备战新课标高考理科数学2020:“3+1”保分大题强化练(四) Word版含解析
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保住基本分·才能得高分“3+1”保分大题强化练(四) 前3个大题和1个选考题不容有失
1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2(a cos B cos C +c cos B cos A).
(1)求B的大小;
(2)若a+c=5,且S△ABC=3,求边长b的值.
解:(1)由已知条件及正弦定理得sin B=2(sin A cos B·cos C+sin C cos B cos A)=2cos B(sin A cos C+sin C cos A)=2cos B sin(A+C),
可得cos B=1
2.又0<B<π,∴B=
π
3.
(2)由(1)及余弦定理得,b2=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac.
∵a+c=5,∴b2=25-3ac,∵S
△ABC =3,∴
1
2ac sin B=3,即ac=4,∴
b2=13,∴b=13.
2.某工厂有甲、乙两个车间生产同一种产品,甲车间有工人200人,乙车间有工人400人,为比较两个车间工人的生产效率,采用分层抽样的方法抽取工人.甲车间抽取的工人记作第一组,乙车间抽取的工人记作第二组,并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间(单位:min)进行统计,按照[55,65),[65,75),[75,85),[85,95]进行分组,得到下列统计图.
(1)分别估算两个车间工人中,生产一件产品时间少于75 min的人数.
(2)分别估计两个车间工人生产一件产品时间的平均值,并推测哪个车间工人的生产效率更高?
(3)从第一组生产时间少于75 min 的工人中随机抽取3人,记抽取的生产时间少于65 min 的工人人数为随机变量X,求X的分布列及数学期望.解:(1)由题意得,第一组工人20人,其中在75 min 内(不含75 min)生产完成一件产品的有6人,
∴甲车间工人中生产一件产品时间少于75 min的人数约为6×10=60.
第二组工人40人,其中在75 min内(不含75 min)生产完成一件产品的有40×(0.025+0.05)×10=30(人),
∴乙车间工人中生产一件产品时间少于75 min的人数约为30×10=300.
(2)第一组工人生产一件产品的平均时间为x甲=60×2+70×4+80×10+90×4
20=78(min),
第二组工人生产一件产品的平均时间为x
乙
=60×0.25+70×0.5+80×0.2+90×0.05=70.5(min),
∴x
甲>x
乙
,∴乙车间工人的生产效率更高.
(3)由题意得,第一组生产时间少于75 min 的工人有6人,其中生产时间少于65 min 的有2人,从中抽取3人,
则X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)=C02C34
C36=
1
5,
P(X=1)=C12C24
C36=
3
5,
P(X=2)=C22C14
C36=
1
5.
所以X的分布列为
X 01 2
P 1
5
3
5
1
5
数学期望E(X)=0×1
5+1×
3
5+2×
1
5=1.
3.如图,等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AD=AB=BC=1,CD=2,E为CD的中点,将△ADE沿AE折到△APE的位置.
(1)证明:AE⊥PB;
(2)当四棱锥P-ABCE的体积最大时,求二面角A-PE-C的余弦值.
解:(1)证明:在等腰梯形ABCD 中,连接BD ,交AE 于点O , ∵AB ∥CE ,AB =CE ,∴四边形ABCE 为平行四边形, ∴AE =BC =AD =DE ,∴△ADE 为等边三角形, ∴在等腰梯形ABCD 中,∠C =∠ADE =60°,BD ⊥BC , ∴BD ⊥AE .
如图,翻折后可得OP ⊥AE ,OB ⊥AE ,
又OP ∩OB =O ,OP ⊂平面POB ,OB ⊂平面POB , ∴AE ⊥平面POB ,
∵PB ⊂平面POB ,∴AE ⊥PB .
(2)当四棱锥P -ABCE 的体积最大时,平面P AE ⊥平面ABCE .
又平面P AE ∩平面ABCE =AE ,PO ⊂平面P AE ,PO ⊥AE ,∴OP ⊥平面ABCE .
以O 为坐标原点,OE 所在的直线为x 轴,OB 所在的直线为y 轴,OP 所在的直线为z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,由题意得, P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,0,32,
E ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12,0,0,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32,0,∴P E →=⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0,-32,EC →=⎝ ⎛⎭
⎪⎫12,32,0, 设平面PCE 的法向量为n 1=(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨
⎪⎧
P E →·n 1=0,
E C →·n 1
=0,即⎩⎪⎨⎪⎧
12x -3
2z =0,12x +32y =0,
设x =3,则y =-1,z =1,∴n 1
=(3,-1,1)为平面PCE 的一个法向量,
易知平面P AE 的一个法向量为n 2=(0,1,0), ∴cos 〈n 1,n 2〉=n 1·n 2|n 1||n 2|=-11×5=-5
5.
由图知所求二面角A -PE -C 为钝角, ∴二面角A -PE -C 的余弦值为-5
5.
4.选考系列(请在下面的两题中任选一题作答) [选修4-4:坐标系与参数方程]