山东省济宁市嘉祥县第一中学2019_2020学年高一数学下学期期中试题

山东省济宁市嘉祥县第一中学2019-2020学年高一数学下学期期中
试题
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的． 1.设z =i(2+i)，则在复平面内z 对应的点位于
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限 2.设,,a b c v v v
是任意向量,则下列结论一定正确的是( )
A ．00a ⋅=v v
v
B ．()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅v v v v v v
C ．0a b a b ⋅=⇒⊥v v v v
D ．
22()()||a b a b a b +⋅-=-v v v v v v 3.已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝2，那么原△ABC 的面
积是( ) A. 23 B. 22 C .
3
D.
2
4.设l 是直线，α，β是两个不同的平面，下列选项中是真命题的为（ ） A. 若//l α，l β⊥，则αβ⊥ B.若//l α，//l β，则//αβ C. 若αβ⊥，l α⊥，则//l β
D. 若αβ⊥，//l α，则l β⊥
5．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0,10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位嘉祥县居民，他们的幸福感指数为 3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.则这组数据的 80%分位数是（
） A ．
7.5 B ．8
C ． 8.5
D ．9
6.在本次数学考试中，第二大题为多项选择题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分，小明因某原因网课没有学习，导致题目均不会做，那么小明做一道多选题得5分的概率为（ ）
A.15
1
B. 12
1
C.11
1
D.4
1 7．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众 多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的)．下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm )，那么该壶的容量约为（ ）
A ．1003cm
B ．3200cm
C ．3003cm
D ．4003cm 8.△ABC 所在的平面内有一点P,满足+2
+
=2
,则△PBC 与△ABC 的面积之比是
( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分． 9.抛掷一枚骰子 1 次,记“向上的点数是 1,2”为事件 A,“向上的点数是 1,2,3”为事件B,“向上的点数是 1,2,3,4”为事件C,“向上的点数是 4,5,6”为事件D,则下列关于事件 A ， B ，C ，D 判断正确的有（ ）
A ．A 与D 是互斥事件但不是对立事件
B ．B 与D 是互斥事件也是对立事件
C ．C 与
D 是互斥事件
D ．B 与C 不是对立事件也不是互斥事件 10．下列说法正确的有( )
A ．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin
B ∶sin C
B ．在△AB
C 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 为等腰三角形 C ．△ABC 中，sin A ＞sin B 是A ＞B 的充要条件
D ．在△ABC 中，若sin A=2
1，则A=6
π
11若平面向量a ，b ，c 两两夹角相等，a ，b 为单位向量，c =2，c b a ++ )
A.1
B.2
C.3
D.4
12．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且1
2
EF =
，则下列结论中正确的是 A ．AC BE ⊥ B ．//EF ABCD 平面 C ．三棱锥A BEF -的体积为定值 D ．AEF BEF ∆∆的面积与的面积相等
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13.设i 是虚数单位，复数
i
i a +-12为纯虚数，则实数a 的值为 ______ .
14．已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱高为4，体积为4，则这个球的表面积为 15.在▱ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝3，N 为DC 的中点，BM →＝2MC →，则AM →·NM →
＝________． 16.1996年嘉祥被国家命名为“中国石雕之乡”。

2008年6月，嘉祥石雕登上了国家文化部公布的“第二批国家级非物质文化遗产名录”，嘉祥石雕文化产业园被国家文化部命名为“国家级文化产业示范基地”。

近年来，嘉祥石雕产业发展十分迅猛，产品畅销全国各地及美国、日本、东南亚国家和地区。

嘉祥某石雕厂为严把质量关，对制作的每件石雕都请3位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（i ）若一件石雕3位行家都认为质量过关，则该石雕质量为优秀级；（ii ）若仅有1位行家认为质量不过关，再由另外2位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关，则该石雕质量为良好级，若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关，则该石雕需返工重做.已知每一次质量把关中一件石雕被1位行家认为质量不过关的概率均为
1
3
，且每1位行家认为石雕质量是否过关相互独立.则一件石雕质量为优秀级的概率为______ ；一件石雕质量为良好级的概率为______.(第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)已知,,a b c r r r
是同一平面内的三个向量，
)1,2(=a ；
（1）若25c =r ，且a r 、c r 共线反向，求c r
的坐标；
（2）若5
2
b =r ，且（2a b +r r ）⊥（2a b -r r ），求a r 与b r 的夹角θ.
18.(12分)在锐角ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，且32sin a c A =. （1）求角C 的大小；
（2）如果a+b=6，4CA CB =u u u
r u u u v g ,求c 的值。

19.(12分)袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a ，b 的2个黑球和编号为c ，d ，e 的3个红球．
(1)若从中一次性（任意）摸出2个球，求恰有一个黑球和一个红球的概率；
(2)若从中任取一个球给小朋友甲，然后再从中任取一个球给小朋友乙，求甲、乙两位小朋友拿到的球中恰好有一个黑球的概率．
(3)若从中连续取两次，每次取一球后放回，求取出的两个球恰好有一个黑球的概率．
20. (12分)网络直播是一种新兴的网络社交方式，网络直播平台也成为了一种崭新的社交媒体。

很多人选择在快手、抖音等网络直播平台上分享自己的生活点滴.2020年的寒假，注定不凡.因为新冠病毒疫情的影响，开学延迟了。

老师们停课不停教，在网络上直播授课；同学们停课不停学，在家上网课.某网络社交平台为了了解网络直播在大众中的熟知度，对15-65岁的人群随机抽样调查，调查的问题是“你直播过吗？”其中，回答“直播过”的共有n 个人.把这n 个人按照年龄分成5组：第1组[)15,25，第2组[)25,35，第3组[)35,45，第4组[)45,55，第5组[)55,65，然后绘制成如图所示的频率分布直方图.其中，第一组的频数为20.
（1）求n 和x 的值，并根据频率分布直方图估计这组数据的众数；
（2）从第1，3，4组中用分层抽样的方法抽取6人，求第1，3，4组抽取的人数； （3）在（2）抽取的6人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一个组的概率.
21．(12分)如图，四棱锥S ABCD -的底面是边长为2的正方形，SD 垂直于底面ABCD ，2=SD ，.
（1）求证BC SC ⊥；
（2）求平面SBC 与平面ABCD 所成二面角的大小； （3）设棱SA 的中点为M ，求异面直线DM 与SB 所成角的大小
（如需要做辅助线，在上传的答题卡中作出.）
22.(12分)如图，已知AF ⊥面ABCD ，四边形ABEF 为矩
形，四边形ABCD 为直角梯形，0
90=∠DAB
2,1,//====AB CD AF AD CD AB
（1）求证：AF//面BCE ； （2）求证：AC ⊥面BCE ； （3）求三棱锥F-BCE 的体积．
（如需要做辅助线，在上传的答题卡中作出.）
2019-2020学年嘉祥一中高一（下）期中数学参考答案
1【答案】D
【解析】2
i(2i)2i i 12i z =+=+=-+，
所以12z i =--对应点（-1，-2）位于第四象限．故选D 2答案：D
答案解析：∵00a ⋅=r r
,∴A 中结论错误；
向量的数量积不满足结合律,∴B 中结论错误；
当0a b ⋅=r r 时,a r 与b r 的夹角为90°或,a r 、b r
至少一给为零向量∴C 中结论错误； D 中结论正确. 3【答案】B 【解析】
由题图可知原△ABC 的高为AO ＝ 22， ∴S △ABC ＝
12×BC ×OA ＝1
2
×2× 22＝ 22，故答案为B 4【答案】A 【解析】
A.若//l α，l β⊥，由线面平行的性质过l 的平面与α相交于l '，则l l 'P ，又l β⊥.所以
l β'⊥，所以有αβ⊥，所以正确.
B.若//l α，//l β，则α与β可能平行，也可能相交，所以不正确.
C.若αβ⊥，l α⊥，则可能l β⊆，所以不正确.
D.若αβ⊥，//l α，则l 与β可能的位置关系有相交、平行或l β⊆,所以不正确. 5【答案】C
由题意，这 10 个人的幸福指数已经从小到大排列， 因为 80% 10
8
， 所以这 10 个人的 80% 分位数是从小到大排列后第 8个人与第 9个人的幸福指数的平均数，
即 8.5.故选：C 6【答案】C
【解析】小明做一道多选题得5分为事件A ，多选题的样本空间共有
AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD,ABCD 共11个样本点，P(A)=1/11 7. 【答案】B
【解析】设大圆锥的高为h ，所以
46
10
h h -=，解得10h =，故2211196
51036200333
V πππ=⨯⨯-⨯⨯=≈3cm ．
8【解析】选C.因为
+2
+
=2
,所以
+2
+
=2
-2
,所以
=-3
=3
,即P 是AC 边的一个四等分点,且PC=4
3AC,由三角形的面积公式
知,
=
=4
3.
9【答案】ABD 10答案：A ，C 答案解析：
由正弦定理易知A ，C 正确．对于B ，由sin 2A ＝sin 2B ，可得A ＝B ，或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2，∴a ＝b ，或a 2＋b 2＝c 2
，故B 错误. D 中A 为6
56
ππ或
11．AD 【解析】夹角为0时为4；夹角为0
120时为1
12．ABC 【解析】
可证11AC D DBB AC BE ⊥⊥平面，从而，故A 正确；由
∥平面ABCD ，可知
//EF ABCD 平面，B 也正确；连结BD 交AC 于O ，则AO 为三棱锥A BEF -的高，
，三棱锥A BEF -的体积为
为定值，C 正确；D
错误。

选ABC 。

13【解析】
2
)2()2()
1)(1()1)(212i
a a i i i i a i
i a +--=
-+--=
+-（，
.2,02=∴=-∴a a
14【答案】π18
【解析】由题可得正四棱柱的底面边长为：416,4,2S S a ⋅===．4S=4,S=1,a=1而
它的外接球的直径为它的体对角线长：2R=23
，则球的表面积为：ππ
1842
==R S
15解析：法一：AM →·NM →＝(AB →＋BM →)·(NC →＋CM →)＝⎝
⎛⎭⎪⎫AB →＋23AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－13AD →＝12AB →2－29AD →2
＝6.
法二(特例图形)：若▱ABCD 为矩形，建立如图所示坐标系，
则N (2，3)，M (4，2)．
所以AM →＝(4，2)，NM →
＝(2，－1)， 所以AM →·NM →
＝(4，2)·(2，－1)＝6. 答案：24
16.一件石雕质量为A 级的概率为318
(1)327
-=（2分）
一件石雕质量为B 级的概率为81
1631-1331-131
2
2
=⋅⋅⋅）（）（.（3分） 17.解：(Ⅰ)由//可设(),,2λλλ==
，，，22045222±==+∴=λλλc Θ
又a r 、c r
共线反向，则20-=<λλ
，
c r
=()2,4--. ………………5分
(Ⅱ)b a 2+Θ与b a -2垂直,
()(
)
,022=-⋅+∴即,023222=-⋅+而
52b =r ，22125
a =+=r ,2
5
222
2
-=-=
⋅∴a
b ………………8分
,12
5525cos -=⨯-
=
=∴b a θ因为[]0,θπ∈ .πθ=∴ ………………10分
18【详解】（1）因为32sin a c A =
所以由正弦定理得3sin 2sin sin A C A =, ………………2分 因为sin A 0≠，
所以
3
sin 2C =
, ………………4分
因为C 是锐角，所以60C =o
. ………………6分
12分
19解：(1)从5个小球中一次性取2个，所有可能的结果为{a ，b}，{a ，c}，{a ，d}，{a ，e}，{b ，c}，{b ，d}，{b ，e}，{c ，d}，{c ，e}，{d ，e}，共10个样本点，
设恰有一个黑球和一个红球为事件A,则A 有{a ，c}，{a ，d}，{a ，e}，{b ，c}，{b ，d}，{b ，e}，共6个样本点
53106)(=
=
∴A P ………………4分
(2)从5个小球中任取2个，一个给甲，一个给乙的所有可能的结果为(括号内第一个给甲，第二个给乙)(a ，b)，(a ，c)，(a ，d)，(a ，e)，(b ，a)，(b ，c)，(b ，d)，(b ，e)，(c ，a)，(c ，b)，(c ，d)，(c ，e)，(d ，a)，(d ，b)，(d ，c)，(d ，e)，(e ，a)，(e ，b)，(e ，c)，(e ，d)，共20个样本点.
设甲、乙两位小朋友拿到的球中恰好有一个黑球为事件B 则B 有(a ，c)，(a ，d)，(a ，e)，(b ，c)，(b ，d)，(b ，e)，(c ，a)，(c ，b)，(d ，a)，(d ，b)，(e ，a)，(e ，b)，共12个样本点.
532012)(=
=
∴B P ………………8分
(3)从5个小球中连续取俩次，每次取一球后放回，所有可能的结果为(a ，a)，(a ，b)，(a ，c)，(a ，d)，(a ，e)，(b ，a)，(b ，b)，(b ，c)，(b ，d)，(b ，e)，(c ，a)，(c ，b)，(c ，c)，(c ，d)，(c ，e)，(d ，a)，(d ，b)，(d ，c)，(d ，d)，(d ，e)，(e ，a)，(e ，b)，(e ，c)，(e ，d)，(e ，e)，共25个样本点.
设取出的两个球恰好有一个黑球为事件C 则C 有(a ，c)，(a ，d)，(a ，e)，(b ，c)，(b ，d)，(b ，e)，(c ，a)，(c ，b)，(d ，a)，(d ，b)，(e ，a)，(e ，b)，共12个样本点.
2512
)(=
∴C P ………………12分
20.解：（1）由题意可知，20
1000.02010
n =
=⨯，………………1分
由()100.0200.0360.0100.0041x ++++=，
解得0.030x =， ………………3分 由频率分布直方图可估计这组数据的众数为30；………………4分 （2）第1，3，4组频率之比为0.020：0.030：0.010=2：3：1 则从第1组抽取的人数为2
626
⨯=, 从第3组抽取的人数为3
636⨯
=， 从第4组抽取的人数为1
616
⨯=； ………………7分
（2）设第1组抽取的2人为12,A A ，第3组抽取的3人为123,,B B B ，第4组抽取的1人为
C ，则从这
6人中随机抽取2人有如下种情形：
()()()()()()()()()()()
12111213121222321213,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A C A B A B A B A C B B B B ，，()()()()12323,,,,,,,B C B B B C B C ，共有15个样本点.………………9分
其中符合“抽取的2人来自同一个组”的基本事件有()()()()12121323,,,,,,,A A B B B B B B 共4个样本点， ………………11分 所以抽取的2人来自同一个组的概率4
15
P =.………………12分 21．
（I ）∵底面ABCD 是正方形， ∴BC CD ⊥，
∵SD ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，∴SD BC ⊥，又DC SD D =I ， ∴BC ⊥平面SDC ，∵SC ⊂平面SDC ，∴BC SC ⊥. ………………4分
（II ）由（I ）知BC SC ⊥，又CD BC ⊥,∴SCD ∠为所求二面角的平面角，………6分 在Rt DSC ∆中，∵SD=DC=1，∴45SCD ∠=︒.………………8分
（III ）取AB 中点P ，连结,MP DP ，
在ABS D ，由中位线定理得MP SB P ，
DMP ∴∠或其补角是异面直线DM 与SB 所成角，………………10分 ∵5,2,321
====DP DM SB MP
所以DMP ∆中，有222DP MP DM =+，90DMP ∴∠=︒.………………12分
22. 解：
证明：四边形ABEF 为矩形，，………………1分
平面BCE ，平面BCE ，………………2分 面BCE ．………………3分
证明：面ABCD ，四边形ABEF 为矩形，
平面ABCD ，平面ABCD ，
， ………………4分
四边形ABCD 为直角梯形，，，，，
，
，在中，
， ，
， ………………6分 ，，面BCE ，面BCE ，………………7分
面BCE ． ………………8分
（3）3
12212
13131=⋅⋅⋅⋅=⋅==∆--AC S V V BCE BCE A BCE F ……………12分。