专题16 相交线与平行线-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型(专题测试)(解析版)

专题专题16 相交线与平行线
（满分：100分时间：90分钟）
班级_________ 姓名_________ 学号_________ 分数_________ 一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)
1．（2020·四川广元市·中考真题）如图，a∥b,M、N分别在a,b上，P为两平行线间一点，那么
∠1+∠2+∠3=（）.
A．180°B．360°C．270°D．540°
【答案】B
【分析】
首先作出PA∥a，根据平行线性质，两直线平行同旁内角互补，可以得出∠1+∠2+∠3的值．
【详解】
解：过点P作PA∥a，
∵a∥b，PA∥a，
∴a∥b∥PA，
∴∠1+∠MPA=180°，∠3+∠APN=180°，
∴∠1+∠MPA+∠3+∠APN=180°+180°=360°，
∴∠1+∠2+∠3=360°．
故选B．
2．（2020·河北中考真题）如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（）
A．0条B．1条C．2条D．无数条
【答案】D
在同一平面内，过已知直线上的一点有且只有一条直线垂直于已知直线；但画已知直线的垂线，可以画无数条．
【详解】
在同一平面内，画已知直线的垂线，可以画无数条；
故选：D ．
3．（2020·山东枣庄市·中考真题）一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB//CF ，∠F=∠ACB=90°，则∠DBC 的度数为( )
A ．10°
B ．15°
C ．18°
D ．30°
【答案】B
【分析】 直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD=45°，进而得出答案．
【详解】
由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，
∵AB ∥CF ，
∴∠ABD=∠EDF=45°，
∴∠DBC=45°﹣30°=15°．
故选B.
4．（2020·山东威海市·中考真题）如图，矩形ABCD 的四个顶点分别在直线3l ，4l ，2l ，1l 上．若直线1234//////l l l l 且间距相等，4AB =，3BC =，则tan α的值为（ ）
A ．3
8 B ．34 C D ．15
【分析】
根据题意，可以得到BG的长，再根据∠ABG＝90°，AB＝4，可以得到∠BAG的正切值，再根据平行线的性质，可以得到∠BAG＝∠α，从而可以得到tanα的值．
【详解】
解：作CF⊥l4于点F，交l3于点E，设CB交l3于点G，
由已知可得GE∥BF，CE＝EF，
∴△CEG∽△CFB，
∴CE CG CF CB
=，
∵
1
2 CE
CF
=，
∴
1
2 CG
CB
=，
∵BC＝3，
∴GB＝3
2
，
∵l3∥l4，
∴∠α＝∠GAB，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，∴∠ABG＝90°，
∴tan∠BAG＝BG
AB
=
3
2
4
=
3
8
，
∴tanα的值为3
8
，
故选：A．
5．（2020·贵州遵义市·中考真题）一副直角三角板如图放置，使两三角板的斜边互相平行，每块三角板的直角顶点都在另一三角板的斜边上，则∠1的度数为（）
A．30°B．45°C．55°D．60°
【答案】B
【分析】
根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】
解：如图
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠D＝45°，
故选：B．
6．（2020·山东济南市·中考真题）如图，AB//CD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD＝（）
A．35°B．45°C．55°D．70°
【答案】C
【分析】
由平行线的性质可得∠ADC＝∠BAD＝35°，再由垂线的定义可得△ACD是直角三角形，进而根据直角三角形两锐角互余的性质即可得出∠ACD的度数．
【详解】
∵AB∥CD，∠BAD=35°，
∴∠ADC＝∠BAD＝35°，
∵AD ⊥AC ，
∴∠ADC+∠ACD ＝90°，
∴∠ACD ＝90°﹣35°＝55°，
故选：C ．
7．（2020·甘肃金昌市·中考真题）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE 间的距离，若AE 间的距离调节到60cm ，菱形的边长20AB cm =，则DAB ∠的度数是（ ）
A ．90︒
B ．100︒
C ．120︒
D ．150︒
【答案】C
【分析】 如图（见解析），先根据菱形的性质可得,//AB BC AD BC =，再根据全等的性质可得
1203
AC AE cm =
=，然后根据等边三角形的判定与性质可得60B ∠=︒，最后根据平行线的性质即可得． 【详解】
如图，连接AC
四边形ABCD 是菱形
20,//AB BC cm AD BC ∴==
如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，60AE cm =
1203
AC AE cm ∴== AB BC AC ∴==
ABC ∴是等边三角形
60B ∴∠=︒
//AD BC
180********DAB B ∴∠=︒=∠=︒-︒-︒
故选：C ．
8．（2020·河南中考真题）如图，1234//,//l l l l ，若170∠=︒，则2∠的度数为（ ）
A ．100︒
B ．110︒
C ．120︒
D ．130︒
【答案】B
【分析】
利用平行线的性质即可求解．
【详解】
如图，∵34//l l ，
∴∠1+∠3=180º，
∵∠1=70º，
∴∴∠3=180º-70º=110º，
∵12l l //，
∴∠2=∠3=110º，
故选：B ．
9．（2020·海南中考真题）如图，已知//,AB CD 直线AC 和BD 相交于点,E 若
70,40ABE ACD ∠=︒∠=︒，则AEB ∠等于（ ）
A ．50︒
B ．60︒
C ．70︒
D ．80︒
【答案】C
【分析】 先根据//AB CD 得到70CDE ABE ∠=∠=︒，再运用三角形内角和定理求出AEB ∠的度数即可．
【详解】
∵//AB CD ，
∴CDE ABE ∠=∠，
∵70ABE ∠=︒，
∴70CDE ∠=︒
∵180ECD CDE DEC ∠+∠+∠=︒，且40ACD ∠=︒，
∴180180704070DEC ECD CDE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，
故选：C ．
10．（2020·山东淄博市中考真题）如图，在四边形ABCD 中，CD ∥AB ，AC ⊥BC ，若∠B ＝50°，则∠DCA 等于（ ）
A ．30°
B ．35°
C ．40°
D ．45°
【答案】C
【详解】 由AC ⊥BC 可得∠ACB ＝90°，又∠B ＝50°，根据直角三角形两个锐角互余可得∠CAB ＝40°，再根据平行线的性质可得∠DCA ＝∠CAB ＝40°．
【解答】解：∵AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝90°，
又∵∠B ＝50°，∴∠CAB ＝90°﹣∠B ＝40°，
∵CD ∥AB ，∴∠DCA ＝∠CAB ＝40°．
故选：C ．
二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)
11．（2020·浙江杭州市·中考真题）如图，AB ∥CD ，EF 分别与AB ，CD 交于点B ，F ．若∠E ＝30°，∠EFC ＝130°，则∠A ＝_____．
【答案】20°
【分析】
直接利用平行线的性质得出∠ABF ＝50°，进而利用三角形外角的性质得出答案．
【详解】
∵AB ∥CD ，
∴∠ABF +∠EFC ＝180°，
∵∠EFC ＝130°，
∴∠ABF ＝50°，
∵∠A +∠E ＝∠ABF ＝50°，∠E ＝30°，
∴∠A ＝20°．
故答案为：20°．
12．（2020·湖南湘潭市·中考真题）如图，点P 是AOC ∠的角平分线上一点，PD OA ⊥，垂足为点D ，且3PD =，点M 是射线OC 上一动点，则PM 的最小值为________．
【答案】3
【分析】
根据垂线段最短可知当PM ⊥OC 时，PM 最小，再根据角的平分线的性质，即可得出答案．
【详解】
解：根据垂线段最短可知：当PM ⊥OC 时，PM 最小，
当PM ⊥OC 时，
又∵OP 平分∠AOC ，PD OA ⊥，3PD =，
∴PM=PD=3
故答案为：3
13．（2020·新疆中考真题）如图，若AB ∥CD ，∠A ＝110°，则∠1＝_____°．
【答案】70
【分析】
先根据平行线的性质求出∠2＝∠A ＝110°，再由平角的定义求出∠1的度数即可．
【详解】
如图，
∵AB ∥CD ，
∴∠2＝∠A ＝110°．
又∵∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠2＝180°﹣110°＝70°．
故答案为：70．
14．（2020·湖北黄冈市·中考真题）已知：如图，//,75,135AB EF ABC CDF ︒︒∠=∠=，则BCD ∠=
_____________度．
【答案】30
【分析】
本题可利用两直线平行，同位角相等求解∠EGC ，继而根据邻补角定义求解∠CDE ，最后根据外角定义求解∠BCD ．
【详解】
令BC 与EF 相交于G 点，如下图所示：
∵//,75,135AB EF ABC CDF ︒︒
∠=∠=，
∴∠EGC=∠ABC=75°，∠EDC=180°-∠CDF=180°-135°=45°，
又∵∠EGC=∠BCD+∠EDC ，
∴∠BCD=75°-45°=30°，
故答案：30．
15．（2020·山东日照市·中考真题）如图，有一个含有30°角的直角三角板，一顶点放在直尺的一条边上，若∠2＝65°，则∠1的度数是_____．
【答案】25°
【分析】
延长EF 交BC 于点G ，根据题意及直角三角形的性质可直接进行求解．
【详解】
解：如图，延长EF 交BC 于点G ，
∵直尺，
∴AD ∥BC ，
∴∠2＝∠3＝65°，
又∵30°角的直角三角板，
∴∠1＝90°﹣65°＝25°．
故答案为：25°．
三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)
16．（2020·江苏镇江市·中考真题）如图，AC 是四边形ABCD 的对角线，∠1＝∠B ，点E 、F 分别在AB 、BC 上，BE ＝CD ，BF ＝CA ，连接EF ．
（1）求证：∠D ＝∠2；
（2）若EF ∥AC ，∠D ＝78°，求∠BAC 的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）78°．
【分析】
（1）由“SAS ”可证△BEF ≌△CDA ，可得∠D ＝∠2；
（2）由（1）可得∠D ＝∠2＝78°，由平行线的性质可得∠2＝∠BAC ＝78°．
【详解】
证明：（1）在△BEF 和△CDA 中，
1BE CD B BF CA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BEF ≌△CDA （SAS ），
∴∠D ＝∠2；
（2）∵∠D ＝∠2，∠D ＝78°，
∴∠D ＝∠2＝78°，
∵EF ∥AC ，
∴∠2＝∠BAC ＝78°．
17．（2020·湖北黄石市·中考真题）如图，,//,70,40AB AE AB DE DAB E =∠=︒∠=︒．
（1）求DAE ∠的度数；
（2）若30B ∠=︒，求证：AD BC =．
【答案】（1）∠DAE=30°；（2）见详解．
【分析】
（1）根据AB ∥DE ，得出∠E=∠CAB=40°，再根据∠DAB=70°，即可求出∠DAE ；
（2）证明△DAE ≌△CBA ，即可证明AD=BC ．
【详解】
（1）∵AB ∥DE ，
∴∠E=∠CAB=40°，
∵∠DAB=70°，
∴∠DAE=∠DAB-∠CAB=30°；
（2）由（1）可得∠DAE=∠B=30°，
又∵AE=AB ，∠E=∠CAB=40°，
∴△DAE ≌△CBA （ASA ），
∴AD=BC ．
18．（2020·湖北荆州市·中考真题）如图，将ABC 绕点B 顺时针旋转60度得到DBE ∆，点C 的对应点E 恰好落在AB 的延长线上，连接AD ．
（1）求证：//BC AD ；
（2）若AB=4，BC=1，求A ，C 两点旋转所经过的路径长之和．
【答案】（1）见解析；（2）
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π 【分析】 （1）先利用旋转的性质证明△ABD 为等边三角形，则可证60DAB ︒∠=，即,CBE DAB ∠=∠再根据平行线的判定证明即可．
（2）利用弧长公式分别计算路径，相加即可求解．
【详解】
（1）证明：由旋转性质得：,60ABC DBE ABD CBE ︒
∆≅∆∠=∠= ,AB BD ABD ∴=∴∆是等边三角形
所以60DAB ︒∠=
,CBE DAB ∴∠=∠
∴//BC AD ；
（2）依题意得：AB=BD=4，BC=BE=1，
所以A ，C 两点经过的路径长之和为60460151801803
πππ⨯⨯+=． 19．（2020·山东东营市·中考真题）如图，C 处是一钻井平台，位于东营港口A 的北偏东60方向上，与港
口A 相距海里，一艘摩托艇从A 出发，自西向东航行至B 时，改变航向以每小时50海里的速度沿BC 方向行进，此时C 位于B 的北偏西45方向，则从B 到达C 需要多少小时？
【答案】从B 到达C 需要1.2小时．
【分析】
过点C 作CD AB ⊥于点D ，在Rt ACD △与Rt CDB 中，利用锐角三角函数的定义求出CD 与BC 的长，进而求解．
【详解】
解：如图，过点C 作CD AB ⊥于点D ，
由题意得：//AE CD ，//BF CD ，
60ACD CAE ∴∠=∠=，45BCD CBF ∠=∠=︒，
在Rt ACD △中，AC =，
1
2
CD AC ∴==，
在Rt CDB 中，CD =，
60BC ∴==，
60 1.250
∴=（小时）， ∴从B 到达C 需要1.2小时．
20．（2020·山西中考真题）阅读与思考
下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
×年×月×日 星期日
没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上
画出一条裁割线AB ，现根据木板的情况，要过AB 上的一点C ，作出AB 的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？
办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在AB 上量出30CD cm =，然后分别以D ，C 为圆心，以50cm 与40cm 为半径画圆弧，两弧相交于点E ，作直线CE ，则DCE ∠必为90︒．
办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M ，N 两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M 与点C 重合，用铅笔在木板上将点N 对应的位置标记为点Q ，保持点N 不动，将木棒绕点N 旋转，使点M 落在AB 上，在木板上将点M 对应的位置标记为点R ．然后将RQ 延长，在延长线上截取线段QS MN =，得到点S ，作直线SC ，则90RCS ∠=︒．
我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？
……
任务：
（1）填空；“办法一”依据的一个数学定理是_____________________________________；
（2）根据“办法二”的操作过程，证明90RCS ∠=︒；
（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点C 作出AB 的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）； ②说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）
【答案】（1）勾股定理的逆定理；（2）详见解析；（3）①详见解析；②答案不唯一，详见解析
【分析】
（1）利用2223040=50+说明△DCE 是直角三角形，说明=90DCE ∠︒，进而得出利用的原理是勾股定理逆定理即可；
（2）由作图的方法可以得出：QR QC =，QS QC =，得出QCR QRC ∠=∠，QCS QSC ∠=∠，利用三角形内角和得出90QCR QCS ∠+∠=︒，即90RCS ∠=︒，说明垂直即可；
（3）①以点C 为圆心，任意长为半径画弧，与AB 有两个交点，分别以这两个交点为圆心，以大于这两个交点之间的距离的一半为半径画弧，这两段弧交于一点P ，连接PC 即可；
②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，即可说明垂直．
【详解】
（1）勾股定理的逆定理（或如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）；
（2）证明：由作图方法可知：QR QC =，QS QC =，
QCR QRC ∴∠=∠，QCS QSC ∠=∠．
又180SRC RCS RSC ∠+∠+∠=︒，
180QCR QCS QRC QSC ∴∠+∠+∠+∠=︒．
2()180QCR QCS ∴∠+∠=︒．
90QCR QCS ∴∠+∠=︒
即90RCS ∠=︒．
（3）解：①如图，直线CP 即为所求；
图③
②答案不唯一，如：三边分别相等的两个三角形全等（或SSS）；等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合（或等腰三角形“三线合一”）；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上等．
【点睛】
本题主要考查了垂直的判定，熟练掌握说明垂直的方法是解决本题的关键．。