等比数列前n项和公式教案

等比数列前n项和公式教案
教学目标: 学会推导等比数列前n项和的公式。

教学步骤:
1. 引入：回顾等差数列的前n项和公式，即Sn = n(a1+an)/2。

提问学生是否了解等
差数列的概念和公式。

2. 引入等比数列：告诉学生等比数列的定义是每一项都是前一项乘以同一个常数r。

例子：1, 2, 4, 8, 16, ... （公比为2）
3. 推导等比数列前n项和公式：
a) 令Sn表示等比数列的前n项和。

b) 当n=1时，Sn=a1。

c) 当n>1时，Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an。

d) 将每一项除以a1得到 Sn/a1 = a1/a1 + a2/a1 + ... + an-1/a1 + an/a1。

e) 因为等比数列的每一项都是前一项乘以同一个常数r，可以简化为：Sn/a1 = 1 + r + r^2 + ... + r^(n-2) + r^(n-1)。

f) 将 r^(n-1) 与 r 相乘得到：r^(n-1) * (Sn/a1) = r + r^2 + r^3 + ... + r^(n-1) + r^n。

g) 用等式r^(n-1) * (Sn/a1) = r + r^2 + r^3 + ... + r^(n-1) + r^n 减去 Sn/a1 =
1 + r + r^
2 + ... + r^(n-1)，得到：r^n * (Sn/a1) - Sn/a1 = r^n - 1。

h) 将 Sn/a1 提取出来得到： Sn/a1 * (r^n - 1) = r^n - 1。

i) 因为 r^n - 1 不能为0，所以可以除以 (r^n - 1) 得到：Sn/a1 = (r^n - 1)/(r - 1)。

j) 最后可以得到 Sn = a1 * [(r^n - 1)/(r - 1)]。

4. 举例验证公式的正确性：
a) 例子1: a1 = 1, r = 2, n = 5。

代入公式得到 Sn = 1 * [(2^5 - 1)/(2 - 1)] = 31。

b) 例子2: a1 = 3, r = 3, n = 4。

代入公式得到 Sn = 3 * [(3^4 - 1)/(3 - 1)] = 120。

评估方法: 让学生自己尝试代入不同的等比数列和n值到公式中计算，并与已知的数列求和结果进行比较。

扩展活动: 提出更复杂的等比数列问题，引导学生进一步运用公式解决问题。