备战新课标高考理科数学2020：“3+1”保分大题强化练(四) Word版含解析

保住基本分·才能得高分“3＋1”保分大题强化练(四) 前3个大题和1个选考题不容有失

1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2(a cos B cos C ＋c cos B cos A)．

(1)求B的大小；

(2)若a＋c＝5，且S△ABC＝3，求边长b的值．

解：(1)由已知条件及正弦定理得sin B＝2(sin A cos B·cos C＋sin C cos B cos A)＝2cos B(sin A cos C＋sin C cos A)＝2cos B sin(A＋C)，

可得cos B＝1

2.又0<B<π，∴B＝

π

3.

(2)由(1)及余弦定理得，b2＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac.

∵a＋c＝5，∴b2＝25－3ac，∵S

△ABC ＝3，∴

1

2ac sin B＝3，即ac＝4，∴

b2＝13，∴b＝13.

2．某工厂有甲、乙两个车间生产同一种产品，甲车间有工人200人，乙车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人．甲车间抽取的工人记作第一组，乙车间抽取的工人记作第二组，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间(单位：min)进行统计，按照[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95]进行分组，得到下列统计图．

(1)分别估算两个车间工人中，生产一件产品时间少于75 min的人数．

(2)分别估计两个车间工人生产一件产品时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？

(3)从第一组生产时间少于75 min 的工人中随机抽取3人，记抽取的生产时间少于65 min 的工人人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．解：(1)由题意得，第一组工人20人，其中在75 min 内(不含75 min)生产完成一件产品的有6人，

∴甲车间工人中生产一件产品时间少于75 min的人数约为6×10＝60.

第二组工人40人，其中在75 min内(不含75 min)生产完成一件产品的有40×(0.025＋0.05)×10＝30(人)，

∴乙车间工人中生产一件产品时间少于75 min的人数约为30×10＝300.

(2)第一组工人生产一件产品的平均时间为x甲＝60×2＋70×4＋80×10＋90×4

20＝78(min)，

第二组工人生产一件产品的平均时间为x

乙

＝60×0.25＋70×0.5＋80×0.2＋90×0.05＝70.5(min)，

∴x

甲＞x

乙

，∴乙车间工人的生产效率更高．

(3)由题意得，第一组生产时间少于75 min 的工人有6人，其中生产时间少于65 min 的有2人，从中抽取3人，

则X的可能取值为0,1,2，

P(X＝0)＝C02C34

C36＝

1

5，

P(X＝1)＝C12C24

C36＝

3

5，

P(X＝2)＝C22C14

C36＝

1

5.

所以X的分布列为

X 01 2

P 1

5

3

5

1

5

数学期望E(X)＝0×1

5＋1×

3

5＋2×

1

5＝1.

3．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD的中点，将△ADE沿AE折到△APE的位置．

(1)证明：AE⊥PB；

(2)当四棱锥P-ABCE的体积最大时，求二面角A-PE-C的余弦值．

解：(1)证明：在等腰梯形ABCD 中，连接BD ，交AE 于点O ， ∵AB ∥CE ，AB ＝CE ，∴四边形ABCE 为平行四边形， ∴AE ＝BC ＝AD ＝DE ，∴△ADE 为等边三角形， ∴在等腰梯形ABCD 中，∠C ＝∠ADE ＝60°，BD ⊥BC ， ∴BD ⊥AE .

如图，翻折后可得OP ⊥AE ，OB ⊥AE ，

又OP ∩OB ＝O ，OP ⊂平面POB ，OB ⊂平面POB ， ∴AE ⊥平面POB ，

∵PB ⊂平面POB ，∴AE ⊥PB .

(2)当四棱锥P -ABCE 的体积最大时，平面P AE ⊥平面ABCE .

又平面P AE ∩平面ABCE ＝AE ，PO ⊂平面P AE ，PO ⊥AE ，∴OP ⊥平面ABCE .

以O 为坐标原点，OE 所在的直线为x 轴，OB 所在的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得， P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，

E ⎝ ⎛⎭⎪⎫

12，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，0，∴P E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－32，EC →＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，32，0， 设平面PCE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨

⎪⎧

P E →·n 1＝0，

E C →·n 1

＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧

12x －3

2z ＝0，12x ＋32y ＝0，

设x ＝3，则y ＝－1，z ＝1，∴n 1

＝(3，－1,1)为平面PCE 的一个法向量，

易知平面P AE 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－11×5＝－5

5.

由图知所求二面角A -PE -C 为钝角， ∴二面角A -PE -C 的余弦值为－5

5.

4．选考系列(请在下面的两题中任选一题作答) [选修4－4：坐标系与参数方程]