2015届高考数学(人教版,理科)一轮总复习精品课件：51平面向量的概念及其线性运算
2015年高考数学总复习(人教A版,理科)配套教案：第五章 平面向量 5.1
§5.1 平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念 名称 定义备注向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量零向量 长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a 的单位向量为±a|a |平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量 长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律：a ＋b＝b ＋a . (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b) 数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(×)(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．(√)(3)已知两向量a，b，若|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝2. (×)(4)△ABC中，D是BC中点，则AD→＝12(AC→＋AB→)．(√)(5)向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．(×)(6)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．(√) 2．(2012·四川)设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是() A．a＝－b B．a∥bC．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|答案 C解析a|a|表示与a同向的单位向量，b|b|表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，就有a|a|＝b|b|，观察选项易知C满足题意．3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2OA→＋OB→＋OC→＝0，那么()A.AO→＝OD→B.AO→＝2OD→C.AO→＝3OD→D．2AO→＝OD→答案 A解析由2OA→＋OB→＋OC→＝0可知，O是底边BC上的中线AD的中点，故AO→＝OD→. 4．已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足P A→＋BP→＋CP→＝0，AP→＝λPD→，则实数λ的值为________．答案－2解析 如图所示，由AP →＝λPD →，且P A →＋BP →＋CP →＝0，则P 是以AB 、AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP →＝－2PD →，则λ＝－2.5．设a 、b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值为________．答案 －1解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A 、B 、D 三点共线， ∴存在实数λ，使AB →＝λBD →.即⎩⎪⎨⎪⎧2＝2λp ＝－λ，∴p ＝－1.题型一 平面向量的概念辨析 例1 给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是________．思维启迪 正确理解向量的概念，向量共线和点共线的区别，向量相等的定义是解题关键． 答案 ②③解析 ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又∵A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，因此，AB →＝DC →.故“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件．③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同；又b ＝c ， ∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故“|a |＝|b |且a ∥b ”不是“a ＝b ”的充要条件，而是必要不充分条件． 综上所述，正确命题的序号是②③.思维升华 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是a 方向上的单位向量．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量． ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． ③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零．④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 ①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.④错误．当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ，此时，a 与b 可以是任意向量． 题型二 平面向量的线性运算例2 (1)如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF →等于 ( )A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA →D.12AB →－23AD → (2)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于 ( )A.23b ＋13cB.53c －23bC.23b －13cD.13b ＋23c 思维启迪 结合图形性质，准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减法运算的关键．答案 (1)D (2)A解析 (1)在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →.因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 的一个三等分点，所以CF →＝23CB →.所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →，故选D. (2)∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝BD →＝2DC →＝2(AC →－AD →)，∴3AD →＝2AC →＋AB →，∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c .思维升华 (1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．(1)已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →等于( )A ．2OA →－OB →B ．－OA →＋2OB →C.23OA →－13OB →D ．－13OA →＋23OB →(2)设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则 ( )A.P A →＋PB →＝0B.PC →＋P A →＝0C.PB →＋PC →＝0D.P A →＋PB →＋PC →＝0答案 (1)A (2)B解析 (1)由2AC →＋CB →＝0得2AO →＋2OC →＋CO →＋OB →＝0， ∴OC →＝－2AO →－OB →＝2OA →－OB →.(2)如图，根据向量加法的几何意义有BC →＋BA →＝2BP →⇔P 是AC 的中点，故P A →＋PC →＝0.题型三 共线向量定理及应用例3 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．思维启迪 解决点共线或向量共线的问题，要结合向量共线定理进行．(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →、BD →共线，又∵它们有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线． (2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a 、b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，否则向量a 、b 不共线．(1)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于 ( ) A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b (2)已知向量a 、b 、c 中任意两个都不共线，并且a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，那么a ＋b ＋c 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．0答案 (1)B (2)D解析 (1)如图，AF →＝AD →＋DF →，由题意知， DE ∶BE ＝1∶3＝DF ∶AB ， ∴DF →＝13AB →，∴AF →＝12a ＋12b ＋13(12a －12b )＝23a ＋13b .(2)∵a ＋b 与c 共线，∴a ＋b ＝λ1c .① 又∵b ＋c 与a 共线，∴b ＋c ＝λ2a .② 由①得：b ＝λ1c －a .∴b ＋c ＝λ1c －a ＋c ＝(λ1＋1)c －a ＝λ2a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＋1＝0λ2＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1λ2＝－1， ∴a ＋b ＋c ＝－c ＋c ＝0.方程思想在平面向量的线性运算中的应用典例：(12分)如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.思维启迪 (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去．(2)既然OM →能用a 、b 表示，那我们不妨设出OM →＝m a ＋n b . (3)利用向量共线建立方程，用方程的思想求解． 规范解答解 设OM →＝m a ＋n b ， 则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b .AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b .[3分]又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →与AD →共线．∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →，即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝⎛⎭⎫－a ＋12b .[5分] ∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t n ＝t 2，消去t 得，m －1＝－2n ， 即m ＋2n ＝1.① [7分]又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ， CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又∵C 、M 、B 三点共线，∴CM →与CB →共线．[10分]∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →，∴⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝⎛⎭⎫－14a ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1n ＝t 1，消去t 1得，4m ＋n ＝1.② 由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .[12分]温馨提醒 (1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)易错点是，找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题易忽视A 、M 、D 三点共线和B 、M 、C 三点共线这个几何特征．(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会.方法与技巧1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线．如AB →∥CD →且AB 与CD 不共线，则AB ∥CD ；若AB →∥BC →，则A 、B 、C 三点共线． 失误与防范1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1．下列命题中正确的是( )A ．a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线B ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D ．有相同起点的两个非零向量不平行 答案 C解析 由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以B 不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以D 不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题入手来考虑，假设a 与b 不都是非零向量，即a 与b 中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可知a 与b 共线，符合已知条件，所以有向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量，故选C.2．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是 ( )A ．A 、B 、C B ．A 、B 、D C ．B 、C 、DD ．A 、C 、D答案 B解析 BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2AB →⇒BD →∥AB →⇒A 、B 、D 三点共线．3．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 由已知条件得MB →＋MC →＝－MA →.如图，因此延长AM 交BC 于D 点，则D 为BC 的中点．延长BM 交 AC 于E 点，延长CM 交AB 于F 点，同理可证E 、F 分别为AC 、AB的中点，即M 为△ABC 的重心． AM →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，则m ＝3.4．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA →＋OB →＋OC →＝0，则△ABC 的内角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 答案 B解析 由OA →＋OB →＋OC →＝0，知点O 为△ABC 的重心， 又O 为△ABC 外接圆的圆心， ∴△ABC 为等边三角形，A ＝60°.5．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO→＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ等于 ( )A ．1 B.12 C.13 D.23答案 D解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，2AO →＝AB →＋13BC →，即AO →＝12AB →＋16BC →.故λ＋μ＝12＋16＝23.二、填空题6．设向量e 1，e 2不共线，AB →＝3(e 1＋e 2)，CB →＝e 2－e 1，CD →＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线，其中所有正确结论的序号为________．答案 ④解析 AC →＝AB →－CB →＝4e 1＋2e 2，BD →＝CD →－CB →＝3e 1，由向量共线的充要条件b ＝λa (a ≠0)可得A ，C ，D 共线，而其他λ无解．7．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝____________.(用a ，b 表示) 答案 －14a ＋14b解析 由AN →＝3NC →得AN →＝34AC →＝34(a ＋b )，AM →＝a ＋12b ，所以MN →＝AN →－AM →＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . 8．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.答案 23解析 由图知CD →＝CA →＋AD →，① CD →＝CB →＋BD →，② 且AD →＋2BD →＝0.①＋②×2得：3CD →＝CA →＋2CB →，∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.三、解答题9．已知向量a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，其中e 1、e 2不共线，向量c ＝2e 1－9e 2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d ＝λa ＋μb 与c 共线？ 解 ∵d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2) ＝(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2，要使d 与c 共线，则应有实数k ，使d ＝k c ， 即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2k e 1－9k e 2，即⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ. 故存在这样的实数λ、μ，只要λ＝－2μ，就能使d 与c 共线．10. 如图所示，在△ABC 中，D 、F 分别是BC 、AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b .(1)用a 、b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →，BF →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线． (1)解延长AD 到G ，使AD →＝12AG →，连接BG ，CG ，得到▱ABGC ，所以AG →＝a ＋b ，AD →＝12AG →＝12(a ＋b )， AE →＝23AD →＝13(a ＋b )， AF →＝12AC →＝12b ， BE →＝AE →－AB →＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )． BF →＝AF →－AB →＝12b －a ＝12(b －2a )． (2)证明 由(1)可知BE →＝23BF →， 因为有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．B 组 专项能力提升(时间：30分钟)1．设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC的面积的比值为 ( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析∵D 为AB 的中点，则OD →＝12(OA →＋OB →)， 又OA →＋OB →＋2OC →＝0，∴OD →＝－OC →，∴O 为CD 的中点，又∵D 为AB 中点，∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ， 则S △ABC S △AOC＝4. 2．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心答案 B解析作∠BAC 的平分线AD .∵OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|， ∴AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝λ′·AD →|AD →|(λ′∈[0，＋∞))， ∴AP →＝λ′|AD →|·AD →，∴AP →∥AD →. ∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心．3.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．答案 2解析 ∵O 是BC 的中点，∴AO →＝12(AB →＋AC →)． 又∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →. ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n 2＝1.则m ＋n ＝2. 4．设a ，b 是两个不共线的非零向量，若a 与b 起点相同，t ∈R ，t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在一条直线上？解 设OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )． 若A ，B ，C 三点共线，则有AB →＝λAC →，∴OB →－OA →＝λ(OC →－OA →)，∴t b －a ＝λ[13(a ＋b )－a ]． 化简整理得，(23λ－1)a ＝(13λ－t )b ， ∵a 与b 不共线，由平面向量基本定理得λ＝32且t ＝12. 故当t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在一条直线上． 5．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )．(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.证明 (1)若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)，∴OP →－OB →＝m (OA →－OB →)，即BP →＝mBA →，∴BP →与BA →共线．又∵BP →与BA →有公共点B ，则A 、P 、B 三点共线，(2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP →＝λBA →，∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)．又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →，即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0.∵O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.。
2015届高考数学(理)一轮精品复习课件5.2平面向量的基本定理及坐标运算(人教版)
若 A,B,C 三点共线,则1������ + 2������的最小值是( )
A.2
B.4
C.6
D.8
关闭
kAB=-1������+-12,kAC=-������2-1,∵A,B,C
三点共线,∴kAB=kAC,即-1������+-12
=
2 ,∴2a+b=1,
-������-1
∴1 + 2 = 2������+������ + 4������+2������=4+������ + 4������≥4+2 ������ · 4������=8,
0=(0,0),i=(1,0),j=(0,1).
(2)设������������=xi+yj,则 向量������������的坐标 就是终点 A 的坐标,即若
������������=(x,y),则 A 点坐标为(x,y),反之亦成立(O 是坐标原点).
-5-
想一想向量的坐标与点的坐标有何异同?
关闭
对于 A,∵e1,e2 不共线,故 λ1=λ2=0 正确;对于 B,空间向量 a 应改为与 e1,e2 共面的向量才可以;C 中,λ1e1+λ2e2 一定与 e1,e2 共面;D 中,根据平面向量基本关闭 定A理,λ1,λ2 应是唯一一对.
解析 答案
-13-
考点一 平面向量基本定理的应用
【例 1】 已知梯形 ABCD,如图所示,2������������ = ������������,M,N 分别为 AD,BC 的中点关.闭 设∵������2������������=������e1=,���������������������=���,e∴22,试���������用���=e21,e2 表示������������, ������������, ������������.
2015届高三数学第一轮复习课件：5.1平面向量的概念及运算
第二十三页，编辑于星期五：八点 五十一分。
一、选择题
1．已知 O 是△ABC 所在平面内一点，D 为 BC 边的中点，
且 2O→A＋O→B＋O→C＝0，那么( )．
A.A→O＝O→D
B.A→O＝2O→D
C.A→O＝3O→D
D.A→O＝12O→D
由 2O→A＋O→B＋O→C＝0 可知，O 是底边 BC 上的中线 AD 的中点，故A→O＝O→D.
要证 A、B、D 三点共线，只需证A→B，B→D共线．两向 量共线，可得两向量系数的比例关系，由此可得 k 的方程， 即可求得 k 的值．
(1)∵A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b)， ∴B→D＝B→C＋C→D＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5A→B.
第二十一页，编辑于星期五：八点 五十一分。
③正确．∵a＝b，∴a，b 的模相等且方向相同． 又 b＝c，∴b，c 的模相等且方向相同， ∴a，c 的模相等且方向相同，故 a＝c. ④不正确．当 a∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也
第十五页，编辑于星期五：八点 五十一分。
不能得到 a＝b，故“|a|＝|b|且 a∥b”不是“a＝b”
第十四页，编辑于星期五：八点 五十一分。
其中正确命题的序号是________． 根据平面向量基本知识进行判断即可． ①不正确．两个向量的模相等，但它们的方向不一
定相同．
②正确．∵A→B＝D→C，∴|A→B|＝|D→C|且A→B∥D→C，又∵A，B， C，D 是不共线的四点，∴四边形 ABCD 为平行四边形；反之， 若四边形 ABCD 为平行四边形，则A→B∥D→C且|A→B|＝|D→C|，因 此，A→B＝D→C.
而C→E与A→C是共线向量；M→N先转化为M→D、D→B、B→N的和，然后再
高考数学理一轮复习 5-1平面向量的概念及运算 精品课件
方法规律· 归纳
题型一
平面向量的有关概念
向量的定义、向量的模、零向 量、单位向量、平行向量、相 等向量
思维提示
例1 给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a＝±b；
②若|a|＜|b|，则a＜b；
③若a＝b，则a∥b； ④若a∥b，则a＝b； ⑤若|a|＝0，则a＝0； ⑥若a≠b，则a与b一定不共线．
答案：D
题型二 思维提示
平面向量的线性运算 向量的加法、减法运算法则以及 几何意义
例 2
如图所示，若四边形 ABCD 是一个等腰梯形，
→ ＝a，AD →＝ AB∥CD，M、N 分别是 DC、AB 的中点，已知AB → ＝c，试用 a、b、c 表示BC → ，MN → ，DN → ＋CN →. b，DC
答案：A
题型三
共线向量定理、平面向量基本定 理及应用
证明三点共线问题，可用向量共 线来解决．平面内任意三个不共 思维提示 线的向量中的任何一个向量都可 以表示为其余两个向量的线性组 合，且形式唯一
例3
1→ → 1→ → 如图所示，在△ABO 中，OC＝ OA，OD＝ OB， 4 2
→ ＝a，OB → ＝b . AD 与 BC 相交于点 M 设OA
(4)零向量与数字0是两个不同的概念，零向量不等于数 字0，故⑤不正确．
(5) 因为向量不相等，可能仅由于模不相等，方向仍可
能是相同的，所以a与b有共线的可能，故⑥不正确 [答案] ③
备选例题 1 的充要条件是
(2008·海南 · 宁夏高考 ) 平面向量 a， b共线
(
A．a，b方向相同 B．a，b两向量中至少有一个为零向量 C．存在λ∈R，b＝λa D．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a＋λ2b＝0
2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：4.1平面向量的概念及线性运算
针对训练 1．给出下列命题： (1)两个具有公共终点的向量，一定是共线向量． (2)两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． (3)λa＝0(λ 为实数)，则 λ 必为零． (4)λ，μ 为实数，若 λa＝μb，则 a 与 b 共线． 其中错误命题的个数为 ( A．1 C．3 B．2 D．4 )
→ → → ∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b) → ＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB. → → ∴AB、BD共线，又∵它们有公共点 B， ∴A、B、D 三点共线．
(2)∵ka＋b 与 a＋kb 共线， ∴存在实数 λ，使 ka＋b＝λ(a＋kb)， 即 ka＋b＝λa＋λkb. ∴(k－λ)a＝(λk－1)b. ∵a、b 是不共线的两个非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0， ∴k2－1＝0.∴k＝± 1.
的概念理解不清，混淆它们之间的关系，导致错解．
2λ＋2μ＝2k， 由 －3λ＋3μ＝－9k.
得 λ＝－2μ.
故存在这样的实数 λ、μ，只要 λ＝－2μ，就能使 d 与 c 共线．
易错易混：概念理解不清致误 【典例】 (2014· 郑州模拟)已知向量 a，b 不共线，且 c＝λa＋b， d＝a＋(2λ－1)b，若 c 与 d 同向，则实数 λ 的值为________． 【规范解答】 由于 c 与 d 同向，所以 c＝kd(k＞0)，
1 → → → → → → BF＝AF－AB＝AD＋DF－AB＝b＋2a－a 1 ＝b－ a，连接 BD，因为 G 是△CBD 的重心， 2
1→ 1 → 2 1 → 所以CG＝3 CA＝－3AC＝－3(a＋b)． 2
• 【归纳提升】 (1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的 相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向 量将加减法相互转化． • (2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的 位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简 结果．
2015年高考数学(理)一轮总复习课件：第四章+平面向量与复数 第2节 平面向量的基本定理及坐标运算
变式训练 3 (1)(2013·皖南八校高三第三次联考)已知向
量 a＝(－1,2)，b＝(2,0)、c＝(1，－1)，若向量(λa＋b)∥c，
则实数 λ 为( )
A．－2
B．－1
C．－13
D．－23
(2)若平面向量 a，b 满足|a＋b|＝1，a＋b 平行于 x 轴，
－3)＝－ 3×(－1， 3)，故向量 c 可以是(－1， 3)
【答案】 D
第二十二页，编辑于星期五：十一点 五十七分。
考向 3 平面向量共线的坐标表示
【例 3】 (1)已知向量O→A＝(3，－4)，O→B＝(6，－3)，O→C
＝(m，m＋1)，若A→B∥O→C，则实数 m 的值为( )
A．－32
4．(2013·辽宁高考)已知点 A(1,3)，B(4，－1)，则与向量
A→B同方向的单位向量为( )
A.35，－45
B.45，－35
C.－35，45
D.－45，35
【解析】 A→B＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量 e
＝|AA→→BB|＝15(3，－4)＝35，－45. 【答案】 A
第二十九页，编辑于星期五：十一点 五十七分。
三个结论 1.若 a 与 b 不共线，λa＋μb＝0，则 λ＝μ＝0. 2．已知O→A＝λO→B＋μO→C(λ，μ 为常数)，则 A，B，C 三 点共线的充要条件是 λ＋μ＝1. 3．平面向量的基底中一定不含零向量．
B．－14
1 C.2
3 D.2
(2)(2012·重庆高考改编)设 x，y∈R，向量 a＝(x,1)，b＝
(1，y)，c＝(2，－4)，且 a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝________.
2015高考数学(人教A版)一轮课件：5-1平面向量的概念及其线性运算
3． (2014· 太原五中 2 月月考)若 O 为△ABC 所在平面内一点， → → → 且 3OA＋4OB＋7OC＝0， 则△OAB 和△ABC 的面积之比为( 1 A. 4 1 C.2 1 B.3 2 D.5 )
→ → → → → → 解析： 将 3OA＋4OB＋7OC＝0 变形为 7(OA＋OC)＝4(OA－ → )． OB 如图，以 OA 和 OC 为邻边所作的平行四边形的对角线 OD 和 AB 平行．显然 OD 交 AC 于 AC 的中点，故 O 到 AB 的距离 1 1 是 C 到 AB 距离的2，所以△OAB 和△ABC 的面积之比为2.故选 C.
(5)相等向量：长度相等 且方向相同 的向量． (6)相反向量：与 a 长度相等，方向相反的向量，叫做 a 的 相反向量．
特别提醒：向量是自由向量，在用有向线段表示向量时，要 认识到有向线段的起点的选取是任意的， 不能认为向量也是由起 点、大小和方向三个要素决定的．一句话，研究向量问题应具有 “平衡意识”——长度相等、方向相同的向量都是相等向量．有 向线段仅是向量的直观体现，不能等同于向量．
2→ 1 2 1 → → → 解析：AF＝AC＋CF＝a＋3CD＝a＋3(b－a)＝3a＋3b.故选 D.
答案：D
题型一
平面向量的有关概念
【例 1】 给出下列四个命题： ①若|a|＝|b|，则 a＝b 或 a＝－b； → ＝DC → ，则四边形 ABCD 为平行四边形； ②若AB ③若 a 与 b 同向，且|a|＞|b|，则 a＞b； ④λ，μ 为实数，若 λa＝μb，则 a 与 b 共线． 其中假命题的个数为( A．1 B．2 ) C．3 D．4
2．向量的加法运算及其几何意义 → ＝a，BC →＝ (1)已知非零向量 a、b，在平面内任取一点 A，作AB
高考数学一轮总复习 第五章 平面向量课件 理
1.(2015 年宁德一模)设 D,E,F 分别为△ABC 的三边 BC,CA,AB 的中点,
则������������+������������=( ).
A.������������
B.1 ���Biblioteka ��������2C.1 ������������
2
D.������������
【答案】A
2.(2015 年新课标全国Ⅰ卷)设 D 为△ABC 所在平面内一点,������������=3������������,
第4题
考查了向量平行的条件,只要熟悉两个向量 a(a≠0)与 b 共线的 充要条件是存在唯一一个实数λ,使 b=λa.
1.向量的有关概念
(1)向量:既有大小,又有方向的量叫向量;向量的大小叫作向量
的模. (2)零向量:长度为 0 的向量,其方向是任意的. (3)单位向量:长度等于 1 个单位的向量.
(2)两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量 平行包含两个向量所在的直线共线,但两条直线平行不包含两条直 线重合;
(3)平行向量无传递性(因为有 0).
2.(1)对于两个向量和的运算,分清“平行四边形法则”与“三
角形法则”的区别; (2)对于两个向量差的运算,一方面两个向量应该移成同一起点,
的关键是“首尾相连,指向终点”,可推广为多个向量相加的“多边
形法则”;④向量减法的三角形法则的关键是“共起点,指向被减向 量”.
(2015 年北京卷)在△ABC 中,点 M,N 满足
������������=2������������,������������=������������.若������������=x������������+y������������,则 x=
高三理科数学一轮复习 专题 平面向量课件
向量数量积满足分配律，即 $(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{c}) cdot overset{longrightarrow}{b} = overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} + overset{longrightarrow}{c} cdot overset{longrightarrow}{b}$。
理解混合积的几何意义
详细描述
混合积的几何意义是表示三个向量的体积。 具体来说，当三个向量表示一个平行六面体 的三条边时，混合积的大小就等于这个平行 六面体的体积。
当两向量同向时，投影长度等于向量 $overset{longrightarrow}{a}$的模；当两向量反向时，投 影长度等于负的向量$overset{longrightarrow}{a}$的模； 当两向量垂直时，投影长度为0。
向量数量积的运算律
向量数量积满足交换律，即 $overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} = overset{longrightarrow}{b} cdot overset{longrightarrow}{a}$。
向量的模
总结词
向量的模是表示向量大小的数值，记作|a|。
详细描述
向量的模是表示向量大小的数值，记作|a|。向量的模的计算公式为$sqrt{x^2 + y^2}$，其中$x$和$y$分别是向量在x轴和y轴上的分量。
向量的加法
总结词
向量的加法是通过向量起点对齐、同向相加、反向取反的方 式进行。
高中数学人教版一轮复习课件：5.1 平面向量的概念及线性运算
解析 答案
关闭
-101 2 3 4 5
4.在△ABC中,D是BC的中点,则 ������������ 可用������������ , ������������ 表示为
.
关闭
由向量的平行四边形法则,得������������ + ������������=2������������ ,所以������������ = (������������ + ������������).
-81 2 3 4 5
2.(2015东北四市联考)在四边形ABCD中,若 ������������ = ������������ + ������������ ,则四 边形ABCD一定是( ) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四边形
关闭
������������ = ������������ + ������������,又������������ = ������������ + ������������,所以������������ = ������������,因此 BC∥AD,且 BC=AD,四边形 ABCD 是平行四边形,故选 D.
1 2
1 2
关闭
(������������ + ������������ )
解析 答案
-111 2 3 4 5
5.设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=
.
关闭
������ = ������, 1 由题意知存在常数 t∈R,使 λa+b=t(a+2b),得 解得 λ= . 2 1 = 2������,
3.向量共线定理 向量b与a(a≠0)共线当且仅当有唯一一个实数λ,使得b=λa
2015高考数学一轮配套课件：5-1平面向量的概念及其线性运算
解析 (1)∵A→B＋A→D＝A→C＝2A→O，∴λ＝2. (2)∵P→A＋P→B＋P→C＝A→C＝P→C－P→A， ∴P→B＝－2P→A＝2A→P.
• 答案 (1)2 (2)2
诊断·基础知识
突破·高频考第十点六页，编辑于培星期养五：·解十四题点能四分力。
•规律方法 (1)进行向量运算时，要尽可能地将它 们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等 向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形 对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表 示出来．
一个实数λ，使得
.
诊断·基础知识
突破·高频考第六点页，编辑于星培期五养：十·解四点题四能分。力
，b 共线，则向量 a，b 的方向相同． (×)
(2)若 a∥b，b∥c，则 a∥c.
(×)
(3)(2013·郑州调研改编)设 a 与 b 是两个不共线向量，且向量
(1)若A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b)．求证：A，B， D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线．
诊断·基础知识
突破·高频考第十点九页，编辑于培星期养五：·解十四题点能四分力。
审题路线 (1)由向量的加法，得B→D＝B→C＋C→D⇒用 a，b 表示B→D ⇒得到B→D与A→B的关系式⇒由向量共线定理，得B→D与A→B共线⇒再 看是否有公共点⇒得到证明的结论． (2)假设存在实数 k⇒利用向量共线定理⇒列出方程⇒根据 a、b 是两个不共线的向量⇒得出方程组⇒解得 k 值．
线 AC 与 BD 交于点 O，A→B＋A→D＝λ A→O，则 λ＝________. (2)(2013·泉州模拟)已知 P，A，B，C 是平面内四点，且P→A＋ P→B＋P→C＝A→C，那么P→B＝________A→P.
2015高考数学一轮总复习课件：4.27 平面向量的概念及运算
＝te1＋tλe2，∴t＝－1，tλ＝－31，即λ＝31，故选 D.
第三页，编辑于星期五：十二点 三十三分。
2．在四边形 ABCD 中，A→B＝a＋2b，B→C＝－4a
－b，C→D＝－5a－3b，则四边形 ABCD 的形状是( C )
A．矩形
B．平行四边形
C．梯形
D．以上都不对
【解析】由已知A→D＝A→B＋B→C＋C→D＝－8a－2b＝ 2(－4a－b)＝2B→C.
【解析】(1)∵A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b)， ∴B→D＝B→C＋C→D＝2a＋8b＋3(a－b) ＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5A→B. ∴A→B、B→D共线， 又因为它们有公共点 B，∴A、B、D 三点共线．
第二十页，编辑于星期五：十二点 三十三分。
(2)∵ka＋b与a＋kb共线， ∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即ka＋b＝λa＋λkb. ∴(k－λ)a＝(λk－1)b. ∵a、b是不共线的两个非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1. 经检验，k＝±1均符合题意．
点的大写字母来表示，如：A→B.向量的大小，即向量的
长度(或称模)，记作|A→B|.
(2)零向量：_______长__度__为__零________的向量，记作 0，
其方向是任意的，我们规定：零向量和任何向量平行．
(3)单位向量：___长__度_等__于__1_个_____单位长度的向量．
(4) 相 等 向 量 ： 长 度 相 等 且 ____方__向__相__同_____ 的 向
3.向量的数乘运算 (1)数乘向量的定义 实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记作 λa，它的长 度与方向规定如下：|λa|＝|λ||a|； 当 λ>0 时，λa 与 a 的方向__相__同______； 当 λ<0 时，λa 与 a 的方向相反； 当 λ＝0 时，λa＝0. (2)数乘向量的几何意义 数乘向量的几何意义就是把向量 a 沿 a 的方向或 a 的反 方向放大或缩短．
2015年高考数学一轮复习精品学案(人教版a版)――平面向量的概念及运算
2014年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)平面向量的概念及运算一.【课标要求】(1)平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；(2)向量的线性运算①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；③了解向量的线性运算性质及其几何意义•(3)平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义；②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；④理解用坐标表示的平面向量共线的条件•二.【命题走向】本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小•以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等•此类题难度不大，分值5~9分.预测2014年高考：(1)题型可能为1道选择题或1道填空题；(2)出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题.三.【要点精讲】1 .向量的概念①向量既有大小又有方向的量.向量一般用a,b,c……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB .几何表示法AB , a ；坐标表示法a = xi • yj = (x,y).向量的大ir小即向量的模(长度)，记作| AB |.即向量的大小，记作丨a|.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小②零向量长度为0的向量，记为0,其方向是任意的，0与任意向量平行.零向量a = 0 ：= | a I4 4=0.由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有非零向量”这个条件.(注意与0的区别)③单位向量模为1个单位长度的向量，向量a0为单位向量二I a0| = 1.④平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量•任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a // b •由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的•⑤相等向量长度相等且方向相同的向量•相等向量经过平移后总可以重合，记为a二b •大小相等，X i = x2 方向相同(X i，yj =(X2, y2)U丿y = y22. 向量的运算(i)向量加法求两个向量和的运算则a+b=AB BC=AC.叫做向量的加法设AB = a, BC = b ,规定:(1) Oa二a O = a ；(2)向量加法满足交换律与结合律；向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”(1)用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量(2)三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加:AB BC C^IL PQ Q^ AR，但这时必须“首尾相连”(2)向量的减法①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量.记作-a ,零向量的相反向量仍是零向量•关于相反向量有：(i) - (「a)=a ;(ii) a+( - a)=( - a)+ a = 0 ; (iii)若a、b 是互为相反向量，则a=—b,b=-a,a+b=O.②向量减法向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作：a -b二a ,-b).求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法：a -b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a、b有共同起点)(3)实数与向量的积①实数入与向量a的积是一个向量，记作入a，它的长度与方向规定如下：(I)■ a = ■ a ;(n)当/ ,0时，入a的方向与a的方向相同；当:,0时，入a的方向与a的方向相反；当，=0时，-a =0，方向是任意的.②数乘向量满足交换律、结合律与分配律•3. 两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线二有且只有一个实数，，使得b = a.4. 平面向量的基本定理如果e1, e?是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数「，匕使：a二’i ei・’2e2其中不共线的向量e i,e?叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.5. 平面向量的坐标表示(1)平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单彳扌4位向量i , j作为基底.由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成* 寸彳、，扌一彳a xi • yj,由于a与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a =(x,y), 其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标.规定：(1) 相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；(2) 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系.(2)平面向量的坐标运算：①若a pK，% ,b h[X2，y2，则a—b "[X i—X2，y i - y2 ;T②若Ax i,y i ,B X2,y2，则AB 二x：-为必 -％；③若a =(x,y)，贝U ■ a =^ x, ■ y)；④若a =为，％,b = X2,y2 ，贝U a//b= x』2 — x：% =0.四.【典例解析】题型i：平面向量的概念例i. (i )给出下列命题：4 4 * 4①若 | a | = | b |，则 a =b ；②若A , B , C, D 是不共线的四点，则 二DC 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a=b, b=c，则a=c ；④ a =b的充要条件是| % |=| b |且扌// b ；⑤若a// b, b// C，则a// C ；其中正确的序号是____________ .(2)设a o为单位向量，(1)若a为平面内的某个向量，贝U a=|a| • a o ；(2)若a与a0平行，则a=|a「a o；(3)若a与a o平行且|a |=1,则a = a o.上述命题中，假命题个数是()A. 0 B . 1 C. 2 D . 3解析：(1)①不正确•两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；—I —► T T②正确；••• AB=DC|AB|=| DC | 且AB//DC ,又A, B, C, D是不共线的四点，•••四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则，AB//DC且|盂|=|祝|,因此，AB=DC.③正确；••• a = b ,• a , b的长度相等且方向相同；■I 4 4 -I又b = c ,• b , c的长度相等且方向相同，• a, c的长度相等且方向相同，故a = c.4 4 H 4*4*④不正确；当a// b且方向相反时，即使| a|=| b|，也不能得到a=b，故| a |=| b|且4 4a// b不是a=b的充要条件，而是必要不充分条件；⑤不正确；考虑b=0这种特殊情况；综上所述，正确命题的序号是②③.点评：本例主要复习向量的基本概念•向量的基本概念较多，因而容易遗忘•为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想(2)向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a o模相同，但方向不一定相同，故( 1)是假命题；若a与a o平行，则a与a o方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时a =—|a|a o，故(2)、(3)也是假命题.综上所述，答案选 D.点评：向量的概念较多，且容易混淆，故在学习中要分清，理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念题型2:平面向量的运算法则例2. (1)如图所示，已知正六边形ABCDEF O 是它的中心，若 BA =a , BC =b ,示•(3) (2008 湖南文，4)【解析】由b=(-1,」3),. I ； bi= ］口=2.(4) (2009年广东卷文)已知平面向量 a (x,1) , b =(—用a , b 将向量OE , BF ,胡，左表示出来.(1)解析：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量 a ，b 来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可•因为六边形 ABCDEF 是正六边形,所以它的中心 O 及顶点 ABCO,T T T T T T 寸 TBA BC 二 BA AO 二 BO , BO = a + b , OE =A , B, C 四点构成平行四边形所以 BO =a +b ,由于A , B , O , F 四点也构成平行四边形 ABOF,所以BF =BO + OF = BO + BA =a +b + a =2a + b , BO +BA =a +b + a =2a + b ， 同样在平行四边形 BCD 0中,C D =氐忌=b + d + b )= a + 2b,FD = BC - BA = b — a .点评：其实在以 A , B , C, D ,E,F 及O 七点中，任两点为起点和终点，均可用表示，且可用规定其中任两个向量为 a , b ，另外任取两点为起点和终点，也可用11已知向量a - (1, . 3) ,b =(-2,0)【答案】2x,x 2),则向量 a b ()OA平行于X轴 B.平行于第一、三象限的角平分线c.平行于y轴 D.平行于第二、四象限的角平分线答案C解析a b =(0,1x2，由「x2=0及向量的性质可知,C正确•1 -例4.设x为未知向量，a、b为已知向量，解方程 2 x -(5a +3 x -4 b )+ a -3b =0.29解析：原方程可化为：(2x 一 3x )+ (丿T +1 a ) + (4b -3b ) = 0,2• * = 9 ・ J--x = a + b .2点评：平面向量的数乘运算类似于代数中实数与未知数的运算法则, 的性质•题型3:平面向量的坐标及运算例 5 .已知.ABC 中，A(2,- 1), B(3,2), C(- 3,1),BC 边上的高为 AD,求 A D .TTT解析：设 D(x,y),则 AD x -2,y 1 , BD h[x -3,y -2 , BC = -b, -3T T T T••• AD _ BC,BD _ BC- 6(x -2 )_3(y +1 )=0 得得」厂 3(x —3)+6(y —2)=0 所以AS h[「1,2 .例6.已知点A(4,0), B(4,4),C(2,6),试用向量方法求直线 AC 和OB ( O 为坐标原点)交 点P 的坐标.解析：设 P(x, y)，则 OP = (x, y), AP = (x -4, y)因为P 是AC 与OB 的交点，所以P 在直线AC 上，也在直线 OB 上.I T ―I T ―I ―\ 即得 OP//OB, AP//AC ，由点 A(4,0),B(4,4),C(2,6)得，AC = (-2,6),OB = (4,4).题型4:平面向量的性质 a = 3,2 ,b 二-1,2 ,^ 4,1，回答下列问题:得方程组6(X _4) 2y4x _4y =0，解之得i 3ly=3故直线AC 与OB 的交点 P 的坐标为(3,3). (1) 求满足a = mb • nc 的实数m,n ； (2)kc // 2b -a ，求实数 k ；(3) 若d 满足d -c // a b ，且=<5，求 d .解析：(1)由题意得(3,2)=m(—1,2)+ n(4,1 )，所以丿 -m 4-3，得2m n = 25 9 8 . n 二求解时兼顾到向量 例7 .平面内给定三个向量(2) ： k2 = 3 4k,2 k ,2$ 一昌--5,2 ,2 3 4k - -5 2 k =0,. k 二-16 13(3) d-5h x-4,y-1 ,, b h[2,4由题意得：4(x—4)-2(y-1)=0J2 2 [(x -4 ) +(y -1) =5x=3或」y = —1例 &已知a =(1,0),b =(2,1).(1)求| a 3b | ；(2)当k为何实数时，k a - b与a 3b平行，平行时它们是同向还是反向?解析：(1)因为a 二(1,0),b =(2,1).■I 4所以a 3b =(7,3)则|a 3bH^7^3^ .58(2) k a - b =(k -2, -1)，a 3b =(7,3)1因为k a - b与a 3b平行，所以3(^2) 7=0即得k .3-- 7此时k a — b =(k 一2,-1) = (一, -1)，a 3b =(7,3)，贝U a 3b 3(ka — b)，即3_ - 彳呻此时向量a 3b与ka -b方向相反•点评：上面两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现，重点掌握平面向量的共线的判定以及平面向量模的计算方法题型5：共线向量定理及平面向量基本定理那么()A. k =1且c与d同向B. k = 1且c与d反向C. k = T且c与d同向D. k = T且c与d反向答案D解析本题主要考查向量的共线(平行) 、向量的加减法.属于基础知识、基本运算考查例9.(2009 北京卷文)已知向量a = (1,0),b = (0,1), c = ka + b(k^ R), d =a — b，如果c//dT a = 1,0 , b = 0,1，若k = 1，则c = a b 二1,1 , d = a — b 二1,T ,显然，a与b不平行，排除A、B.若k = T，贝U c=-a'b= T,1 , d=-a'b=- T,1 ,-11 - / 9-12 - / 9即c // d 且c 与d 反向，排除C,故选D.点评：熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算；两个向 量平行的坐标表示； 运用向量的坐标表示， 使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合.例 10.( 1) (06 福建理，11)已知丨 OA I =1, I OB I =•.. 3,OA*OB =0,点 C 在/ AOBim内，且/ AOC=30° 设 OC =m OA +n OB （m 、n € R ），贝U 等于（）n若 OC 二 xOA yOB,其中 x, y R ,则 x y 的最大值是 _______ . 答案 2解析设.AOC = ：■丄 r t t rOC ・OA =xOA *OA yOB ・OA, — r T T TOC ・OB = xOA *OB yOB *OB,二 x y = 2[cos 二皿 cos(1200 y-)] = cos 壽』：』3si n ： = 2s in( )乞26题型6:平面向量综合问题T例11.( 2009上海卷文)已知△ ABC 勺角A 、B 、C 所对的边分别是 a 、b 、c,设向量m=(a,b),n 二(si n B,si nA) , p=(b-2,a-2).(1) 若m //n ,求证：△ ABC 为等腰三角形；(2)若m 丄p ，边长c = 2,角C =，求△ ABC 勺面积.1 A.-3B. 3C 」33D. .. 3(2) (2009安徽卷理)给定两个长度为1的平面向量OA 和OB , 它们的夹角为如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧天B 上变动.cos :，即cos （120° - ：）=3uv v证明：(1) Qm//n , a si nA=bsi n B,a b即a b ，其中R是三角形ABC外接圆半径，^b ABC为等腰三角形2R 2Ruv iv r解(2)由题意可知m//p=0,即a(b-2) • b(a-2) = 0a b = ab由余弦定理可知， 4 二a2• b2 -ab = (a • b)2 -3ab即(ab)2 _3ab-4 =0.ab =4(舍去ab= —1)1 1 兀尸S absin C 4 sin 32 2 3五.【思维总结】数学教材是学习数学基础知识、形成基本技能的“蓝本”，能力是在知识传授和学习过程中得到培养和发展的•新课程试卷中平面向量的有些问题与课本的例习题相同或相似，虽然只是个别小题，但它对学习具有指导意义，教学中重视教材的使用应有不可估量的作用.因此，学习阶段要在掌握教材的基础上把各个局部知识按照一定的观点和方法组织成整体，形成知识体系•学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离等•由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点（1）向量的加法与减法是互逆运算；（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件；（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况；（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系•-13 - / 9。