数学分析2015年南京航空航天大学硕士研究生考试真题

南京航空航天大学
2015年硕士研究生入学考试初试试题
A 卷 科目代码: 601 科目名称: 数学分析 满分: 150 分 注意: ①认真阅读答题纸上的注意事项；②所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均无
效；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！
1. 计算下列极限(每题6分，共12分) .
(1) 112lim (0)p p p
p n n p n
+→∞++>"); (2) 3333lim )x x x x x x →∞+−). 2. 计算下列积分(每题6分，共12分) .
(1) 45cos dx x
+∫ ; (2) 214011x dx x ++∫. 3. 已知arctan ,y x =求(0).n y （）(提示：可以利用Leibniz 公式)。

（12分）
4. 下面的推理过程是否正确，为什么？（判断3分，理由10分）
对函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0
,00,1sin )(2x x x x x f ，在[0,]x 上应用Lagrange 中值定理得， 2111sin (2sin cos ),(0,)x x x x ξξξξ
=−∈ 即 111cos 2sin sin ,(0,)x x x ξξξ
ξ=−∈ 因为(0,)x ξ∈，所以当0x →时有0ξ→，于是由上式得
01cos l m 0i x ξ→=，即01cos l m 0i ξξ→=.
5. 设函数()f x 在[0,1]上二阶可导，且在[0,1]上成立|()|1|"()|2f x f x ≤≤，，证明在[0,1]上成
立|'()| 3.f x ≤（13分）
6. 半径为r 的球恰好没于水中，球的密度为ρ，现在要将其吊出水面，最少要做多少功？（设水的密度为0ρ，重力加速度为g ）（13分）
7. 证明函数)(x f =∑∞
=+021cos n n nx 在⎟⎠⎞⎜⎝⎛ 2 , 0 π 内连续, 且有连续的导函数. （13分） 8. 设函数),(y x f z =具有二阶连续偏导数. 在极坐标θcos r x =,θsin r y =变换下, 求+∂∂22x f 22y
f ∂∂关于极坐标的表达式.（12分） 9. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+−=+)0,0(),(,0)0,0(),(,1),(22)
(2
2y x y x y x e y x f y x x , 求),(y x f 在)0,0(点的4阶泰勒多项式，并求出)0,0(2y
x f ∂∂∂，)0,0(44x f ∂∂. （12分） 10. 计算二重积分dxdy y x D
∫∫+) (, 其中D 是由坐标轴及抛物线1=+y x
所围区域. （13分）
11. 计算曲面积分 ∫∫Σ
++ zdxdy ydzdx xdydz , 其中Σ为上半球面222y x R z −−= 的上侧. （12分）
12. 设函数)(x f 在] 1 , 0 [上连续, 且0)(>x f . 研究函数 ∫
+=1
0 22)()(dx y x x yf y I 的连续性.（13分）。