高中数学北师大版选修1-1课件：第四章 1.2 函数的极值 (2)

【答案】 D
2 .函数 f(x)＝－x3＋3x＋1 有( ) A．极小值－1，极大值 1 B．极小值－2，极大值 3 C．极小值－2，极大值 3 D．极小值－1，极大值 3 【解析】 f′(x)＝－3x2＋3， 由 f′(x)＝0 可得 x1＝1，x2＝－1， 从而 f(1)＝3，f(－1)＝－1.
即3－－16＋a＋3ab－＝b0＋，a2＝0，解得ab＝＝13或ab＝＝29，. 当 a＝1，b＝3 时， f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0， 所以 f(x)在 R 上是增加的，无极值，故舍去．
当 a＝2，b＝9 时， f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)． 当 x∈(－3，－1)，f′(x)<0； 当 x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0. 所以 f(x)在 x＝－1 时取得极小值，满足题意． 故 a＝2，b＝9.
第四章 导数应用
§1 函数的单调性与极值
1.2 函数的极值
1. 了解函数极值的概念. 2. 理解可导函数在其定义域上的单调性与函数极值的关系． 3. 掌握利用导数判断或求函数极值的方法．
知识点、极值的有关定义 【问题导思】 “横看成岭侧成峰，远近高低各 不同”，说的是庐山的高低起伏， 错落有致，在群山中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山 的最高处，但它却是其附近的最高点．如图为某同学绘制的 庐山主峰剖面图．
【变式训练】 在本例中，若函数在 R 上恰有三个不同的零点，求常
数 k 的取值范围． 解：对于 f(x)＝2x3－6x＋k. x＝－1 时，f(x)取到极大值 f(－1)＝4＋k. x＝1 时，f(x)取到极小值 f(－1)＝－4＋k. 要使函数在 R 上恰有三个不同的零点，必须4－＋4k＋>0k<，0，
当 a＝23或 a＝－23时，图像有 2 个交点； 10 分
当－23<a<23时，图像有 3 个交点.
11 分
综上所述：
①当 a>32或 a<－23时，函数有 1 个零点；
②当 a＝32或 a＝－23时，函数有 2 个零点；
③当－32<a<32时，函数有 3 个零点.
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12 分
【规律方法】 研究函数的零点个数可转化为求图像与 x 轴交点个数问 题，也可转化为较熟悉的两个函数图像的交点问题．用导数 可求出函数的单调区间和极值，可以画出函数草图，通过数 形结合来确定交点个数．
题目类型二、已知函数极值求参数
例 2 已知 f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2 在 x＝－1 处有极值 0， 求常数 a，b 的值．
【思路探究】 先求函数的导数 f′(x)，令 f′(－1)＝0 且 f(－ 1)＝0 联立求 a，b 的值．
解：因为 f(x)在 x＝－1 处有极值 0，且 f′(x)＝3x2＋6ax ＋b，所以ff′（（－－1）1）＝0＝，0，
【答案】 D
3 .函数 f(x)＝ax3＋bx 在 x＝1 处有极值－2，则 a＝ ________，b＝________．
【解析】 ∵f′(x)＝3ax2＋b，∴f′(1)＝3a＋b＝0.① 又 x＝1 时有极值－2，∴f(1)＝a＋b＝－2.② 由①②得 a＝1，b＝－3.
【答案】 1 －3
4 .求函数 y＝13x3－4x＋4 的极值． 解：y′＝x2－4＝(x＋2)(x－2)． 令 y′＝0，解得 x1＝－2，x2＝2. 当 x 变化时，y′，y 的变化情况如下表.
1.对于可导函数，导数为零的点不一定是极值点，而极值 点的导数一定为零．
2.极值点一定是某一区间内的点，而不能是区间的端点． 3.函数在其单调区间内无极值．
1 .关于函数的极值，下列说法正确的是( ) A．导数为零的点一定是函数的极值点 B．函数的极小值一定小于它的极大值 C．f(x)在定义域内最多只能有一个极大值、一个极小值 D．若 f(x)在(a，b)内有极值，那么 f(x)在(a，b)内不是单 调函数 【解析】 对于 f(x)＝x3，f′(0)＝0，但 x＝0 不是 f(x) 的极值点，故 A 不正确，极小值也可能大于极大值，故 B 错．C 显然错误．
(3)极大值与极小值统称为极值，极大值点与 极小值点 统 称为极值点．
(4)极值是函数在一个适当区间内的 局部 性质，函数的某 些极大值有时候比其他极大值小，有时候可能比一些极小值 还小．
2 .函数极值的判定 (1)单调性判别： ①如果函数 y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0， b)上是减小的，则 x0 是极大值点，f(x0)是极大值． ②如果函数 y＝f(x)在区间(a，x0)上是减小的，在区间(x0， b)上是 增加的，则 x0 是极小值点，f(x0)是极小值．
题目类型三、极值的综合应用
例 3 若函数 f(x)＝2x3－6x＋k 在 R 上只有一个零点，求 常数 k 的取值范围．
【思路探究】 函数 f(x)的零点即函数 f(x)与 x 轴的交 点．根据 f(x)的单调性和极值作出草图，数形结合求解．
解：f(x)＝2x3－6x＋k，则 f′(x)＝6x2－6. 令 f′(x)＝0，得 x＝－1 或 x＝1， 可知 f(x)在(－1，1)上是减函数，f(x)在(－∞，－1)和 (1，＋∞)上为增函数． f(x)的极大值为 f(－1)＝4＋k， f(x)的极小值为 f(1)＝－4＋k.
要使函数 f(x)只有一个零点， 只需 4＋k<0 或－4＋k>0(如图所示)．
即 k<－4 或 k>4. ∴k 的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)．
【规律方法】 1 .本题的关键是根据单调性和极值画草图． 2 .极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆 用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的 转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的 应用，在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题 的基本解题策略是解决综合问题的关键．
【规律方法】 1.从逆向思维出发，运用待定系数法，实现由已知向未 知的转化． 2.已知函数的极值，求参数问题的解题步骤： (1)求函数的导数 f′(x)； (2)由极值点的导数为 0，列出方程(组)，求解参数．
【变式训练】
若函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2 在 x＝1 处取得极值 10，
由上表可知，x＝1 为函数 f(x)＝ln x－21x2 的极大值点， 函数在该点的极大值为 f(1)＝－12；函数 f(x)＝ln x－12x2 不存 在极小值．
【规律方法】 1.讨论函数的性质时，要树立定义域优先的原则．如本 题中若忽略了定义域则极值容易求错． 2.利用导数求函数的极值时，常列表判断导数值为 0 的 点 x0 的左、右两侧的导数值是否异号，若异号，则 f(x0)是极 值；否则，f(x0)不是极值．
解得－4<k<4. 故 k 的取值范围是(－4，4)．
题目类型四、数形结合思想的应用 例 4 (12 分)试确定函数 f(x)＝13x3－x－a 的零点个数． 【思路点拨】 函数 f(x)＝31x3－x－a 的零点个数，即函 数 f(x)与 x 轴的交点个数，也可视为 g(x)＝31x3－x 与 y＝a 这 两个函数图像的交点个数，可由 g(x)的单调性和极值作出草 图，数形结合求解．
(1)若把该图视为某函数的图像，图中共有多少个相对于 附近的“最高”点和“最低”点？
(2)这些“最高”和“最低”点的左右两侧函数的单调性 如何？
【提示】 (1)5 个和 4 个． (2)“最高”点左侧增，右侧减，“最低”点左侧减，右侧 增．
1 .极值与极值点 (1)在包含 x0 的一个区间(a，b)内，函数 y＝f(x)在任何一 点的函数值都小于或等于 x0 点的函数值，称点 x0为函数 y＝f(x) 的 极大值点 ，其函数值 f(x0)为函数的极大值 ． (2)在包含 x0 的一个区间(a，b)内，函数 y＝f(x)在任何一 点的函数值都大于或等于 x0 点的函数值，称点x0 为函数 y＝ f(x)的 极小值点 ，其函数值 f(x0) 为函数的极小值．
(2)图表判别： ①极大值的判定：
②极小值的判定：
(3)图像判别： ①极大值：
②极小值：
题目类型一、求函数的极值
例 1 求函数 f(x)＝ln x－12x2 的极值． 【思路探究】 根据求极值的步骤求解．
解：f′(x)＝1x－x.解方程 f′(x)＝0，得 x1＝1，x2＝－1， 又函数的定义域是(0，＋∞)，故 x2＝－1 舍去． 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
【变式训练】
求函数 f(x)＝x3－x2－x＋1 的极值． 解：(1)f′(x)＝3x2－2x－1.解方程 f′(x)＝0，得 x1＝－13，x2
＝1.当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
由上表可知，x1＝－13为函数 f(x)＝x3－x2－x＋1 的极大值 点，函数在该点的极大值为 f(－13)＝3227；x2＝1 为函数 f(x)＝ x3－x2－x＋1 的极小值点，函数在该点的极小值为 f(1)＝0.
解得 x＝1 或 x＝－1.
4分
∴当 x>1 或 x<－1 时，g′(x)>0； 当－1<x<1 时，g′(x)<0. ∴x＝1 为极小值点，x＝－1 为函数的极大值点，6 分 极大值 g(－1)＝23， 极小值 g(1)＝－23， 函数 g(x)的草图如右图.
8分
当 a>23或 a<－23时，图像有 1 个交点； 9 分
【规范解答】 函数 f(x)＝13x3－x－a 零点个数即为方程13
x3－x＝a 解的个数，可转化为函数 g(x)＝13x3－x 与函数 y＝a
图像交点个数．函数 y＝a 的图像为平行于 x 轴的直线，下面
研究 g(x)＝13x3－x 的图像.
2分
由题意知，g′(x)＝x2－1，
令 g′(x)＝x2－1＝0，
试求 a，b 的值．
解
：
f′(x)
＝
3x2
＋
2ax
＋
b
，
依
题
意
得
f（1）＝10， f′（1）＝0，
即
a2＋a＋b＝9， 2a＋b＝－3，
解得ab＝ ＝4－，11或ab＝ ＝3－. 3，
但由于当 a＝－3，b＝3 时，f′(x)＝3x2－6x＋3≥0，故 f(x)在 R 上单调递增，不可能在 x＝1 处取得极值，所以ab＝ ＝3－3 不符合题意，舍去；当ab＝ ＝4－11时，经检验知符合题意．故 a， b 的值分别为 4，－11.
因此，当 x＝－2 时，y 极大值＝238，当 x＝2 时，y 极小值＝－43.
再见