苏教版二项式定理(2)

赋值法
例.若已知 (1+2x)200= a0+ a1(x-1) + a2(x-1)2 + …+ a200(x-1)200
求a1+a3+a5+a7+…+a199
的值.
知识对接测查3
1.C C
1 10 2 10 1 11 3 11 5 11
C
10 10
2 1 1023 _____;
a 1, b 1 ，则：
3 n n n n
1 1
n
C C C C (1) C
0 n 1 n 2 n
赋值法
0 (C C ) (C C ) n 2 0 2 1 3 n 1 Cn Cn Cn Cn 2 2
0 n 2 n 4 n 1 n 3 n 5 n
n1
作业： P36 12,13
r 1 n ;当r
r n 1 时, Cn 2
C
r 1 n ;
先增后减,在中间取得最大值.
(4)C C C C 2
0 n 1 n 2 n n n
n
(5)奇数项二项式系数之和等于偶数项系数之和.
C C C C C C 2
10
9 11 11 11
C C C C C C 2 _____ . 1024
7 11
10
n 1 C n 2 2 7 7 6 3.若(1 2x) a7 x a6 x a1x a0 , 求 （ 1 ）a1 a2 a7 ;
杨辉三角
1．“杨辉三角”的来历及规律
(a b) 展开式中的二项式系数，如下表所示： 1 0 1 (a b) C 1 C1 1 1
n
(a b) 3 (a b) (a b) (a b) (a b)
……
5
2
1
1 1 1 1 6 5
2
3 4 10
1
3 6 1 4 10 20 1 5 15 1 6
2 6 析: Cn Cn n 2 6 8
二项式系数的性质
②增减性与最大值 n ( n 1 )( n 2 ) ( n k 1 ) n k 1 k k 1 由于： Cn Cn k (k 1)! k
n k 1 所以C 相对于C 的增减情况由 决定 k n k 1 n 1 由： 1 k k 2 n 1 即二项式系数前半部分 可知，当 k 时， 2
0 1 2 2.求证： Cn 2Cn 3Cn n n
n1
（2）a1 a3 a5 a7 ; （3）a0 a2 a4 a6 ; （4） | a0 | | a1 | | a2 | | a7 | .
小 结
1.二项展开式中的二项式系数都是一些特殊 的组合数，它有四条性质，要理解和掌握; 2.要注意“系数”与“二项式系数”的区 别，不能混淆;只有二项式系数最大的才是 中间项，而系数最大的不一定是中间项; 3.尤其要理解和掌握“赋值”法，它是解决 有关二项展开式系数的问题的重要手段.
0 n
CCC
0 2
1 2
2 2
0 1 2 3 C3 C3C3 C3
0 1 2 3 4 C4 C4C4 C4 C4
4
C CC CC C
0 16 1 6 2 6 3 6 4 6
0 5
1 5
2 5
3 5
4 5
5 5
6
15
……
C CC CC CC ……
1 n 2 n r n n1 n
5 6
6 6
(a b)
k n
k 1 n
是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐 渐减小的，且中间项取得最大值.
二项式系数的性质
②增减性与最大值
因此,当n为偶数时,中间一项的二项式 系数 C 取得最大值；
当n为奇数时,中间两项的二项式系数 C 相等，且同时取得最大值.
n 1 2 n
n 2 n
C
n 1 2 n
知识对接测查2
一.复习回顾 1.(a+b)n的二项展开式是_________.
C a b 2.通项公式是 _______________.
Tr+1 =
（确定某些特定项及其系数）
r n
n-r
r
3.第r+1项的二项式系数是什么？
新课引入
二项定理: 一般地，对于n N*有
(a b) C a C a
n 0 n n 1 n
n
C C C ...C ...C C
n n
杨辉三角 《 九 章 算 术 》
杨 辉
《 详 解 九 章 算 法 》 中 记 载 的 表
杨辉三角
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 1 3 6 10 15 21 28 36
1 n 2 n 3 n n n n
例 证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系 数的和等于偶数项的二项式系数的和. 证明： n 0 n 1 n 1 r nr r n n (a b) Cn a Cn a b Cn a b Cn b 在二项式定理中，令
这一性质可直接由公式 m n m Cn Cn 得到．
n 图象的对称轴： r 2
知识对接测查1 1、在(a＋b)６展开式中，与倒数第三项二 项式系数相等是( B )
A 第２项 B 第３项 C 第４项 D 第５项
2、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项 式系数与第七项的二项式系数相等， 8 则n=__________
4
变式:若将“只有第10项”改为“第10项”呢？
例：求二项式 (3x+2y) 20 展开式中系数最大 的项，试归纳出求形如( ax + b) n 展开式中 系数最大项的方法或步骤.
例 . 的项.
20 ( 3 x 2 y ) 在 的展开式中，求系数最大
解：设系数最大的项是第r+1项，则
C 3 2 C 3 2 r 20r r r 1 21 r r 1 C20 3 2 C20 3 2
帕斯卡三角(法国 1623--1662)
二项式系数的性质
(a b) 展开式的二项式 0 1 2 n 系数依次是： Cn , Cn , Cn ,, Cn
n
r C 从函数角度看， n 可看 成是以r为自变量的函数f (r ) ,其定义域是： 0,1,2,, n
二项式系数的性质
①对称性 与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等．
4 1 4 10 20 35
5 1 5 15 35
6 1 6 21 56
7 1 7 28
8 1 8 36
9 பைடு நூலகம் 9
10
1
70 126
56 126 85
一 一 一 84 一 二 一 一 三 三 一 一 四 六 四 一 一 五 十 十 五 一 一 六 十 二 十 六 一 五 十 五 杨辉三角(宋代 贾宪 1023--1063)
C 462
5 11
C 462
6 11
1 4 4.已知 x 的展开式中只有第 10 项系数最大 , 3 x 求第五项 n 解 依题意, n为偶数 且 1 10, n 18. 2
n
T5 T41 C
4 18
x
18 4
1 4 4 3060 x 3 x
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
①每行两端都是1 ②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等 于它肩上的两个数的和.
1.5.2二项式定理(2)
----二项式系数的性质
2015年5月13日星期三
早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解 九章算法》就有了二项式系数表.在书中说明了表里 “一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；指 出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾 宪（约公元11世纪）已经用过它.这表明我国发现这 个表不晚于11世纪；在欧洲，这个表被认为是法国数 学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个 表叫做帕斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比 欧洲早五百年左右.
③各二项式系数的和 在二项式定理中，令 a b 1，则：
C C C C 2
0 n 1 n 2 n n n
n
(a b)n的展开式的各二项式系 这就是说， n 数的和等于： 2
同时由于C 1，上式还可以写成：
0 n
C C C C 2 1 这是组合总数公式．
0 n 2 n 1 n 3 n
典型例题
求证：
C 2C 3C nC n 2
1 n 2 n 3 n n n
n1
方法(1):倒序相加；
方法(2):运用重要结论：
kC nC
k n
n1
k 1 n 1
n n
变：C 2C 4C 2 C
1 n 2 n 3 n
二项式系数的性质： (1)对称性： C
m n
C
n
nm n
(2)每行两端都是1，除1以外的每个数都等于“肩” 上两数之和.即: C m C m1 C m
n n1
(3)增减性与最大值：
r n 1 当r 时, Cn 2 ①当n为偶数时,
C
C
②当n为奇数时,
C 、C
C
r n
n 2 最大; n n 1 n 1 2 2 最大; n n
1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为
C
5 11
5 10
在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为 C
C
6 11 .
；
2.指出（a+2b）15的展开式中哪些项的二项式 系数最大，并求出其最大的二项式系数
7 8 解: 第8、9项的二项式系数 C15 与C15 最大. 即6435最大.
3.在二项式(x-1)11的展开式中,求系数最小的项 的系数. 最大的系数呢？
r 20 20 r r r 1 20 19 r r 1
3(r 1) 2(20 r ) 2(21 r ) 3r
37 42 r 5 5
r 8
所以当 r 8时，系数最大的项为
8 T9 C20 312 28 x12 y 8
二项式系数的性质
n 1
bC a
2 n
n 2
b
2
r n r r Cn a b
n n Cn b
二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共 有多少个？
下面我们来研究二项式系数有些什么性质？
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
你观察到哪些规律？
(a + b )1 (a + b )2 (a + b )3 (a + b )4 (a + b )5 (a + b )6