2021年上海市中考数学真题试卷(学生版+解析版)

2021年上海市中考数学试卷
一.选择题
1．下列实数中，有理数是（ ）
A ．√12
B ．√13
C ．√14
D ．√15
2．下列单项式中，a 2b 3的同类项是（ ） A ．a 3b 2
B ．3a 2b 3
C ．a 2b
D ．ab 3
3．将函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象向下平移两个单位，以下错误的是（ ） A ．开口方向不变 B ．对称轴不变 C ．y 随x 的变化情况不变
D ．与y 轴的交点不变
4．商店准备确定一种包装袋来包装大米，经市场调查后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适（ ）
A ．2kg /包
B ．3kg /包
C ．4kg /包
D ．5kg /包
5．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB →
=a →
，AD →
=b →
，E 为AB 中点，则12
a →+
b →
=（ ）
A ．EC →
B ．CE →
C ．E
D →
D ．D
E →
6．如图，长方形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，圆B 半径为1，圆A 与圆B 内切，则点C 、D 与圆A 的位置关系是（ ）
A ．点C 在圆A 外，点D 在圆A 内
B ．点
C 在圆A 外，点
D 在圆A 外 C ．点C 在圆A 上，点D 在圆A 内
D ．点C 在圆A 内，点D 在圆A 外 二.填空题
7．计算：x 7÷x 2＝ ．
8．已知f （x ）=6
x ，那么f （√3）＝ ． 9．已知√x +4=3，则x ＝ ．
10．不等式2x ﹣12＜0的解集是 ． 11．70°的余角是 ．
12．若一元二次方程2x 2﹣3x +c ＝0无解，则c 的取值范围为 ． 13．已知数据1、1、2、3、5、8、13、21、34，从这些数据中选取一个数据，得到偶数的概率为 ．
14．已知函数y ＝kx 经过二、四象限，且函数不经过（﹣1，1），请写出一个符合条件的函数解析式 ．
15．某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本5元/千克，现以8元卖出，挣得 元．
16．如图所示，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，
S △ABD S △BCD
=1
2
，则
S △BOC S △BCD
= ．
17．六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积 ．
18．定义：平面上一点到图形最短距离为d ，如图，OP ＝2，正方形ABCD 边长为2，O 为正方形中心，当正方形ABCD 绕O 旋转时，则d 的取值范围为 ．
三.解答题 19．计算：9
1
2
+|1−√2|﹣2﹣
1×√8．
20．解方程组：{x +y =3
x 2−4y 2=0
．
21．如图，已知△ABD 中，AC ⊥BD ，BC ＝8，CD ＝4，cos ∠ABC =4
5，BF 为AD 边上的中线．
（1）求AC 的长； （2）求tan ∠FBD 的值．
22．现在5G 手机非常流行，某公司第一季度总共生产80万部5G 手机，三个月生产情况如图．
（1）求三月份生产了多少部手机？
（2）5G手机速度很快，比4G下载速度每秒多95MB，下载一部1000MB的电影，5G 比4G要快190秒，求5G手机的下载速度．
23．如图，在圆O中，弦AB等于弦CD，且相交于点P，其中E、F为AB、CD中点．（1）证明：OP⊥EF；
（2）联结AF、AC、CE，若AF∥OP，证明：四边形AFEC为为矩形．
24．已知抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点P（3，0）、Q（1，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点A在直线PQ上，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC．
①当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C在抛物线上，求C的坐标．
25．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是对角线AC的中点，联结BO并延长交边CD或边AD于点E．
（1）当点E在CD上，
①求证：△DAC∽△OBC；
②若BE ⊥CD ，求
AD BC
的值；
（2）若DE ＝2，OE ＝3，求CD 的长．
2021年上海市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题
1．下列实数中，有理数是（）
A．√1
2B．
√1
3C．
√1
4D．
√1
5
【解答】解：A.√1
2
=√22,不是有理数，不合题意；
B.√1
3
=√33,不是有理数，不合题意；
C.√1
4
=12,是有理数，符合题意；
D.√1
5
=√55,不是有理数，不合题意；
故选：C．
2．下列单项式中，a2b3的同类项是（）
A．a3b2B．3a2b3C．a2b D．ab3
【解答】解：A、字母a、b的次数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；
B、有相同的字母，相同字母的指数相等，是同类项，故本选项符合题意；
C、字母b的次数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；
D、相同字母a的次数不相同，不是同类项，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，以下错误的是（）A．开口方向不变B．对称轴不变
C．y随x的变化情况不变D．与y轴的交点不变
【解答】解：A、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，a不变，开口方向不变，故不符合题意．
B、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，顶点的横坐标不变，对称轴
不变，故不符合题意．
C、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，抛物线的性质不变，自变量
x不变，则y随x的变化情况不变，故不符合题意．
D、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，与y轴的交点也向下平移两
个单位，故符合题意．
故选：D ．
4．商店准备确定一种包装袋来包装大米，经市场调查后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适（ ）
A ．2kg /包
B ．3kg /包
C ．4kg /包
D ．5kg /包
【解答】解：由图知这组数据的众数为1.5kg ~2.5kg ，取其组中值2kg ， 故选：A ．
5．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB →
=a →
，AD →
=b →
，E 为AB 中点，则12
a →
+b →
=（ ）
A ．EC →
B ．CE →
C ．E
D →
D ．D
E →
【解答】解：∵AB →
=a →
， ∴12a →
=EB →
，
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC →
=AD →
=b →
，
∴12a →
+b →
=EB →
+BC →
=EC →
，
故选：A ．
6．如图，长方形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，圆B 半径为1，圆A 与圆B 内切，则点C 、D 与圆A 的位置关系是（ ）
A．点C在圆A外，点D在圆A内
B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内
D．点C在圆A内，点D在圆A外
【解答】解：两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，设圆A的半径为R，
则：AB＝R﹣1，
∵AB＝4，圆B半径为1，
∴R＝5，即圆A的半径等于5，
∵AB＝4，BC＝AD＝3，由勾股定理可知AC＝5，
∴AC＝5＝R，AD＝3＜R，
∴点C在圆上，点D在圆内，
故选：C．
二.填空题
7．计算：x7÷x2＝x5．
【解答】解：x7÷x2＝x7﹣2＝x5，
故答案为：x5．
8．已知f（x）=6
x，那么f（√3）＝2√3．
【解答】解：由题意将x═√3代入函数表达式，
则有：f(√3)=6
3
=2√3．
故答案为：2√3．
9．已知√x+4=3，则x＝5．【解答】解：∵√x+4=3，
∴x+4＝9
∴x ＝5． 故答案为：5．
10．不等式2x ﹣12＜0的解集是 x ＜6 ． 【解答】解：移项，得：2x ＜12， 系数化为1，得：x ＜6， 故答案为x ＜6．
11．70°的余角是 20° ．
【解答】解：根据定义一个角是70°，则它的余角度数是90°﹣70°＝20°， 故答案为，20°．
12．若一元二次方程2x 2﹣3x +c ＝0无解，则c 的取值范围为 c ＞98
． 【解答】解：∵一元二次方程2x 2﹣3x +c ＝0无解， △＝(﹣3)2﹣4×2×c ＜0， 解得c ＞9
8，
∴c 的取值范围是c ＞98
． 故答案为：c ＞98
．
13．已知数据1、1、2、3、5、8、13、21、34，从这些数据中选取一个数据，得到偶数的概率为
13
．
【解答】解：∵共有9个数据，其中偶数有3个， ∴从这些数据中选取一个数据，得到偶数的概率为3
9
=1
3，
故答案为：1
3
．
14．已知函数y ＝kx 经过二、四象限，且函数不经过（﹣1，1），请写出一个符合条件的函数解析式 y ＝﹣2x ．
【解答】解：∵函数y ＝kx 经过二、四象限， ∴k ＜0．
若函数y ＝kx 经过（﹣1，1），则1＝﹣k ,即k ＝﹣1,
故函数y ＝kx 经过二、四象限，且函数不经过（﹣1，1）时，k ＜0且k ≠﹣1， ∴函数解析式为y ＝﹣2x ,
故答案为y ＝﹣2x ．
15．某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本5元/千克，现以8元卖出，挣得
335
k 元．
【解答】解：设卖出的苹果数量y 与售价x 之间的函数关系式为y ＝mx +n ， {5m +n =4k 10m +n =k ， 解得：{m =−3
5k n =7k ，
∴y =−3
5
kx +7k ，
x ＝8时，y ==−3
5k ×8+7k =11
5k ， ∴现以8元卖出，挣得（8﹣5）×115k =335
k ， 故答案为：
335
k ．
16．如图所示，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，S △ABD S △BCD
=1
2
，则
S △BOC S △BCD
=
23
．
【解答】解：过D 作DM ⊥BC 于M ，过B 作BN ⊥AD 于N ，如图：
∵AD ∥BC ，DM ⊥BC ，BN ⊥AD ， ∴四边形BMDN 是矩形，DM ＝BN ，
∵S △ABD
S △BCD =12
， ∴12AD⋅BN 12BC⋅DM =12，
∴AD BC =12， ∵AD ∥BC ，
∴
OD OB =AD BC =12， ∴
OB BD =23， ∴S △BOC S △BCD =23
， 故答案为：23．
17．六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正
六边形的面积 3√32
．
【解答】解：如图，∵△ABG ≌△BCH ，
∴AG ＝BH ，
∵∠ABG ＝30°，
∴BG ＝2AG ，
即BH +HG ＝2AG ，
∴HG ＝AG ＝1，
∴小两个正六边形的面积＝6×√34×12=3√32，
故答案为：3√32．
18．定义：平面上一点到图形最短距离为d，如图，OP＝2，正方形ABCD边长为2，O为正方形中心，当正方形ABCD绕O旋转时，则d的取值范围为2−√2≤d≤1．
【解答】解：如图：设AB的中点是E，OP过点E时，点O与边AB上所有点的连线中，OE最小，此时d＝PE最大，OP过顶点A时，点O与边AB上所有点的连线中，OA最大，此时d＝P A最小，
如图①：∵正方形ABCD边长为2，O为正方形中心，
∴AE＝1，∠OAE＝45°，OE⊥AB，
∴OE＝1，
∵OP＝2，
∴d＝PE＝1；
如图②：∵正方形ABCD边长为2，O为正方形中心，
∴AE＝1，∠OAE＝45°，OE⊥AB，
∴OA=√2，
∵OP＝2，
∴d＝P A＝2−√2；
∴d的取值范围为2−√2≤d≤1．
故答案为：2−√2≤d≤1．
三.解答题
19．计算：91
2+|1−√2|﹣2﹣1×√8．
【解答】解：912+√2−1−12×2√2
＝912
+√2−1−√2 ＝812．
20．解方程组：{x +y =3x 2−4y 2=0
． 【解答】解：{x +y =3①x 2−4y 2=0②
， 由①得：y ＝3﹣x ，
把y ＝3﹣x 代入②，得：x 2﹣4(3﹣x )2＝0，
化简得：(x ﹣2)(x ﹣6)＝0，
解得：x 1＝2，x 2＝6．
把x 1＝2，x 2＝6依次代入y ＝3﹣x 得：
y 1＝1，y 2＝﹣3，
∴原方程组的解为{x 1=2y 1=1,{x 2=6y 2=−3
． 21．如图，已知△ABD 中，AC ⊥BD ，BC ＝8，CD ＝4，cos ∠ABC =45，BF 为AD 边上的中
线．
（1）求AC 的长；
（2）求tan ∠FBD 的值．
【解答】解：（1）∵cos ∠ABC =BC AB =45，
BC ＝8，
∴AB ＝10，
∵AC ⊥BD ，
在Rt △ACB 中，由勾股定理得，
AC =√AB 2−BC 2=√102−82=6，
即AC 的长为6；
（2）如图，
连接CF，过F点作BD的垂线，垂足E，∵BF为AD边上的中线，
即F为AD的中点，
∴CF=1
2AD＝FD，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，
AD=√AC2+CD2=√62+42=2√13，∵三角形CFD为等腰三角形，FE⊥CD，
∴CE=1
2CD＝2，
在Rt△EFC中，EF=√CF2−CE2=√13−4=3，
∴tan∠FBD=FE
BE
=3
BC+CE
=310．
22．现在5G手机非常流行，某公司第一季度总共生产80万部5G手机，三个月生产情况如图．
（1）求三月份生产了多少部手机？
（2）5G手机速度很快，比4G下载速度每秒多95MB，下载一部1000MB的电影，5G 比4G要快190秒，求5G手机的下载速度．
【解答】解：（1）80×（1﹣30%﹣25%）＝36（万部），
答：三月份生产了36万部手机；
（2）设5G手机的下载速度是每秒xMB．则4G手机的下载速度是每秒（x﹣95）MB．
1000 x +190=1000
x−95，
解得：x1＝100，x2＝﹣5（不合题意，舍去），经检验，x1＝100是原方程的解，
答：5G手机的下载速度是每秒100MB．
23．如图，在圆O中，弦AB等于弦CD，且相交于点P，其中E、F为AB、CD中点．（1）证明：OP⊥EF；
（2）联结AF、AC、CE，若AF∥OP，证明：四边形AFEC为为矩形．
【解答】（1）证明：连接OP,EF,OE,OF,OB＝OD．
∵AE＝EB,CF＝FD,AB＝CD,
∴OE⊥AB,OF⊥CD,BE＝DF,
∴∠OEB＝∠OFD＝90°,
∵OB＝OD,
∴Rt△OEB≌Rt△OFB(HL),
∴OE＝OF,
∵∠OEP＝∠OFP＝90°,OP＝OP,
∴Rt△OPE≌Rt△OPF(HL),
∴PE＝PF,
∵OE＝OF,
∴OP⊥EF．
（2）证明：连接AC,设EF交OP于J．
∵AB＝CD,AE＝EB,CF＝DF,
∴AE＝CF,BE＝DF,
∵PE＝PF,
∴P A＝PC,
∵PE＝PF,OE＝OF,
∴OP垂直平分线段EF,
∴EJ＝JF,
∵OP∥AF,
∴EP ＝P A ,
∴PC ＝PF ,P A ＝PE ,
∴四边形AFEC 是平行四边形，
∵EA ＝CF ,
∴四边形AFEC 是矩形．
24．已知抛物线y ＝ax 2+c （a ≠0）经过点P （3，0）、Q （1，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点A 在直线PQ 上，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，以AB 为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC ．
①当Q 与A 重合时，求C 到抛物线对称轴的距离；
②若C 在抛物线上，求C 的坐标．
【解答】解：（1）P （3，0）、Q （1，4）代入y ＝ax 2+c 得：
{0=9a +c 4=a +c ,解得{a =−12c =92
， ∴抛物线的解析式为：y =−12x 2+92；
（2）①过C 作CH ⊥AB 于H ，交y 轴于G ，如图：
当A 与Q （1，4）重合时，AB ＝4，GH ＝1，
∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴△ACH 和△BCH 也是等腰直角三角形，
∴CH ＝AH ＝BH =12
AB ＝2，
∴CG ＝CH ﹣GH ＝1，
而抛物线y =−12x 2+92的对称轴是y 轴(x ＝0)，
∴C 到抛物线对称轴的距离是CG ＝1；
②过C 作CH ⊥AB 于H ，如图：
设直线PQ 解析式为y ＝kx +b ,将P （3，0）、Q （1，4）代入得：
{0=3k +b 4=k +b ,解得{k =−2b =6
, ∴直线PQ 为y ＝﹣2x +6，
设A (m ,﹣2m +6)，则AB ＝﹣2m +6，
∴CH ＝AH ＝BH =12AB ＝﹣m +3，
∴y C ＝﹣m +3,x C ＝﹣(﹣m +3﹣m )＝2m ﹣3，
将C (2m ﹣3,﹣m +3)代入y =−12x 2+92得：
﹣m +3=−12(2m ﹣3)2+92，
解得m =12
或m ＝3(与P 重合，舍去），
∴m =12,2m ﹣3＝﹣2,﹣m +3=52，
∴C (﹣2，52)． 25．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝CD ，O 是对角线AC 的中
点，联结BO 并延长交边CD 或边AD 于点E ．
（1）当点E 在CD 上，
①求证：△DAC ∽△OBC ；
②若BE ⊥CD ，求AD BC 的值；
（2）若DE ＝2，OE ＝3，求CD 的长．
【解答】（1）①证明：如图1,
∵AD ＝CD ，
∴∠DAC ＝∠DCA ．
∵AD ∥BC ，
∴∠DAC ＝∠ACB ．
∵BO 是Rt △ABC 斜边AC 上的中线，
∴OB ＝OC ，
∴∠OBC ＝∠OCB ，
∴∠DAC ＝∠DCA ＝∠ACB ＝∠OBC ，
∴△DAC ∽△OBC ；
②解:如图2，若BE ⊥CD ，
在Rt △BCE 中，∠OCE ＝∠OCB ＝∠EBC ，
∴∠OCE ＝∠OCB ＝∠EBC ＝30°．
过点D 作DH ⊥BC 于点H ，
设AD ＝CD ＝2m ，则BH ＝AD ＝2m ，
在Rt △DCH 中，DC ＝2m ，
∴CH ＝m ，
∴BC ＝BH +CH ＝3m ,
∴AD BC =2m 3m =23； （2）①如图3，当点E 在AD 上时，
∵AD ∥BC ，
∴∠EAO ＝∠BCO ，∠AEO ＝∠CBO ，
∵O 是AC 的中点，
∴OA ＝OC ，
∴△AOE ≌△COB （AAS ），
∴OB ＝OE ，
∴四边形ABCE 是平行四边形，
又∵∠ABC ＝90°，
∴四边形ABCE 是矩形．
设AD ＝CD ＝x ,
∵DE ＝2,
∴AE ＝x ﹣2,
∵OE ＝3,
∴AC ＝6,
在Rt △ACE 和Rt △DCE 中,CE 2＝AC 2﹣AE 2,CE 2＝CD 2﹣DE 2, ∴62﹣(x ﹣2)2＝x 2﹣22,
解得x ＝1+√19,或x ＝1−√19(舍去)．
∴CD ＝1+√19．
②如图4,当点E 在CD 上时,设AD ＝CD ＝x ,则CE ＝x ﹣2,
设OB ＝OC ＝m ,
∵OE ＝3,
∴EB ＝m +3,
∵△DAC ∽△OBC ,
∴
DC OC =AC BC , ∴
x m =2OC BC , ∴OC BC =x 2m
． 又∵∠EBC ＝∠OCE ,∠BEC ＝∠OEC ,
∴△EOC ∽△ECB ,
∴
OE EC =EC EB =OC CB , ∴
3x−2=x−2m+3=OC CB , ∴3x−2=x−2m+3=x 2m ,
∴m =x 2−2x 6,
将m =x 2−2x 6代入3x−2=x−2m+3
, 整理得,x 2﹣6x ﹣10＝0,
解得x＝3+√19,或x＝3−√19(舍去)．
∴CD＝3+√19．
综合以上可得CD的长为1+√39或3+√39．
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