第六讲 函数与一次函数

第六讲函数与一次函数

重点分析：

1.函数的定义：一般地，在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时，也称y是x的函数.

2.函数自变量的取值范围是指使函数有意义的自变量的取值的全体.求自变量的取值范围一般从两个方面考虑：一是要使函数的解析式有意义；二是要符合客观实际.

3.函数有三种表示方法：

(1)列表法：把自变量x与函数y的值列成一个表来表示函数关系的方法，列表法一目了然，使用方便，但列出的值有限，不易看出变量之间的关系和函数的变化规律；

(2)关系式法：即用函数关系式表示变量之间的关系，该方法简单明了，能准确反映两个变量之间的数量关系；

(3)图象法：用图象表示函数关系的方法，图象法形象直观，是研究函数的一种重要方法.函数图象上的点的横坐标一般表示自变量x的值，对应的纵坐标即为y的值.画函数图象的步骤分三步：列表、描点、连线.

4.一次函数：一般式为y=kx+b(k≠0，k，b为常数)，当b=0时，y=kx(k≠0)，也叫做正比例函数.

难点分析：

1.对于函数的理解应分以下几个方面：(1)函数首先指仅在一个变化过程中；(2)目前我们所学的函数只能有两个变量；(3)每一个x对应一个y值，但不同的x值，y的值可以相同，

即y不必对应一个x值.如y=x2是函数，但y=±x就不是函数；(4)自变量与函数是相对的，它们随着研究问题的角度不同可以互相转化.

2.函数的三种表示方法并不是独立的，我们常常综合运用三种方法来表示函数、研究函数.对于已知的函数图象，要弄清楚函数图象上点的实际意义.对于实际问题，要正确分析图象的横、纵坐标表示的意义以及横、纵坐标的单位和图象的变化趋势，从而表达出所反映的实际意义.

3.待定系数法是求函数关系式的重要方法，用待定系数法求函数关系式的一般步骤为：(1)根据题意设出函数关系式；(2)根据条件列出以待定系数为未知数的方程或方程组；(3)解方程或方程组，求出待定系数的值；(4)写出函数关系式.

例1.2014年“国际攀岩精英赛”在青海举行.小丽从家出发开车前去观看，途中发现忘了带门票，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回开，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续开车前往比赛现场.设小丽从家出发后所用时间为t ，小丽与比赛现场的距离为s.下面能反映s 与t 的函数关系的大致图象是( ).

A B. C. D.

思路点拨：根据题意可以把图象分为四段.认真分析图象，然后选择答案.

解题过程： 根据题意可得，s 与t 的函数关系的大致图象分为四段：

第一段，小丽从家出发到往回开，与比赛现场的距离在减小；

第二段，往回开到遇到妈妈，与比赛现场的距离在增大；

第三段，与妈妈聊了一会，与比赛现场的距离不变；

第四段，接着开往比赛现场，与比赛现场的距离逐渐变小，直至为0.

纵观各选项，只有B 选项的图象符合.

故选B.

方法归纳：本题考查了函数图象的知识.读懂题意，把整个过程分解成四段是解答本题的关键.

易错误区：题中要判断的是“小丽与比赛现场的距离”与时间的关系，而不是“小丽离开家的距离”与时间的关系，本题容易错选D.

例2.根据如图所示程序计算函数值，若输入x 的值为2

5，则输出的函数值为 .

思路点拨：根据自变量的取值范围确定输入的x 值应按照第三个函数解析式进行运算，然后把自变量x 的值代入计算即可得解.

解题过程：∵2＜

25＜4， ∴输入x 的值为25后按照第三个函数解析式y=21x 1 进行计算

.

∴输出的函数值y=221 =

31.故答案为31. 方法归纳：本题考查了函数值的求解.根据自变量的取值范围以及输入的自变量的值，确定对应的函数解析式是解题的关键.

易错误区：求函数值即将自变量的值代入解析式计算.代入的解析式选择要正确，计算过程要仔细.

例3.甲、乙两个工程队完成某项工程，假设甲、乙两个工程队的工作效率是一定的，工程总量为单位1.甲队单独做了10天后，乙队加入合作完成剩下的全部工程，工程进度如图.

(1)甲队单独完成这项工程，需 天；

(2)求乙队单独完成这项工程所需的天数；

(3)求出图中x 的值.

思路点拨： (1)由图可知，甲队单独干10天完成工程的4

1，从而可求出甲队单独完成这项工程所需的天数；(2)根据甲、乙两队合伙干的天数以及完成工程的百分比，计算出乙队每天完成工程的百分比，从而可求出乙队单独完成这项工程所需的天数；(3)计算出甲、乙两队合伙及甲队单独干的天数的和即为x 的值.

解题过程：(1)由图可知，甲队单独干10天完成工程的4

1，则甲队单独完成这项工程，需1÷4

1×10=40(天).故答案为40. (2)∵甲、乙两队合伙干了16-10=6（天）时，完成工程的

21-41=41， ∴甲、乙两队合伙每天完成工程的41÷6=24

1. ∵甲队单独完成这项工程要40天，即甲队每天完成工程的

401， ∴乙队每天完成工程的241-401=60

1. ∴乙队单独完成这项工程所需的天数为1÷

601=60(天). (3)（1-41）÷（601+40

1）+10=28(天)， ∴x 的值为28.

方法归纳：本题是函数图象在实际生活中的运用，要能够根据图象确定工作效率，并且能熟练应用“工作总量=工作效率×工作时间”这一数量关系.

易错误区：注意正确理解函数图象表示的实际意义，前10天甲单独完成工作总量的4

1，接

下来的6天是甲、乙合作完成总量的4

1，并且一直合作到工程完成. 例4.y 1与x+1成正比例，y 2与x-1成正比例，y=y 1+y 2，当x=2时，y=9；当x=3时，y=14.求y 与x 之间的函数解析式.

思路点拨：根据题意设出函数解析式，将x=2，y=9；x=3，y=14分别代入解析式，列出方程组，求出未知系数，即可求得解析式.

解题过程： ∵y 1与x+1成正比例，∴令y 1=k 1(x+1).∵y 2与x-1成正比例，

∴令y 2=k 2(x-1).∵y=y 1+y 2，∴y=k 1(x+1)+k 2(x-1).

∵当x=2时，y=9；当x=3时，y=14，

∴y 与x 之间的函数解析式为y=2(x+1)+3(x-1)=5x-1. 方法归纳：本题主要考查了待定系数法求函数解析式，其一般步骤为：(1)设出函数关系式；

(2)将条件代入列出方程组；(3)解方程组求得待定系数；(4)写出函数解析式.

易错误区：注意两个正比例函数的比例系数k 不同，所以要分别设k 1和k 2以示区别. 例5.阅读下面的材料:

例1：已知函数y=3x-1.

解：由y=3x-1，可得x=

31y +，所以原函数y=3x-1的反函数是y=31x +. 例2：已知函数y=1

-x 3x + (x≠1). 解：由y=1-x 3x +，可得x=1

y 3y ++，所以原函数y=1-x 3x +的反函数是y=1-x 3x + (x≠1). 在以上两例中，在相应的条件下，一个原函数有反函数时，原函数中自变量x 的取值范围就是它的反函数的函数值y 的取值范围，原函数中函数值y 的取值范围就是它的反函数的自变量x 的取值范围，通过以上内容完成下面任务：

(1)求函数y=-2x+3的反函数；

(2)函数y=1

x 2-x +的反函数的函数值的取值范围为（ ）； A.y≠1 B.y≠-1 C.y≠-2 D.y≠2.

(3)下列函数中，反函数是它本身的是 (填序号).

①y=x;②y=x+1;③y=-x+1;④y=x 1;⑤y=1

-x 1x + (x≠1). 思路点拨： (1)根据题意，先用y 表示出x ，然后可得到反函数；(2)根据题目信息，求出原函数的自变量的取值范围即为反函数的函数值的取值范围；(3)根据反函数的定义分别求出各小题的反函数，即可得解.

解题过程：(1)由y=-2x+3得x=

2y -3，所以原函数y=-2x+3的反函数是y=2y -3. (2)由y=1

x 2-x +可得x+1≠0，解得x≠-1. ∴函数y=x-2x+1的反函数的函数值的取值范围为y≠-1.故选B.

(3)①y=x 的反函数为y=x ；②y=x+1的反函数为y=x-1；③y=-x+1的反函数为y=-x+1； ④y=x 1的反函数为y=x 1；⑤y=1-x 1x + (x≠1)的反函数为y=1

-x 1x +（x≠1）.