高考高频考点(圆锥曲线)7、椭圆、双曲线的坐标版焦半径公式

第7讲 椭圆、双曲线的坐标版焦半径公式
知识与方法
1．椭圆22
221x y a b
+=()0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点()00,P x y 为椭圆上任意
点，则椭圆的焦半径1PF 和2PF 可按下面的公式计算：
（1）10PF a ex =+；（2）20PF a ex =−（记忆：左加右减）
2．双曲线22
221x y a b
−=()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点()00,P x y 为双曲线
任意一点，则双曲线的焦半径1PF 和2PF 可按下面的公式计算：
（1）10PF ex a =+；（2）20PF ex a =−（记忆：左加右减）
典型例题
【例1】椭圆22
:162
x y C +
=的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为C 上一点，且P 在第一象限，12PF PF ⊥，则点P 的坐标为_______.
【解析】由题意，a =，
2c =，e =，设()00,P x y ()000,0x y >>，则10PF x =，
20PF =，
由12PF PF ⊥可得222
212012412163PF PF x F F +=+==，解得：0x =
代入椭圆方程得01y =，故)
P .
【答案】
)
变式1 椭圆22
162
x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆上的一点P 满足12F PF ∠为钝角，
则点P 的横坐标的取值范围为_______.
【解析】由题意，a ，2c =，3
e =
，设点P 的恒横坐标为0x ，则103PF x =，
20
PF=，
12
F PF
∠
为钝角2222
121200
4
1216
3
PF PF F F x x
⇒+<⇒+<⇒<<.
【答案】(
变式2 椭圆
22
1
62
x y
+=的左、右焦点分别为
1
F、
2
F，椭圆上的一点P满足
12
3
PF PF
=，若P在第一象限，则点P的坐标为_______.
【解析】
由题意，a=，2
c=
，e=，设()
00
,
P x y()
00
0,0
x y
>>，
则
10
PF x
=
，20
PF=
，
12000
3
33
2
PF PF x
⎫
=⇒=⇒=
⎪⎪
⎭
，代入椭圆方程得0
y
，所以
3
2
P
⎛
⎝⎭
.
【答案】
3
22
⎛⎫
⎪
⎪
⎝⎭
变式3 椭圆
22
1
62
x y
+=的左、右焦点分别为
1
F、
2
F，点P在椭圆上，则
12
PF PF
⋅的取值范围为_______.
【解析】由题意，a=，2
c=
，
3
e=，设()
00
,
P x y
，其中
x
≤≤
则
10
PF=
，
20
PF x
=，所以[]
2
120
2
62,6
3
PF PF x
⋅=−∈
【答案】[]
2,6
变式4 （2019·新课标Ⅲ卷）设
1
F、
2
F为椭圆
22
:1
3620
x y
C+=的两个焦点，M为C上一点
且在第一象限，若
12
MF F为等腰三角形，则M的坐标为_______.
【解析】解法1：
12
MF F为等腰三角形，点M在第一象限
12
MF MF
⇒>，且
2
6
MF a
<=，
又
12
8
F F=，所以
112
MF F F
≠，故只能
112
8
MF F F
==，
设()
00
,
M x y()
00
0,0
x y
>>，则
()22
00
22
00
464
1
3620
x y
x y
⎧++=
⎪
⎨
+=
⎪
⎩
，解得：0
3
x
y
=
⎧⎪
⎨
⎪⎩
，所以(M.
解法2：
12
MF F为等腰三角形，
点在M第一象限
12
MF MF
⇒>，且
2
6
MF a
<=，
又
12
8
F F=，所以
112
MF F F
≠，故只能
112
8
MF F F
==，
设()00,M x y ()000,0x y >>，由椭圆焦半径公式知102
683
MF x =+=，
解得：03x =，代入椭圆方程得0y =(M
【答案】(
【例2】双曲线2
2
13
y x −=的左、右焦点分别为1F 、2F ，
双曲线上的一点P 满足1235PF PF =，则点P 的坐标为_______.
【解析】由题意，1a =，b =，2c =，2e =，由焦半径公式，1021PF x =+，2021PF x =−， 因为1235PF PF =，所以00321521x x +=−，解得：02x =或1
8
（舍去）
代入双曲线的方程可求得03y =±，所以P 的坐标为()2,3±. 【答案】()2,3±
变式1 双曲线2
2
13
y x −=的左、右焦点分别为1F 、2F ，双曲线上的一点P 满足12F PF ∠为钝角，则点P 的横坐标的取值范围为_______.
【解析】12F PF ∠为钝角12cos 0F PF ⇒∠<，而222
1212
1212
cos 2PF PF F F F PF PF PF +−∠=⋅，
所以2
2
2
12120PF PF F F +−<
由题意，1a =，b =2c =，2e =，124F F =，由焦半径公式，1021PF x =+，2021PF x =−，
所以22
002121160x x ++−−<，解得：0x <<
，
又01x ≤−或01x ≥，且当01x =±时，显然么12180F PF ∠=︒，所以0711,2x ⎛⎫⎛⎫
∈− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
【答案】711,22⎛⎫⎛⎫
− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
变式2 双曲线2
2
13
y x −=的左、右焦点分别为1F 、2F ，双曲线上的一点P 满足15PF =，
则12PF F 的面积为_______.
【解析】解法1：由题意，1a =
，b =2c =，2e =，设()00,P x y ，则10215PF x =+=，解得：02x =或3−，
当02x =时，代入双曲线方程可求得03y =±，所以12
1201
62PF F S
F F y =
⋅⋅=， 当03x =−
时，代入双曲线方程可求得0y =±
12
1201
2
PF F S F F y =
⋅⋅= 解法2：由题意，1a =
，b =2c =，所以124F F =
当点P 在双曲线的右支上时，由双曲线定义，122PF PF −=，又15PF =，所以23PF =， 显然2
2
2
2121PF F F PF +=，所以212PF F F ⊥，从而12
21211
34622
PF F S
PF F F =
⋅=⨯⨯=， 当点P 在双曲线的左支上时，由双曲线定义，122PF PF −=，又15PF =，所以27PF =，
从而2
2
2
1122
12112
1cos 25PF F F PF PF F PF F F +−∠==−⋅
，所以12sin PF F ∠==
，
从而12
1121211sin 5422PF F S
PF F F PF F =
⋅⋅∠=⨯⨯=综上所述，12PF F 的面积为6
或 【答案】6
或变式3 双曲线2
2
13
y x −=的左、右焦点分别为1F 、2F ，双曲线第一象限上的一点P 满足12PF F 为等腰三角形，则点P 的坐标为_______.
【解析】由题意1a =
，b 2c =，2e =，设()00,P x y ()001,0x y >>， 则1002121PF x x =+=+，2002121PF x x =−=−，124F F =，
因为12PF F 为等腰三角形，且显然12PF PF ≠，所以112PF F F =或212PF F F =， 若112PF F F =，则0214x +=，解得：
032x =，
代入双曲线方程解得0y =
从而32P ⎛ ⎝⎭
，若212PF F F =，则0214x −=，解得：052x =
，代入双曲线方程解得0y =，从而
5,22P ⎛ ⎝⎭
，
所以点P 的坐标为322⎛ ⎝⎭或5,22⎛ ⎝⎭.
【答案】32⎛ ⎝⎭或52⎛ ⎝⎭
强化训练
1.（★★）椭圆22
:182
x y C +
=的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为C 上一点，且P 在第一象限，12PF PF ⊥，则点P 的坐标为_______.
【解析】显然a =，c =2e =
，设()00,P x y ()000,0x y >>，则102
PF x =，
20PF =，
222
212121*********PF PF PF PF F F x x ⊥⇒+=⇒+=⇒=，代入椭
圆方程得03y =
，故33P ⎛ ⎝⎭
.
【答案】33⎛ ⎝⎭
2.（★★）椭圆
22
14520
x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆第一象限上的一点P 满足12PF PF ⊥，则点P 的坐标为_______.
【解析】由题意，a =e =
，设()00,P x y ，则10PF =，20PF =−，1210F F =，因为12PF PF ⊥，所以2
2
2
1212PF PF F F +=，
故2
2
0010033x x ⎛⎫⎛⎫
+−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，解得：03x =±，代入椭圆方程得04y =±， 结合P 在第一象限可得点P 的坐标为()3,4. 【答案】()3,4
3.（★★）椭圆22
142
x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆上的一点P 满足123PF PF =，
则点P 的坐标为_______.
【解析】由题意，2a =，e =，设()00,P x y ，则102PF =+，202PF x =，因
为123PF PF =，所以00232⎛⎫
=− ⎪ ⎪⎝⎭
，解得：0
x =，代入椭圆方程得01y =±，
故点P 的坐标为)
1±
【答案】
)
1±
4.（★★）椭圆2
214
x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，椭圆上的一点P 满足12F PF ∠为钝
角，则点P 的横坐标的取值范围为_______.
【解析】设()00,P x y ，则102PF =，202PF =−，易求得12F F =， 因为12F PF ∠为钝角，所以2
2
2
1212
1212
cos 02PF PF F F F PF PF PF +−∠=
<⋅，
故222
1212PF PF F F +<，
从而2
2
00221222x x ⎛⎫⎛⎫++−< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，解得：0x <.
【答案】33⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭
5.（2021·新高考Ⅰ卷·★★）已知1F 、2F 是椭圆22
:194
x y C +=的两个焦点，点M 在C 上，
则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A.13 B .12 C .9 D.6
【解析】解法l ：由题意，椭圆的长半轴长为3，所以126MF MF +=，
故2
121292MF MF MF MF ⎛+⎫
⋅≤= ⎪⎝⎭
，当且仅当12MF MF =时等号成立，所以12MF MF ⋅的
最大值为9.
解法2：由题意，3a =，2b =，c ，离心率3
e =，设()00,M x y ，033x −≤≤，
则1033MF x =+
，2033
MF x =−，所以2120599MF MF x ⋅=−， 故当00x =时，12MF MF ⋅取得最大值9. 【答案】C
6.（★★）双曲线22
122
x y −=的左、右焦点分别为1F 、2F ，
双曲线上的一点P 满足123PF PF =，则点P 的坐标为_______.
【解析】由题意
，a b
==，2
c=
，e=，设()
00
,
P x y，
则
10
PF
，20
PF=，因为
12
3
PF PF
=，
00
=，解得：
2
x=或
1
2
，
又
x≥
2
x=
，代入双曲线方程可求得
y=
，即(2,P.
【答案】(2,
7.（★★★）设双曲线
22
:1
412
x y
C−=的左、右焦点分别为
1
F、
2
F，若双曲线C的左支上的
点P到右焦点的距离等于12，则
12
tan PF F
∠=_______.
【解析】由题意，2
a=，4
c=，
1
12
PF=，由双曲线定义，
21
4
PF PF
−=，所以
1
8
PF=，
又
12
28
F F c
==，所以
222
1122
12
112
1
cos
28
PF F F PF
PF F
PF F F
+−
∠==
⋅
，
故
12
sin PF F
∠==
12
12
12
sin
tan
cos
PF F
PF F
PF F
∠
∠==−
∠
.
解法2：由题意，2
a=
，b=4
c=，离心率2
e=，设()
00
,
P x y，则
20
2212
PF x
=−=，
解得：
5
x=−或7，又点P在双曲线C的左支上，
所以
5
x=−
，代入双曲线方程可求得
y=±
如图，不妨设P在x
轴上方，则
y=PQ x
⊥轴于Q，
则0
1
10
tan
4
PQ y
PFQ
QF x
∠===
−−
，显然
121
PF F PFQ
π
∠=−∠，
所以(
)
1211
tan tan tan
PF F PFQ PFQ
π
∠=−∠=−∠=−.
【答案】−
8.（★★★）双曲线
2
21
3
x
y
−=的左、右焦点分别为
1
F、
2
F，双曲线上的一点P
满足
2
PF
=
则12PF F 的面积为_______.
【解析】解法1
：由题意，a =1b =，2c =
，e =， 设()00,P x y
，则10PF =
解得：03x =或0
，显然0x ≤
或0x ≥03x =，
代入双曲线方程可求得0y =
，所以12
12011
422
PF F S
F F y =
⋅=⨯= 解法2
：由题意，a =1b =，2c =，所以124F F =， 若点P
在双曲线的左支上，则由双曲线定义，21PF PF −=
又2PF =
1PF =
若点P
在双曲线的右支上，则由双曲线定义，21PF PF −=
，又2PF =
，所以1PF =
，所以2
2
2
2121
21212
cos 23
PF F F PF PF F PF F F +−∠=
=−
⋅，
故21sin PF F ∠==，
从而12
2122111sin 4223
PF F S
PF F F PF F =
⋅⋅⋅∠=⨯=
【答案】。