2018年高中提前招生数学试卷含答案

2018年高中提前招生数学试卷含答案
[温馨提示]
1、本试卷满分100分，考试时间100分钟；
2、答案一律用黑色墨水钢笔填写在答题卷相应位置，做在试题卷上无效；
3、请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！
一、选择题（每题3分，共36分）
1 .设a为﹣的小数部分，b为﹣的小数部分．则﹣的值为
（）A．+﹣1 B．﹣+1 C．﹣﹣1 D．++1
2．如图，将足够大的等腰直角三角板PCD的锐角顶点P放在另一个等腰直角三角板PAB的直角顶点处，三角板PCD绕点P在平面内转动，且∠CPD的两边始终与斜边AB相交，PC交AB于点M，PD交AB于点N，设AB=2，AN=x，BM=y，则能反映y与x的函数关系的图象大致是（）
A．B．C．D．
3．如图，两个边长相等的正方形ABCD和EFGH，正方形EFGH的顶点E固定在正方形ABCD的对称中心位置，正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为S，旋转的角度为θ，S与θ的函数关系的大致图象是（）
A．B．C．D．
4．如图，A、B是双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，
线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC=9．则k的值是（）
A．9 B．6 C．5 D．4
5．已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc＞0；
②a+b+c=2；③a＜；④b＞1．其中正确的结论是（）
A．①②B．②③C．③④D．②④
6．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+1交x轴于点A，交y轴于点B，点A1、A2、A3，…在x轴上，点B1、B2、B3，…在直线l上．若△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…均为
等边三角形，则△A5B6A6的周长是（）
A．24B．48C．96D．192
7．如图，一次函数y=ax+b与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数y=相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴、x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE、EF．
有下列三个结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②△DCE≌△CDF；
③AC=BD．其中正确的结论个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，
∠CED=90°，∠DCE=30°，若OE=，则正方形的面积为（）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，以O为圆心的
半圆分别与AB、AC边相切于D、E两点，且O点在BC边上，
=（）
则图中阴影部分面积S
阴
A．B．C．5﹣πD．﹣
10．若实数a，b满足a﹣ab+b2+2=0，则a的取值范围是（）
A．a≤﹣2 B．a≥4 C．a≤﹣2或a≥4 D．﹣2≤a≤4
11．在下列图形中，各有一边长为4cm的正方形与一个8cm×2cm的长方形相重叠．问哪一个重叠的面积最大（）
A．B．C．D．
12．有四张正面分别标有数字﹣2，﹣6，2，6的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．
现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a；不放回，再从中抽取一张，将
该卡片上的数字记为b，则使关于x的不等式组的解集中有且只有3个非负整数
解的概率（）A．B．C．D．
二、填空题：（每题4分，共24分）
13 .一次函数y=kx+3的图象与坐标轴的两个交点之间的距离为5，则k的值为．
14．已知|ab﹣2|+|a﹣1|=0，则++…+=．
15．若x2﹣3x+1=0，则的值为．
16．已知实数a，b，c满足a+b+c=10，且，则的值是．17．若+b2+2b+1=0，则a2+﹣|b|=．
18．已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=﹣x+3上，
设点M坐标为（a，b），则y=﹣abx2+（a+b）x的顶点坐标为．
三、解答题：（19题10分、20题8分，21题10分，22题12分，共40分）
19．如图，△AEF中，∠EAF=45°，AG⊥EF于点G，现将△AEG沿AE折叠得到△AEB，
将△AFG沿AF折叠得到△AFD，延长BE和DF相交于点C．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）连接BD分别交AE、AF于点M、N，将△ABM绕点A
逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH，试判断线段
MN、ND、DH之间的数量关系，并说明理由．
（3）若EG=4，GF=6，BM=3，求AG、MN的长．
20．为深化“携手节能低碳，共建碧水蓝天”活动，发展“低碳经济”，某单位进行技术革新，让可再生资源重新利用．今年1月份，再生资源处理量为40吨，从今年1月1日起，该单位每月再生资源处理量每一个月将提高10吨．月处理成本（元）与月份之间的关系可近似地表示为：p=50x2+100x+450，每处理一吨再生资源得到的新产品的售价定为100元．若该单位每月再生资源处理量为y（吨），每月的利润为w（元）．
（1）分别求出y与x，w与x的函数关系式；
（2）在今年内该单位哪个月获得利润达到5800元？
21．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+（2﹣3a）x+3=0．
（1）求证：当a取不等于1的实数时，此方程总有两个实数根；
（2）若m，n（m＜n）是此方程的两根，并且．直线l：y=mx+n交x轴于点A，交y轴于点B．坐标原点O关于直线l的对称点O′在反比例函数的图象上，求反比例函数的解析式；（3）在（2）成立的条件下，将直线l绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°），得到直线l′，l′交y
轴于点P，过点P作x轴的平行线，与上述反比例函数的图象交于点Q，当四边形APQO′的面积为时，求θ的值．
22．如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于另一点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交x轴于点H，交直线AB于点F，作PG⊥AB于点G．求出△PFG的周长最大值；
（3）在抛物线y=ax2+bx+c上是否存在除点D以外的点M，使得△ABM与△ABD的面积相等？若存在，请求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2016年高中提前招生数学试卷2
一、选择题
1.设a为﹣的小数部分，b为﹣的小数部分．则﹣的值为
（）A．+﹣1 B．﹣+1 C．﹣﹣1 D．++1
【解答】解：∵﹣=﹣===，
∴a的小数部分=﹣1；
∵﹣===，
∴b的小数部分=﹣2，
∴﹣====．
故选B．
2．如图，将足够大的等腰直角三角板PCD的锐角顶点P放在另一个等腰直角三角板PAB的直角顶点处，三角板PCD绕点P在平面内转动，且∠CPD的两边始终与斜边AB相交，PC交AB于点M，PD交AB于点N，设AB=2，AN=x，BM=y，则能反映y与x的函数关系的图象大致是（）
A．B．C．D．
【解答】解：作PH⊥AB于H，如图，
∵△PAB为等腰直角三角形，∴∠A=∠B=45°，AH=BH=AB=1，
∴△PAH和△PBH都是等腰直角三角形，∴PA=PB=AH=，∠HPB=45°，
∵∠CPD的两边始终与斜边AB相交，PC交AB于点M，PD交AB于点N，而∠CPD=45°，
∴1≤AN≤2，即1≤x≤2，∵∠2=∠1+∠B=∠1+45°，∠BPM=∠1+∠CPD=∠1+45°，∴∠2=∠BPM，而∠A=∠B，∴△ANP∽△BPM，
∴=，即=，∴y=，
∴y与x的函数关系的图象为反比例函数图象，且自变量为1≤x≤2．
故选：A．
3．如图，两个边长相等的正方形ABCD和EFGH，正方形EFGH的顶点E固定在正方形ABCD的对称中心位置，正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为S，旋转的角度为θ，S与θ的函数关系的大致图象是（）
A．B．C．D．
【解答】解：如右图，过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥AB于点N，
∵点E是正方形的对称中心，∴EN=EM，
由旋转的性质可得∠NEK=∠MEL，
在Rt△ENK和Rt△EML中，，
故可得△ENK≌△EML，即阴影部分的面积始终等于正方形面积的．
故选B．
4．如图，A、B是双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，
线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC=9．则k的值是（）
A．9 B．6 C．5 D．4
【解答】解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，如图，
设反比例函数解析式为y=（k＞0），∵A、B两点的横坐标分别是a、2a，
∴A、B两点的纵坐标分别是、，
∵AD∥BE，∴△CEB∽△CDA，∴===，∴DE=CE，
∵OD：OE=a：2a=1：2，∴OD=DE，∴OD=OC，∴S△AOD=S△AOC=×9=3，∴|k|=3，
而k＞0，∴k=6．故选B．
5．已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：
①abc＞0；②a+b+c=2；③a＜；④b＞1．
其中正确的结论是（）
A．①②B．②③C．③④D．②④
【解答】解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，
∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，
∵对称轴为x=＜0，∴a、b同号，即b＞0，∴abc＜0，故本选项错误；
②当x=1时，函数值为2，∴a+b+c=2；故本选项正确；
③∵对称轴x=＞﹣1，解得：＜a，∵b＞1，∴a＞，故本选项错误；
④当x=﹣1时，函数值＜0，即a﹣b+c＜0，（1）又a+b+c=2，将a+c=2﹣b代入（1），
2﹣2b＜0，∴b＞1故本选项正确；综上所述，其中正确的结论是②④；故选D．
6．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+1交x轴于点A，
交y轴于点B，点A1、A2、A3，…在x轴上，点B1、B2、B3，…
在直线l上．若△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…
均为等边三角形，则△A5B6A6的周长是（）
A．24B．48C．96D．192
【解答】解：∵点A（﹣，0），点B（0，1），
∴OA=，OB=1，∴tan∠OAB==，∴∠OAB=30°，
∵△OA1B1、△A1B2A2、△A2B3A3…均为等边三角形，∴∠A1OB1=∠A2A1B2=∠A3A2B3=60°，
∴∠OB1A=∠A1B2A=∠A2B3A=∠OAB=30°，∴OB1=OA=，A1B2=A1A，A2B3=A2A，
∴OA1=OB1=，OA2=OA1+A1A2=OA1+A1B2=+2=3，
同理：OA3=7，OA4=15，OA5=31，OA6=63，则A5A6=OA6﹣OA5=32．
则△A5B6A6的周长是96，故选C．
7．如图，一次函数y=ax+b与x轴、y轴交于A、B两点，
与反比例函数y=相交于C、D两点，分别过C、D两点作
y轴、x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE、EF．
有下列三个结论：①△CEF与△DEF的面积相等；
②△DCE≌△CDF；③AC=BD．其中正确的结论个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】反比例函数综合题．
【分析】设D（x，），得出F（x，0），根据三角形的面积求出△DEF的面积，同法求出△CEF 的面积，即可判断①；根据全等三角形的判定判断②即可；证出平行四边形BDFE和平行四边形ACEF，得到BD=AC即可．
【解答】解：①设D（x，），则F（x，0），由图象可知x＞0，k＞0，
∴△DEF的面积是××x=k，同理可知：△CEF的面积是k，
∴△CEF的面积等于△DEF的面积，∴①正确；
②条件不足，无法证出两三角形全等的条件，∴②错误；
③∵△CEF的面积等于△DEF的面积，∴边EF上的高相等，∴CD∥EF，
∵BD∥EF，DF∥BE，∴四边形BDFE是平行四边形，∴BD=EF，同理EF=AC，∴AC=BD，
∴③正确；正确的有2个．故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积，全等三角形的判定，相似三角形的判定等知识点的运用，关键是检查学生综合运用定理进行推理的能力，题目具有一定的代表性，有一定的难度，是一道比较容易出错的题目．
8．如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，
∠CED=90°，∠DCE=30°，若OE=，则正方形的
面积为（）A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；正方形的判定与性质．
【分析】过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，判断出四边形OMEN是矩形，根据矩形的性质可得∠MON=90°，再求出∠COM=∠DON，根据正方形的性质可得OC=OD，然后利用“角角边”证明△COM和△DON全等，根据全等三角形对应边相等可得OM=ON，然后判断出四边形OMEN是正方形，设正方形ABCD的边长为2a，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边
的一半可得DE=CD，再利用勾股定理列式求出CE，根据正方形的性质求出OC=OD=a，然后利用四边形OCED的面积列出方程求出a2，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】解：如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，
∵∠CED=90°，∴四边形OMEN是矩形，∴∠MON=90°，
∵∠COM+∠DOM=∠DON+∠DOM，∴∠COM=∠DON，
∵四边形ABCD是正方形，∴OC=OD，
在△COM和△DON中，
∴△COM≌△DON（AAS），∴OM=ON，∴四边形OMEN是正方形，
设正方形ABCD的边长为2a，∵∠DCE=30°，∠CED=90°∴DE=a，CE=a，
设DN=x，x+DE=CE﹣x，解得：x=，∴NE=x+a=，
=4故选B．
∵OE=NE，∴=•，∴a=1，∴S
正方形ABCD
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
9．如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=3，AC=4，以O 为
圆心的半圆分别与AB 、AC 边相切于D 、E 两点，且O 点在 BC 边上，则图中阴影部分面积S 阴=（ ）
A ．
B ．
C ．5﹣π
D ．
﹣
【考点】切线的性质；扇形面积的计算．
【分析】首先连接OD ，OE ，设⊙O 与BC 交于M 、N 两点，易得四边形ADOE 是正方形，即可得∠DOM+∠EON=90°，然后设OE=x ，由△COE ∽△CBA ，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得x 的值，继而由S 阴影=S △ABC ﹣S 正方形ADOE ﹣（S 扇形DOM +S 扇形EON ）求得答案． 【解答】解：连接OD ，OE ，设⊙O 与BC 交于M 、N 两点， ∵以O 为圆心的半圆分别与AB 、AC 边相切于D 、E 两点， ∴OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，即∠ADO=∠AEO=90°， ∵在Rt △ABC 中，∠A=90°，∴四边形ADOE 是矩形， ∵OD=OE ，∴四边形ADOE 是正方形，∴∠DOE=90°， ∴∠DOM+∠EON=90°，
设OE=x ，则AE=AD=OD=x ，EC=AC ﹣AE=4﹣x ，
∵△COE ∽△CBA ，∴
，即
，解得：x=
，
∴S 阴影=S △ABC ﹣S 正方形ADOE ﹣（S 扇形DOM +S 扇形EON ）=×3×4﹣（）2﹣
=
﹣
．故选D ．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、正方形的判定与性质以及扇形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
10．若实数a ，b 满足a ﹣ab+b 2+2=0，则a 的取值范围是（ ） A ．a ≤﹣2
B ．a ≥4
C ．a ≤﹣2或a ≥4
D ．﹣2≤a ≤4
【考点】根的判别式．【分析】根据题意得到其根的判别式为非负数，据此求得a 的取值范围即可．
【解答】解：∵b 是实数，∴关于b 的一元二次方程b 2﹣ab+a+2=0，
△=（﹣a ）2﹣4×1×（a+2）≥0解得：a ≤﹣2或a ≥4；∴a 的取值范围是a ≤﹣2或a ≥4．故选C ．
11．在下列图形中，各有一边长为4cm的正方形与一个8cm×2cm的长方形相重叠．
问哪一个重叠的面积最大（）
A．B．C．D．
【考点】面积及等积变换．【专题】转化思想．
=2×4=8（cm2）；
【解答】解：A、S
阴影
=4×4﹣2××（4﹣）（4﹣）
B、如图所示：根据勾股定理知，2x2=4，所以x=，S
阴影
=﹣2（cm2）；
C、图C，逆时针旋转90°，并从后面看，可与图D对比，因为图C的倾斜度比图D的倾斜度小，所以，图C的底比图D的底小，两图为等高不等底，所以图C阴影部分的面积小于图D阴影部分的面积．
D、如图：设阴影部分平行四边形的底为x，所以，直角三角形的短直角边是
因为正方形的面积=阴影部分的面积+两个空白三角形的面积，
=2×=
所以，×4××2+2x=16，解得x=，S
阴影
因为，≈1.414，≈2.646，所以，﹣2≈9.312，≈8.775；
即﹣2＞，图B阴影的面积大于图D阴影的面积；
又因为图A、图C、图D中阴影部分四边形为等高不等底，因为图D阴影的倾斜度最大，所以图D 中阴影部分的底最大；
故选B
【点评】本题考查了矩形、三角形面积的计算，找出图A、图B、图D阴影部分四边形等高不等底的特征，倾斜度越大的面积越大，是解答本题的关键．
12．有四张正面分别标有数字﹣2，﹣6，2，6的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a；不放回，再从中抽取一张，将该
卡片上的数字记为b，则使关于x的不等式组的解集中有且只有3个非负整数解的概率（）
A．B．C．D．
【考点】列表法与树状图法；一元一次不等式组的整数解．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与使关于x的不等式组的解集中有且只有3个非负整数解的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：根据题意列出树状图得：
则（a，b）的等可能结果有：（﹣2，﹣6），（﹣2，2），（﹣2，6），（﹣6，﹣2），（﹣6，2），（﹣6，6），（2，﹣2），（2，6），（2，﹣6），（6，﹣2），（6，2），（6，﹣6）共12种；
解①得：x＜7，当a＞0，解②得：，
根据不等式组的解集中有且只有3个非负整数解，则3＜x＜7时符合要求，故，
即b=6，a=2符合要求，当a＜0，解②得：，
根据不等式组的解集中有且只有3个非负整数解，
则x＜3时符合要求，故，即b=﹣6，a=﹣2符合要求，
故所有组合中只有2种情况符合要求，
∴使关于x的不等式组的解集中有且只有3个非负整数解的概率为：．
故选A．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及不等式组的解集．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
二、填空题
13 .一次函数y=kx+3的图象与坐标轴的两个交点之间的距离为5，则k的值为或．
【分析】首先求出一次函数y=kx+3与y轴的交点坐标；由于函数与x轴的交点的纵坐标是0，可以设横坐标是a，然后利用勾股定理求出a的值；再把（a，0）代入一次函数的解析式y=kx+3，从而求出k的值．
【解答】解：在y=kx+3中令x=0，得y=3，则函数与y轴的交点坐标是：（0，3）；
设函数与x轴的交点坐标是（a，0），根据勾股定理得到a2+32=25，解得a=±4；
当a=4时，把（4，0）代入y=kx+3，得k=﹣；
当a=﹣4时，把（﹣4，0）代入y=kx+3，得k=．故k的值为或．
【点评】解决本题的关键是求出函数与y轴的交点坐标，然后根据勾股定理求得
函数与x轴的交点坐标，进而求出k的值．
14．已知|ab﹣2|+|a﹣1|=0，则++…+=．【解答】解：∵|ab﹣2|≥0，|a﹣1|≥0，且|ab﹣2|+|a﹣1|=0，
∴ab﹣2=0且a﹣1=0，解得ab=2且a=1，把a=1代入ab=2中，解得b=2，
则原式=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣=．
故答案为：
15．若x2﹣3x+1=0，则的值为．
16．已知实数a，b，c满足a+b+c=10，且，则的值是．【解答】解∵a+b+c=10，∴a=10﹣（b+c），b=10﹣（a+c），c=10﹣（a+b），
∴=﹣+﹣+﹣=﹣1+﹣1+﹣1
=++﹣3，
∵，∴原式=×10﹣3=﹣3=．故填：．
【点评】本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单．
17．若+b2+2b+1=0，则a2+﹣|b|=0．
【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．
【解答】解：∵+b2+2b+1=0，
∴+（b+1）2=0，
∴a﹣1=0，b+1=0，
∴a=1，b=﹣1，
∴a2+﹣|b|=0．
故答案为：0．
【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
18．已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=﹣x+3上，设点M 坐标为（a，b），则y=﹣abx2+（a+b）x的顶点坐标为（±，）．
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据反比例函数和一次函数的性质解题．
【解答】解：∵M、N两点关于y轴对称，
∴M坐标为（a，b），N为（﹣a，b），分别代入相应的函数中得，b=①，a+3=b②，
∴ab=，（a+b）2=（a﹣b）2+4ab=11，a+b=±，
∴y=﹣x2±x，
∴顶点坐标为（=±，=），即（±，）．
故答案为：（±，）．
【点评】主要考查了函数的性质和求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．解题关键是先求出ab，a+b 的值，整体代入求出函数的解析式．
三、解答题
19．如图，△AEF中，∠EAF=45°，AG⊥EF于点G，现将△AEG沿AE折叠得到△AEB，
将△AFG沿AF折叠得到△AFD，延长BE和DF相交于点C．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）连接BD分别交AE、AF于点M、N，将△ABM绕点
A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH，试判断线段
MN、ND、DH之间的数量关系，并说明理由．
（3）若EG=4，GF=6，BM=3，求AG、MN的长．
【考点】翻折变换（折叠问题）；一元二次方程的应用；勾股定理；正方形的判定．
【专题】探究型．
【分析】（1）由图形翻折变换的性质可知∠ABE=∠AGE=∠BAD=∠ADC=90°，
AB=AD即可得出结论；
（2）连接NH，由△ABM≌△ADH，得AM=AH，BM=DH，∠ADH=∠ABD=45°，
故∠NDH=90°，再证△AMN≌△AHN，得MN=NH，由勾股定理即可得出结论；
（3）设AG=x，则EC=x﹣4，CF=x﹣6，在Rt△ECF中，利用勾股定理即可得出AG的值，同理可得出BD的长，设NH=y，在Rt△NHD，利用勾股定理即可得出MN的值．
【解答】（1）证明：∵△AEB由△AED翻折而成，
∴∠ABE=∠AGE=90°，∠BAE=∠EAG，AB=AG，
∵△AFD由△AFG翻折而成，
∴∠ADF=∠AGF=90°，∠DAF=∠FAG，AD=AG，
∵∠EAG+∠FAG=∠EAF=45°，
∴∠ABE=∠AGE=∠BAD=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形，
∵AB=AD，∴四边形ABCD是正方形；
（2）MN2=ND2+DH2，
理由：连接NH，
∵△ADH由△ABM旋转而成，∴△ABM≌△ADH，∴AM=AH，BM=DH，
∵由（1）∠BAD=90°，AB=AD，∴∠ADH=∠ABD=45°，∴∠NDH=90°，
∵，∴△AMN≌△AHN，∴MN=NH，
∴MN2=ND2+DH2；
（3）设AG=BC=x，则EC=x﹣4，CF=x﹣6，
在Rt△ECF中，∵CE2+CF2=EF2，即（x﹣4）2+（x﹣6）2=100，
x1=12，x2=﹣2（舍去）∴AG=12，∵AG=AB=AD=12，∠BAD=90°，
∴BD===12，
∵BM=3，∴MD=BD﹣BM=12﹣3=9，
设NH=y，在Rt△NHD中，
∵NH2=ND2+DH2，即y2=（9﹣y）2+（3）2，解得y=5，即MN=5．
【点评】本题考查的是翻折变换及勾股定理，解答此类题目时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
20．为深化“携手节能低碳，共建碧水蓝天”活动，发展“低碳经济”，某单位进行技术革新，让可再生资源重新利用．今年1月份，再生资源处理量为40吨，从今年1月1日起，该单位每月再生资源处理量每一个月将提高10吨．月处理成本（元）与月份之间的关系可近似地表示为：p=50x2+100x+450，每处理一吨再生资源得到的新产品的售价定为100元．若该单位每月再生资源处理量为y（吨），每月的利润为w（元）．
（1）分别求出y与x，w与x的函数关系式；（2）在今年内该单位哪个月获得利润达到5800元？【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据“今年1月份，再生资源处理量为40吨，从今年1月1日起，该单位每月再生资源处理量每一个月将提高10吨”写出y与x的关系式；然后根据每月利润=月销售额﹣月处理成本，可得到w与x的函数关系式；
（2）把w=5800代入（1）中w与x的函数关系式求得相应的x的值即可；
【解答】解：（1）设y=kx+b，根据题意，将（1，40），（2，50）代入y=kx+b，
得：，解得：，故每月再生资源处理量y（吨）与x月份之间的关系式为：y=10x+30，w=100y﹣p=100（10x+30）﹣（50x2+100x+450）=﹣50x2+900x+2550；
（2）由﹣50x2+900x+2550=5800得：x2﹣18x+65=0∴x1=13，x2=5∵x≤12，∴x=5，
∴在今年内该单位第5个月获得利润达到5800元．
【点评】本题主要考查了一次函数、二次函数解析式的求法和用方程解决实际应用题，根据题意理清变量间的联系是解题的根本，准确抓住相等关系列函数关系式是关键．
21．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+（2﹣3a）x+3=0．
（1）求证：当a取不等于1的实数时，此方程总有两个实数根；
（2）若m，n（m＜n）是此方程的两根，并且．直线l：y=mx+n交x轴于点A，交y轴于点B．坐标原点O关于直线l的对称点O′在反比例函数的图象上，求反比例函数的解析式；（3）在（2）成立的条件下，将直线l绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°），得到直线l′，l′交y
轴于点P，过点P作x轴的平行线，与上述反比例函数的图象交于点Q，当四边形APQO′的面积为时，求θ的值．
【考点】根的判别式；根与系数的关系；坐标与图形性质；反比例函数的图象；旋转的性质．
【分析】（1）由方程（a﹣1）x2+（2﹣3a）x+3=0为一元二次方程，所以a≠0；要证明方程总有两个实数根，即证明当a取不等于1的实数时，△＞0，而△=（2﹣3a）2﹣4×（a﹣1）×3=（3a﹣4）2，即可得到△≥0．
（2）先利用求根公式求出两根3，，再代入，可得到a=2，则m=1，n=3，直线l：y=x+3，
这样就可得到坐标原点O关于直线l的对称点，代入反比例函数，即可确定反比例函数的解析式；
（3）延长PQ，AO′交于点G，设P（0，p），则Q（﹣，p）．四边形APQO'的面积=S△APG﹣
S△QGO′=，这样可求出p；可得到OP，PA，可求出∠PAO=60°，这样就可求出θ．
【解答】（1）证明：∵方程（a﹣1）x2+（2﹣3a）x+3=0是一元二次方程，∴a﹣1≠0，即a≠1．
∴△=（2﹣3a）2﹣4×（a﹣1）×3=（3a﹣4）2，而（3a﹣4）2≥0，∴△≥0．
所以当a取不等于1的实数时，此方程总有两个实数根；
（2）解：∵m，n（m＜n）是此方程的两根，
∴m+n=﹣，mn=．
∵，=，∴﹣=，
∴a=2，即可求得m=1，n=3．
∴y=x+3，则A（﹣3，0），B（0，3），
∴△ABO为等腰直角三角形，
∴坐标原点O关于直线l的对称点O′的坐标为（﹣3，3），
把（﹣3，3）代入反比例函数，得k=﹣9，
所以反比例函数的解析式为y=﹣；
（3）解：设点P的坐标为（0，p），延长PQ和AO′交于点G．
∵PQ∥x轴，与反比例函数图象交于点Q，
∴四边形AOPG为矩形．
∴Q的坐标为（﹣，p），
∴G（﹣3，P），
当0°＜θ＜45°，即p＞3时，
∵GP=3，GQ=3﹣，GO′=p﹣3，GA=p，
=S△APG﹣S△QGO′=×p×3﹣×（3﹣）×（p﹣3）=9﹣，
∴S
四边形APQO′
∴=9﹣，
∴p=．（合题意）
∴P（0，）．则AP=6，OA=3，
所以∠PAO=60°，∠θ=60°﹣45°=15°；
当θ=45°时，直线l于y轴没有交点；
当45°＜θ＜90°，则p＜﹣3，
用同样的方法也可求得p=，这与p＜﹣3相矛盾，舍去．
所以旋转角度θ为15°．
【点评】题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了反比例函数的性质和一些几何图形的性质．
22．如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于另一点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交x轴于点H，交直线AB于点F，作PG⊥AB于点G．求出△PFG的周长最大值；
（3）在抛物线y=ax2+bx+c上是否存在除点D以外的点M，使得△ABM与△ABD的面积相等？若存在，请求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）将已知点的坐标代入二次函数的解析式利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；（2）首先根据△PFG是等腰直角三角形，设P（m，﹣m2﹣2m+3）得到F（m，m+3），进而得到PF=﹣m2﹣2m+3﹣m﹣3=﹣m2﹣3m，从而得到△PFG周长为：﹣m2﹣3m+（﹣m2﹣3m），配方后即可确定其最大值；
（3）当DM1∥AB，M3M2∥AB，且与AB距离相等时，根据同底等高可以确定△ABM与△ABD 的面积相等，分别求得直线DM1解析式为：y=x+5和直线M3M2解析式为：y=x+1，联立之后求得交点坐标即可．
【解答】解：（1）∵直线AB：y=x+3与坐标轴交于A（﹣3，0）、B（0，3），
代入抛物线解析式y=﹣x2+bx+c中，
∴
∴抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；
（2）∵由题意可知△PFG是等腰直角三角形，
设P（m，﹣m2﹣2m+3），
∴F（m，m+3），
∴PF=﹣m2﹣2m+3﹣m﹣3=﹣m2﹣3m，
△PFG 周长为：﹣m2﹣3m+（﹣m2﹣3m），
=﹣（+1）（m+）2+，
∴△PFG周长的最大值为：．
（3）点M有三个位置，如图所示的M1、M2、M3，
都能使△ABM的面积等于△ABD的面积．
此时DM1∥AB，M3M2∥AB，且与AB距离相等，
∵D（﹣1，4），
∴E（﹣1，2）、则N（﹣1，0）
∵y=x+3中，k=1，
∴直线DM1解析式为：y=x+5，
直线M3M2解析式为：y=x+1，
∴x+5=﹣x2﹣2x+3或x+1=﹣x2﹣2x+3，
∴x1=﹣1，x2=﹣2，x3=，x4=，
∴M1（﹣2，3），M2（，），M3（，）．
【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，综合性较强，难度适中．。