26 小升初奥数必考章节精讲-第26讲_进位制问题

6 8 10
6 个 1，8 个 l，10 个 1． 于是为 C10 C10 C10 C10 C10 =
10 9 10 9 8 7 10 9 8 7 6 5 10 9 8 7 6 5 4 3 ＋ ＋ ＋ ＋1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8
3 k k
(10100001101) 2 =(2415) 8 ． 3．在 6 进制中有三位数 abc ，化为 9 进制为 cba ，求这个三位数在十进制中为多少? 【分析与解】 ( abc ) 6 = a ×6 ＋ b ×6+ c =36 a +6 b + c ；
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也就是 4×9 ～5×9 -1， 我们知道(4 cd ) 9 在(400) 9 ～(488) 9 之间， 也就是 324～406； 还知道(5 ef ) 8 在(500) 8 ～(577) 8 之间，也就是 5×8 ～6×8 -1，也就是 320～383；
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又知道(3 ab ) 10 在(300) 10 ～(399) 10 之间． 所以，这样的三位数应该在 324～383 之间，于是有 383-324+1=60 个三位数满足条件. 9. 一袋花生共有 2004 颗，一只猴子第一天拿走一颗花生，从第二天起,每天拿走的都是以 前各天的总和． ①如果直到最后剩下的不足以一次拿走时却一次拿走，共需多少天? ②如果到某天袋里的花生少于已拿走的总数时， 这一天它又重新拿走一颗开始， 按原规 律进行新的一轮．如此继续，那么这袋花生被猴子拿光的时候是第几天? 【分析与解】 ①我们注意到
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( cba ) 9 = c ×92+ b ×9+ a =81 c +9 b + a ． 所以 36 a +6 b + c =81 c +9 b + a ；于是 35 a =3b+80 c ； 因为 35 a 是 5 的倍数，80 c 也是 5 的倍数．所以 3 b 也必须是 5 的倍数，又(3，5)=1． 所以， b =0 或 5． ①当 b =0，则 35 a =80 c ；则 7 a =16 c ；(7，16)=1，并且 a 、 c ≠0，所以 a =16， c =7： 但是在 6,9 进制，不可以有一个数字为 16． ②当 b =5，则 35 a =3×5+80 c ；则 7 a =3+16 c ；mod 7 后，3+2 c ≡0 所以 c =2 或者 2+7 k ( k 为整数)．因为有 6 进制，所以不可能有 9 或者 9 以上的数，于 是 c =2． 于是，35 a =15+80×2； a =5． 于是( abc ) 6 =(552) 6 =5×6 +5×6+2=212．
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3 3... 3 1 1000... 0 1 = 222...2 3 = 2003个 3 3 2003个2 3 2003个3
26=(222) 3 所以， 3 3 3... 3 1 ÷26= 222...2 ÷(222) 3
2003个 3 2003个2



3
(222) 3 整除(222) 3 ，2003÷3：667……2，所以余(22) 3 =8． 所以余数为 8． 8．一个 10 进制的三位数，把它分别化为 9 进制和 8 进制数后，就又得到了 2 个三位数．老 师发现这 3 个三位数的最高位数字恰好是 3、4、5，那这样的三位数一共有多少个? 【分析与解】 我们设(3 ab ) 10 =(4 cd ) 9 =(5 ef ) 8 ；
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所以．这个三位数在十进制中为 212．
且 x y z =1+9+8+7， 试确定出所有可能的 x 、 4． 设 1987 可以在 b 进制中写成三位数 xyz ，
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( xyz )b b 2 x by z 1987 ① ② x y z 1 9 8 7
①-②得：( b -1) x +( b -1) y =1987-25． 则( b -1)( b +1) x +( b -1) y =1962， 即( b -1)[( b +1) x + y ]=1962． 所以，1962 是( b -1)的倍数． 1962=2×9×109： 当 b -1=9 时， b =10，显然不满足； 当 b -1=18 时，b =19， 则 （ b -1)[( b +1) x + y ]=18×(20 x + y )=1962； 则 20 x + y =109，
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【分析与解】 于是，我们知道 n =4，所以为 4 进制，
则 A+B+C+D=3+1+2+0=6． 6. 一个非零自然数， 如果它的二进制表示中数码 l 的个数是偶数， 则称之为 “坏数” .例如： 18=（10010）2 是“坏数”．试求小于 1024 的所有坏数的个数. 【分析与解】 我们现把 1024 转化为二进制： (1024) 10 =2 =(10000000000)2． 于是，在二进制中为 11 位数，但是我们只用看 10 位数中情况． 并 且 ， 我 们 把 不 足 10 位 数 的 在 前 面 补 上 0 ， 如
=45+210+210+45+1=511 于是，小于 1024 的“坏数”有 511 个.
3 3... 3 1 26 的余数． 7．计算： 3
2003个 3


【分析与解】
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b=19 x5 x 5 x 4 所以， , (不满足),......则 y 9 y 29 y 9 z 11 显然，当 b =109 不满足， b =2×109 不满足，当 b =9×109 也不满足．
于是为(59B) 19 =(1987) 10 ，B 代表 11． 5．下面加法算式中不同字母代表不同的数字，试判定下面算式是什么进制，A、B、C、D 的 和为多少?
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111...10000...0 5个1 5个或以上0 2
2 2
= 0111...1 则， 111...1 * * * * * * * * * * 4 个 1， 可以含 2 个 l， 10 个位置 9个1 2 9个1 2
每天 前若干天的和 1 2 3 4 8 16 32 64 … …
2 <2004<2 前 1 天为 1，前 2 天为 2 ，前 3 天是 2 ，所以前 11 天为 2 ，前 12 天是 2 ,也就是说不够第 11 天拿的，但是根据题中条件知．所以共需 12 天.
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11
1
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②
每天 前若干天的和 改写为 2 进制 1 1 1 1 2 10 2 4 100 4 8 1000 8 16 10000 16 32 100000 32 64 1000000 64 128 10000000 … … …
2004=(11111010100)2,(10+1)+(9+1)+(8+1)+(7+1)+(6+1)+(4+1)+(2+1)=11+10+9+8+7+5+3= 53 天．
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第 26 讲 进位制问题
内容概述
本讲不着重讨论 n 进制中运算问题，我们是关心 n 这个数字，即为几进制．对于进位制 我们要注意本质是： n 进制就是逢 n 进一． 但是，作为数论的一部分，具体到每道题则其方法还是较复杂的． 说明：在本讲中的数字，不特加说明，均为十进制．
典型问题
1．在几进制中有 4×13=100． 【分析与解】 我们利用尾数分析来求解这个问题： 不管在几进制均有(4) 10 ×(3) 10 =(12) 10 ．但是，式中为 100，尾数为 0． 也就是说已经将 12 全部进到上一位． 所以说进位制 n 为 12 的约数，也就是 12，6，4，3，2． 但是出现了 4，所以不可能是 4，3，2 进制． 我们知道(4) 10 ×(13) 10 =(52) 10 ，因 52 < 100，也就是说不到 10 就已经进位，才能是 100，于是我们知道 n <10． 所以， n 只能是 6． 2．在三进制中的数 12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第 l 位数 字是几? 【分析与解】 我们如果通过十进制来将三进制转化为九进制，那运算量很大． 注意到，三进制进动两位则我们注意到进动了 3 个 3，于是为 9．所以变为遇 9 进 1．也 就是九进制． 于是，两个数一组，两个数一组，每两个数改写为九进制，如下表： 12 12 0l 20 11 01 10 12 11 21 3 进制 5 5 l 6 4 1 3 5 4 7 9 进制 所以，首位为 5． 评注：若原为 n 进制的数，转化为 n 进制，则从右往左数每 k 个数一组化为 n 进制． 如：2 进制转化为 8 进制，2 =8，则从右往左数每 3 个数一组化为 8 进制． 10 2 100 4 001 1 101 5 2 进制 8 进制