行列式按一行或一列展开及行列式的计算.ppt
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构成的如下矩阵
A11
A
A12
A1n
A21 A22 A2n
An1 An2 Ann
称为矩阵 A 的伴随矩阵.
性质 AA A A A E.
证明 设 A aij , 记 AA bij , 则
bij ai1 Aj1 ai2 Aj2 ain Ajn A ij ,
A23 123 M 23 M 23 .
Page 3
a11 a12 a13 a14 D a21 a22 a23 a24 ,
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 ,
a41 a43 a44
A12 112 M12 M12 .
把上面右端行列式第2行加到第1行，再从第1行
中提取公因子a b c d，得
D４ (a b c d )(a b c d ) 110
• dc ac bc, cd bd ad
Page 26
再将第2列减去第1列，得 D4 (a b c d )(a b c d )
§2.3 行列式按一行或一列 展开及行列式的计算
一、余子式与代数余子式
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1 二、行列式按行（列）展开法则
42 三、小结 1
一、余子式与代数余子式
例如
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
aiijj
D 1 i1 1 j1 ai1, j
anj
0 ai1, j1 an, j1
0 ai 1,n ann
Page 9
aiijj
1 i j2 ai1, j
anj aij
a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33 a13 a21a32 a22a31
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
Page 2
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素aij 的余子式，记作 M ij .
0 an2
ain ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain
i 1,2, ,n
ann
Page 14
推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列） 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
a A i1 j1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, i j .
Page 28
例4 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
1 1 1
x1 Dn x12
x2 x22
xn
x
2 n
( xi x j ). (1)
ni j1
x1n1 x2n1 xnn1
证 用数学归纳法
11
D2 x1
x2
x2 x1
( xi x j ),
• (a b c d )(a b c d )
Page 27
评注 本题是利用行列式的性质将所给行列 式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然 后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的 阶数可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式 能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列 式）．这种方法对阶数不高的数字行列式比较 适用．
Page 23
例3 计算
abcd
bad c
D4 c
d
a
. b
d c ba
解 将 D4的第2、3、4行都加到第1行，并从第1行中 提取公因子a b c d，得
Page 24
1111
badc
D4 (a b c d ) c
d
a
, b
d cba
再将第2、3、4列都减去第1列，得
Page 19
用降阶法计算 例1
3 1 1 2 5 1 3 4 D 2 0 1 1 1 5 3 3
5 1 1 1
c1 2c3 11 1 3 1
c4 c3
0 010
5 5 3 0
Page 20
5 11 (1)33 11 1 1
5 5 0
100 • dc ad bc,
cd bc ad 按第1行展开，得
ad D４ (a b c d )(a b c d ) b c
(a b c d)(a b c d)•[(a d)2 (b c)2]
bc ad
(a b c d )(a b c d )
an1 an2 ann
1 a a L a p1 p2L pn
1 p1 2 p2
npn
p1 p2 L pn
1
1 p2 L
a a pn 11 2 p2
L
anpn
1 p2 L pn
a11
1
a L p2 1L pn 1 2 p2
证 把行列式 D det(aij ) 按第 j 行展开，有
a11 L a1n
M
M
ai1 L a j1 Aj1 L a jn Ajn M
a j1 L
M
ain M, a jn M
an1 L ann
Page 15
把 a jk 换成 aik (k 1, ,n),可得
a11 L a1n
a11 a12 a13 a14
例如 D a21 a22 a23 a24 0 0 a33 0
a41 a42 a43 a44
a11 a12 a14
1 33 a33 a21 a22 a24 .
a41 a42 a44
Page 5
证 当 aij位于第一行第一列时,
a11 0 0
D a21 a22 a2n
ai1, j1
ai1,n 中的
anj an, j1 ann
余子式仍然是aij在
a11 a1 j a1n
D 0 aij 0 中的余子式 Mij .
an1 anj ann
Page 11
aiij 于是有 ai1, j
0 ai1, j1
1 b D4 (a b c d ) c d
0 ab d c cd
0 d b ac bd
0 cb
, bc ad
Page 25
按第1行展开，得
ab db cb
D4 (a b c d ) d c a c b c .
cd bd ad
Page 7
把D的第i行依次与第i 1行,第i 2行,...,第1行对调,
0 aaiijj 0
得
D
1
a i 1 i 1,1
ai1, j
ai 1,n
an1 anj ann
Page 8
再把D的第j列依次与第j 1列,第j 2列,...,第1列 对调, 得
Page 22
5 3 1 2
1 25 2 0 2
3
1
r2
2r1
2
5
2 4
3 1
1 4
0 4 1 4 r3 r1
2 35
02 35
2 3 1
10 0 7 2 10 2 7 2
66 0 66
20 42 12 1080.
Page 12
二、行列式按行（列）展开法则
定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和，即
D ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain i 1,2, , n
证
a11
a12
a1n
D ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 ain
an1
an2
ann
Page 13
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 0 0 0 ai2 0
an1 an2 ann
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
0 an1
anpn
a11 M11
p2 1L pn 1
Page 6
即有 D a11M11.
又 A11 1 11 M11 M11,
从而 D a11A11. 再证一般情形, 此时
a11 a1 j a1n
D 0 aij 0
wk.baidu.com
an1 anj ann
0 ai1,n aij Mij ,
anj an, j1
故得
aaiijj
0
D 1 i j ai1, j ai1, j1
ann
0
ai1,n 1 i j aijMij .
anj an, j1 ann
Page 16
关于代数余子式的重要性质
n aik Ajk
k 1
D ij
D ,当 i
0
,当
i
j, j;
n aki Akj
k 1
D ij
D ,当 i
0
,当
i
j, j;
其中
1 ,当 i j， ij 0 ,当 i j.
Page 17
定义 行列式 A 的各个元素的代数余子式Aij 所
r2 r1
5 11 6 2 0 5 5 0
(1)13 6
2 8
2 40.
5 5 0 5
Page 21
例2 计算行列式
5 3 1 2 0 1 7 2 52 D 0 2 3 1 0 0 4 1 4 0 0 2 3 50
5 3 1 2 0 1 7 2 52 解 D 0 2 3 1 0 0 4 1 4 0 0 2 3 50
Page 18
故 AA A ij A ij A E.
同理可得
A
A
n
Aki akj
A ij
A ij
AE.
k1
分块对角阵的行列式
A1
A
A2
O
O
A
A1
A2
As .
As
a11 a12 a13
M44 a21 a22 a23 , A44 1 44 M44 M44 .
a31 a32 a33
行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一
个代数余子式.
Page 4
引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 元素除 aij外都为零，那末这行列式等于aij与它的 代数余子式的乘积，即 D aij A．ij
1 i j ai1, j
anj
0 ai1, j1 an, j1 0 ai1, j1 an, j1
0
ai 1,n
ann 0
ai 1,n
ann
Page 10
aij
00
元素aij在行列式ai1, j
M
M
ai1 L ai1 Aj1 L ain Ajn M
ai1 L M
ain M, ain M
当 i j 时,
an1 L ann
第i行 第 j行
相同
ai1 Aj1 ai 2 Aj2 ain Ajn 0, (i j).
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j).
记 Aij 1i j Mij， 叫做元素 a ij 的代数余子式．
例如
a a a a 11
12
13
14
D a21 a22 a23 a24
a a a a 31
32
33
34
a a a a 41
42
43
44
a11 a12 a14 M 23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A11
A
A12
A1n
A21 A22 A2n
An1 An2 Ann
称为矩阵 A 的伴随矩阵.
性质 AA A A A E.
证明 设 A aij , 记 AA bij , 则
bij ai1 Aj1 ai2 Aj2 ain Ajn A ij ,
A23 123 M 23 M 23 .
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a11 a12 a13 a14 D a21 a22 a23 a24 ,
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 ,
a41 a43 a44
A12 112 M12 M12 .
把上面右端行列式第2行加到第1行，再从第1行
中提取公因子a b c d，得
D４ (a b c d )(a b c d ) 110
• dc ac bc, cd bd ad
Page 26
再将第2列减去第1列，得 D4 (a b c d )(a b c d )
§2.3 行列式按一行或一列 展开及行列式的计算
一、余子式与代数余子式
0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011
1 二、行列式按行（列）展开法则
42 三、小结 1
一、余子式与代数余子式
例如
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
aiijj
D 1 i1 1 j1 ai1, j
anj
0 ai1, j1 an, j1
0 ai 1,n ann
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aiijj
1 i j2 ai1, j
anj aij
a11 a22a33 a23a32 a12 a23a31 a21a33 a13 a21a32 a22a31
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
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在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1 阶行列式叫做元素aij 的余子式，记作 M ij .
0 an2
ain ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain
i 1,2, ,n
ann
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推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列） 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
a A i1 j1 ai2 Aj2 ain Ajn 0, i j .
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例4 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
1 1 1
x1 Dn x12
x2 x22
xn
x
2 n
( xi x j ). (1)
ni j1
x1n1 x2n1 xnn1
证 用数学归纳法
11
D2 x1
x2
x2 x1
( xi x j ),
• (a b c d )(a b c d )
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评注 本题是利用行列式的性质将所给行列 式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然 后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的 阶数可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式 能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列 式）．这种方法对阶数不高的数字行列式比较 适用．
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例3 计算
abcd
bad c
D4 c
d
a
. b
d c ba
解 将 D4的第2、3、4行都加到第1行，并从第1行中 提取公因子a b c d，得
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1111
badc
D4 (a b c d ) c
d
a
, b
d cba
再将第2、3、4列都减去第1列，得
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用降阶法计算 例1
3 1 1 2 5 1 3 4 D 2 0 1 1 1 5 3 3
5 1 1 1
c1 2c3 11 1 3 1
c4 c3
0 010
5 5 3 0
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5 11 (1)33 11 1 1
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100 • dc ad bc,
cd bc ad 按第1行展开，得
ad D４ (a b c d )(a b c d ) b c
(a b c d)(a b c d)•[(a d)2 (b c)2]
bc ad
(a b c d )(a b c d )
an1 an2 ann
1 a a L a p1 p2L pn
1 p1 2 p2
npn
p1 p2 L pn
1
1 p2 L
a a pn 11 2 p2
L
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1 p2 L pn
a11
1
a L p2 1L pn 1 2 p2
证 把行列式 D det(aij ) 按第 j 行展开，有
a11 L a1n
M
M
ai1 L a j1 Aj1 L a jn Ajn M
a j1 L
M
ain M, a jn M
an1 L ann
Page 15
把 a jk 换成 aik (k 1, ,n),可得
a11 L a1n
a11 a12 a13 a14
例如 D a21 a22 a23 a24 0 0 a33 0
a41 a42 a43 a44
a11 a12 a14
1 33 a33 a21 a22 a24 .
a41 a42 a44
Page 5
证 当 aij位于第一行第一列时,
a11 0 0
D a21 a22 a2n
ai1, j1
ai1,n 中的
anj an, j1 ann
余子式仍然是aij在
a11 a1 j a1n
D 0 aij 0 中的余子式 Mij .
an1 anj ann
Page 11
aiij 于是有 ai1, j
0 ai1, j1
1 b D4 (a b c d ) c d
0 ab d c cd
0 d b ac bd
0 cb
, bc ad
Page 25
按第1行展开，得
ab db cb
D4 (a b c d ) d c a c b c .
cd bd ad
Page 7
把D的第i行依次与第i 1行,第i 2行,...,第1行对调,
0 aaiijj 0
得
D
1
a i 1 i 1,1
ai1, j
ai 1,n
an1 anj ann
Page 8
再把D的第j列依次与第j 1列,第j 2列,...,第1列 对调, 得
Page 22
5 3 1 2
1 25 2 0 2
3
1
r2
2r1
2
5
2 4
3 1
1 4
0 4 1 4 r3 r1
2 35
02 35
2 3 1
10 0 7 2 10 2 7 2
66 0 66
20 42 12 1080.
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二、行列式按行（列）展开法则
定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和，即
D ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain i 1,2, , n
证
a11
a12
a1n
D ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 ain
an1
an2
ann
Page 13
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 0 0 0 ai2 0
an1 an2 ann
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
0 an1
anpn
a11 M11
p2 1L pn 1
Page 6
即有 D a11M11.
又 A11 1 11 M11 M11,
从而 D a11A11. 再证一般情形, 此时
a11 a1 j a1n
D 0 aij 0
wk.baidu.com
an1 anj ann
0 ai1,n aij Mij ,
anj an, j1
故得
aaiijj
0
D 1 i j ai1, j ai1, j1
ann
0
ai1,n 1 i j aijMij .
anj an, j1 ann
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关于代数余子式的重要性质
n aik Ajk
k 1
D ij
D ,当 i
0
,当
i
j, j;
n aki Akj
k 1
D ij
D ,当 i
0
,当
i
j, j;
其中
1 ,当 i j， ij 0 ,当 i j.
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定义 行列式 A 的各个元素的代数余子式Aij 所
r2 r1
5 11 6 2 0 5 5 0
(1)13 6
2 8
2 40.
5 5 0 5
Page 21
例2 计算行列式
5 3 1 2 0 1 7 2 52 D 0 2 3 1 0 0 4 1 4 0 0 2 3 50
5 3 1 2 0 1 7 2 52 解 D 0 2 3 1 0 0 4 1 4 0 0 2 3 50
Page 18
故 AA A ij A ij A E.
同理可得
A
A
n
Aki akj
A ij
A ij
AE.
k1
分块对角阵的行列式
A1
A
A2
O
O
A
A1
A2
As .
As
a11 a12 a13
M44 a21 a22 a23 , A44 1 44 M44 M44 .
a31 a32 a33
行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一
个代数余子式.
Page 4
引理 一个 n 阶行列式，如果其中第 i 行所有 元素除 aij外都为零，那末这行列式等于aij与它的 代数余子式的乘积，即 D aij A．ij
1 i j ai1, j
anj
0 ai1, j1 an, j1 0 ai1, j1 an, j1
0
ai 1,n
ann 0
ai 1,n
ann
Page 10
aij
00
元素aij在行列式ai1, j
M
M
ai1 L ai1 Aj1 L ain Ajn M
ai1 L M
ain M, ain M
当 i j 时,
an1 L ann
第i行 第 j行
相同
ai1 Aj1 ai 2 Aj2 ain Ajn 0, (i j).
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j).
记 Aij 1i j Mij， 叫做元素 a ij 的代数余子式．
例如
a a a a 11
12
13
14
D a21 a22 a23 a24
a a a a 31
32
33
34
a a a a 41
42
43
44
a11 a12 a14 M 23 a31 a32 a34
a41 a42 a44