《一元二次方程根与系数的关系》数学教学PPT课件(3篇)
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(1) (2) (3)
（1） （2）整理得： （3）整理得：
课堂练习
1．根据一元二次方程根与系数的关系，求下列 方程的两根x1，x2的和与积．
(1)2x2－4x－3＝0； (2)x2－4x＋3＝7； (3)5x2－3＝10x＋4.
2．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋
m2＋5＝0的两实数根．
如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个
实数根是x1，x2 那么x1+x2= b，x1·x2= c .
a
a
如果一元二次方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2 那么
x1+x2=- p
x1·x2= q
18
例题
【例1】已知方程 3x2+mx-4=0的一个根是2，求它的另 一个根及m的值.
（2）3x2-2x=2 （4）3x2=2
（1）（3，1） （2）（ 2， ）2
33
（3）（ 3，0）
2
（4）（0，
）2
3
21
2.利用根与系数的关系，判断下列各方程后面的两个 数是不是它的两个根?（口答）
（1）x2-6x-7=0（-1，7）
（2）3x2+5x-2=0（ 5 ， 2 ）
33 （3）2x2-3x+1=0（3，1）
程无解，∴m＝6；
(2)①当7为底边时，此时方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0有两 个相等的实数根，∴Δ＝4(m＋1)2－4(m2＋5)＝0，解得：m ＝2.∴方程变为x2－6x＋9＝0，解得x1＝x2＝3.∵3＋3＜7， ∴不能构成三角形；②当7为腰时，设x1＝7，代入方程得： 49－14(m＋1)＋m2＋5＝0，解得：m＝10或4.当m＝10时， 方程变为x2－22x＋105＝0，解得：x＝7或15.∵7＋7＜15， 不能组成三角形；当m＝4时方程变为x2－10x＋21＝0，解 得：x＝3或7，此时三角形的周长为7＋7＋3＝17.
1.一元二次方程根与系数的关系是什么?
2.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先 要把已知方程化成一般形式.
3.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特 别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，
当且仅当 b2 4ac 0 时，才能应用根与系
数的关系.
4.6 一元二次方程根与系数的关系
13
1.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系. 2.灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题． 3.提高学生综合运用基础知识分析解决较为复杂问题的能
4.6 一元二次方程根与系数的关系
教学目标
了解一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
的两个根分别是 x1 、x2 ，那么：
x1
x2
b a
x1
•
x2
c a
这就是一元二次方程根与系数的关系，也
叫韦达定理.
新课引入
设方程ax2 bx c 0(a 0)的两根 为x1, x2 , 试求出x1 x2 , x1 • x2的值. 你能看出x1 x2 , x1 • x2的值与方程 的系数有何关系？
【解析】设方程的另一个根是x1，那么
2x1= 4 ∴x1= 2.
3
3
又
2+2= 3
m 3
∴ m=-4
答：方程的另一个根是 2，m的值是-4. 3
19
例题
【例2】 设x1, x2方程2x2 5x 1 0的两个根，求下列各式的值：
（1） （【x解1 析1)(】x2 由1)一元(2)一x1次1 方x12程根与系数的关系，得
x1+x2
=
52，x1.x2
=
1 2
.
(1)(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+
1 2
5 2
1
1
1=
（2）x1—1
+
1
x—2
=
—xx11—+.xx—22
=
5
——1—2
=-5
2
20
跟踪训练
1.下列方程两根的和与两根的积各是多少？（不解方程）
（1）x2-3x+1=0 （3）2x2+3x=0
力．
14
解下面的一元二次方程：
①x2 3x 2 0,
②x2 5x 6 0,
③3x2 x 2 0， ④2x2 4x 1 0.
15
方程
两个根x1、 两根 两根
x2的值
的和 的积
请 同
x1 x2 x1+x2 x1·x2
学 们
x2 +3x+2=0 1 2 3 2
观
察
x2 -5x+6=0 -2 -3 -5 6
下
表
3x2+x-2=0
-1
2 3
1 3
2 3
2x2-4x+1=0
1+ 2 2
1- 2 2
21
2
16
请同学们猜想：
对于任意的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
的两个实数根x1.x2，那么x1+x2， x1.x2与系数a，b， c 的关系.
x1+x2= b a
x1.x2= c a
17
归纳：
(1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；
(2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长．
解：(1)∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x ＋m2＋5＝0，∴x1＋x2＝2(m＋1)，x1·x2＝m2＋5， ∴(x1－1)(x2－1)＝x1·x2－(x1＋x2)＋1＝m2＋5－2(m＋ 1)＋1＝28，解得：m＝－4或m＝6.∵m＝－4时原方
ax2+bx+c
的两个根为 x1，x2， 则：
又 ax2+bx+c =
于是
.
所以
即：
这表明，当 有如下关系：
时，一元二次方程根与系数之间具
两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相 反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比.
例1 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列
方程的两根 x1，x2 4）x2-4x+1=0（2 3 ，2 3 ） （×）
22
1. 如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，
x2=1，那么p，q的值分别是（ ）
A.－3，2
B. 3，-2
C. 2，－3 D. 2，3
【解析】选A，根据根与系数的关系得： x1+ x2= -p=2+1=3， x1·x2=q=2，即p=－3， q=2.
23
2.已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，它的另一
个
16
3
16
根3.是设x1,x2是方程，2mx2的+4值x-是3=0的两个根.，利用根与
系数的关系，求下列各式的值.
（1）（x1+1)(x2+1） 5 2
（2）—x1 x2
+ x—x21
14 3
24
4. 已知x1=-1是方程x2+mx-5=0的一个根，求m的值及方程 的另一根x2. 【解析】由题意得：(1)2 (1) m解 5得 0m=-4,当m=-4时， -1+x2=-(-4), x2=5 ,所以方程的另一根x2=5. 答： m=-4， x2=5.
（1） （2）整理得： （3）整理得：
课堂练习
1．根据一元二次方程根与系数的关系，求下列 方程的两根x1，x2的和与积．
(1)2x2－4x－3＝0； (2)x2－4x＋3＝7； (3)5x2－3＝10x＋4.
2．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋
m2＋5＝0的两实数根．
如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个
实数根是x1，x2 那么x1+x2= b，x1·x2= c .
a
a
如果一元二次方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2 那么
x1+x2=- p
x1·x2= q
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例题
【例1】已知方程 3x2+mx-4=0的一个根是2，求它的另 一个根及m的值.
（2）3x2-2x=2 （4）3x2=2
（1）（3，1） （2）（ 2， ）2
33
（3）（ 3，0）
2
（4）（0，
）2
3
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2.利用根与系数的关系，判断下列各方程后面的两个 数是不是它的两个根?（口答）
（1）x2-6x-7=0（-1，7）
（2）3x2+5x-2=0（ 5 ， 2 ）
33 （3）2x2-3x+1=0（3，1）
程无解，∴m＝6；
(2)①当7为底边时，此时方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0有两 个相等的实数根，∴Δ＝4(m＋1)2－4(m2＋5)＝0，解得：m ＝2.∴方程变为x2－6x＋9＝0，解得x1＝x2＝3.∵3＋3＜7， ∴不能构成三角形；②当7为腰时，设x1＝7，代入方程得： 49－14(m＋1)＋m2＋5＝0，解得：m＝10或4.当m＝10时， 方程变为x2－22x＋105＝0，解得：x＝7或15.∵7＋7＜15， 不能组成三角形；当m＝4时方程变为x2－10x＋21＝0，解 得：x＝3或7，此时三角形的周长为7＋7＋3＝17.
1.一元二次方程根与系数的关系是什么?
2.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先 要把已知方程化成一般形式.
3.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特 别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，
当且仅当 b2 4ac 0 时，才能应用根与系
数的关系.
4.6 一元二次方程根与系数的关系
13
1.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系. 2.灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题． 3.提高学生综合运用基础知识分析解决较为复杂问题的能
4.6 一元二次方程根与系数的关系
教学目标
了解一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
的两个根分别是 x1 、x2 ，那么：
x1
x2
b a
x1
•
x2
c a
这就是一元二次方程根与系数的关系，也
叫韦达定理.
新课引入
设方程ax2 bx c 0(a 0)的两根 为x1, x2 , 试求出x1 x2 , x1 • x2的值. 你能看出x1 x2 , x1 • x2的值与方程 的系数有何关系？
【解析】设方程的另一个根是x1，那么
2x1= 4 ∴x1= 2.
3
3
又
2+2= 3
m 3
∴ m=-4
答：方程的另一个根是 2，m的值是-4. 3
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例题
【例2】 设x1, x2方程2x2 5x 1 0的两个根，求下列各式的值：
（1） （【x解1 析1)(】x2 由1)一元(2)一x1次1 方x12程根与系数的关系，得
x1+x2
=
52，x1.x2
=
1 2
.
(1)(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+
1 2
5 2
1
1
1=
（2）x1—1
+
1
x—2
=
—xx11—+.xx—22
=
5
——1—2
=-5
2
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跟踪训练
1.下列方程两根的和与两根的积各是多少？（不解方程）
（1）x2-3x+1=0 （3）2x2+3x=0
力．
14
解下面的一元二次方程：
①x2 3x 2 0,
②x2 5x 6 0,
③3x2 x 2 0， ④2x2 4x 1 0.
15
方程
两个根x1、 两根 两根
x2的值
的和 的积
请 同
x1 x2 x1+x2 x1·x2
学 们
x2 +3x+2=0 1 2 3 2
观
察
x2 -5x+6=0 -2 -3 -5 6
下
表
3x2+x-2=0
-1
2 3
1 3
2 3
2x2-4x+1=0
1+ 2 2
1- 2 2
21
2
16
请同学们猜想：
对于任意的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
的两个实数根x1.x2，那么x1+x2， x1.x2与系数a，b， c 的关系.
x1+x2= b a
x1.x2= c a
17
归纳：
(1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求m的值；
(2)已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长．
解：(1)∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x ＋m2＋5＝0，∴x1＋x2＝2(m＋1)，x1·x2＝m2＋5， ∴(x1－1)(x2－1)＝x1·x2－(x1＋x2)＋1＝m2＋5－2(m＋ 1)＋1＝28，解得：m＝－4或m＝6.∵m＝－4时原方
ax2+bx+c
的两个根为 x1，x2， 则：
又 ax2+bx+c =
于是
.
所以
即：
这表明，当 有如下关系：
时，一元二次方程根与系数之间具
两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相 反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比.
例1 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列
方程的两根 x1，x2 4）x2-4x+1=0（2 3 ，2 3 ） （×）
22
1. 如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，
x2=1，那么p，q的值分别是（ ）
A.－3，2
B. 3，-2
C. 2，－3 D. 2，3
【解析】选A，根据根与系数的关系得： x1+ x2= -p=2+1=3， x1·x2=q=2，即p=－3， q=2.
23
2.已知方程3x2-19x+m=0的一个根是1，它的另一
个
16
3
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根3.是设x1,x2是方程，2mx2的+4值x-是3=0的两个根.，利用根与
系数的关系，求下列各式的值.
（1）（x1+1)(x2+1） 5 2
（2）—x1 x2
+ x—x21
14 3
24
4. 已知x1=-1是方程x2+mx-5=0的一个根，求m的值及方程 的另一根x2. 【解析】由题意得：(1)2 (1) m解 5得 0m=-4,当m=-4时， -1+x2=-(-4), x2=5 ,所以方程的另一根x2=5. 答： m=-4， x2=5.