大学安全工程之密码学2第二章 密码学的数学基础

第二章密码学的数学基础
•数论
－素数
－模运算
•代数结构
•安全性基础
－信息论
－复杂性理论
1
为何讲素数？
•为何讲数？
－加（解）密：数字变换
－信息：离散事件
－例：A(0),B(1),…,Z(25)
•为何讲素数？
－素数是数的基础
2
素数与合数
•定义：整数p是一个素数，如果它只能被+p, -p,+1,-1整除．
－例：2,3,5,7,11,13,17,…,101,…
•全体素数的集合记为P．
•定义：如果整数n不是素数，则它是一个合数．
－例：4,9,187,900,…
4
•Theorem:(Fundamental Theorem of Arithmetic)
∀n∈N n= p
1e1p
2
e2…p
k
e k ( or Π
p i∈P
p e i)
where e p is the exponent of the prime factor p
•Note:the result of factorization is unique •Example:84=22×3×7
数的因子分解
5
6
素数
•Theorem:There are infinitely many primes •Proof:(by contradiction)
Assume , build a number N is There N is a new prime.
max
P 1
...max 21+=P P P N
8
Finding GCD
•Theorem:
•Example:
•Complexity
∏∏∏=⇒=∧=i b a i
b i i a i i i i i i p b a p b p a )
,min(),gcd(63
7*3),gcd(11
*7*5*334657*3*2882232
2==⇒====b a b a )
()()(n o c o n T b
and a the factoring Need =••
10Euclidean Algorithm
)
,gcd(:30
0...
:
2,:1111123
2212
11010b a r step r and r until r r q r r r q r r r q r step b
r a r step n n n n
n n n =≠=+=+=+===−−−−−
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Congruence Relation （同余关系）•同余关系是一个等价关系
－自反性－对称性－传递性•等价关系划分
⇒c
a c
b b a a
b b a a
a ≡⇒≡∧≡≡⇒≡≡
Modular Arithmetic（模运算）•We can define the modular arithmetic in the set of integers: Z n={0, 1, 2, …, n-1}
•Under normal arithmetic (+,×)
–[(a mod n) +(b mod n)] mod n = (a+b) mod n
•Proof:Let a=q
1n+r
1
, b=q
2
n+r
2
•(a+b) mod n = (q
1n+r
1
+q
2
n+r
2
) mod n = (r
1
+r
2
) mod n
–[(a mod n) ×(b mod n)] mod n = (a×b) mod n •(+, ×)→(-,÷) ?
18
19
模运算：举例１•(Z 8={0, 1, 2, …, 7}, +)
What?
模运算说明
•Additive Inverse Always Exists
–(a+(-a)) = 0 mod n ⇒-a = n-a
–if (a+b) ≡(a+c) mod n then b≡c mod n
•((-a)+a+b) ≡((-a)+a+c) mod n
•Multiplicative Inverse NOT Always Exists –Example:6 in Z
8
–When?
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模运算中的乘法逆
•Definition:a-1mod n is the multiplicative inverse of a∈{1,2,…,n-1} when ax≡1mod n
•Theorem: If and only if gcd(a,n)=1, then the a-1 mod n exists
•Lemma:If gcd(a,n)=1, then a⋅i≠a⋅j mod n for all 0≤i<j<n (i ≠j)
–Proof:assume a⋅i≡a⋅j mod n⇒n|a(i-j) ⇒n|i-j⇒i-j=0
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乘法逆定理
•Proof:
•⇒
–gcd(a,n)=1 ⇒a·{1,…,n-1} mod n is the permutation
of {1,…,n-1}
–So there exists only an i that a⋅i≡1 mod n
–Therefore i is a-1mod n
•⇐
–Suppose a-1exists, call it x
–ax ≡1 (mod n) and ax + yn= 1 for some integer y
–gcd(a, n)=1 (gcd(a,n)|ax+yn→gcd(a,n)|1)
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如何找到a-1mod n？
•在{1,…,n-1} 中寻找,直到找到一个a-1,使得
a·a-1≡1 (mod n)
–T(n)=O(n)
•计算a-1= aϕ(n)-1mod n
–寻找ϕ(n) ⇔分解n
–T(n)=O(n a)
•用Extended Euclidean Algorithm
–T(n)=O(log a n)
24
26
求a
-1mod n
gcd(n,a)
•
n=aq 1+r 1 r 1=n-aq 1= s 0n+t 0a •
a= r 1q 2+r 2 r 2= a-r 1q 2 =s 1n+t 1a ……
•r k-1 =s k-1n+t k-1a
•r k-1=gcd(n, a)
•
若gcd(n, a) =1，则s k-1n+t k-1a =1 ⇒t k-1a ≡1 mod n ⇒t k-1≡a -1mod n
GCD(1970,1066)
1970=1*1066+904 gcd(1066,904)1066=1*904+162 gcd(904,162)904=5*162+94 gcd(162,94)162=1*94+68 gcd(94,68)94=1*68+26 gcd(68,26)68=2*26+16 gcd(26,16)26=1*16+10 gcd(16,10)16=1*10+6 gcd(10,6)10=1*6+4 gcd(6,4)6=1*4+2 gcd(4,2)4=2*2+0 gcd(2,0)
如何找到t k-1 ?
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Step 1:r 0 =n and r 1 =a
Step 2:r 0 =q 1r 1+r 2 Ær 2 =r 0 -q 1r 1 =-q 1r 1 mod n
let x 2= -q 1then r 2 =x 2r 1 mod n
r 1 =q 2r 2+r 3 Ær 3 =r 1 –q 2r 2 =(1-x 2q 2)r 1 mod n
let x 3= 1-x 2q 2then r 3 =x 3r 1 mod n ……r n-3 = q n-2r n-2+r n-1 Ær n-1 =r n-3 –q n-2r n-2 mod n
let x n-1= x n-3-x n-2q n-2then r n-1 =x n-1r 1 mod n Now r n-1=1
Step 3:Result is x n-2 =a -1mod n
Extended Euclidean Algorithm
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例：求7
-1mod 26
r 4 = r 2 -2r 3
= r 2-2(r 1-r 2)= -2r 1+3r 2
= -2r 1+3(r 0-3r 1)= 3r 0-11r 1⇒t 4= -11
⇒7-1mod 26 = 15
r 0 q 1 r 1
r 2
26=3*7+5
r 1 q 2 r 2
r 3
7 =1*5+2
r 2 q 3 r 3
r 4
5 =2*2+1
例：求3-1mod 26
=9
30
Euler phi Function
•是在比n 小的正整数中与n 互素的数的个数．•例如：•若n 是素数，则显然有φ(n)=n-1。

•是在中可逆的元素个数•如何计算ϕ(n)？
)(n ϕ)(n ϕn Z }7,5,3,1{,4)8(,6)7(,1)2(===ϕϕϕ
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Chinese Remainder Theorem
（中国剩余定理CRT ）
•中国剩余定理:假设n 1, n 2, …, n k 为两两互素的正整数gcd(n i ,n j )=1(i ≠j) ，a 1, a 2, …, a k 为整数，则同余方程组
x ≡a 1mod n 1
x ≡a 2mod n 2
……
x ≡a k mod n k
有模n=n 1n 2…n k 的惟一解x
中国剩余定理提供了一个非常有用的特
性，即在模n(=n
1n
2
…n
k
)下可将非常大的数
x由一组小数(a
1,a
2
,…,a
k
)表达。

x →(a
1,a
2
,…,a
k
)
32
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证明中国剩余定理
•Consider a one-to-one map
–χ: Z n →Z n
1×Z n 2 ×…×Z n k
–χ(x) = (x mod n 1, x mod n 2 ,…, x mod n k )
–CRT is find χ-1=ρ(a 1, a 2, …, a k )=x
•ρ(a 1, a 2, …, a k )=Σi=1k a i ⋅m i ⋅y i mod n
–m i = n/n i gcd (m i ,n i )=1,1≤i ≤k
–y i = m i -1 mod n i ,1≤i ≤k
–m i ≡0 mod n j for j ≠i ⇒a i ⋅m i ⋅y i ≡0 mod n j for j ≠i –y j ≡m j -1 mod n j ⇒m j ⋅y j ≡1 mod n j ⇒a j ⋅m j ⋅y j ≡a j mod n j –ρ(a 1, a 2, …, a k ) mod n j =x mod n j =a j
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例１：由以下方程组求x 。

解：M=2·3·5·7=210，M 1=105，M 2=70，M 3=42，M 4=30,易求e 1≡M -11mod 2≡1,e 2≡M -12mod 3≡1,e 3≡M -13mod 5≡3,e 4≡M -14mod 7≡4,所以x mod 210
≡(105×1×1+70×1×2+42×3×3+30×4×5) mod 210≡173，或写成x ≡173 mod 210。

1mod 22mod 33mod 5
5mod 7
x x x x ≡⎧⎪≡⎪⎨≡⎪⎪≡⎩
计算欧拉函数
定理：若n是两个素数p和q的乘积，则
ϕ(n)= ϕ(p)×ϕ(q)=(p-1)×(q-1)
例：由21=3×7，得
ϕ(21)= ϕ(3)×ϕ(7)=2×6=12
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计算欧拉函数
•ϕ(n) calculation? for n = ∏i=1k p i e i
•ϕ(p) = p-1
•ϕ(p e)= p e–p e-1
–The numbers with gcd(kp, p e) ≠1, (k=1,…,p e-1-1)
–So ϕ(p e)=(p e-1) -(p e-1-1)
•ϕ(∏i=1k p i e i) = ∏i=1k(p i e i–p i e i-1)
•ϕ(n)= n(1-1/p1)(1-1/p2)…(1-1/p k)
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举例
24)113()22()52(1325212
)113()12()26(13226?
)52(?)26(1222=−∗−=⇒∗==−∗−=⇒∗=−ϕϕϕϕϕ(100) =？
ϕ(100) =40
欧拉定理
定理：若a和n互素，则aϕ(n)≡1 mod n
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费马小定理
设p是素数，由于对任意的a（0<a<p）,
有gcd(a,p)=1 ，则
a p-1≡1 mod p
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如何找到a-1mod n？
•在{1,…,n-1} 中寻找,直到找到一个a-1,使得a·a-1≡1 (mod n)
–T(n)=O(n)
•计算a-1= aϕ(n)-1mod n
–寻找ϕ(n) ⇔分解n
–T(n)=O(n a)
•用Extended Euclidean Algorithm
–T(n)=O(log a n)
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第二章密码学的数学基础
•数论
－素数
－模运算
•代数结构
•安全性基础
－信息论
－复杂性理论
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代数结构
•什么叫代数结构？
–所有的密码学变换总是在一些结构上•定义：带有一种（或多种）运算的集合，
记为<S, ο>
–不同的代数结构<S, ο>满足不同的条件
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群(Group)
•定义：群G= <S, ο>是满足如下条件的代数结构：
–G1: ∀a,b∈S, a°b∈S(closure rule)
–G2: ∀a,b,c∈S, (a°b)°c=a°(b°c)
–G3: (∃e∈S)∀a∈S, a°e=e°a=a
–G4: (∀a∈S)∃a-1∈S, a°a-1= a-1°a = e
–[G5, Abelian群]: ∀a,b, a°b=b°a
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群：例子
•<Z ,+>:e=0 , a -1 = -a
•<Z n ,+>:(Z n ={0,1,…,n-1} ‘+’是模n 加法) e=0, a -1 = n –a
•<Z 2, ⊕>也是群
•<Z p , ⋅>:(p 是素数，‘⋅’是乘法)
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群：性质
•定义：有限群的阶是其元素的个数•定义：如果S 1 ⊂S ，称群<S 1, ο>是群<S, ο>的子群
•Lagrange 定理：设H 是有限群G 的子群，则H 的阶整除G 的阶
Lagrange 定理：证明
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元素的阶
•定义：群中元素a的阶定义为使得下式成立的最小正整数n:
•
a的阶记为:
•
推论:假设G是一个有限群,它的阶是n,且
,则
群的生成元
•定义:若群的所有元素都可由某个元素g生成，则称g 为群的生成元
•Example:
, ⋅>
–考虑<Z
7
–2 生成: 21=2, 22=4, 23=8≡1 mod 7,24=16≡2 mod 7…
•<{1,2,4},⋅> 子群
–3 生成:31=3 mod 7, 32≡2 mod 7, 33≡6 mod 7,
34≡4mod 7,35≡5mod 7,36≡1mod 7,…
•3 是生成元
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环（Ring）
•定义:环R=<S,+,⋅>(“+”是加法,“⋅”是乘法)定义为:
–R1: ∀a,b∈S, a+b∈S∧a⋅b∈S(closure rule)
–R2: <S,+> is an additive Abelian group
–R3: ∀a,b,c∈S, (a⋅b)⋅c= a⋅(b⋅c)
–R4: ∀a,b,c∈S, a⋅(b+c) = a⋅b+a⋅c
•例:
-p,q 是素数，< ,+,⋅>是环
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域（Field ）
•定义：域F<S,+,⋅>定义为：
–F1: <S,+,⋅> 是可交换环(ab=ba)
–F2:关于乘法存在单位元1，a⋅1 = 1⋅a = a
–F3: 对任何非零元a∈S, a 有唯一的逆元a-1⋅a = a-1⋅a = 1
•例:
–Zn=<{0,1,…,n-1},+,⋅> 是域，如果n 是素数
50。