微积分——极限计算
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(2)分解因式(基本方法) (3)根式有理化(基本方法) (4)等价无穷小代换（重点、难点） (5)罗比达法则(重点) (6)三角变换(辅助方法) (7)变量替换(适当掌握)
0 2. 型 ：(1)约零因子(基本方法) 0
3. 型： （1）根式有理化 （2）通分
4. 0 型 ： 化为 0 、 型 0
y1 y2
n k 1 时 yk yk 1 3 yk 3 yk 1 yk 1 yk 2
故对一切正整数 n 有 yn yn1, 所以数列递增.
(2)有界性 n 1 时 y1
3 3
yk 3
设 nk 时
n k 1 时 yk 3 3yk 32 3 yk 3 yk 1 3
所以 原式 5
二、函数极限计算 (一)一般极限计算 利用代入法、极限四则运算法则和复合函数极 限计算方法直接进行计算。 1.一些常见结果
1 lim x 0 x e 1 lim x x e 1 lim x sin 0 x0 x
1 0 1 0
0 有界=0
n n 1
0
a0 x a1 x an lim m m 1 x b x b x bm a 0 1 0
b0
nm nm nm
例4 xlim
x2 x2 1 x
2 1 x ＝lim x 1 1 2 1 x
0
5. f x
g x
型： 0， （1）1 ， 化为
0
e
g x ln f x
1 x
1 （2） 利用重要极限 lim 1+x e
x 0
一、数列极限计算
1.使用单调有界准则求极限 步骤：（1）利用数学归纳法证明数列“单调”、
“有界”，从而证明极限存在；
2.四则运算法则的灵活运用——分离常量 （1）极限不为零的因子可以分离单独计算
（2）极限存在的和式可以拆分单独计算
x +3 1 x +3 例 lim = lim lim x 0 x cos x x 0 cos x x 0 x
3 = lim 1 x 0 x
3 =1 lim = x 0 x
1 1 技巧：动小不动大。 ( 例 求 lim 2 2 n n 1 n
n n
2
解 因为 且
n
2
n 2 1
1 n n
2
)
n 1
2
1 n 2
2
1 n n
2
n n2 1
n n lim n 1 2 n
n
lim
1
所以 原式 1
n 1
故对一切正整数 n 有 yn 3 ,所以 数列有界. 综上所述, 数列极限存在.
(2)求值
yn A 设 lim n
将 yn 3 yn1 两边求极限
yn 3 lim yn1 得 lim n n
即 A 3A 故 A3
2.使用夹逼定理求极限 方法：通过放缩，得到两个“方便计算”且“极 限 相同”的数列。
(1 2 3 4 5 ) 例 求 lim n
n n n n
1 n n
解 因为
5 (5 )
1 n n
(1n 2n 3n 4n 5 )
1 n n
(5 5 )
1 n n
55
1 n
n 且 1 lim(5 5 n ) 5
n
lim 5 5
第四节 极限的计算
一、数列极限计算
1.单调有界准则(掌握例题和习题)
2.夹逼定理(掌握例题和习题)
3.利用函数极限计算方法 二、函数极限计算
(一)一般极限计算
利用代入法、复合函数极限计算方法和极限四 则运算法则直接进行计算。
(二)未定式的计算 1. 型 ：(1)上下同除最大项(抓大头)
(2)罗比达法则
0 2. 型 ：(1)约零因子(基本方法) 0
1 2
例5 xlim
x2 x 1 x
2
lim
x 2 x x2 1 x x
x
lim
2 1 x x 1 x x
2
x
lim
2 1 x 1 1 2 1 x
x
ຫໍສະໝຸດ Baidu1 2
1 e e e 1 例6 lim x x xlim 2 x 1 e x e e
（2）利用
lim yn 求出极限。 lim yn 1
n n
技巧：先猜测（数列的单调性和界），再证明。
例 求数列 3, 3 3 , 3 3 3 , 的极限. 解： 令 y1 3, y2 3 3 , y3 3 3 3 , 1.存在性
(1)单调性
n 1时 3 1 3 3 3 3 3 3 设 n k 时 yk yk 1
(二)未定式的计算
1. 型 ：上下同除最大项(抓大头)
2x 3x 1 例1 求 lim 2 x 3 x 4 x 2
2
3 2 x 解 原式 lim x 4 3 x
1 2 x 2 2 3 2 x
2 x 3x 1 例2 求 lim 3 x 3 x 4 x 2 2
x x
2 x
2 x 3 x x x ( ) ( ) 2 3 4 4 0 lim lim 例7 x 3x 4 x x 3 ( )x 1 4
sin x 1 x sin x x 1 lim lim 例8 x cos x x cos x x 1 x
2
2 3 1 2 3 解 原式 lim x x x 0. x 4 2 3 3 x x 3 1 2 2 x x lim 0. 或 原式 x 2 3x 4 2 x
3x 4 x 2 例3 求 lim 3 x 5x x
4 3
4 2 3 4 x x lim 解 原式 x 5 1 3 x x
0 2. 型 ：(1)约零因子(基本方法) 0
3. 型： （1）根式有理化 （2）通分
4. 0 型 ： 化为 0 、 型 0
y1 y2
n k 1 时 yk yk 1 3 yk 3 yk 1 yk 1 yk 2
故对一切正整数 n 有 yn yn1, 所以数列递增.
(2)有界性 n 1 时 y1
3 3
yk 3
设 nk 时
n k 1 时 yk 3 3yk 32 3 yk 3 yk 1 3
所以 原式 5
二、函数极限计算 (一)一般极限计算 利用代入法、极限四则运算法则和复合函数极 限计算方法直接进行计算。 1.一些常见结果
1 lim x 0 x e 1 lim x x e 1 lim x sin 0 x0 x
1 0 1 0
0 有界=0
n n 1
0
a0 x a1 x an lim m m 1 x b x b x bm a 0 1 0
b0
nm nm nm
例4 xlim
x2 x2 1 x
2 1 x ＝lim x 1 1 2 1 x
0
5. f x
g x
型： 0， （1）1 ， 化为
0
e
g x ln f x
1 x
1 （2） 利用重要极限 lim 1+x e
x 0
一、数列极限计算
1.使用单调有界准则求极限 步骤：（1）利用数学归纳法证明数列“单调”、
“有界”，从而证明极限存在；
2.四则运算法则的灵活运用——分离常量 （1）极限不为零的因子可以分离单独计算
（2）极限存在的和式可以拆分单独计算
x +3 1 x +3 例 lim = lim lim x 0 x cos x x 0 cos x x 0 x
3 = lim 1 x 0 x
3 =1 lim = x 0 x
1 1 技巧：动小不动大。 ( 例 求 lim 2 2 n n 1 n
n n
2
解 因为 且
n
2
n 2 1
1 n n
2
)
n 1
2
1 n 2
2
1 n n
2
n n2 1
n n lim n 1 2 n
n
lim
1
所以 原式 1
n 1
故对一切正整数 n 有 yn 3 ,所以 数列有界. 综上所述, 数列极限存在.
(2)求值
yn A 设 lim n
将 yn 3 yn1 两边求极限
yn 3 lim yn1 得 lim n n
即 A 3A 故 A3
2.使用夹逼定理求极限 方法：通过放缩，得到两个“方便计算”且“极 限 相同”的数列。
(1 2 3 4 5 ) 例 求 lim n
n n n n
1 n n
解 因为
5 (5 )
1 n n
(1n 2n 3n 4n 5 )
1 n n
(5 5 )
1 n n
55
1 n
n 且 1 lim(5 5 n ) 5
n
lim 5 5
第四节 极限的计算
一、数列极限计算
1.单调有界准则(掌握例题和习题)
2.夹逼定理(掌握例题和习题)
3.利用函数极限计算方法 二、函数极限计算
(一)一般极限计算
利用代入法、复合函数极限计算方法和极限四 则运算法则直接进行计算。
(二)未定式的计算 1. 型 ：(1)上下同除最大项(抓大头)
(2)罗比达法则
0 2. 型 ：(1)约零因子(基本方法) 0
1 2
例5 xlim
x2 x 1 x
2
lim
x 2 x x2 1 x x
x
lim
2 1 x x 1 x x
2
x
lim
2 1 x 1 1 2 1 x
x
ຫໍສະໝຸດ Baidu1 2
1 e e e 1 例6 lim x x xlim 2 x 1 e x e e
（2）利用
lim yn 求出极限。 lim yn 1
n n
技巧：先猜测（数列的单调性和界），再证明。
例 求数列 3, 3 3 , 3 3 3 , 的极限. 解： 令 y1 3, y2 3 3 , y3 3 3 3 , 1.存在性
(1)单调性
n 1时 3 1 3 3 3 3 3 3 设 n k 时 yk yk 1
(二)未定式的计算
1. 型 ：上下同除最大项(抓大头)
2x 3x 1 例1 求 lim 2 x 3 x 4 x 2
2
3 2 x 解 原式 lim x 4 3 x
1 2 x 2 2 3 2 x
2 x 3x 1 例2 求 lim 3 x 3 x 4 x 2 2
x x
2 x
2 x 3 x x x ( ) ( ) 2 3 4 4 0 lim lim 例7 x 3x 4 x x 3 ( )x 1 4
sin x 1 x sin x x 1 lim lim 例8 x cos x x cos x x 1 x
2
2 3 1 2 3 解 原式 lim x x x 0. x 4 2 3 3 x x 3 1 2 2 x x lim 0. 或 原式 x 2 3x 4 2 x
3x 4 x 2 例3 求 lim 3 x 5x x
4 3
4 2 3 4 x x lim 解 原式 x 5 1 3 x x