八年级数学下册 一元二次方程根与系数的关系例(详细分析：系数)共5张PPT

例2 一元二次方程x2-3x+1=0的两实根分别为x1、x2，
求（x -2）（x ）的值 -2 2 解：设方程的另一个根是1x1，则2x1=- ，∴x1=- .
.
分析：先根据根与系数的关系得到x +x =3，x ·x =1， 注意点：由于方程（x-x1）（x-x2）=0可化为x2-（x1+x2）x+x1x2=0，如果已知两根之和与两根之积，可根据这一性质构造出一个符合要求
1 的 解一：元根二 据次 题方 意程 得.x1+x2=3，x1·x2=1，所以（x1-2）（x2-2）=x1·x2-2（x1+x2）+4=1-2×3+4=-12.
12
再利用乘法公式把（x -2）（x -2）展开得到x ·x - 例1 已知方程5x2+kx-6=0的一个根为2，求它的另
例3 已知两个数的和等于8，积等于7，求这两个数的值. 1
解又：∵设x方1+程2=的- 另k5，一∴个根- 是53+x21=，-则2，k5 x1∴=-k=-，7.∴56 x1=-
.
3 5
注意点：对于一元二次方程（ ≥0），当已知二次
项系数和常数项时，可求得方程的两根之积；当已知
二次项系数和一次项系数时，可求得方程的两根之和.
已知一元二次方程的实数根，求两根的 代数式的和
例2 一元二次方程x2-3x+1=0的两实根分别为x1、x2，求（x1-2）（x2-2）的值.
4 一元二次方程根与系数的关系（选学）
第4 2一章元二一次元解方二程次：根方与程根系数据的关系根（选与学）系数的关系可知，这两个数是方程x2-
分析：可将-8作为一次项系数，7作为常数项，
8x+7=0的两个根，解这个方程得x =7，x =1. 因此这 2 已解知：两 根数据的根和与与系积数，的构关造系一可元知二，次这方两程个求数这是两方个程数x2-8x+7=0的两个根，解这个方程得1x1=7，x2=1. 两个数是1，7. 积为1，即x1x2=a2=1，解得a=1或-1.
构造一个二次项系数为 的一元二次方程，则这个 分析：可将-8作为一次项系数，7作为常数项，
4 一元二次方程根与系数的关系（选学）
1
积为1，即x1x2=a2=1，解得a=1或-1.
一元二次方程的解就是所要求的两个数. 注意点：对于一元二次方程（ ≥0），当已知二次项系数和常数项时，可求得方程的两根之积；
1
2
1
（ =x -2 x +x ）+4=1-2×3+4=-1. x -2） ·x （ 构造一个二次项系数为1的一元二次方程，则这个
2 又∵x1+2=- ，∴- +2=- ，∴k=-7. 1
2
1
2
注意点：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根
与系数的关系：若方程两个根为x1·x2，则
x1+x2= b，x1·x2= .c
2
12
2（x +x ）+4，然后利用整体代入的方法计算. 与系数的关系：若方程两个根为x1·x2，则
1 2 例3 已知两个数的和等于8，积等于7，求这两个数的值.
分析：由方程5x2+kx-6=0可知二次项系数和常数项，所以可根据两根之积求出方程另一个根，然后根据两根之和求出k的值
已知方程一根，利用根与系数的关系
a
a
Hale Waihona Puke 已知两数的和与积，构造一元二次方程求 这两个数
例3 已知两个数的和等于8，积等于7，求这两个数的
值.
解：设方程的另一个根是x1，则2x1=- ，∴x1=- .
分析：可将-8作为一次项系数，7作为常数项， 即(a-1)2-4·a2≥0，即-3a2-2a+1≥0，当a=1时，
例1 已知方程5x2+kx-6=0的一个根为2，求它的另
例1 已知方程5x2+kx-6=0的一个根为2，求它的另
注意点：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根
解：根据题意得x +x ，x ·x =1，所以（x -2） 2=3 积为1，即x1x2=a2=1，解得a=1或-1.
例4 3一元已二知次两方个程数根的与和系等数于的8，关积系等（于选7学，）求这两个1数的值.
注意点：由于方程（x-x1）（x-x2）=0可化为x2（x1+x2）x+x1x2=0，如果已知两根之和与两根之积， 可根据这一性质构造出一个符合要求的一元二次方
程.
例 若关于x的方程x2+(a-1)x+a2=0的两根互为倒数
，则a=
.
错答：因为方程的两根互为倒数，所以两根的乘
积为1，即x1x2=a2=1，解得a=1或-1.
正答：-1.
错因：方程有两个根，所以根的判别式 ≥0， 即(a-1)2-4·a2≥0，即-3a2-2a+1≥0，当a=1时， -3a2-2a+1=-4，不符合条件，舍去. 当a=-1时，符合题意. 故填-1.
第2章 一元二次方程
2.4 一元二次方程根与系数的关系（选学）
已知方程一根，利用根与系数的关系 求方程另一根
例1 已知方程5x2+kx-6=0的一个根为2，求它的另
一个根及k的值. 分析：由方程5x2+kx-6=0可知二次项系数和常数项，所 以可根据两根之积求出方程另一个根，然后根据两根之 和求出k的值