广州市岭南中学第一学期高三年级期中考试理科数学试卷含答案

广州市岭南中学2019学年第一学期高三年级期中
考试数学试卷（理科）
考试时间：120
分钟； 满分150分
第Ⅰ卷（共60分）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的． （1）1.设集合2{|430}A x x x =-+≥，{|230}B x x =-≤，则A B =U （ ）
（A ）(,1][3,)-∞+∞U （B ） [1,3] （C ） 3(,][3,)2-∞+∞U (D ）3[,3]2
（2）已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若i a -与2i b +互为共轭复数，则()2
i =a b +
（A ）3+4i （B ）5+4i （C ）34i - （D ）54i -
（3）已知命题p ：x ∀∈N *, 1123x
x
⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，命题q ：x ∃∈N *
,
12222x x -+=，
则下列命题中为真命题的是
(A) p q ∧ (B) ()p q ⌝∧ (C) ()p q ∧⌝ (D) ()()p q ⌝∧⌝
（4）已知()f x 在R 上是奇函数,且满足()()4f x f x +=,当()0,2x ∈时,()2
2f x x =，则()2015f =
（A ） 2 （B ）2- （C ）98- （D ）
98
（5）执行如图所示的程序框图，输出的结果为
（A ）()22-， （B ）()40-， （C ）()44--， （D ）()08-，
（6）若实数,x y 满足约束条件220,
240,2,
x y x y y --≤⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
则x y 的取值范围是
开始
x =1，y =1，k =0
s =x -y ，t =x +y x =s ，y =t
k =k +1
k ≥3输出(x ，y )
结束
是
否
（A ）2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （C ）3
,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
（D ）[]1,2 （7）如图, 网格纸上的小正方形的边长为1, 粗实线画出 的是某几何体的三视图, 则该几何体的体积是
(A) 46+π (B) 86+π (C) 412+π (D) 812+π
（8）已知3sin 5
ϕ=，且2ϕπ
⎛⎫
∈π ⎪⎝
⎭
，，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图像 的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则4f π
⎛⎫
⎪⎝⎭
的值为 （A ）35- （B ）45- （C ）35
（D ）
45
（9）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足
222(34)n n S n n S ---22(3n -)0n -=，n ∈N *. 则数列{}n a 的通项公式是（ ）
A 32n a n =-
B 43n a n =-
C 21n a n =-
D 21n a n =+
（10）过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为
点A ，与另一条渐近线交于点B ，若FA FB 2=，则此双曲线的离心率为
（A （B （C ）2 （D ）
（11）将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，每所大学至少保送1
人，则不同的保送方法共有
（A ） 150种 （B ） 180种 （C ） 240种 （D ）540种
（12）（12）设函数()f x 的定义域为R , ()()()(),2f x f x f x f x -==-, 当[]0,1x ∈时,
()3f x x =, 则函数()()()cos g x x f x π=-在区间15,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的所有零点的和为
(A) 7 (B) 6 (C) 3 (D) 2
第Ⅱ卷
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
（13）设向量=-⊥+-==λλλ则实数若),()(),1,1(),3,3(b a b a b a
（14）已知()1
cos 3
θ+π=-，则sin 22θπ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭
．
（15）10
2a x x ⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭展开式中的常数项为180，则a = ． （16）已知()y f x =为R 上的连续可导函数，且()()0xf x f x '+>，则函数
()()1g x xf x =+()0x >
的零点个数为___________．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）在△ABC 中， a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，
若2(sin ,1)2
B C m +=u r ，
(2,cos 21)n A =-+r
，且m n ⊥u r r .
(1)求角A 的大小；
(2)当23a =，且△ABC 的面积222
43
S =时，求边c 的值和△ABC 的面积．
（18）(本小题满分12分) 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知12a =，对任意*n ∈N ，都有()21n n S n a =+．
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ）若数列4(2)n n a a ⎧
⎫⎨
⎬+⎩⎭
的前n 项和为n
T ,求证：1
12n T ≤<.
F
A
B
C
E D
19、（本小题满分12分）
甲、乙两所学校进行同一门课程的考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下2×2列联表： 班级与成绩列联表
优秀 不优秀 总计 甲队 80 40 120 乙队 240 200 240 合计
320
240
560
（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩与学校有关系； （Ⅱ）采用分层抽样的方法在两所学校成绩优秀的320名学生中抽取16名同学．现从这16名同学中随机抽取3名运同学作为成绩优秀学生代表介绍学习经验，记这3名同学来自甲学校的人数为X ，求X 的分布列与数学期望．附： P （K 2≥k ） 0.15 0.10
0.05
0.025 0.010 0.005 0.001
k
2.072 2.706
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（参考公式：K 2=
，n=a+b+c+d ）
（20）（本小题满分12分）
如右图，在多面体ABCDE 中，DB ⊥平面ABC ，AE ∥DB ，且△ABC 是边长为2的等边三角形，2AE ＝BD ＝2． （Ⅰ）若F 是线段CD 的中点，证明：直线EF ⊥面
DBC;
（Ⅱ）求二面角D －EC －B 的平面角的余弦值．
（21）（本小题满分12分）
已知函数()ln f x x x =
（1）若直线l 过点(1,0)，并且与曲线()y f x =相切，求直线l 的方程；
（2）设函数()()(1)g x f x a x =--在[]1,e 上有且只有一个零点，求a 的取值范围。

（其中,a R e ∈为自然对数的底数）
22在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C ：ρsin 2 θ＝2a cos θ(a ＞0)，已知过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为
⎩⎨⎧
x ＝－2＋22t
y ＝－4＋22t
，直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点.
(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程； (2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值.
2019学年第一学期高三年级期中考试数学答案（理科）
一．选择题
（1）C （2）A （3）A （4）B （5）B （6）
B （7）B （8）B （9）A （10）
C （11）A （12）A
二．填空题
（13）3± （14）7
9
- （15）2或2- （16）0 （其中第13、15题中，答对2个给5分，答对1个给3分） 三．解答题
（17）17．解:(1)由于m ⊥n ， 所以m ·n = —2sin 2
2C B + +cos 2A+1=—2sin 22
C
B ++2cos 2A = —2cos 22
A
+2cos 2A =2cos 2A —cos A —1 = (2cos A+1)(cos A —1) = 0. ……..4分 所以cos A= -2
1或1(舍去),
(0,)A π∈Q ∴2
3
A π= …………………………..6分
(2)由S= C ab sin
21
222及余弦定理得 tan C=33,
(0,)C π∈Q ∴C=
6π,∴B=6π。

……..8分 又由正弦定理∴C
c
A a sin sin =。

得2c = ，……..10分 所以△ABC 的面积S= 2
1
acsin B=3 …………………………..12分
18.证明：（Ⅰ）因为()21n n S n a =+，当2≥n 时，112n n S na --=， 两式相减，得
()121n n n a n a na -=+-，
即()11n n n a na --=，…………………………..2分 所以当2≥n 时，1
1
n n a a n n -=
-. …………………………..3分 所以
1
1
n a a n =. ……………………..4分 因为12a =，所以2n a n =. ………………………….5分
（Ⅱ）因为2n a n =，
4(2)n n n b a a =+，*∈N n ， 所以4111
2(22)(1)1
n b n n n n n n ===-+++． (7)
分
所以12n n T b b b =+++L
1111
112231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪
+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L =1111n n n -=++． …………………………..9分 因为
101n >+，所以1111n -<+．因为()1
1
f n n =+在*N 上是单调递减函数，………..10分
所以1
11
n -+在*N 上是单调递增函数．所以当1n =时，n T 取最小值21． (11)
分
所以1
12
n T ≤<. …………………………..12分
（19）（ⅰ）证明：取BC 的中点G ,连接AG FG ,
DBC AG 面⊥∴ 又因为FG AE FG BD AE =,////
AGFE ∴为平行四边形，AG EF //∴
DBC EF 面⊥∴. ————————————６分
（ⅱ）连接BF ，过F 在面DEC 内作EC 的垂线，垂足为H 连接HB ．
因为DBC EF 面⊥，EF BF ⊥∴ 又BD BC =Θ CD BF ⊥∴
EDC BF 面⊥∴ 所以易证得FHB ∠为二面角D －EC －B 的平面角
在DEC ∆中，5==ED EC 22=CD 所以易求得5
6
=FH 在直角BFH ∆中，56=
FH ,2=BF ,5
4
=BH 所以二面角D EC B --的平面角的余弦值为
6
——————————12分 方法二：
取BD 的中点为G ，以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OG 为z 轴建立如图空间直角坐标系，则()0,0,3C ,()0,1,0B ,()2,1,0D ,()1,1,0-E
取平面DEC 的一个法向量()3,1,2n =-r
又(
)()
CE 311310CB =--=-
u u u r u u u r
，，，，，，
由此得平面BCE 的一个法向量()
1,3,23m =u r
则6
cos ,m n m n m n
==u r r
u r r g u r r ， 所以二面角D EC B --的平面角的余弦值为6
（20）【解答】解：（Ⅰ）由题意得K 2=≈5.657＞
5.024，…………..3分
G
A
C
B E D F
y
x
z
O
M
∴能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩与所在学校有关
系．……..…………………………..4分
（Ⅱ）16名同学中有甲学校有4人，乙学校有12人…..…5分 X 的可能取值为0，1，2，3…..…6分 P （X=0）==
，P （X=1）=
=
，P （X=2）=
=
，P （X=3）
=
=
………..8分
X 的分布列为 X 0 1 2 3
P
…..…………………………..10分
∴EX=0×
+1×
+2×
+3×
=…………………………………………………………………………12分 （21） 21. 解：（1）设切点坐标为()00,y x ，则,ln 000x x y =切线的斜率为,1ln 0+x 所以切线l 的方程为()().1ln ln 0000x x x x x y -+=-………………2分
又切线l 过点（1，0），所以有0000-ln (ln 1)(1)x x x x =+- []即00ln 1x x =-，解得
.0,100==y x
所以直线l 的方程为.1-=x y …………………………………………4分 （或：设1ln )(+-=x x x h ，则x
x
x h -=1)(')(,0)(),1,0('x h x h x >∈单增，)(,0)(),,1('x h x h x <+∞∈单
减
)1()(max ==h x h 有唯一解，.0,100==y x
所以直线l 的方程为
.1-=x y ……………………………………………4分）
(2）因为()()1ln --=x a x x x g ，注意到g （1）=0
所以，所求问题等价于函数()()1ln --=x a x x x g 在(]1e ，上没有零点.又
().1ln a x x g -+='
所以由()x g '＜0a x -+⇔1ln ＜0⇔0＜x ＜()x g e
a '-,1
＞0x ⇔＞,1
-a e
所以()x g 在()1,0-a e 上单调递减，在()+∞-,1a e 上单调递增. ……………6分
①当,11≤-a e 即1≤a 时，()x g 在(]1,e 上单调递增，所以()x g >().01=g
此时函数g （x ）在(]1e ，上没有零点……………………………………………………7分
②当1＜1-a e ＜e ，即1＜a ＜2时，()x g 在[)1,1-a e 上单调递减，在(]e e a ,1-上单调递增. 又因为g （1）=0,g(e)=e-ae+a ，()x g 在(]1e ，上的最小值为().11---=a a e a e g 所以，（i ）当1＜a ≤
1
e e -时，()x g 在[]e
,1上的最大值g(e) ≥0，即此时函数g （x ）
在(]1e ，上有零点。

………………………………8分 （ii ）当1
e e -
＜a ＜2时， g(e) ＜0，即此时函数g （x ）在(]1e ，上没有零点 (10)
分
③当,1-≤a e e 即2≥a 时，()x g 在[]e ,1上单调递减，所以()x g 在[]e ,1上满足()x g ＜
().01=g 此时函数g （x ）在(]1e ，上没有零点
综上，所求的a 的取值范围是1≤a 或1
e
e -＜a ………………………………………12分
（22）解：解 (1)由C ：ρsin 2 θ＝2a cos θ，得(ρsin θ)2＝2aρcos θ ，所以曲线的
普通方程为y 2
＝2ax .由直线l 的参数方程⎩⎨⎧
x ＝－2＋22t ，
y ＝－4＋2
2t
消去参数t ，得x －y
－2＝0. …………………………5分
(2)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧
x ＝－2＋2
2t ，
y ＝－4＋2
2t
(t 为参数)，
代入y 2＝2ax, 得到t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0， 则有t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1·t 2＝8(4＋a ).
因为|MN |2＝|PM |·|PN |，所以(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝t 1·t 2. 解得a ＝1. …………………………10分。