020
＝…+
＝﹣1；
（3）
＝+
＝
＝
＝．
23．已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三
角形PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下列问题：
（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC＝．P为AB中点，
①线段PB＝1；
②猜想：连接BQ，则BQ与AB的位置关系为AB⊥BQ；
P A2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为AP2+PB2＝PQ2；
（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论是否仍然成立，请你利用图②给出证明过程．
【分析】（1）①由直角三角形的性质可求解；
②由“SAS”可证△APC≌△BQC，可得BQ＝AP，∠CBQ＝∠CAB＝45°，可得AB⊥BQ，由勾股定理可求解；
（2）由“SAS”可证△APC≌△BQC，可得BQ＝AP，∠CBQ＝∠CAB＝45°，可得AB ⊥BQ，由勾股定理可求解；
【解答】解：（1）①∵AC＝BC＝，∠ACB＝90°，P为AB中点，
∴AB＝2，AP＝BP＝AB＝1，
故答案为：1
②连接BQ，
∵△ABC和△PCQ均为等腰直角三角形，
∴AC＝BC，PC＝CQ，∠ACB＝∠PCQ＝90°，
∴∠ACP＝∠BCQ，
∴△APC≌△BQC（SAS）．
∴BQ＝AP，∠CBQ＝∠CAB＝45°，
∴∠ABQ＝∠ABC+∠CBQ＝90°，即AB⊥BQ，
∴△PBQ为直角三角形．
∴PB2+BQ2＝PQ2，
∴AP2+PB2＝PQ2；
故答案为：AB⊥BQ，AP2+PB2＝PQ2；
（2）结论仍然成立，
理由如下：如图②：过点C作CD⊥AB，垂足为D．连接BQ，
∵△ABC和△PCQ均为等腰直角三角形，
∴AC＝BC，PC＝CQ，∠ACB＝∠PCQ＝90°，
∴∠ACP＝∠BCQ，
∴△APC≌△BQC（SAS）．
∴BQ＝AP，∠CBQ＝∠CAB＝45°，
∴∠ABQ＝∠ABC+∠CBQ＝90°，即AB⊥BQ，
∴△PBQ为直角三角形．
∴PB2+BQ2＝PQ2，
∴AP2+PB2＝PQ2；。