高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析

高等数学第六版上册课后习题答案及解析
第一章
习题1-1
1. 设A=(-, -5)(5, +), B=[-10, 3), 写出A B, A B, A\B及A\(A\B)的表达式.
解A B=(-, 3)(5, +),
A B=[-10, -5),
A\B=(-, -10)(5, +),
A\(A\B)=[-10, -5).
2. 设A、B是任意两个集合, 证明对偶律: (A B)C=A C B C.
证明因为
x(A B)C x A B x A或x B x A C或x B C x A C B C,
所以(A B)C=A C B C.
3. 设映射f : X Y, A X, B X . 证明
(1)f(A B)=f(A)f(B);
(2)f(A B)f(A)f(B).
证明因为
y f (A B )x A B , 使f (x )=y
(因为x A 或x B ) y f (A )或y f (B )
y f (A )f (B ), 所以 f (A
B )=f (A )f (B ). (2)因为
y f (A B )x A B , 使f (x )=y (因为x A 且x B ) y f (A )且y f (B ) y f (A )
f (B ), 所以 f (A B )f (A )f (B ).
4. 设映射f : X Y , 若存在一个映射g : Y X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中
I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x
X , 有I X x =x ; 对于每一个y Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.
证明 因为对于任意的y
Y , 有x =g (y )X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.
又因为对于任意的x 1x 2, 必有f (x 1)f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)g [ f (x 1)]=g [f (x 2)]
x 1=x 2.
因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.
对于映射g : Y X , 因为对每个y Y , 有g (y )=x X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.
5. 设映射f : X Y , A X . 证明:
(1)f -1(f (A ))A ;
(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .
证明 (1)因为x A f (x )=y f (A ) f -1(y )=x f -1(f (A )),
所以 f -1(f (A ))A . (2)由(1)知f -1(f (A ))A .
另一方面, 对于任意的x
f -1(f (A ))存在y f (A ), 使f -1(y )=x f (x )=y . 因为y f (A )且f 是单射, 所以x A . 这就证明了f -1(f (A ))A . 因此f -1(f (A ))=A .
6. 求下列函数的自然定义域:
(1)23+=x y ; 解 由3x +2
0得32->x . 函数的定义域为) ,3
2[∞+-. (2)211
x
y -=; 解 由1-x 20得x 1. 函数的定义域为(-, -1)(-1, 1)(1, +). (3)211x x
y --=; 解 由x
0且1-x 20得函数的定义域D =[-1, 0)(0, 1].
(4)241x y -=; 解 由4-x 20得 |x | 2. 函数的定义域为(-2, 2).
(5)x y sin =;
解 由x 0得函数的定义D =[0, +¥).
(6) y =tan(x +1);
解 由21π≠+x (k =0, 1, 2, )得函数的定义域为 12
-+≠ππk x (k =0, 1, 2, ). (7) y =arcsin(x -3);
解 由|x -3|1得函数的定义域D =[2, 4].
(8)x
x y 1arctan 3+-=; 解 由3-x 0且x 0得函数的定义域D =(-¥, 0)È(0, 3).
(9) y =ln(x +1);
解 由x +1
0得函数的定义域D =(-1, +¥). (10)x e y 1=.
解 由x
0得函数的定义域D =(-¥, 0)È(0, +¥). 7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？
(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;
(2) f (x )=x , g (x )=2x ;
(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .
(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .
解 (1)不同. 因为定义域不同.
(2)不同. 因为对应法则不同, x 0时, g (x )=-x .
(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.
(4)不同. 因为定义域不同.
8. 设⎪⎩
⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, j (-2), 并作出函数y =j (x )的图形.
解 2
1|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:
(1)x
x y -=1, (-, 1); (2)y =x +ln x , (0, +).
证明 (1)对于任意的x 1, x 2
(-, 1), 有1-x 10, 1-x 20. 因为当x 1x 2时, 0)
1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数x
x y -=1在区间(-, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2(0, +), 当x 1x 2时, 有
0ln
)()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +)内是单调增加的.
10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.
证明 对于"x 1, x 2Î(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2Î(0, l )且-x 1
-x 2.
因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以 f (-x 2)f (-x 1), -f (x 2)-f (x 1), f (x 2)f (x 1),
这就证明了对于"x1, x2Î(-l, 0), 有f(x1)f(x2), 所以f(x)在(-l, 0)内也单调增加.
11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l, l)上的, 证明:
(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;
(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.
证明(1)设F(x)=f(x)+g(x). 如果f(x)和g(x)都是偶函数, 则
F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x),
所以F(x)为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.
如果f(x)和g(x)都是奇函数, 则
F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-F(x),
所以F(x)为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.
(2)设F(x)=f(x)×g(x). 如果f(x)和g(x)都是偶函数, 则
F(-x)=f(-x)×g(-x)=f(x)×g(x)=F(x),
所以F(x)为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.
如果f(x)和g(x)都是奇函数, 则
F(-x)=f(-x)×g(-x)=[-f(x)][-g(x)]=f(x)×g(x)=F(x),
所以F(x)为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.
如果f(x)是偶函数, 而g(x)是奇函数, 则
F(-x)=f(-x)×g(-x)=f(x)[-g(x)]=-f(x)×g(x)=-F(x),
所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.
12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？
(1)y =x 2(1-x 2);
(2)y =3x 2-x 3;
(3)22
11x
x
y +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);
(5)y =sin x -cos x +1;
(6)2x x a a y -+=. 解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.
(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.
(3)因为()
)(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.
(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.
(6)因为)(2
2)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:
(1)y =cos(x -2);
解 是周期函数, 周期为l =2p .
(2)y =cos 4x ;
解 是周期函数, 周期为2
π=l .
(3)y =1+sin px ;
解 是周期函数, 周期为l =2.
(4)y =x cos x ;
解 不是周期函数.
(5)y =sin 2x .
解 是周期函数, 周期为l =p .
14. 求下列函数的反函数:
(1)31+=x y 错误!未指定书签。

错误!未指定书签。

;
解 由31+=x y 得x =y 3-1, 所以31+=x y 的反函数为y =x 3-1.
(2)x
x y +-=11错误!未指定书签。

; 解 由x x y +-=11得y y x +-=11, 所以x x y +-=11的反函数为x
x y +-=11. (3)d cx b ax y ++=(ad -bc 0);
解 由d cx b ax y ++=得a cy b dy x -+-=, 所以d cx b ax y ++=的反函数为a
cx b dx y -+-=. (4) y =2sin3x ;
解 由y =2sin 3x 得2arcsin 31y x =, 所以y =2sin3x 的反函数为2
arcsin 31x y =. (5) y =1+ln(x +2);
解 由y =1+ln(x +2)得x =e y -1-2, 所以y =1+ln(x +2)的反函数为y =e x -1-2.
(6)1
22+=x x y .
解 由122+=x x y 得y y x -=1log 2, 所以1
22+=x x y 的反函数为x x y -=1log 2. 15. 设函数f (x )在数集X 上有定义, 试证: 函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界.
证明 先证必要性. 设函数f (x )在X 上有界, 则存在正数M , 使|f (x )|
M , 即-M f (x )M . 这就证明了f (x )在X 上有下界-M 和上界M .
再证充分性. 设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2, 即K 1
f (x ) K 2 . 取M =max{|K 1|, |K 2|}, 则 -M
K 1f (x ) K 2M , 即 |f (x )|M .
这就证明了f (x )在X 上有界.
16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值:
(1) y =u 2, u =sin x , 61π=x , 3
2π=x ; 解 y =sin 2x , 4
1)21(6sin 221===πy ,43)23(3sin 222===πy . (2) y =sin u , u =2x , 81π=x ,4
2π=x ; 解 y =sin2x , 224sin )82sin(1==⋅=ππy ,12
sin )42sin(2==⋅=ππy . (3)u y =, u =1+x 2, x 1=1, x 2= 2;
解 21x y +=, 21121=+=y , 52122=+=y .
(4) y =e u , u =x 2, x 1 =0, x 2=1;
解 2x e y =, 1201==e y , e e y ==2
12.
(5) y =u 2 , u =e x , x 1=1, x 2=-1.
解 y =e 2x , y 1=e 2×1=e 2, y 2=e 2×(-1)=e -2.
17. 设f (x )的定义域D =[0, 1], 求下列各函数的定义域:
(1) f (x 2);
解 由0x 21得|x |1, 所以函数f (x 2)的定义域为[-1, 1].
(2) f (sin x );
解 由0sin x 1得2np x (2n +1)p (n =0, 1, 2 ), 所以函数f (sin x )的定义域为
[2np , (2n +1)p ] (n =0, 1, 2 ) . (3) f (x +a )(a >0);
解 由0x +a 1得-a x 1-a , 所以函数f (x +a )的定义域为[-a , 1-a ]. (4) f (x +a )+f (x -a )(a 0).
解 由0x +a 1且0x -a
1得: 当210≤<a 时, a x 1-a ; 当21>a 时, 无解. 因此当210≤<a 时函数的定义域为[a , 1-a ], 当21>a 时函数无意义. 18. 设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1||
11||
01|| 1)(x x x x f , g (x )=e x 错误!未指定书签。

, 求f [g (x )]和g [f (x )], 并作出这两个函数的图形.
解 ⎪⎩
⎪⎨⎧>-=<=1|| 11||
01|| 1)]([x x x e e e x g f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0 10 00 1)]([x x x x g f .
⎪⎩⎪⎨⎧>=<==-1|| 1|| e 1|| )]([10
1)(x e x x e e x f g x f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>=<=-1|| 1|| 11|| )]([1x e x x e x f g .
19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角j =40(图1-37). 当过水断面ABCD
的面积为定值S 0时, 求湿周
L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式, 并指明其定义域. 图1-37 解
40
sin h
DC AB =
=, 又从
)]40cot 2([2
1S
h BC BC h =⋅++ 得
h h
S BC ⋅-=
40cot 0, 所以 h h S L 40
sin 40cos 20-+=. 自变量h 的取值范围应由不等式组
h
0,
040cot 0>⋅-h h
S
确定, 定义域为
40cot 00S h <<.
20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元.
(1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数; (2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数; (3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？
解 (1)当0x 100时, p =90.
令0.01(x 0-100)=90-75, 得x 0=1600. 因此当x 1600时, p =75.
当100
x 1600时,
p =90-(x -100)
0.01=91-0. 01x .
综合上述结果得到
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<<-≤≤=1600 751600100
01.0911000
90x x x x p . (2)⎪⎩
⎪
⎨⎧
≥<<-≤≤=-=1600 151600100 01.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P .
(3) P =311000-0.0110002=21000(元).
习题1
2
1. 观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势, 写出它们的极限: (1)n
n x 21=;
解 当n ®¥时, n
n x 21=®0, 021lim =∞→n n . (2)n
x n n 1)1(-=;
解 当n ®¥时, n x n n 1)1(-=®0, 01)1(lim =-∞→n
n n .
(3)212n
x n +=;
解 当n ®¥时, 212n x n +=®2, 2)12(lim 2=+∞→n n . (4)1
1+-=n n x n ;
解 当n ®¥时, 12111+-=+-=n n n x n ®0, 111lim =+-∞→n n n .
(5) x n
n (1)n .
解 当n ®¥时, x n n (1)n 没有极限.
2. 设数列{x n }的一般项n n x n 2cos π
=. 问n n x ∞→lim =? 求出N , 使当n >N 时, x n
与其极限之差的绝对值小于正数e , 当 0.001时, 求出数N .
解 0lim =∞
→n n x .
n
n n x n 1
|2cos ||0|≤=-π "e >0, 要使|x n -0|<e , 只要ε<n 1, 也就是ε
1>n . 取
]1[ε
=N ,
则"n >N , 有|x n -0|<e .
当e =0.001时, ]1[ε
=N =1000.
3. 根据数列极限的定义证明:
(1)01lim 2
=∞→n n ;
分析 要使ε<=
-221|01|n n , 只须ε12>n , 即ε
1>n . 证明 因为"e >0, $]1[ε
=N , 当n >N 时, 有ε<-|01|2n , 所以01lim 2=∞→n n . (2)2
31213lim =++∞→n n n ;
分析 要使ε<<+=-++n n n n 41)12(21|231213|, 只须ε<n
41, 即ε41>n .
证明 因为"e >0, $]41[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-++|231213|n n , 所以231213lim =++∞→n n n .
(3)1
lim
22=+∞
→n
a n n
分析 要使ε<<++=-+=-+n
a n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|, 只须ε2a n >.
证明 因为"e >0, $][2ε
a N =, 当"n >N 时, 有ε<-+|1|2
2n a n , 所以
1lim
22=+∞
→n
a n n .
(4)19 999.0lim =⋅⋅⋅∞
→
个
n n . 分析 要使|0.99 × × × 9-1|ε<=-1
101n , 只须1101-n <e , 即ε1lg 1+>n . 证明 因为"e >0, $]1lg 1[ε
+=N , 当"n >N 时, 有|0.99 × × × 9-1|<e , 所以
19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→ 个
n n .
4. a u n n =∞
→lim , 证明||||lim a u n n =∞
→. 并举例说明: 如果数列{|x n |}有极限, 但数列
{x n }未必有极限.
证明 因为a u n n =∞
→lim , 所以
e >0, N N , 当n >N 时, 有ε<-||a u n , 从而
||u n |
|a ||
|u n
a | .
这就证明了||||lim a u n n =∞
→.
数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限. 例如1|)1(|lim =-∞
→n n , 但n n )1(lim -∞
→不
存在.
5. 设数列{x n }有界, 又0lim =∞
→n n y , 证明: 0lim =∞
→n n n y x .
证明 因为数列{x n }有界, 所以存在M , 使n Z , 有|x n |M .
又0lim =∞
→n n y , 所以
e >0, N
N , 当n >N 时, 有M
y n ε<||. 从而当n >N 时,
有
εε=⋅<≤=-M M y M y x y x n n n n n |||||0|,
所以0lim =∞
→n n n y x .
6. 对于数列{x n } 若x 2k 1
®a (k ®¥), x 2k ®a (k ®¥),
证明: x n ®a (n ®¥). 证明 因为x 2k 1
®a (k ®¥), x 2k ®a (k ®¥), 所以
e >0,
K 1, 当2k 1>2K 11时, 有| x 2k
1
a |<e ;
K 2, 当2k >2K 2时, 有|x 2k a |<e
取N
max{2K 1
1, 2K 2}, 只要n >N , 就有|x n a |<e .
因此x n ®a (n ®¥). 习题1-3
1. 根据函数极限的定义证明: (1)8)13(lim 3
=-→x x ;
分析 因为
|(3x -1)-8|=|3x -9|=3|x -3|
所以要使|(3x -1)-8|<e , 只须ε3
1|3|<-x .
证明 因为"e >0, $εδ31=, 当0<|x -3|<d 时, 有
|(3x -1)-8|<e , 所以8)13(lim 3
=-→x x .
(2)12)25(lim 2
=+→x x ;
分析 因为
|(5x +2)-12|=|5x -10|=5|x -2|
所以要使|(5x +2)-12|<e , 只须ε51|2|<-x .
证明 因为"e >0, $εδ5
1=, 当0<|x -2|<d 时, 有 |(5x +2)-12|<e , 所以12)25(lim 2
=+→x x .
(3)42
4lim 2
2-=+--→x x x ;
分析 因为
|)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x
所以要使
ε<--+-)4(2
42x x , 只须ε<--|)2(|x . 证明 因为"e 0, $εδ=, 当0<|x -(-2)|<d 时, 有
ε<--+-)4(242x x , 所以424lim
22-=+--→x x x .
(4)21241lim 3
2
1=+--
→x x x .
分析 因为
|)21(|2|221|212413
--=--=-+-x x x x
所以要使ε<-+-212413
x x , 只须ε2
1|)21(|<--x . 证明 因为"e >0, $εδ21=, 当δ<--<|)2
1(|0x 时, 有
ε<-+-21
2413
x x ,
所以21241lim 3
2
1=+--
→x x x . 2. 根据函数极限的定义证明:
(1)2
121lim 33
=
+∞→x x x ; 分析 因为
3
33
333||21212121x x x x x x =-+=-+
所以要使ε<-+212133x x , 只须ε<3||21x , 即321||ε
>x . 证明 因为"e >0, $321ε
=X , 当|x |>X 时, 有
ε<-+212133
x x , 所以2
121lim 33=+∞→x x x . (2)0sin lim =+∞→x x x .
分析 因为
x
x
x x x 1|
sin |0sin ≤=
- 所以要使ε<-0sin x
x , 只须
ε<x
1, 即21ε>x .
证明 因为"e >0, $21ε
=X , 当x >X 时, 有
ε<-0sin x
x ,
所以0sin lim =+∞→x
x x .
3. 当x ®2时, y =x 2®
4. 问d 等于多少, 使当|x -2|<d 时, |y -4|<0.001？ 解 由于当x ®2时, |x -2|®0, 故可设|x -2|<1, 即1<x <3. 要使
|x 2-4|=|x +2||x -2|<5|x -2|<0.001, 只要0002
.05
001.0|2|=<-x
取d =0.0002, 则当0<|x -2|<d 时, 就有|x 2-4|<0. 001.
4. 当x ®¥时, 13
122→+-=x x y , 问X 等于多少, 使当|x |X 时, |y -1|0.01?
解 要使01.03
4131222
<+=-+-x x x , 只要397301.04||=->x , 故397=X .
5. 证明函数f (x )=|x |当x ®0时极限为零. 证明 因为 |f (x )0|||x |
0|
|x |
|x 0|
所以要使|f (x )
0|
只须|x | 因为对"e >0, $ 使当0|x 0|
时有
|f (x )0|||x |
0|
所以0
||lim 0
=→x x
6. 求,)(x
x x f = x x x |
|)(=ϕ当x ®0时的左﹑右极限, 并说明它们在x ®0时的极限
是否存在. 证明 因为
11lim lim )(lim 0
00===---→→→x x x x x x f ,
11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x f ,
)(lim )(lim 0
x f x f x x +→→=-,
所以极限)(lim 0
x f x →存在.
因为
1lim |
|lim )(lim 000-=-==--
-→→→x
x x x x x x x ϕ,
1lim |
|lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x x x ϕ,
)(lim )(lim 0
x x x x ϕϕ+→→≠-,
所以极限)(lim 0
x x ϕ→不存在.
7. 证明: 若x ®+¥及x ®-¥时, 函数f (x )的极限都存在且都等于A , 则
A x f x =∞
→)(lim .
证明 因为A x f x =-∞
→)(lim , A x f x =+∞
→)(lim , 所以e >0, X 10, 使当x -X 1时, 有|f (x )-A |
e ;
X 2
0, 使当x
X 2时, 有|f (x )-A |e .
取X =max{X 1, X 2}, 则当|x |
X 时, 有|f (x )-A |
e , 即A x
f x =∞
→)(lim .
8. 根据极限的定义证明: 函数f (x )当x ®x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.
证明先证明必要性. 设f(x)®A(x®x0), 则e>0, d0, 使当0<|x-x0|<d 时, 有
|f(x)-A|<e .
因此当x0-d<x<x0和x0<x<x0+d时都有
|f(x)-A|<e .
这说明f(x)当x x0时左右极限都存在并且都等于A .
再证明充分性. 设f(x0-0)=f(x0+0)=A, 则e>0,
d
>0, 使当x0-d1<x<x0时, 有| f(x)-A<e ;
1
d
>0, 使当x0<x<x0+d2时, 有| f(x)-A|<e .
2
取d=min{d1, d2}, 则当0<|x-x0|<d 时, 有x0-d1<x<x0及x0<x<x0+d2 , 从而有
| f(x)-A|<e ,
即f(x)®A(x®x0).
9. 试给出x时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.
解x时函数极限的局部有界性的定理如果f(x)当x时的极限存在则存在X0及M0使当|x|X时|f(x)|M
证明设f(x)A(x)则对于1X0当|x|X时有|f(x)A|1所以
|f(x)||f(x)A A||f(x)A||A|1|A|
这就是说存在X0及M0使当|x|X时|f(x)|M其中M1
|A | 习题1-4
1. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 解 不一定. 例如, 当x 0时, a (x )=2x , b (x )=3x 都是无穷小, 但32)()(lim
0=→x x x βα, )
()
(x x βα不是无
穷小.
2. 根据定义证明:
(1)3
92+-=x x y 当x 3时为无穷小; (2)x
x y 1sin =当x
0时为无穷小.
证明 (1)当x
3时|3|3
9||2
-=+-=x x x y . 因为
e 0, d =e , 当0|x -3|
d 时, 有
εδ=<-=+-=
|3|3
9||2x x x y , 所以当x
3时3
92
+-=x x y 为无穷小.
(2)当x 0时|0||1sin |||||-≤=x x
x y . 因为e 0, d =e , 当0|x -0|d 时, 有
εδ=<-≤=|0||1sin |||||x x
x y ,
所以当x 0时x
x y 1sin =为无穷小.
3. 根据定义证明: 函数x
x y 21+=为当x 0时的无穷大. 问x 应满足什么条件,
能使|y |>104？
证明 分析2|
|11221||-≥+=+=x x x x y , 要使|y |
M , 只须M x >-2|
|1, 即
2
1||+<
M x . 证明 因为M 0,
2
1
+=M δ, 使当0|x -0|
d 时, 有M x
x >+21,
所以当x
0时, 函数x
x y 21+=是无穷大.
取M =104, 则21014+=δ. 当2101|0|04+<-<x 时, |y |>104. 4. 求下列极限并说明理由: (1)x
x x 12lim +∞→;
(2)x
x x --→11lim 2
0. 解 (1)因为x x x 1212+=+, 而当x
时x 1是无穷小, 所以212lim =+∞→x
x x .
(2)因为x x
x +=--1112
(x 1), 而当x
0时x 为无穷小, 所以111lim 2
0=--→x
x x .
5. 根据函数极限或无穷大定义, 填写下表:
f (x )
A
f (x ) f (x )
f (x )
x x 0
0 0
使
当0
|x x 0|时 有恒|f (x )A |
x x 0
x x 0
x
0 X 0
使当|x |X 时
有恒|f(x)|M
x
x
解
f(x)A f(x)f(x)f(x)
x x
0使当0
|x x0|时
有恒|f(x)
A|
M0
0使当
0|x x0|
时有恒|f(x)|
M
M0
0使当
0|x x0|
时有恒f(x)
M
M0
0使当
0|x x0|
时有恒f(x)
M
x x
0使当0
x x
时
有恒|f(x)A|
M0
0使当
0x x0
时有恒|f(x)|
M
M0
0使当
0x x0
时有恒f(x)
M
M0
0使当
0x x0
时有恒f(x)
M
x x
0使当0
x
x时
有恒|f(x)A|
M0
0使当
0x0x
时有恒|f(x)|
M0
0使当
0x0x
时有恒f(x)
M0
0使当
0x0x
时有恒f(x)
M M M
x
0X
0使当|x|
X时有恒
|f(x)A|
0X
0使当|x|
X时有恒
|f(x)|M
0X
0使当|x|
X时有恒
f(x)M
0X
0使当|x|
X时有恒
f(x)M
x
0X
0使当x
X时有恒|f(x)
A|
0X
0使当x
X时有恒
|f(x)|M
0X
0使当x
X时有恒f(x)
M
0X
0使当x
X时有恒f(x)
M
x
0X
0使当x
X时有恒
|f(x)A|
0X
0使当x
X时有恒
|f(x)|M
0X
0使当x
X时有恒
f(x)M
0X
0使当x
X时有恒
f(x)M
6. 函数y=x cos x在(-, +)内是否有界？这个函数是否为当x+时的无
穷大？为什么？
解函数y=x cos x在(-, +)内无界.
这是因为M0, 在(-, +)内总能找到这样的x, 使得|y(x)|M. 例如y(2kp)=2kp cos2kp=2kp (k=0, 1, 2, ),
当k充分大时, 就有| y(2kp)|M.
当x + 时, 函数y =x cos x 不是无穷大.
这是因为M 0, 找不到这样一个时刻N , 使对一切大于N 的x , 都有|y (x )|
M . 例如
0)2
2cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k =0, 1, 2,
),
对任何大的N , 当k 充分大时, 总有N k x >+=2
2ππ, 但|y (x )|=0M .
7. 证明: 函数x x y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x 0+时的无穷
大.
证明 函数x x y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为
M 0, 在(0, 1]中总可以找到点x k , 使y (x k )
M . 例如当 2
21
ππ+=
k x k (k =0, 1, 2,
)
时, 有
2
2)(ππ+=k x y k ,
当k 充分大时, y (x k )M .
当x 0+ 时, 函数x x y 1sin 1=不是无穷大. 这是因为
M 0, 对所有的d
0, 总可以找到这样的点x k , 使0
x k d , 但y (x k )
M . 例如可取
π
k x k 21=(k =0, 1, 2, ),
当k 充分大时, x k d , 但y (x k )=2kp sin2kp =0M .
习题1-5
1. 计算下列极限:
(1)3
5lim 22-+→x x x ; 解 9325235lim 222-=-+=-+→x x x . (2)1
3lim 22
3+-→x x x ; 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)1
12lim 22
1-+-
→x x x x ; 解 02011lim )1)(1()1(lim 1
12lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x . (4)x
x x x x x 2324lim
2230++-→; 解 2
123124lim 2324lim 20223
0=++-=++-
→→x x x x x x x x x x . (5)h
x h x h 2
20)(lim -+→;
解 x h x h
x h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→. (6))112(lim 2
x x x +-∞→;
解 21lim 1lim
2)112(lim 22
=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)1
21lim 22---∞→x x x x ; 解 2111211lim 121lim 2222
=---=---∞
→∞→x
x x x x x
x x .
(8)1
3lim
242--+∞→x x x x x ; 解 01
3lim 2
42=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数, 极限为零) 或 01211
1lim 13lim 42322
42
=-
-+=--+∞→∞→x x x x x x x x x x . (9)4
586lim 22
4+-+-→x x x x x ;
解
3
2142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x . (10))12)(11(lim 2x
x x -+∞→; 解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 2
2=⨯=-⋅+
=-+∞→∞→∞→x x x x x x x . (11))21 41211(lim n
n +⋅⋅⋅+++∞→;
解 221
1)21(1lim )21
41211(lim 1
=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n . (12)2
)
1( 321lim
n n n -+⋅⋅⋅+++∞→;
解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 2
2=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n n
n n n n n n . (13)35)
3)(2)(1(lim
n
n n n n +++∞→; 解 51
5)3)(2)(1(lim
3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同, 极限为 最高次项系数之比).
或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim
3
=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n . (14))1311(lim 31x x x ---→;
解 )
1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(
lim 2122
131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112lim
2
1-=+++-=→x x x x . 2. 计算下列极限:
(1)2
232)2(2lim -+→x x x x ; 解 因为016
02)2(lim 2322==+-→x x x x , 所以
∞=-+→2232)2(2lim x x x x . (2)1
2lim 2
+∞→x x x ;
解 ∞=+∞→1
2lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数). (3))12(lim 3+-∞
→x x x .
解 ∞=+-∞
→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).
3. 计算下列极限:
(1)x
x x 1sin lim 20→;
解 01sin lim 20=→x
x x (当x 0时, x 2是无穷小, 而x 1sin 是有界变量).
(2)x
x x arctan lim ∞→.
解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x 时, x 1是无穷小,
而arctan x 是有界变量). 4. 证明本节定理3中的(2).
习题1-5
1. 计算下列极限:
(1)3
5lim 22-+→x x x ; 解 9325235lim 2
22-=-+=-+→x x x .
(2)1
3lim 22
3+-→x x x ; 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)1
12lim 221-+-→x x x x ; 解 02011lim )1)(1()1(lim 1
12lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x . (4)x
x x x x x 2324lim 223
0++-
→; 解 2
123124lim 2324lim
202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x . (5)h
x h x h 2
20)(lim -+→;
解 x h x h
x h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→. (6))112(lim 2
x x x +-∞→;
解 21lim 1lim
2)112(lim 22
=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)1
21lim 22---∞→x x x x ; 解 2111211lim 121lim 2222
=---=---∞
→∞→x
x x x x x
x x .
(8)1
3lim
242--+∞→x x x x x ; 解 01
3lim 2
42=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数, 极限为零) 或 01211
1lim 13lim 42322
42
=-
-+=--+∞→∞→x x x x x x x x x x . (9)4
586lim 22
4+-+-→x x x x x ;
解
3
2142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x . (10))12)(11(lim 2x
x x -+∞→; 解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 2
2=⨯=-⋅+
=-+∞→∞→∞→x x x x x x x . (11))21 41211(lim n
n +⋅⋅⋅+++∞→;
解 221
1)21(1lim )21
41211(lim 1
=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n . (12)2
)
1( 321lim
n n n -+⋅⋅⋅+++∞→;
解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 2
2=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n n
n n n n n n . (13)35)
3)(2)(1(lim
n
n n n n +++∞→; 解 51
5)3)(2)(1(lim
3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同, 极限为 最高次项系数之比).
或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim
3
=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n . (14))1311(lim 31x x x ---→;
解 )
1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(
lim 2122
131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112lim
2
1-=+++-=→x x x x . 2. 计算下列极限:
(1)2
232)2(2lim -+→x x x x ; 解 因为016
02)2(lim 2322==+-→x x x x , 所以
∞=-+→2232)2(2lim x x x x . (2)1
2lim 2
+∞→x x x ;
解 ∞=+∞→1
2lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数). (3))12(lim 3+-∞
→x x x .
解 ∞=+-∞
→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).
3. 计算下列极限:
(1)x
x x 1sin lim 20→;
解 01sin lim 20=→x
x x (当x 0时, x 2是无穷小, 而x 1sin 是有界变量).
(2)x
x x arctan lim ∞→.
解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x 时, x 1是无穷小,
而arctan x 是有界变量). 4. 证明本节定理3中的(2).
习题 1-7 1. 当x
0时, 2x -x 2 与x 2-x 3相比, 哪一个是高阶无穷小？
解 因为02lim 2lim 202320=--=--→→x
x x x x x x x x , 所以当x 0时, x 2-x 3是高阶无穷小, 即x 2-x 3=o (2x -x 2).
2. 当x
1时, 无穷小1-x 和(1)1-x 3, (2))1(2
12x -是否同阶？是否等价？
解 (1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim 212131=++=-++-=--→→→x x x x x x x x x x x , 所以当x
1时, 1-x 和1-x 3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小.
(2)因为1)1(lim 211)
1(2
1lim 1
21=+=--→→x x x x x , 所以当x
1时, 1-x 和)1(2
12x -是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小.
3. 证明: 当x 0时, 有:
(1) arctan x ~x ;
(2)2
~1sec 2x x -. 证明 (1)因为1tan lim
arctan lim 00==→→y y
x
x y x (提示: 令y =arctan x , 则当x 0时, y
0), 所以当x
0时, arctan x ~x .
(2)因为1)22sin 2(lim 2
2sin 2lim cos cos 1lim 2211sec lim 202202020===-=-→→→→x x
x x x x x x
x x x x x , 所以当x
0时, 2
~1sec 2
x x -.
4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限: (1)x
x x 23tan lim 0→;
(2)m
n x x x )(sin )
sin(lim 0→(n , m 为正整数);
(3)x x x x 30sin sin tan lim -
→; (4))
1sin 1)(11(tan sin lim
320-+-+-→x x x x x . 解 (1)2
323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x .
(2)⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→m
n m n m n x x x x m
n x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim 00. (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )
1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==-=-=-→→→→x x x x x x x
x x x x x x x x x . (4)因为
3222
1)2(2~2sin tan 2)1(cos tan tan sin x x x x x x x x x -=⋅--=-=-(x
0),
2323222
3
2
3
1~
11)1(11x x x x x ++++=-+(x 0), x x x x x ~sin ~1
sin 1sin 1sin 1++=
-+(x 0),
所以 33
121lim )1sin 1)(11(tan sin lim 2
3
03
20-=⋅-=-+-+-→→x x x x x x x x x .
5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质: (1) a ~a (自反性);
(2) 若a ~b , 则b ~a (对称性); (3)若a ~b , b ~g , 则a ~g (传递性). 证明 (1)1lim =α
α, 所以a ~a ;
(2) 若a ~b , 则1lim =β
α, 从而1lim
=α
β
. 因此b ~a ; (3) 若a ~b , b ~g , 1lim lim lim =⋅=βαγβ
γα. 因此a ~g .
习题1-8
1. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形:
(1)⎩
⎨⎧≤<-≤≤=21 21
0 )(2x x x x x f ;
解 已知多项式函数是连续函数, 所以函数f (x )在[0, 1)和(1, 2]内是连续的. 在x =1处, 因为f (1)=1, 并且
1lim )(lim 21
1
==--→→x x f x x , 1
)2(lim )(lim 1
1=-=++→→x x f x x
所以1)(lim 1
=→x f x , 从而函数f (x )在x =1处是连续的.
综上所述，函数f (x )在[0, 2]上是连续函数.
(2)⎩⎨⎧>≤≤-=1
|| 11
1 )(x x x x f .
解 只需考察函数在x =-1和x =1处的连续性. 在x =-1处, 因为f (-1)=-1, 并且
)1(11lim )(lim 1
1
-≠==---→-→f x f x x ,
)1(1lim )(lim 1
1
-=-==++-→-→f x x f x x ,
所以函数在x =-1处间断, 但右连续. 在x =1处, 因为f (1)=1, 并且
1lim )(lim 1
1
==--→→x x f x x =f (1), 11lim )(lim 1
1
==++→→x x x f =f (1),
所以函数在x =1处连续.
综合上述讨论, 函数在(-, -1)和(-1, +
)内连续, 在x =-1处间断, 但右连续.
2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:
(1)2
3122+--=x x x y , x =1, x =2; 解 )
1)(2()1)(1(23122---+=+--=
x x x x x x x y . 因为函数在x =2和x =1处无定义, 所以x =2和x =1是函数的间断点.
因为∞=+--=→→2
31lim lim 2222x x x y x x , 所以x =2是函数的第二类间断点;
因为2)
2()
1(lim
lim 11
-=-+=→→x x y x x , 所以x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断
点. 在x =1处, 令y =-2, 则函数在x =1处成为连续的. (2)x x y tan =, x =k , 2ππ+=k x (k =0,
1,
2,
);
解 函数在点x =k (k
Z)和2
ππ+=k x (k
Z)处无定义, 因而这些点都是函
数的间断点. 因∞=→x
x k x tan lim
π(k 0), 故x =k (k 0)是第二类间断点;
因为1tan lim
0=→x
x x , 0tan lim
2
=+
→x x k x ππ(k Z), 所以x =0和2
ππ+=k x (k
Z) 是第
一类间断点且是可去间断点.
令y |x =0=1, 则函数在x =0处成为连续的;
令2 ππ+=k x 时, y =0, 则函数在2
ππ+=k x 处成为连续的.
(3)x
y 1cos 2= x =0;
解 因为函数x y 1cos 2=在x =0处无定义, 所以x =0是函数x
y 1cos 2=的间断点.
又因为x
x 1cos lim 20→不存在, 所以x =0是函数的第二类间断点.
(4)⎩⎨⎧>-≤-=1
31
1x x x x y , x =1.
解 因为0
)1(lim )(lim 1
1
=-=--→→x x f x x 2)3(lim )(lim 1
1=-=++
→→x x f x x , 所以x =1是函数的
第一类不可去间断点.
3. 讨论函数x x x x f n
n n 2211lim )(+-=∞→的连续性, 若有间断点, 判别其类型. 解 ⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=+-=∞→1||
1|| 01|| 11lim
)(22x x x x x x x x x f n
n n
在分段点x =-1处, 因为1)(lim )(lim 1
1
=-=---→-→x x f x x , 1lim )(lim 1
1
-==++-→-→x x f x x , 所以
x =-1为函数的第一类不可去间断点.
在分段点x =1处, 因为1lim )(lim 1
1
==--→→x x f x x , 1)(lim )(lim 1
1
-=-=++→→x x f x x , 所以x =1
为函数的第一类不可去间断点.
4. 证明: 若函数f (x )在点x 0连续且f (x 0)
0, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x
U (x 0)时, f (x )0.
证明 不妨设f (x 0)>0. 因为f (x )在x 0连续, 所以0)()(lim 00
>=→x f x f x x , 由极限的局
部保号性定理, 存在x 0的某一去心邻域)(0x U
, 使当x
)(0x U
时f (x )>0, 从而当x
U (x 0)时, f (x )>0. 这就是说, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x U (x 0)时, f (x )
0.
5. 试分别举出具有以下性质的函数f (x )的例子: (1)x
0,
1,
2, 2
1±,
,
n , n
1±,
是f (x )的所有间断点,
且它们都是无穷间断点;
解 函数x
x x f π
πcsc )csc()(+=在点x
0, 1,
2, 2
1±,
,
n , n
1±,
处是间断的
且这些点是函数的无穷间断点.
(2)f (x )在R 上处处不连续, 但|f (x )|在R 上处处连续;
解 函数⎩⎨⎧∉∈-=Q
Q
x x x f 1 1)(在R 上处处不连续, 但|f (x )|
1在R 上处处连续.
(3)f (x )在R 上处处有定义, 但仅在一点连续.
解 函数⎩
⎨⎧∉-∈=Q Q
x x x x x f )(在R 上处处有定义, 它只在x
0处连续.
习题1-9
1. 求函数6
33)(223-+--+=
x x x x x x f 的连续区间, 并求极限)(lim 0x f x →, )(lim 3x f x -→及)(lim 2
x f x →.
解 )2)(3()1)(1)(3(6
33)(223-++-+=-+--+=
x x x x x x x x x x x f , 函数在(-, +)内除点x =2和x =-3外是连续的, 所以函数f (x )的连续区间为(-, -3)、(-3, 2)、(2, +).
在函数的连续点x =0处, 21)0()(lim 0==→f x f x . 在函数的间断点x =2和x =-3处, ∞=-++-+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim
)(lim 22
x x x x x x f x x , 5
8
2)1)(1(lim )(lim 33-=-+-=-→-→x x x x f x x .
2. 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续, 证明函数
(x )
max{f (x ), g (x )},
(x )
min{f (x ), g (x )}
在点x 0也连续.
证明 已知)()(lim 00
x f x f x x =→, )()(lim 00
x g x g x x =→.
可以验证
] |)()(|)()([2
1)(x g x f x g x f x -++=ϕ, ] |)()(|)()([2
1)(x g x f x g x f x --+=ψ.
因此 ] |)()(|)()([2
1)(00000x g x f x g x f x -++=ϕ,
] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x --+=ψ.
因为
] |)()(|)()([2
1lim )(lim 00x g x f x g x f x x x x x -++=→→ϕ
] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210000
x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→-++=
] |)()(|)()([2
10000x g x f x g x f -++=(x 0),
所以
(x )在点x 0也连续.
同理可证明(x )在点x 0也连续.
3. 求下列极限: (1)52lim 20
+-→x x x ;
(2)34
)2(sin lim x x π
→;
(3))
2cos 2ln(lim 6
x x π
→
(4)x
x x 11lim 0-+→;
(5)1
45lim 1---→x x x x ;
(6)a x a x a x --→sin sin lim ;
(7))(lim 22x x x x x --++∞
→.
解 (1)因为函数52)(2+-=x x x f 是初等函数, f (x )在点x =0有定义, 所以 55020)0(52lim 220
=+⋅-==+-→f x x x .
(2)因为函数f (x )=(sin 2x )3是初等函数, f (x )在点4π=x 有定义, 所以
1)42(sin )4()2(sin lim 334
=⋅==→πππ
f x x .
(3)因为函数f (x )=ln(2cos2x )是初等函数, f (x )在点6π=x 有定义, 所以
0)62cos 2ln()6()2cos 2ln(lim 6
=⋅==→πππ
f x x .。