2022浙江杭州中考数学试卷+答案解析

2022年浙江杭州中考数学
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.圆圆想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为－6 ℃，最高气温为2 ℃，则该地这天的温差(最高气温与最低气温的差)为
()
A.－8 ℃
B.－4 ℃
C.4 ℃
D.8 ℃
2.国家统计局网站公布我国2021年年末总人口约1 412 600 000人，数据1 412 600 000用科学记数法可以表示为()
A.14.126×108
B.1.412 6×109
C.1.412 6×108
D.0.141 26×1010
3.如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上(不与点A，点D重合)，连接CE。

若∠C=20°，∠AEC=50°，则∠A= ()
A.10°
B.20°
C.30°
D.40°
4.已知a，b，c，d是实数，若a>b，c=d，则()
A.a+c>b+d
B.a+b>c+d
C.a+c>b－d
D.a+b>c－d
5.如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则()
A.线段CD是△ABC的AC边上的高线
B.线段CD是△ABC的AB边上的高线
C.线段AD是△ABC的BC边上的高线
D.线段AD是△ABC的AC边上的高线
6.照相机成像应用了一个重要原理，用公式1
f =1
u
+1
v
(v≠f)表示，其中f表示照相机
镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片(像)到镜头的距离。

已知
f，v，则u= ()
A.fv
f−v B.f−v
fv
C.fv
v−f
D.v−f
fv
7.某体育比赛的门票分A票和B票两种，A票每张x元，B票每张y元。

已知10张A票的总价与19张B票的总价相差320元，则()
A.|10x
19y |=320 B.|10y
19x
|=320 C.|10x－19y|=320 D.|19x－10y|=320
8.如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0，2)，点A(4，2)以点P为旋转中心，把点A按逆时针方向旋转60°，得点B.在M1(−√3
3
,0)，M2(－√3，－1)，
M3(1，4)，M4(2,11
2
)四个点中，直线PB经过的点是()
A.M1
B.M2
C.M3
D.M4
9.已知二次函数y=x2+ax+b(a，b为常数)。

命题①：该函数的图象经过点(1，0)；命题②：该函数的图象经过点(3，0)；命题③：该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图象的对称轴为直线x=1。

如果这四个命
题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是()
A.命题①
B.命题②
C.命题③
D.命题④
10.如图，已知△ABC内接于半径为1的☉O，∠BAC=θ(θ是锐角)，则△ABC 的面积的最大值为() A.cos θ(1+cos θ) B.cos θ(1+sin θ) C.sin θ(1+sin θ) D.sin θ(1+cos θ)
二、填空题(本大题有6个小题，每小题4分，共24分.)
11.计算：√4=；(－2)2=.
12.有5张仅有编号不同的卡片，编号分别是1，2，3，4，5。

从中随机抽取一张，编号是偶数的概率等于.
13.已知一次函数y=3x－1与y=kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标是(1，2)，
则方程组{3x−y=1,
kx−y=0的解是.
14.某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB的高度，把标杆DE 直立在同一水平地面上(如图)。

同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72 m，EF=2.18 m。

已知B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47 m，则AB=m.
15.某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x(x>0)，则x=(用百分数表示)。

16.如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在☉O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在☉O上的点D处(不与点A重合)，连接CB，CD，AD。

设CD与直径AB交于点E.若AD=ED，则∠B=度；BC
AD
的值等于.
三、解答题(本大题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.( 6分)计算：(－6)×(2
3−■)－23.
圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了。

(1)如果被污染的数字是1
2，请计算(－6)×(2
3−1
2)－23； (2)如果计算结果等于6，求被污染的数字。

18.( 8分)某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试，根据综合成绩择优录取。

他们的各项成绩(单项满分100分)如表所示：
(1)如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取谁?
(2)如果想录取一名组织能力较强的候选人，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别按照20%，20%，60%的比例计入综合成绩，应该录取谁? 19.( 8分)如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，连接DE ，EF ，已知四边形BFED 是平行四边形，DE BC =1
4. (1)若AB =8，求线段AD 的长；
(2)若△ADE 的面积为1，求平行四边形BFED 的面积。

20.( 10分)设函数y 1=k
1x ，函数y 2=k 2x +b (k 1，k 2，b 是常数，k 1≠0，k 2≠0).
(1)若函数y1和函数y2的图象交于点A(1，m)，点B(3，1)，
①求函数y1，y2的表达式；
②当2<x<3时，比较y1与y2的大小(直接写出结果)。

(2)若点C(2，n)在函数y1的图象上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，点D恰好落在函数y1的图象上，求n的值。

21.( 10分)如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE。

已知∠A=50°，∠ACE=30°。

(1)求证：CE=CM；
(2)若AB=4，求线段FC的长。

22.( 12分)设二次函数y1=2x2+bx+c(b，c是常数)的图象与x轴交于A，B两点。

(1)若A，B两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数y1的表达式及其图象的对称轴；
(2)若函数y1的表达式可以写成y1=2(x－h)2－2(h是常数)的形式，求b+c的最小值；
(3)设一次函数y2=x－m(m是常数)，若函数y1的表达式还可以写成y1=2(x－m)(x －m－2)的形式，当函数y=y1－y2的图象经过点(x0，0)时，求x0－m的值。

23.( 12分)在正方形ABCD中，点M是边AB的中点，点E在线段AM上(不与点A重合)，点F在边BC上，且AE=2BF，连接EF，以EF为边在正方形ABCD内作正方形EFGH。

(1)如图1，若AB=4，当点E与点M重合时，求正方形EFGH的面积。

(2)如图2，已知直线HG分别与边AD，BC交于点I，J，射线EH与射线AD 交于点K。

①求证：EK=2EH；②设∠AEK=α，△FGJ和四边形AEHI的面积分别为S1，S2，求证：S2
=4sin2α－1.
S1
图1 图2
2022年浙江杭州中考数学
（参考答案）
1.D 最高气温与最低气温的差为2－(－6)=8 ℃，故选D .
2.B 1 412 600 000=1.412 6×109.
3.C ∵AB ∥CD ，∴∠A =∠D.
∵∠AEC =∠C +∠D ，∠C =20°，∠AEC =50°， ∴∠A =∠D =50°－20°=30°，故选C .
4.A 不等式左、右两边同时加上或减去一个相等的数，不等式仍然成立.∵a >b ，c =d ，∴a +c >b +d.故选A .
5.B 根据题图中所给出的条件可知线段CD 是AB 边上的高线，故选B .
6.C ∵1f =1u +1
v (v ≠f )， ∴1u =1
f
－1v
，
∴1u =v−f
fv ， ∴u =fv
v−f .故选C .
7.C 由题意可知，10x －19y =320或19y －10x =320， ∴|10x －19y |=320，故选C .
8.B ∵点A (4，2)，点P (0，2)，∴PA =4. ∵∠APB =60°，PB =AP =4，∴B (2，2+2√3).
设直线PB 的解析式为y =kx +b (k ≠0)，代入P (0，2)，B (2，2+2√3)得{2k +b =2+2√3,b =2,∴{k =√3,b =2, ∴直线PB 的解析式为y =√3x +2. 当x =－√33时，y =－1+2=1，
∴点M1(−√3
3
,0)不在直线PB上.
当x=－√3时，y=－3+2=－1，
∴M2(－√3，－1)在直线PB上.
当x=1时，y=√3+2，
∴M3(1，4)不在直线PB上.
当x=2时，y=2√3+2，
∴M4(2,11
2
)不在直线PB上.故选B.
9.A假设抛物线的对称轴为直线x=1，
则x=－a
2
=1，解得a=－2.
再假设函数的图象经过点(3，0)，
则3a+b+9=0，解得b=－3，
故抛物线的解析式为y=x2－2x－3.
令y=0，得x2－2x－3=0，
解得x1=－1，x2=3，
故抛物线与x轴的交点为(－1，0)和(3，0)，
函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧，
故命题②③④都是正确的，①错误.故选A.
10.D当△ABC中，BC边上的高经过圆的圆心时，△ABC的面积最大，记此时点A为点A'，BC边上的高为A'D，如图所示.连接OB.
∵A'D⊥BC，∴BC=2BD，∠BOD=∠BA'C=θ.
在Rt△BOD中，
sin θ=BD
OB =BD
1
，cos θ=OD
OB
=OD
1
，
∴BD=sin θ，OD=cos θ，
∴BC =2BD =2sin θ，A'D =A'O +OD =1+cos θ，
∴S △A'BC =1
2BC ·A'D =1
2×2sin θ(1+cos θ)=sin θ(1+cos θ).故选D . 11.答案 2；4 解析 √4=2，(－2)2=4. 12.答案 25
解析 从编号分别是1，2，3，4，5的卡片中，随机抽取一张，共有5种等可能的结果，其中编号是偶数的有2种结果，故所求概率为2
5. 13.答案 {
x =1
y =2
解析 ∵一次函数y =3x －1与y =kx (k 是常数，k ≠0)的图象的交点坐标是(1，2)，
∴方程组{y =3x −1,y =kx
的解为{x =1,
y =2,
∴方程组{3x −y =1,kx −y =0的解为{x =1,
y =2.
14.答案 9.88
解析 由题意可知AC ∥DF ，∴∠ACB =∠DFE. ∵AB ⊥BC ，DE ⊥EF ，∴∠ABC =∠DEF =90°， ∴Rt △ABC ∽Rt △DEF ， ∴AB DE =BC
EF ，即AB
2.47=8.72
2.18，
解得AB =9.88 m ，∴旗杆的高度为9.88 m . 15.答案 30%
解析 ∵新注册用户数的年平均增长率为x ，∴2020年新注册用户数为100(1+x )万，2021年的新注册用户数为100(1+x )2万，故100(1+x )2=169， 解得x 1=0.3，x 2=－2.3(舍)， ∴x =0.3=30%. 16.答案 36；
3+√52
解析 ∵AD =DE ，∴∠DAE =∠DEA.
∵∠DEA =∠BEC ，∠DAE =∠BCE ，∴∠BEC =∠BCE.
由折叠可得∠ECO =∠BCO.
又∵OB =OC ，∴∠OCB =∠B ，∴∠BEC =∠BCE =2∠B.
在△BCE 中，∠BEC +∠BCE +∠B =180°，即5∠B =180°，∴∠B =36°. ∵∠ECO =∠OCB =∠B ，∠CEO =∠CEB ，∴△CEO ∽△BEC ，
∴CE EO =BE
CE ，∴CE 2=EO ·BE.∵∠EOC =∠B +∠OCB =2∠B =∠BEC ，∴EC =OC. 设EO =x ，EC =OC =OB =a ， 则a 2=x (x +a )， 解得x =√5−1
2
a (负值舍去)， ∴OE =
√5−1
2
a ， ∴AE =OA －OE =a －
√5−12
a =3−√5
2 a. ∵∠AED =∠BEC ，∠DAE =∠BCE ， ∴△BCE ∽△DAE ， ∴BC AD =EC AE ，∴BC AD =3−√52
a
=
3+√52.
17.解析 (1)(－6)×(2
3−1
2)－23=(－6)×1
6－8=－1－8=－9.
(2)设被污染的数字为x. 由题意得(－6)×(2
3−x)－23=6， 解得x =3，所以被污染的数字是3. 18.解析 (1)甲的综合成绩为80+87+82
3
=83(分)，
乙的综合成绩为
80+96+76
3
=84(分).
因为乙的综合成绩比甲高，所以应该录取乙.
(2)甲的综合成绩为80×20%+87×20%+82×60%=82.6(分)， 乙的综合成绩为80×20%+96×20%+76×60%=80.8(分). 因为甲的综合成绩比乙高，所以应该录取甲.
19.解析 (1)由题意得DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC. 所以AD AB =DE BC =1
4.
因为AB =8，所以AD =2.
(2)设△ABC的面积为S，△ADE的面积为S1，△CEF的面积为S2.
因为AD
AB =1 4，
所以S1
S =(AD
AB
)
2
=1
16
.
因为S1=1，所以S=16.因为DE
BC =AE
AC
=1
4
，
所以CE
CA =3 4 .
由题意得EF∥AB，所以△CEF∽△CAB.
所以S2
S =(3
4
)
2
=9
16
，
所以S2=9，
所以平行四边形BFED的面积=S－S1－S2=6.
20.解析(1)①由题意得k1=3×1=3，
所以函数y1=3
x
.
因为函数y1=3
x
的图象过点A(1，m)，
所以m=3.所以A(1，3).
将A(1，3)，B(3，1)代入y2=k2x+b得{3=k2+b, 1=3k2+b,
解得{k2=−1, b=4,
所以y2=－x+4.
②y1<y2.
(2)由题意得点D的坐标为(－2，n－2)，
所以－2(n－2)=2n，
解得n=1.
21.解析(1)证明：因为∠ACB=90°，点M为AB的中点，所以MA=MC，
所以∠MCA=∠A=50°，
所以∠CMA=180°－∠A－∠MCA=80°.
因为∠CEM=∠A+∠ACE=50°+30°=80°，
所以∠CME=∠CEM，
所以CE=CM.
(2)由(1)得CE=CM=1
2
AB=2.
因为EF⊥AC，
所以FC=CE·cos 30°=√3.
22.解析(1)由题意得y1=2(x－1)(x－2).
图象的对称轴是直线x=3
2
.
(2)由题意得y1=2x2－4hx+2h2－2，所以b=－4h，c=2h2－2，所以b+c=2h2－4h－2=2(h－1)2－4，
所以当h=1时，b+c有最小值，最小值为－4.
(3)由题意得y=y1－y2
=2(x－m)(x－m－2)－(x－m)
=(x－m)[2(x－m)－5]，
因为函数y的图象经过点(x0，0)，
所以(x0－m)[2(x0－m)－5]=0，
所以x0－m=0或x0－m=5
2
.
23.解析(1)由题意得AE=BE=2.
因为AE=2BF，所以BF=1.
在Rt△BEF中，由勾股定理得EF2=BE2+BF2=5，
所以正方形EFGH的面积为5.
(2)①证明：由四边形ABCD是正方形可知∠KAE=∠B=90°，所以∠EFB+∠FEB=90°.
因为四边形EFGH是正方形，
所以∠HEF=90°，EF=EH，
所以∠KEA+∠FEB=90°，
所以∠KEA=∠EFB，
所以△KEA∽△EFB，
所以KE
EF =AE
BF
=2，
所以EK=2EF=2EH.
②证明：由①得EK=2EH，EH=GF，所以HK=GF.
因为四边形ABCD是正方形，所以AD∥BC，所以∠KIH=∠FJG.又因为∠KHI=∠FGJ=90°，
所以△KHI≌△FGJ(AAS)，
所以△KHI的面积为S1.
因为∠K=∠K，∠A=∠IHK=90°，所以△KHI∽△KAE，
所以S1+S2
S1=(KA
KH
)
2
=4KA
2
KE2
=4sin2α，
所以S2
S1
=4sin2α－1.。