高考数学复习考点知识与结论专题讲解41 含参不等式解法

高考数学复习考点知识与结论专题讲解
第41讲含参不等式解法
1.若函数f (x )在区间D 上存在最小值()min f x 和最大值max ()f x ,则
不等式f (x )＞a 在区间D 上恒成立⇔()min f x ＞a ; 不等式f (x )≥a 在区间D 上恒成立⇔()min f x ≥a ; 不等式f (x )＜b 在区间D 上恒成立⇔max ()f x ＜b ; 不等式f (x )≤b 在区间D 上恒成立⇔max ()f x ≤b .
2.若函数f (x )在区间D 上不存在最大(小)值,且值域为(m ,n ),则
不等式f (x )＞a (或f (x )≥a )在区间D 上恒成立⇔m ≥a ; 不等式f (x )＜b (或f (x )≤b )在区间D 上恒成立⇔n ≤b . 3.若函数f (x )在区间D 上存在最小值min ()f x 和最大值max ()f x ,则
不等式a ＜f (x )在区间D 上有解⇔a ＜max ()f x ﹔ 不等式a ≤f (x )在区间D 上有解⇔a ≤max ()f x 不等式a ＞f (x )在区间D 上有解⇔a ＞min ()f x ﹔ 不等式a ≥f (x )在区间D 上有解⇔a ≥min ()f x
4.若函数f (x )在区间D 上不存在最大(小)值,且值域为(m ,n ),则
不等式a ＜f (x )(或a ≤f (x ))在区间D 上有解⇔a ＜n ; 不等式b ＞f (x )(或b ≥f (x ))在区间D 上有解⇔b ＞m .
结论一、利用二次函数的性质
对形如f (x )＞0或f (x )＜0在其定义域上的不等式恒成立问题,若f (x )满足二次函数的一般结构,那不妨将题转化成二次函数在其定义域上的图像在坐标系中与x 轴的高低比较.一般来讲,对
20+ax bx c +>(或20+ax bx c +<)在x ∈R 上恒成立问题,可以利用二次项系数及判别式进行讨论;对20+ax bx c +>(或20+ax bx c +<)在x ∈D (D ≠R )上恒成立问题,常用分离参数法.
【例1】若不等式2(1)(1)20m x m x -+-+>的解集是R ,则m 的取值范围是__________ 【答案】[1,9)
【解析】要想应用上面的结论,就得保证是二次的,这样才有判别式,但二次项系数含有参数m ,所以要讨论m －1是否是0.
(1)当m －1＝0时,原不等式化为2＞0恒成立,满足题意;
(2)当m －1≠0时,只需2
10
(1)8(1)0
m m m ->⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩所以m ∈[1,9). 【变式】已知2()3f x x ax a =++-,若x ∈[–2,2],f (x )≥2恒成立，则a 的取值范围是_________________.
【答案】2⎡
⎤-⎣⎦
【解析】本题可以考虑f (x －2＝g (x )的零点分布情况进行分类讨论,分无零点、零点在区间的左侧、零
点在区间的右侧三种情况,即Δ≤0或022(2)0(2)0g a g ∆>⎧⎪⎪-≤-⎪⎨⎪-≥⎪≥⎪⎩或02
2(2)0(2)0g g a ∆>⎧⎪⎪-≥⎪⎨⎪-≥⎪≥⎪⎩，2()2320f x x ax a -=++-≥-,即
2()10g x x ax a =++-≥在[－2,2]上成立
(1)24(1)0a a =--∆≤,
所以22a ---+(2)022(2)0(2)0g g a ∆>⎧⎪⎪-≤-⎪⎨⎪-≥⎪≥⎪⎩或0
2
2(2)0(2)0g g a ∆>⎧⎪⎪-≥⎪⎨⎪-≥⎪≥⎪⎩
所以5 2.a --剟
综上
,2a ⎡⎤∈-⎣⎦
结论二、分离变量
若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解.这类题型的基本解题思路如下:
(1)将参数与变量分离,即化为g (a )≥f (x )(或g (a )≤f (x ))恒成立的形式; (2)求f (x )在x ∈D 上的最大(或最小)值;
(3)解不等式g (a )≥()max f x (或g (a )≤()min f x ),得a 的取值范围.
【例2】当x ∈[1,2]时,不等式240x mx ++<恒成立,则m 的取值范围是_________. 【答案】(–∞,－5)
【解析】当x ∈[1,2]时,由2
40x mx ++<得24
x m x
+<-.令24()x f x x +=-则易知f (x )在[1,2]上是增函
数,所以当x ∈[1,2]时,()min f x ＝f (1)＝－5,则m ＜–5,即m ∈(–∞,－5).
【变式】已知x ∈(–∞,1]时,不等式212()40x x a a ++-⋅>恒成立,则a 的取值范围是___________ 【答案】13
(,)22
-
【解析】令2x t =,因为x ∈(–∞,1],所以t ∈(0,2],所以原不等式可化为:22
1
t a a t +-<
.要使上式在t ∈(0,2]上恒成立,只须求出f (t )＝
21t t +在t ∈(0,2]上的最小值即可.因为
222
111111
()()()24t f t t t t t +==+=+-又因为11,)2 [t ∈+∞,所以3()(2)4min f t f ==所以234a a -<,所以1313
,(,)2222
a a -<<∈-即, 结论三、变换主元
在不等式的恒成立问题中，有一类题型是题中的参数如a ，m ，k 等的范围是已知的，而问题要求的反而是变量x 的范围。

这类题型中，由于已知范围的变量是以前我们所接触的参数，因而题中的函数结构也就发生了改变，此时函数是以参数为自变量的函数。

一般来说，我们在观察这类恒成立问题时，哪个变量的范围是已知的，哪个就是该函数的自变量。

【例3】若|a |≤2,
恒成立,则x 的取值范围是__________.
【答案】x ＜–1或x ＞3
【解析】原不等式转化为2(1)210x a x x -+-+>在|a |≤2时恒成立,设2()(1)21f x a x x a =-+-+,则f (a )
在|a |≤2上恒大于0,故有(2)0(2)0f f ->⎧⎨>⎩即2
2430
10
x x x ⎧-+>⎪⎨->⎪⎩
解得31
11x x x x ><⎧⎨><-⎩
或或，所以x ＜－1或x ＞3.
【变式】若不等式4220x x a -⋅+>对于a ∈(－∞,3]恒成立,则x 的取值范围是_______________. 【答案】(－∞,0)∪(1,＋∞)
【解析】注意到4220x x a -⋅+>对于α∈(－∞,3]恒成立是关于a 的一次不等式. 不妨设()2(42)x x f a a =-++⋅,则f(a )在a ∈(–∞,3]上单调递减,则问题等价于f (3)＞0,所以43220x x -⋅+>⇒22x >或21x <,则x 的取值范围是x ∈(－∞,0)∪(1,＋∞).
结论四、恒成立问题
1.对任意的x ∈D ,都有f (x )＞m ,则min ()f x ＞m ;
2.对任意的x ∈D ,都有f (x )＜m ,则()max f x ＜m . 【例4】若对任意x ＞0,都有2
31
x
a x x ++…,则a 的取值范围是___________. 【答案】1
[,)5
+∞
【解析】原题等价于max
2211
(
)(),2131313
x x a f x t x x x x x x x x
===+++++++，剠 则1()(2)3f t t t =
+…为减函数, 于是max 1()(2)5f t f ==. 故1,5a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
. 【变式】已知函数2
1(),()2x
f x x
g x m ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
, 若对任意[1,2]x ∈,都有()()f x g x …, 则实数m
的取值范围是____________________
【答案】1,2⎡⎫
-
+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】对任意的[1,2]x ∈,都有()()f x g x …,转化为2
12x
m x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
…恒成立,题意等价于
2m a x 12x m x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
… , 令21()2x
h x x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭, 且()h x 在[1,2]x ∈上为减函数,所以
max 1()(1)2h x h ==-. 故1,2m ⎡⎫
∈-+∞⎪⎢⎣⎭
.
结论五、能成立问题
【例5】存在实数[1,2]x ∈,使得不等式20kx k +-<有解,则k 的取值范围为________________ 【答案】(,1)-∞ 【解析】变量分离得221k x <
+, 只需当[1,2]x ∈时, 2
2max 1k x ⎛⎫
< ⎪+⎝⎭
. 因为22()11f x x =≤+, 所以1k <, 即(,1)k ∈-∞. 【变式】
已知函数(
)2
()l g f x a a x
x =--,若定义域不为空集,则a 的取值范围为
________________
【答案】(,4)(0,)-∞-⋃+∞
【解析】()f x 的定义域非空,相当于存在实数x , 使20a ax x -->成立,()x a ϕ=-2ax x -的最大
值大于 0 成立,
22max
44()044
a a a a x ϕ--+==>-, 解得4a <-或0a >, 即
(,4)(0,)a ∈-∞-⋃+∞.
结论六、恰成立问题
【例6】不等式210ax bx ++>的解集为1|13x x ⎧
⎫-<<⎨⎬⎩⎭
, 则a b ⋅=________________ 【答案】 6
【解析】由题意知2
0,10a ax bx <++=的两根分别为1
1,3
-, 根据韦达定理可得3,2a b =-=-. 所以6a b ⋅=.
【变式】已知函数(
)2
()lg f x a ax x =--,若()0f x >的解集为(2,3),则a =________________
【答案】 -5
【解析】因为()0f x >的解集为(2,3), 所以21a ax x -->的解集为(2,3), 所以等价于方程
210x ax a ++-=的两个根为 2 和 3 ,由韦达定理可得5a =-.
结论七、“任意 = 存在”型
【例7】函数(),()f x x g x x a ==
+, 对于任意的1[0,1]x ∈, 均存在2[2,4]x ∈,使得
()()12f x g x =成立,则a 的取值范围是________________
【答案】[3,2]--
【解析】设()f x 在区间[0,1]上的值域为,()A g x 在区间[2,4]上的值域为B ,本题转化成两函数的值
域之间的关系, 即需满足A B ⊆, 即[0,1][2,4]a a ⊆++. 所以20a +…且41a +…
, 解得32a --剟. 故[3,2]a ∈--.
【变式】已知2
()2,()2(0)f x x x g x ax a =-=+>, 对任意的1[1,2]x ∈-, 存在2x ∈[1,2]-,使得
()()12g x f x =, 则a 的取值范围是________________
【答案】10,2
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
【解析】由2
[1,2],()2,()2(0)x f x x x g x ax a ∈-=-=+>可得()f x 的值域为[1-,3],()g x 的值域是[2,22]a a -++, 又对任意的1[1,2]x ∈-,存在2[1,2]x ∈-,使得()()12g x f x =, 则()f x 的值域包含()g x 的值域, 即[2,22][1,3]a a -++⊆-,则1-…2223a a -+<+…,解得1
02
a <…
. 故10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
.
结论八、“存在 = 存在”型
【例8】已知函数()1,()43f x e g x x x =-=-+-,若有()()f a g b =,则b 的取值范围为
________________
【答案】(2
【解析】因为()f x 的值域为(1,)-+∞, 又有()()f a g b =, 即()1g b >-, 即24b b -+-31>-, 解
得22b <, 即(2b ∈.
【变式】已知函数(
)
22
2
()2,[0,1],()3215,[10]f x k x k x g x x k k x x =+∈=-+++∈-，存在12[0,1],[1,0]x x ∈∈-, 使得()()21g x f x =成立,则k 的取值范围为_____________
【答案】1110,44⎡⎡⎫---⋃+∞⎪⎢⎢⎪⎣⎦⎣⎭
【解析】存在12[0,1],[1,0]x x ∈∈-,使得()()21g x f x =成立,则(),()f x g x 的值域相交非空, ()
f x
的值域为2,2,()k k k g x ⎡⎤+⎣⎦的值域为2
5,1022
k k ⎡⎤++⎣⎦, 则510k +剟222k k +或
22521022k k k k +++剟,解得k ⎡⎫∈-⋃+∞⎪⎢⎪⎣⎦⎣⎭
.。