2018版 第3章 3.4 基本不等式ab≤a+b2(a≥0,b≥0) 3.4.1 基本不等式的证明

【解析】 a＋ b ＝2， 2 由题意可知 ab＝2， ∴a＝2，b＝2.
，b
a＋b＝4， ∴ ab＝4，
【答案】 2 2
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教材整理2
基本不等式
阅读教材P97～P98，完成下列问题． a＋b 如果a，b是正数，那么 ab___ ≤ a＝b 时取“＝”)，我们把 2 (当且仅当_______ a＋b ab≤ 2 (a≥0，b≥0) 称为基本不等式． 不等式______________________
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[基础· 初探]
教材整理1 算术平均数与几何平均数
阅读教材P96，完成下列问题． a＋b ab 称为a，b的 对于正数a，b，我们把_______ 2 称为a，b的算术平均数，_____ 几何平均数．
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若两个正数a，b的算术平均数为2，几何平均数为2，则a＝ ＝ .
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a2 b2 c2 (2)∵a，b，c， b ， c ， a 均大于0， a2 ∴ b ＋b≥2 a2 b＝2a， b·
a2 当且仅当 b ＝b时等号成立． b2 c ＋c≥2 b2 c＝2b， c·
b2 当且仅当 c ＝c时等号成立．
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c2 a ＋a≥2
c2 a＝2c， a·
阶 段 一
3.4
基本不等式 ab≤ 3.4.1
a＋b
2
阶 段 三
(a≥0，b≥0)
学 业 分 层 测 评
基本不等式的证明
阶 段 二
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1．理解基本不等式的内容及证明．(重点) 2．能运用基本不等式证明简单的不等式．(重点) 3．能用基本不等式求解简单的最大(小)值问题．(难点)
上立． a2 b2 c2 相加得 b ＋b＋ c ＋c＋ a ＋a≥2a＋2b＋2c， a2 b2 c2 ∴ b ＋ c ＋ a ≥a＋b＋c.
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利用基本不等式证明不等式的条件要求： 1利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”或 “积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从 而达到放缩的效果. 2注意多次运用基本不等式时等号能否取到.
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【自主解答】
x＋5x＋2 x＋12＋5x＋1＋4 4 y＝ ＝ ＝(x＋1)＋ ＋5， x＋1 x＋1 x ＋1
∵x>－1，∴x＋1>0， ∴y≥2 4 x＋1· ＋5 x＋1
＝4＋5＝9. 4 当且仅当x＋1＝ ，即x＝1时，等号成立． x＋1 x＋5x＋2 ∴函数y＝ (x>－1)的最小值为9，此时x＝1. x＋1
【精彩点拨】 (1)利用a＋b≥2 ab，a＋c≥2 ac，b＋c≥2 bc求证；
2 2 a2 b c (2)利用 b ＋b≥2 a2； c ＋c≥2 b2； a ＋a≥2 c2求证．
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【自主解答】
(1)∵a>0，b>0，c>0，
∴a＋b≥2 ab，a＋c≥2 ac，b＋c≥2 bc. 又a，b，c为不全相等的正数， ∴a＋b＋c≥ ab＋ ac＋ bc. 又a，b，c互不相等， 故等号不能同时取到， 所以a＋b＋c> ab＋ ac＋ bc.
1 1 【提示】 x＋ ＝(x＋1)＋ －1≥2 x＋1 x＋1 1 且仅当x＋1＝ ，即x＝0时等号成立． x＋1
1 x＋1· －1＝2－1＝1，当 x＋1
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x＋5x＋2 求函数y＝ (x>－1)的最小值，并求相应的x值． x＋1
【精彩点拨】 求最小值
x＋5x＋2 变形 k 基本不等式 y＝ ――→ y＝x＋1＋ ＋b ――――→ x ＋1 x＋1
【提示】 可以，当x<0时，－x>0，
1 1 ∴x＋x ＝－－x＋－x
≤－2
1 －x · ＝－2. －x
1 当且仅当－x＝－x ，即x＝－1时等号成立， 1 ∴x＋x ∈(－∞，－2]．
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探究3
1 当x≥0时，如何求“x＋ ”的最小值？ x＋1
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a，b∈R，都有a＋b≥2 ab成立．( (2)不等式a2＋4≥4a成立的条件是a＝2.(
【答案】 (1)× (2)√
)
)
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[小组合作型]
用基本不等式证明不等式
已知a，b，c为不全相等的正数． (1)求证：a＋b＋c> ab＋ bc＋ ca； a2 b2 c2 (2)求证： b ＋ c ＋ a ≥a＋b＋c.
1 当且仅当a＝b＝c＝3时等号成立．
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[探究共研型]
应用基本不等式应注意的问题
1 探究1 不等式“x＋x ≥2
1 x· x ＝2”成立吗？为什么？
1 【提示】 不成立．如当x<0时，x＋x <0，显然不成立．
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1 探究2 当x<0时，能否应用基本不等式求解，x＋x 的范围是多少？
1 当且仅当a＝b＝c＝3时等号成立．
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法二 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1， 1 1 1 1 1 1 ∴a＋b＋c ＝a＋b＋c (a＋b＋c)
b a c a c a ＝3＋a＋b＋a＋c ＋b＋c ≥3＋2＋2＋2＝9，
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[再练一题] 1．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1. 1 1 1 求证：a＋b＋c ≥9. 【证明】 法一 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，
1 1 1 ∴a＋b＋c a＋b＋c a＋b＋c a＋b＋c ＝ a ＋ b ＋ c
b a c a c b ＝3＋a＋b＋a＋c ＋b＋c ≥3＋2＋2＋2＝9.
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1．基本不等式使用的条件为“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不 可．在解题过程中，为了达到使用基本不等式的条件，往往需要通过配凑、裂 项、转化、分离常数等变形手段，创设一个应用基本不等式的情境． 2．应用基本不等式求函数最值，常见类型如下： (1)构造积为定值，利用基本不等式求最值； (2)构造和为定值，利用基本不等式求最值．