第一讲--认识三角形 七年级下 北师大版 复习课教案 分类经典必考题目

三角形（一）
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一、三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边。

判断三线段能否构成三角形方法：较短两段之和是否大于最长线段。

二、三角形中的角的关系：
(1)三角形的三个内角的和等于180°；
（2）三角形的外角和等于3600；
（3）三角形的一个外角等于不相邻的两内角这和；
（4）三角形的一个外角大于不相邻的内角.
三、三角形三线：
（1）有三条角平分线，交于一点，在三角形的内部；
（2）有三条中线，交于一点，在三角形内部；
（3）有三条高线，交于一点，在锐角三角形的内部、在直角三角形的直角顶点处、在钝角三角形的外部.
四、三角形分类：
1、按角分类：（1）锐角三角形；（2）直角三角形；（3）钝角三角形.
2、按边分类：（1）不等边三角形；（2）等腰三角形；（3）等边三角形.
五、全等图形：能够重合的两个图形称为全等图形.（全等图形的形状和大小都相同）
【典型例题】
一．边的大小关系，范围讨论
例1下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗？为什么？（单位：cm）
（1）1，3，3 （）
（2）3，4，7 （）
（3）5，9，13 （）
（4）11，12，22 （）
（5）14，15，30 （）
例2下列命题：
（1）只有两个三角形才能完全重合；
（2）如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同；
（3）两个正方形一定是全等形；
（4）边数相同的图形一定能互相重合.
其中错误命题的个数是（）
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
例3已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm，则第三边长X的取值范围是；若X 是奇数，则X的值是，这样的三角形有个；若X是偶数，则X的值
是；这样的三角形又有个。

例4一个等腰三角形的一边是5cm，另一边是7cm ,则这个三角形的周长是多少？
例5如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，求AC的长．
过手变式练习：
1 有一个三角形的两边分别为5和12，且周长为奇数，则满足条件的三角形的个数为__________
2 已知一个三角形有两边相等，周长为56cm ，两边之比为3：2，则这个三角形各边的长为_______
3 已知△ABC 有两边长分别为2,7，另一边长是关于x 的方程（3x-m ）+2=2（x+1）的解，求m 的取值范围
4 若a ，b ，c 是△ABC 的三边，试化简=+-+-++--c b a c b a c b a
5 从长度分别为2,34,5的四条线段中，任选三条，能组成三角形的概率是___________________
6 在△ABC 中，D 是BC 边上的任意一点，求证AB+BC+AC ＞2AD
7 三角形的三边长都为自然数，其中一边是4（但不是最短边），这样的三角形共有几个？
8 已知在△ABC 中，0106162
22=++--bc ab c b a ，若a ，b ，c 是三角形的三边，求证b c a 2=+
二．角的关系
例1 AD 是△ABC 的一条高，也是△ABC 的角平分线，若∠B =40°,求∠BAC 的度数.
例2如图，△ABC 中，∠ B ＝34°，∠ACB＝104°，AD 是BC 边上的高，AE 是∠ BAC 的平分线，求∠ DAE 的度数．
例3（1）如图所示，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = （ ）
A.180°
B.260°
C.270°
D.360°
B C
D E
例4.一副三角板按图中的方式叠放，则∠α等于 （ ） A ．75° B ．60° C ．45° D ．30°
过手变式练习：
∠A=120°，∠B=45°，∠E=33°，∠F=108°，求∠COD 的度数
2、如图，已知 ∠E ＋∠F ＝∠H ，求：∠A ＋∠B ＋∠ACD ＋∠CDG 的度数．
3、如图，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD 、AB 分别相
交于M 、N ．解答下列问题：(1)若∠D ＝40，∠B ＝36，求∠P 的度数；
(2)如果图中的∠D 和∠B 为任意角时，其它条件不变，试问∠P 与∠D 、∠B 之间存
在着怎样的数量关系？（直接写出结论即可）
4、如图，BD 是△ABC 中∠ABC 的角平分线，CD 是△ABC 的外角∠ACE 的平分线，
它与BD 的延长线交于点D ，我们将会得到∠A ＝2∠D 这一结论，试想一想为什么？并
加以说明．
5（1）在△ＡＢＣ中，∠A-∠B=20°，∠B-∠C=20°，求∠A 和∠C 的度数。

（2）在△ＡＢＣ中，C B A ∠=∠=∠3
121，试判断△ABC 的形状。

（3）在△ＡＢＣ中，C B A ∠=∠=∠32，试判断△ABC 的形状。

三．角平分线和中线
注意： 1 三角形角平分线和角的平分线的区别：
2 在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的平分线交于O ，则∠BOC=90°+1/2∠A
例1 已知D 是△ABC 的边BC 的中点，且ADC S ∆=10，求ABC S ∆
例2 如图，△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点I ，根据下列条件，求∠BIC 的度数．
（1）若∠ABC=60°，∠ACB=70°，则∠BIC=
（2）若∠ABC+∠ACB=130°，则∠BIC=
（3）若∠A=50°，则∠BIC=
（4）若∠A=110°则∠BIC=
（5）从上述计算中，我们能发现已知∠A ，求∠BIC 的公式是：∠BIC=
（6）如图，若BP ，CP 分别是∠ABC 与∠ACB 的外角平分线，交于点P ，若已知∠A ，则求∠BPC 的公式是：∠BPC=．
过手变式练习：
1 在一个钝角三角形，已知一个锐角是30°，则另一个锐角α的取值范围是：
2 在△ABC 中，已知∠C=90°，∠BAD=1/3∠BAE, ∠ABD=1/3∠ABF,则∠D
3 在△ABC 中，已知∠C=90°，AD 平分∠BAC ，且∠B=3∠ＢＡＤ，求∠ＡＤＣ的度数
４在△ABC 中，已知CE ⊥AB 于E 点，DF ⊥AB 于点F ，AC ∥ED ，CE 是∠ACB 的平分线
，
求证EDF与＝∠BDF
5（2011•怀化）如图所示，∠A，∠1，∠2的大小关系
6 如图，D是△ABC的BC边上的一点，且AD=BD=CA，∠BAC=63°．求∠DAC的度数．
高线，面积
例1如图，AD,AE分别是△ABC的高和中线,已知AD=5cm,EC=2cm
（１）求△ＡＢＥ和△ＡＥＣ有面积；
（２）它们面积之间存在什么结论？
（３）由此你有什么猜想？
过手变式练习：
１在三角形ABC中,已知三条高AD、BF、CE相交于点O,求∠1+∠2+∠3的度数
２在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC（∠C＞∠B）
试研究（1）∠EAD与∠C，∠B的关系；
（2）若F是AE上一动点，①若F移动到AE之间的位置时，FD⊥BD，此时∠EAD与∠C，∠B的关系如何②若F继续移动到AE的延长线上时，FD⊥BD，①中的结论是否还成立？说明理由
3 (2005 聊城) D，E分别是BC，AD的中点，F为CE的三等分点,S△ABC=4，则S△BEF=
4 在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AE=2CE，BD=2CD，AD、BE交于点F，若S△ABC=3，则四边形DCEF的面积为
5.O 是等边三角形ABC 内任意一点,OD ⊥AB,OE ⊥BC,OF ⊥AC 高AM ⊥BC,求证OD+OE+OF=AM
6.分别以2 cm 、3 cm 、4 cm 、5 cm 的线段为边可构成________个三角形.
课后练习：
1.在△ABC 中，∠C =90°，∠A =40°，则∠B =________.
2.两根木棒的长分别是7cm 和9 cm ，现要你选择第3根木棒，将它们钉成一个三角形，若选择的木棒长度是7的倍数，则你选择的木棒的长为________cm.
3.有三个三角形,它们的两个内角的度数分别是：①30°和50°②70°和20°；③82°和23°,其中属于锐角三角形的是________.
4.在△ABC 中，若∠C =21∠B =3
1∠A ，则△ABC 是________三角形(按角分类). 5.如图1所示，CD 是△ABC 的高，且CD ＝5，S △ABC ＝25，则AB ＝________.
6.如图2所示, BE 、CD 是角平分线，∠A ＝80°,则∠1＋∠2＝________.
7.如图3所示,在△ABC 中，CD ⊥AB ，∠AC B ＝86°,∠B =20°,则∠ACD ＝______.
A B C
D A B C D
E 12 A B
C
D 图1 图2 图3
8.如图所示，其中∠1＝________. 65
o
100 o 1 9．一定在△ABC 内部的线段是 （ ）
A ．锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线
B ．钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线
C ．任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高
D ．直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线
10．下列说法中，正确的是 （ ）
A ．一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形
B ．一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三角形
C ．一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形
D ．一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形
11．下列说法正确的个数为 （ ）
（1）用一张像底片冲出来的10张一寸照片是全等形
（2）我国国旗商店四颗小五角星是全等形
（3）所有的正六边形是全等形
（4）面积相等的两个正方形是全等形
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
12.在三角形的角平分线、中线、高线中，属于直线的有(每种线只有一条)
A.0条
B.1条
C.2条
D.3条
13.现有两根木棒分别长40 cm 和50 cm ，要从下列长度的木棒中选出一条，与前面两根木棒钉成一个三角架(木棒不能余)，则可选出 ( )
①5 cm ②10 cm ③40 cm ④45 cm ⑤80 cm ⑥90 cm
A.3条
B.4条
C.5条
D.6条
14.在一个三角形的三个内角中，说法正确的是 ( )
A.至少有一个直角
B.至少有一个钝角
C.至多有两个锐角
D.至少有两个锐角
15.锐角三角形中，任意两个内角之和必大于 ( )
A.120°
B.100°
C.90°
D.60°
16.如图所示，∠1=∠2=∠3=∠4，则AD 是△ABC 的 ( ) 1 2 3 4
A
B C D
A.高
B.角平分线
C.中线
D.以上都不是
17.若三角形的三边分别为x －1、x 、x +1(x ＞1),则x 的取值范围是 （ ）
A.x ＞1
B.1＜x ＜2
C.x ＞2
D.x ≥2
18.一个三角形中最小角不能大于 ( )
A.50°
B.60°
C.80°
D.90°
19.小明说：有这样一个三角形，它两条边上的高的交点正好是该三角形的一个顶点.你认为小明说的这个三角形一定 ( )
A.是钝角三角形
B.是直角三角形
C.是锐角三角形
D.不存在 20.在△ABC 中，∠A ＝31∠B ＝5
1∠C ，则△ABC 是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上都不对
21.如图所示，虚线部分是小刚作的辅助线，则你认为线段CD 为
( )
A.边AC 上的高
B.边BC 上的高
C.边AB 上的高
D.不是△ABC 的高
22.如图所示，CE 平分∠ACD ,F 为CA 延长线上一点，FG ∥CE 交AB 于点G ，∠ACD ＝100°,∠AGF =20°,你能求出∠B 的度数吗？若能求，请写出求解过程；若不能求，请说明理由.
A
B
C D E
F
G
23．一个三角形的周长为36cm
，三边之比为a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，求a 、b 、c ．
24．如图，豫东有四个村庄A 、B 、C 、D ．现在要建造一个水塔P ．请回答水塔P
应建在何位置，才能使它到4村的距离之和最小，说明最节约材料的办法和
理由．
【家庭作业】
1.有两条线段的长分别为a =8 cm,b =6 cm,要选一条线段c ，使a 、b 、c 构成一个三角形，则c 的取值范围应是________.
2．已知△ABC 的周长为48cm ，最大边与最小边之差为14cm ，另一边与最小边之和为25cm ，求△ABC 各边的长．
3．三角形所有外角的和是 （ ）
A ．180°
B ．360°
C ．720°
D ．540°
4．锐角三角形中，最大角α的取值范围是 （ ）
A ．0°＜α＜90°
B ．60°＜α＜180°
C ．60°＜α＜90°
D ．60°≤α＜90
5．如果三角形的一个外角不大于和它相邻的内角，那么这个三角形为 （ ）
A ．锐角或直角三角形
B ．钝角或锐角三角形
C ．直角三角形
D ．钝角或直角三角形
6．已知△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点O ，则∠BOC 一定 （ ）
A ．小于直角
B ．等于直角
C ．大于直角
D ．大于或等于直角
7．如图，∠ABC ＝∠ADC ＝∠FEC ＝90°．
（1）在△ABC 中，BC 边上的高是________；
（2）在△AEC 中，AE 边上的高是________；
（3）在△FEC 中，EC 边上的高是________；
（4）若AB ＝CD ＝3，AE ＝5，则△AEC 的面积为_____.
8．如图，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 上两点，且BD ＝DE ＝EC ，则图中面积相等的三
角形有 （ ）
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
9．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定
10．下列各题中给出的三条线段不能组成三角形的是（）
A．a＋1，a＋2，a＋3（a＞0） B．三条线段的比为4∶6∶10
C．3cm，8cm，10cm D．3a，5a，2a＋1（a＞0）
11．若等腰三角形的一边是7，另一边是4，则此等腰三角形的周长是（）
A．18 B．15 C．18或15 D．无法确定
12．如图，AB∥CD，BC⊥AB，若AB＝4cm，2
S，求△ABD中AB边上的高。

12cm
=
∆ABC
13 已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF
14 在△ABC中，已知C是ＢＤ上的一点，A是ＢＦ延长线上的一点，连接ＡＣ于点Ｅ，且∠Ｂ＝４２°，∠Ｄ＝５９°，∠ＤＥＣ＝４７°，求∠Ｆ的度数
15 如图，直线a∥b，直线AC分别交a、b于点B、C，直线AD交a于点D．若∠1=20°，∠2=65°，则∠3度数等于（）
，
16 如图，将一等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2=（）
17 如图1，有一个五角星ABCDE，你能说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°吗？如图2、图3，如果点B向右移到AC上，或AC的另一侧时，上述结论仍然成立吗？请分别说明理由．
18 在三角形ABC中,已知三条高AD、BF、CE相交于点O,求∠1+∠2+∠3的度数。

19 如图所示，△ABC中，AB＝AC，BE、CD是△ABC的中线，下列结论不正确的有（）
A.S△ADC=S△BDC
B.S△ABE=S△CBE
C.S△BDF=S△CEF
D.S△ADE=S△BDC
A
E
D
F
B C。