高斯函数_常见题型

高斯函数_常见题型
一、常见题型与相关例题 1、 整数问题
例1、 在项数为1987的数列222121987,,,198719871987⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
中有多少个不同的整数？
2、 方程问题
方程问题主要有解方程与讨论方程的根两种题型。

例2、 解方程33[]3x x -=。

例3、 证明方程2345[][2][2][2][2][2]12345x x x x x x +++++=无实数解。

3、 恒等问题
这类问题主要是证明一些由[x]构成的恒等式。

例如1().22n n n n N *
+⎡⎤⎡⎤
+=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 例4、（Hermite 恒等式）若n 是正整数，x R ∈，则
1
0[]n k k x nx n -=⎡
⎤+=⎢⎥⎣
⎦∑. 例5、已知,n N *∈求证：[1]41[42][43]n n n n n ++=+=+=+ 4、 不等问题
不等问题主要涉及含[x]的不等式分析。

此类问题一般难度较大。

例6、设,x y R ∈，试证：
（1）、[2][2][][][];x y x y x y +≥+++ （2）、[3]
[3][][]2[]x y x y x y +≥+++.
注：与上面不等式相类似地还有
（3）、[4][4][][][2][2].x y x y x y y x +≥+++++ （4）、[5]
[5][][][3][3].x y x y x y y x +≥+++++
例7、设,,x R n N *
∈∈试证：1[]
[][].n
k kx n x nx k
=≤
≤∑ 例8、证明不等式[
][][][2][2]ααββαβ+++≥+对任意不小于1的实数,αβ
立。

例9、求所有正整数n 使得2
2min()1991.k N n k k *
∈⎡⎤
+=⎢⎥⎣⎦
5、 求值问题
例10、若实数x 满足192091[][][]546,100100100
x x x +
+++⋅⋅⋅++=求[100]x 的值。

例11、计算和式100
1
23[
]101
n n
=∑的值。

6、 格点问题
平面区域内的格点计数问题，往往与[]x 有关，而且通过格点计数，还可以证明一些恒等式。

例12、设,2,n N n *
∈≥求证：
2
2
[
][log ].n
n
k
k k k n n ===∑∑
证明：构造平面区域D={(,),2,2},x
x y y n x y ≤≥≥并考虑D 中整点的个数：
（1） 如果一列一列的数，x =2时有[]n 个，3x =时有3[]n 个，…，x n =时有[]n n 个，
故共有
2
[
]n
k
k n =∑个。

（2） 如果一行一行的数，2y =时有2[log ]n 个，3y =时有3[log ]n 个，…，y n =时有
[log ]n n 个，故共有2
[log ]n
k k n =∑个。

综合（1）、（2），问题获证。

一般地，设函数()y f x =在[,]a b 上连续且非负，则[()]a t b
f t <≤∑（t 为[,]a b 内的整数）
表示平面区域,0()a x b y f x <≤<≤的格点数。

特别地，有
（ⅰ）位于三角形：0,y ax b c x d =+><≤内的格点个数等于0[]x d
ax b <≤+∑（x 为整
数）。

（ⅱ）设,p q 为正奇数，(,)1,p q =矩形域(0,](0,]22
q
p
⨯
内的格点数等于002
2
11[][]22q p x y p q p q x y q p
<<<<
--+=⋅∑∑。

（ⅲ）
0,r >圆域222
x y r +≤内的格点个数等于222
02
14[]8[]4[
]2
r
x r r r x <≤
++--∑。

（ⅳ）0,n >区域：0,0,x y xy n >>≤内的格点个数等于202
[][]x n
n n x <≤-∑。

对于以上结论，可通过画示意图来证明。

例如，位于由直线21
032
y x =
->和010x <≤围成的三角形内的格点个数等于 3
104
21212121
[
][1][2][10]00122344562732323232
x x <≤-=⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-=+++++++++=∑
高斯函数在数列和数论中也有极为广泛的应用，在数列和数论部分可以再得到补充。

二、练习 1、计算和式
502
305[
]503
n n
=∑的值。

2、求函数12.5()[
][](010)12.5x f x x x =⋅-<<的值域。

3、解方程2721
[]34
x x +-=。

4、试证对任意实数x ，有10
2[][]2k
k k x x ∞
+=+=∑。

5、求方程[][
][]10011!2!10!
x
x x
++⋅⋅⋅+=的整数解。

6、设215
,,2
αβα+=
=证明：对一切*,n N ∈都有[[]][][]n n n αβαβ=+。

7、求所有的实数α，使得11[][]2
2
n n α++=+对一切正整数n 都成立。

8、设(1,2,,).i x R i n ∈=⋅⋅⋅求证：x R ∃∈使下列不等式成立：1
1
{}2
n
k k n x x =--≤
∑。

9、若对任何整数,,,n a b c 都满足[][][]na nb nc +=。

证明：,,a b c 中至少有一个是整数。

10、证明：对任意正整数n 都有1
{2}22n n
>。

11、证明*
,R λ∃∈使得对*
,[]N
n N λ∀∈与n 的奇偶性相同，并给出一个如此的正实数。

12、在数列{}n a 中，1a 是正整数，且215
3
[12]44
n n n a a a +=+-。

试求出所有的1a 使得当2n ≥时有1(mod10)n a ≡。