斐波拉契数列(教师版)--高中数学

专题突破之--
斐波那契数列
意大利数学家斐波那契于1202年在他的著作《算盘书》中，从兔子的繁殖问题得到一个数列：1，1，2，3、5，8，13，21，34，55，‧‧‧‧‧‧，这个数列称为斐波那契数列，也称兔子数列．斐波那契数列中的任意一个数叫斐波那契数．人们研究发现，斐波那契数在自然界中广泛存在．比如大多数植物的花瓣数、向日葵花盘内葵花籽排列的螺线数就是斐波那契数；松果、蜂巢、菠萝、蜻蜓翅膀、蜻蜓眼睛的构造与斐波那契数列紧密相连．
数学中黄金分割、黄金矩形、杨辉三角、等角螺旋、斐波拉契弧线、质数数量、十二平均律、尾数循环等问题也都与斐波那契数列紧密相关.
【数列表示】
1.逐项罗列：1，1，2，3、5，8，13，21，34，55，‧‧‧‧‧‧
2.递推公式：a 1=a 2=1,a n =a n -1+a n -2(n ≥3)
3.通项公式：a n =
151+5
2
n
-1-52
n
【常考性质】
性质1.前n 项和：S n =a 1+a 2+⋅⋅⋅+a n =a n +2-1性质2.奇数项和：a 1+a 3+⋅⋅⋅+a 2n -1=a 2n
偶数项和：a 2+a 4+⋅⋅⋅+a 2n =a 2n +1-1
性质3.平方性质：a n 2
=a n a n +1-a n a n -1
平方和性质：a 12+a 22+⋅⋅⋅+a n 2
=a n a n +1
性质4.中项性质：a n a n +2-a 2n +1=(-1)
n +1
；3a n =a n -2+a n +2性质5.余数列周期性：
被2除的余数列周期为3：1,1,0,‧‧‧‧‧‧
被3除的余数列周期为8：1,1,2,0,2,2,1,0,‧‧‧‧‧‧被4除的余数列周期为6：1,1,2,3,1,0,‧‧‧‧‧‧性质6.斐波那契不等式：n n -1<log a n
a n +1<
n -1n -2
性质7.质数数量：
每3个连续的数中有且只有1个能被2整除；每4个连续的数中有且只有1个能被3整除；每5个连续的数中有且只有1个能被5整除；
每6个连续的数中有且只有1个能被8整除；每7个连续的数中有且只有1个能被13整除；
‧‧‧‧‧‧
性质8.两倍数关系：a
2n a n
=a n -1+a n +1
性质9.下标为3的倍数的项之和：a3+a6+⋅⋅⋅+a3n=1
2
(a3n+2-1)
性质10.a n+1+5-1 2
a n
是等比数列
【两个重要关联】
1.杨辉三角
将杨辉三角左对齐，成如图所示排列，将同一斜行的数加起来，即得1,1,2,3,5,8,‧‧‧‧‧‧，
则a n=C0n-1+C1n-2+C2n-3+⋅⋅⋅+C m n-1-m(n-1≥m)，表示如下：
a1=C00=1
a
2
=C01=1
a3=C02+C11=1+1=2
a4=C03+C12=1+2=3
a5=C04+C13+C22=1+3+1=5
a6=C05+C14+C23=1+4+3=8
a7=C06+C15+C24+C33=1+5+6+1=13
‧‧‧‧‧‧
a n=C0n-1+C1n-2+C2n-3+⋅⋅⋅+C m n-1-m(n-1≥m)
2.计数问题
问题：有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要等上第10级台阶有几种走法？
分析：设第n级台阶有a n种走法，则a1=a2=1,a n=a n-1+a n-2(n≥3)，数列a n
就是斐波那契数列，故有a10=89种走法.
【训练题组】
一、单选题
1.(2023·上海市市辖区·单元测试)著名的波那契列{a n}：1，1，2，3，5，8，⋯，满足a1=a2=1，a n+2=a n+1+a n
(n∈N*)，那么1+a3+a5+a7+a9+⋯+a2021是斐波那契数列中的()
A.第2020项
B.第2021项
C.第2022项
D.第2023项
【答案】C
【解析】因为a1=a2=1，
所以1+a3+a5+a7+a9+⋯+a2021
=a2+a3+a5+a7+a9+⋯+a2021=a4+a5+a7+a9+⋯+a2021=a6+a7+a9+⋯+a2021=⋯=a2020+a2021=a2022，故选：C．
2.(2023·北京市市辖区·期末考试)斐波那契数列{F n}(n∈N*)在很多领域都有广泛应用，它是由如下递推
公式给出的：F1=F2=1，当n>2时，F n=F n-1+F n-2.若F100=F21+F22+F23+⋯+F2m
F m，则m=()
A.98
B.99
C.100
D.101【答案】B
【解析】由已知得F21=F2⋅F1，且F n-1=F n-F n-2，
所以F22=F2⋅(F3-F1)=F2⋅F3-F2⋅F1，
F23=F3⋅(F4-F2)=F4⋅F3-F3⋅F2，........
F2m=F m⋅(F m+1-F m-1)=F m⋅F m+1-F3⋅F m-1，累加整理可得F21+F22+.....+F2m=F m⋅F m+1；
又因为F100=F21+F22+F23+⋯+F2m
F m
=F m+1．
即F m+1是该数列的第100项，所以m=99，所以B选项正确．
故选：B．
利用累加法即可求解．
本题主要考查递推式求通项公式以及累加法的应用，属于中档题．
3.(2023·河南省鹤壁市·单元测试)意大利数学家斐波那契在他的《算盘全书》中提出了一个关于兔子繁殖的
问题：如果一对兔子每月能生1对小兔子(一雄一雌)，而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，从第1个月1对初生的小兔子开始，以后每个月的兔子总对数是：1，1，2，3，5，8，13，21，⋯，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是a n=a n-1+a n-2(n≥3,n∈N*)，其中a1=1，a2=1.若从该数列的前2021项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为()
A.1
3B.673
2021
C.1
2
D.674
2021
【答案】B
【解析】从斐波那契数列，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144⋯
可得每三个数中有一个偶数(并且是最后一个)，
∴2021=673×3+2，∴该数列的前2021项中有673个偶数，
∴从该数列的前2021项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为P=673
2021．故选：B．
4.(2022·湖北省黄冈市·月考试卷)意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1,1,2,3,5,8,⋯，
该数列从第三项起，每一项都等于前两项的和，即递推关系式为a n+2=a n+1+a n,n∈N*，故此数列称为斐波
那契数列，又称“兔子数列”.已知满足上述递推关系式的数列a n
的通项公式为a n=A⋅
1+5
2
n+B⋅
1-5
2
n，其中A,B的值可由a1和a2得到，比如兔子数列中a1=1,a2=1代入解得A=15,B=-15.
利用以上信息计算
5+1
2
5
= .(x 表示不超过x的最大整数)()
A. 10
B.11
C.12
D.13【答案】B
【解析】由题意可令A=B=1，
所以将数列a n
逐个列举可得：
a1=1，a2=3，a3=a1+a2=4，a4=a3+a2=7，a5=a4+a3=11，
故a5=
1+5
2
5+1-52
5=11，
因为
1-5
2
5∈-1,0
，
所以
1+5
2
5∈11,12
，
故
1+5
2
5
=11．
故选：B
5.(2023·湖北省恩施土家族苗族自治州·单元测试)斐波那契数列{F n}，因数学家莱昂纳多⋅斐波那契以兔子
繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列{F n}满足F1=F2=1，且F n+2=F n+1+F n(n∈N*).卢卡斯数列{L n}是以数学家爱德华⋅卢卡斯命名，与斐波那契数列联系紧密，即L1=1，且L n+1=F n+F n+2(n∈N* )，则F2023=()
A.1
3L2022+1
6
L2024 B.1
3
L2022+1
7
L2024
C.1
5L2022+1
5
L2024 D.-1
5
L2022+2
5
L2024
【答案】C
【解析】因为F n+2=F n+1+F n(n∈N*)，L n+1=F n+F n+2(n∈N*)，
所以可得
L2022=F2021+F2023=2F2023-F2022
L2024=F2023+F2025=2F2023+F2024=3F2023+F2022
，解得F
2023
=1
5
L2022+1
5
L2024．
6.(2022·广东省河源市·单元测试)斐波拉契数列a n
满足：a1=1，a2=1，a n+2=a n+1+a n n∈N*
.该数列与如图美丽曲线有深刻联系，设S n=a1+a2+⋯+a n，T n=a21+a22+⋯+a2n，给出以下三个命题：
①a2n+2-a2n+1=a n+3⋅a n；②S n=a n+2-1；③T n+1=a2n+1+a n+1⋅a n．
其中真命题的个数为()
A.0
B.1
C.2
D.3
【答案】D
【解析】a n+2=a n+1+a n⇒a n+2-a n+1=a n，a n+3=a n+2+a n+1，
所以(a n+2+a n+1)(a n+2-a n+1)=a n+3⋅a n，
即a2n+2-a2n+1=a n+3⋅a n，故①正确；
a n+2=a n+1+a n，
a n+1=a n+a n-1，
a n=a n-1+a n-2，
⋯⋯a3=a2+a1，
相加可得：a n+2=a2+S n即S n=a n+2-1，故②正确；
因为a n+1⋅a n=(a n+a n-1)⋅a n=a2n+a n⋅a n-1⇒a2n=a n+1⋅a n-a n⋅a n-1(n≥2)，
所以T n+1=a21+a22+⋯+a2n+1
=a21+a3⋅a2-a2⋅a1+a4⋅a3-a3⋅a2+⋅⋅⋅+a n+1⋅a n-a n⋅a n-1+a2n+1，
又a1=1,a2=1，可得T n+1=a2n+1+a n+1⋅a n，故③正确．
7.(2022·湖北省·期中考试)若数列{F n}满足F1=1，F2=1，F n=F n-1+ F n-2(n≥3)，则{F n}称为斐波那契数
列，它是由中世纪意大利数学家斐波那契最先发现．它有很多美妙的特征，如当n≥2时，前n项之和等于第n+2项减去第2项；随着n的增大，相邻两项之比越来越接近0.618等等．若第30项是832040，请估计这个数列的前30项之和最接近
(备注：0.6182≈0.38，1.6182≈2.61)
A.31万
B.51万
C.217万
D.317万
【答案】C
【解析】∵当n≥2时S n=F n+2-F2，
则S28=F30-1，
因为随着n的增大，相邻两项之比接近0.618，
则F29=0.618F30，
由S30=S28+F29+F30=F30-1+0.618F30+F30=2.618F30-1≈217万.
故选C．
8.(2023·山东省济南市·期末考试)1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》.他在书中提出
了一个关于兔子繁殖的问题，发现数列：1，1，2，3，5，8，13，⋯，该数列的特点是：前两项均为1，从第三项起，每一项等于前两项的和，人们把这个数列F n
称为斐波那契数列，则下列结论正确的是 ()
A.F2+F4+F6+⋯+F2020=F2021
B.F21+F22+F23+⋯+F22021=F2021F2022
C.F1+F2+F3+⋯+F2021=F2023
D.F1+F3+F5+⋯+F2021=F2022-1
【答案】B
【解析】根据题意可知，F n+2=F n+1+F n，
对于A，因为F2+F4+F6+⋯+F2020=F1+F2+F4+F6+⋯+F2020-1
=F3+F4+F6+⋯+F2020-1=F5+F6+⋯+F2020-1=⋯=F2021-1，故A错误;
对于D，因为F1+F3+F5+⋯+F2021=F2+F3+F5+⋯+F2021
=F4+F5+⋯+F2021=⋯=F2022，故D错误;
对于C，由F2+F4+F6+⋯+F2020=F2021-1，F1+F3+F5+⋯+F2021=F2022，
可知F1+F2+F3+⋯+F2021=F2021-1+F2022=F2023-1，故C错误;
对于B，因为F n+1=F n+2-F n，
所以F2n+1=F n+1·F n+2-F n
=F n+1F n+2-F n F n+1，
即F22=F2F3-F1F2，F23=F3F4-F2F3，⋯，F22021=F2021F2022-F2020F2021，
累加得F22+F23+⋯+F22021=F2021F2022-F1F2，
因为F1F2=F21，
即F21+F22+F23+⋯+F22021=F2021F2022得证，故B正确．
故选：B．
9.(2022·江苏省南通市·月考试卷) 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列
数：1，1，2，3，5，⋯，其中a1=a2=1，且从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即a n+2=a n+1+a n，后来人们把这样的一列数组成的数列a n
中，a n a n+2+a n+2a n+4
称为“斐波那契数列”.则斐波那契数列a n
=()
A.a n a n+5
B.a2n+3
C.a n+2a n+3
D.3a2n+2
【答案】D
【解析】因为a n+2=a n+1+a n，则a n+4=a n+2+a n+3=a n+2+a n+2+a n+1=2a n+2+a n+1，
则a n a n+2+a n+2a n+4==a n a n+2+a n+2(2a n+2+a n+1)
=a n+2(a n+a n+1)+2a2n+2=a n+2·a n+2+2a2n+2=3a2n+2．
10.(2022·全国·月考试卷)意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，
8，13，21，34，55，⋯，即F(1)=F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)n≥3,n∈N*
，此数列在现代物理“准晶体结构”､化学等领域都有着广泛的应用.若此数列的各项除以2的余数构成一个新数列a n
，则数列a n
的前2021项的和为()
A.2020
B.1348
C.1347
D.672
【答案】B
【解析】由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,...各项除以2的余数，
可得a n
为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,...，
所以a n
是周期为3的周期数列，
一个周期中三项和为1+1+0=2，
因为2021=673×3+2，
所以数列a n
的前2021项的和为673×2+2=1348．
故选B．
11.(2022·安徽省六安市·单元测试)历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起
到了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多⋅斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”:1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，⋯⋯即F(1)=F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥3,n∈N*)，此数列在现代物理、准晶体结构等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列{b n}，则b1 +b2+b3⋯+b52的值为()
A.71
B.72
C.73
D.74
【答案】A
【解析】由题意知：数列{b n}为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，........故该数列的周期为6，
所以b1+b2+b3⋯+b52=8×(1+1+2+3+1)+1+1+2+3=71．
故选：A．
12.(2023·单元测试)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，
⋯，从第三项起，每个数都等于它前面两个数的和，即a n+2=a n+1+a n(n∈N*)，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”.设数列{a n}的前n项和为S n，记a2023=m，a2024=n，则S2023=
()
A.m+n-2
B.m+n
C.m+n-1
D.m+n+1
【答案】C
【解析】因为a n+2=a n+1+a n，
所以a2023=a2022+a2021=a2022+a2020+a2019
=⋯=a2022+a2020+a2018+⋯+a2+a1 ①，
a2024=a2023+a2022=a2023+a2021+a2020=⋯=a2023+a2021+a2019+⋯+a5+a3+a2 ②，
由 ①+ ②，得a2023+a2024=S2023+a2，
又a2023=m，a2024=n，a2=1，即m+n=S2023+1，
所以S2023=m+n-1.故选C．
13.(2022·河南省·月考试卷)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，
2，3，5，8，13，21，⋯.该数列的特点如下：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把由这样一列数组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”，记S n是数列{a n}的前n项和，则(a3 -S1)+(a4-S2)+(a5-S3)+⋯+(a100-S98)=()
A.0
B.1
C.98
D.100
【答案】C
【解析】解：∵a1+a2=a3，a2+a3=a4，⋯，a n+a n-1=a n+1，a n+1+a n=a n+2，
∴a2+S n=a n+2，
∴a n+2-S n=a2=1，
∴(a3-S1)+(a4-S2)+(a5-S3)+⋯+(a100-S98)=1×98=98，
故选：C．
由斐波那契数列可得：a1+a2=a3，a2+a3=a4，⋯，a n+a n-1=a n+1，a n+1+a n=a n+2，相加可得a2+S n=a n+2，进而得出结论．
本题考查了斐波那契数列的性质、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14.(2022·重庆市·月考试卷)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，
2，3，5，8，13，21⋯.该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{a n}称为“斐波那契数列”，则(a1a3-a22)(a2a4-a33)(a3a5-a34)⋯(a2015a2017-a22016)=()
A.1
B.2017
C.-1
D.-2017
【答案】C
【解析】解：根据“斐波那契数列”特点可得到数列的规律，即当n为偶数时，a n a n+2-a2n+1=-1；
当n为奇数时，a n a n+2-a2n+1=1，所求式子最末项n=2015，从而可得结果．
由题意得：a1a3-a22=1，a2a4-a23=-1，a3a5-a24=1，⋯，
∴当n为偶数时，a n a n+2-a2n+1=-1；
当n为奇数时，a n a n+2-a2n+1=1∴(a1a3-a22)(a2a4-a33)(a3a3-a34)⋅⋅⋅(a2015a2017-a22016)=-1．
故选：C．
根据a n+a n+1=a n+2，当n为偶数时，a n a n+2-a2n+1=-1，当n为奇数时，a n a n+2-a2n+1=1，从而可以求出结果．本题考查根据数列的性质求值的问题，关键是能够总结归纳出数列中的规律，属中档题．
15.已知55<84,134<85，设a=log53,b=log85c=log138，则
A.a<b<c
B.b<a<c
C.b<a<c
D.c<a<b
【答案】A
【解析】由斐波那契不等式：n
n-1<log a
n
a n+1<n-1
n-2知答案为A.
二、多选题
1.(2023·山东省青岛市·期末考试)若数列{a n}满足a1=1，a2=1，a n=a n-1+a n-2(n≥3,n∈N+)，则称数列
{a n}为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构，化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．则下列结论成立的是()
A.a7=13
B.a1+a3+a5+⋯+a2019=a2020
C.3a n=a n-2+a n+2(n≥3)
D.a2+a4+a6+⋯+a2020=a2021
【答案】ABC
【解析】解：因为a1=1，a2=1，a n=a n-1+a n-2(n≥3,n∈N+)，
所以a3=a2+a1=2，a4=a3+a2=3，a5=a4+a3=5，a6=a5+a4=8，a7=a6+a5=13，所以A正确；
a n=a n-1+a n-2(n≥3,n∈N+)，可得a n+2=a n+1+a n=2a n+a n-1=3a n-a n-2，
即有3a n=a n-2+a n+2(n≥3)，故C正确；
设数列{a n}的前n项和为S n，
a1+a3+a5+...+a2019=a1+(a2+a1)+(a4+a3)+⋯+(a2018+a2017)=a1+S2018=1+S2018，
又a n+2=a n+1+a n=a n+a n-1+a n-1+a n-2=a n+a n-1+a n-2+a n-3+a n-3+a n-4=⋯=S n+1，
所以a2020=S2018+1=a1+a3+a5+⋯+a2019，所以B正确；
a2+a4+a6+⋯⋯+a2020=a2+a3+a2+a5+a4+⋯+a2019+a2018=a1+a2+a3+a4+a5+⋯+a2019=S2019，
但S2019+1=a2021，所以a2+a4+a6+⋯+a2020≠a2021，所以D不正确．
故选：ABC．
根据斐波那契数列的定义求出前7项，从而可判定选项A，由数列的递推式可判断C；然后根据递推关系求出a n+2=S n+1，从而可判断选项B和D．
本题考查数列递推式的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
2.(2022·湖北省荆门市·期末考试)2022年11月23日是斐波那契纪念日，其提出过著名的“斐波那契”数列，
其著名的爬楼梯问题和斐波那契数列相似，若小明爬楼梯时一次上1或2个台阶，若爬上第n个台阶的方法数为b n，则()
A.b7=21
B.b1+b2+b3+b5+b7=51
C.b21+b22+⋯+b2n=b n⋅b n+1-1
D.b n-2+b n+2=3b n
【答案】ACD
【解析】∵b1=1，b2=2，b3=3，b4=5，b5=8，∴当n≥3时，b n=b n-1+b n-2，
∴b6=13，b7=21，A正确;
b1+b2+b3+b5+b7=1+2+3+8+21=35，B错误;
∵b21=1，b22=b2(b3-b1)=b2b3-b2b1，
∴有b2n=b n(b n+1-b n-1)=b n b n+1-b n b n-1，
∴b21+b22+⋯+b2n=1-b1b2+b n⋅b n+1=b n⋅b n+1-1，C正确;
∵b n-2=b n-b n-1，b n+2=b n+b n+1，∴b n-2+b n+2=2b n+b n+1-b n-1=3b n，D正确．
故选ACD．
3. (2022·安徽省阜阳市·单元测试)意大利数学家列昂纳多⋅斐波那契提出的“兔子数列”:1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233⋯，在现代生物及化学等领域有着广泛的应用，它可以表述为数列{a n }满足a 1=a 2=1，a n +2=a n +1+a n (n ∈N +).若此数列各项被3除后的余数构成一个新数列{b n }，记{b n }的前n 项和为S n ，则以下结论正确的是( )A.b n +9-b n +1=0 B.S n +10=S n +2+9C.b 2022=2 D.S 2022=2696
【答案】ABC
【解析】由题意，可知新数列{b n }：1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，⋯，故新数列{b n }是以8为最小正周期的周期数列，∴b n +9=b n +1，故A 正确；∵2022÷8=252⋯6，且1+1+2+0+2+2+1+0=9，∴S n +10=S n +2+9，B 正确，b 2022=b 6=2，故C 正确
∴{b n }的前2022项和为9×252+1+1+2+0+2+2=2276，故D 错误；故选：ABC ．
4.(2022·全国·单元测试)意大利数学家列昂纳多⋅斐波那契提出的斐波那契数列被誉为最美的数列，斐波那契数列{a n }满足：a 1=1，a 2=1，a n =a n -1+a n -2(n ≥3,n ∈N *).若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格的边长为1，记每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为b n ，则下列结论正确的是( )
A.4(b 2020-b 2019)=πa 2021⋅a 2018
B.a 1+a 2+a 3+⋯+a 2019=a 2021-1
C.a 21+a 22+a 23+⋯+a 2
2020=2a 2019⋅a 2021D.a 2019⋅a 2021-a 22020+a 2018⋅a 2020-a 22019=0
【答案】ABD 【解析】由题意得b n =
π4a 2n ，则4(b 2020-b 2019)=4π4a 22020-π4a 2
2019
=π(a 2020+a 2019)(a 2020-a 2019)=πa 2021⋅a 2018，故选项A 正确;因为数列{a n }满足a 1=a 2=1，a n =a n -1+a n -2(n ≥3)，所以a n -2=a n -a n -1(n ≥3)，a 1+a 2+a 3+⋯+a 2019=(a 3-a 2)+(a 4-a 3)+(a 5-a 4)+⋯+(a 2021-a 2020)=a 2021-a 2=a 2021-1，故选项B 正确;数列{a n }满足a 1=a 2=1，a n =a n -1+a n -2(n ≥3)，即a n -1=a n -a n -2(n ≥3)，两边同乘a n -1，可得a 2n -1=a n -1a n -a n -1a n -2，则a 21+a 22+a 23+⋯+a 22000=a 21+(a 3a 2-a 2a 1)+(a 3a 4-a 3a 2)+⋯+(a 2020a 2021-a 2020a 2019)=a 21+a 2
020
a 2021
-a 2a 1=a 2020a 2021，故选项C 错误;由题意a n -1=a n -a n -2(n ≥3)，则a 2019⋅a 2021-a 22020+a 2018⋅a 2020-a 2
2019
=a 2019⋅(a 2021-a 2019)+a 2020⋅(a 2018-a 2000)=a 2019⋅a 2020+a 2000⋅(-a 2019)=0，故选项D 正确.故选ABD ．5.(2023·浙江省·其他类型)意大利著名数学家莱昂纳多⋅斐波那契( Leonardo Fibonacci )在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,8,13,21,34,⋯，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”.同时，随着n 趋于无
穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割5-1
2
≈0.618，因此又称“黄金分割数列”，其通项
公式为a n=1
5
1+5
2
n-1-52
n
，它是用无理数表示有理数数列的一个范例.记斐波那契数列为
a n
，其前n项和为S n，则下列结论正确的有()
A.
1010
k=1a2k
=a2021 B.S13=29a8
C.
2020
k=1
a k+2a k-a2k+1
=0 D.S n=a n+2-1
【答案】BCD
【解析】通过给出数列的前9项，发现a2+a4=a5-1，a2+a4+a6=a7-1，⋯，
因此我们归纳、猜想
1010
k=1a2k
=a2021-1，
事实上，
1010
k=1a2k
=a2+a4+a6+a8+⋯+a2020
=(a3-1)+a4+a6+a8+⋯+a2020=-1+a5+a6+a8+⋯+a2020=-1+a7+a8+⋯+a2020=⋯=-1+a2
021
，故选项A错误;
可以运算得到S13=609=21×29=29a8，故选项B正确;
可以发现，a3a1-a22=1，a4a2-a23=-1，a5a3-a24=1，a6a4-a25=-1，⋯，
归纳得到
2020
k=1(
a k+2a k-a2k+1)=0，故选项C正确;
可以发现，S1=a3-1，S2=a4-1，S3=a5-1，⋯，归纳得到S n=a n+2-1，事实上，
S n=a1+a2+a3+a4+a5+⋯+a n=(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)+(a6-a5)+⋯+(a n+2-a n+1)=a n+2-a2=
a n+2-1，故选项D正确．
6.(2022·江苏省苏州市·期中考试)意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论
的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列a n
满足：a1=1，a2=1，a n=a n-1+a n-2 n≥3,n∈N*
.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为S n，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为c n，则下列结论正确的是( )
A.S n+1=a2n+1+a n+1⋅a n
B.a1+a2+a3+⋯+a n=a n+2-1
C.a1+a3+a5+⋯+a2n-1=a2n-1
D.4c n-c n-1
=πa n-2⋅a n+1
【答案】ABD
【解析】对于A选项，因为斐波那契数列总满足a n=a n-1+a n-2n≥3,n∈N*
，
所以a21=a2a1，a22=a2a2=a2a3-a1
=a2a3-a2a1，a23=a3a3=a3a4-a2
=a3a4-a3a2，类似的有，a2n=a n a n=a n a n+1-a n-1
=a n a n+1-a n a n-1，累加得a21+a22+a23+⋯+a2n=a n⋅a n+1，由题知S n+1=a21+a22+a23+⋯+a2n+a2n+1=a n+1⋅a n+2=a2n+1+a n+1⋅a n，故选项A正确，
对于B选项，因为a1=a1，a2=a3-a1，a3=a4-a2，类似的有a n=a n+1-a n-1，
累加得a1+a2+a3+⋯+a n=a n+a n+1-a2=a n+2-1，故选项B正确，
对于C选项，因为a1=a1，a3=a4-a2，a5=a6-a4，类似的有a2n-1=a2n-a2n-2，累加得a1+a3+⋯+a2n-1=a1+a2n-a2=a2n，故选项C错误，
对于D选项，可知扇形面积c n=π⋅a2n
4，故4c n
-c n-1
=4
π⋅a2n
4
-
π⋅a2n-1
4
=πa2n-a2n-1
=πa n-2⋅a n+1，故
选项D正确，
故选ABD．
7.(2022·湖南省娄底市·月考试卷)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一
列数：1，1，2，3，5，8，⋯.该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数组成的数列{F n}称为斐波那契数列，现将{F n}中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{M n}，则下列结论中正确的是
A.M 2022=1
B.M6n-2=M6n-4+2M6n-5(n≥1，n∈N *)
C.F21+F22+F23+⋯+F22021=F2021F2022
D.F 1+F 2+F 3+⋯+F 2021=F 2022-1
【答案】BC
【解析】M1=1,M2=1,M3=2,M4=3,M5=1,M6=0,M7=1,M8=1,M9=2,M10=3,M11=1,M12=0，
所以数列{M n}是以6为最小正周期的数列，又2022=6×337，所以M2022=0，故A选项错误；
n≥1，n∈N*，则M6n-2=M4=3，M6n-4=M2=1，2M6n-5=2M1=2，
故M6n-2=M6n-4+2M6n-5(n≥1,n∈N*)成立，B选项正确；
对于n≥2，n∈N*，总有F2n=F n F n+1-F n-1
=F n F n+1-F n F n-1，
故F21+F22+F23+⋯+F22021=F21+F2F3-F1F2+F3F4-F2F3+⋯+F2021F2022-F2020F2021
=F21-F1F2+F2021F2022=F2021F2022，故C选项正确；
对于n≥1，n∈N*，总有F n=F n+2-F n+1，
故F1+F2+F3+⋯+F2021=F3-F2+F4-F3+⋯+F2023-F2022
=F2023-F2=F2023-1，故D选项错误．
8.(2022·云南省·单元测试)斐波那契，公元13世纪意大利数学家.他在自己的著作《算盘书》中记载着这样一
个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，这就是著名的斐波那契数列．斐波那契数列与代数和几何都有着不可分割的联系．现有一段长为a米的铁丝，需要截成n(n>2)段，每段的长度不小于1m，且其中任意三段都不能构成三角形，若n的最大值为10，则a的值可能是()
A.100
B.143
C.200
D.256
【答案】BC
【解析】由题意，一段长为a米的铁丝，截成n段，且其中任意三段都不能构成三角形，
当n取最大值时，每段长度从小到大排列正好为斐波那契数列，
而数列的前10项和为：1+1+2+3+5+8+13+21+34+55=143，
前11项和为：1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+89=232，
所以只需143≤a<232，BC均符合要求．
故选：BC．
三、填空题
1.(2023·江西省赣州市·期末考试)斐波那契，意大利数学家，其中斐波那契数列是其代表作之一，即数列
a n
为斐波那契数列，数 满足a1=a2=1，且a n+2=a n+1+a n，则称数列a n
为斐波那契数列.已知数列a n 列b n
的前12项和为86，则b1+b2=．
满足b n+3+(-1)a n b n=n，若数列b n
【答案】8
【解析】斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，⋯⋯.(特征：每三项中前两项为奇数后一项为偶数)
由b n+3+(-1)a n b n=n得：b4-b1=1，b5-b2=2，b6+b3=3，则b1+b2+b4+b5=3+2(b1+b2)，
同理：b7-b4=4，b8-b5=5，b10-b7=7，b11-b8=8，b12+b9=9，
得：b7=5+b1，b8=7+b2，b10=12+b1，b11=15+b2，
则b7+b8+b10+b11=39+2(b1+b2)，b3+b6+b9+b12=12，
则s12=b1+b2+⋯+b12=54+4(b1+b2)=86，则b1+b2=8．
2.(2023·湖北省黄冈市·单元测试)1202年意大利数学家列昂那多-斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数
列”，又称斐波那契数列.即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,⋯该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用.若此数列各项被3除后的余数构成一新数列a n
的前2022
，则数列a n 项的和为．
【答案】2276
【解析】由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，⋯各项除以3的余数，可得数列{a n}为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1...，
∴数列{a n}是周期为8的数列，
一个周期中八项和为
1+1+2+0+2+2+1+0=9，
又2022=252×8+6，
∴数列{a n}的前2022项的和
S2022=252×9+8=2276．
故答案为：2276．
3.(2022·海南省·期末考试)斐波那契数列，又称“兔子数列”，由数学家斐波那契研究兔子繁殖问题时引入．
已知斐波那契数列{a n}满足a1=0，a2=1，a n+2=a n+1+a n(n∈N*)，若记a1+a3+a5+⋯+a2019=M，a2+a4 +a6+⋯+a2020=N，则a2022=.(用M，N表示)
【答案】M+N+1
【解析】因为a1+a3+a5+⋯+a2019=M，a2+a4+a6+⋯+a2020=N，
所以S2020=M+N，
所以a1+(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+⋯+(a2017+a2018)=a1+S2018=M，
所以S2018=M-a1=M，
因为a2+a4+a6+⋯+a2020=N，
所以a2+(a2+a3)+(a4+a5)+⋯+(a2018+a2019)=-a1+S2019+a2=S2019+1=N，
所以S2019=N-1，
所以a2020=S2020-S2019=(M+N)-(N-1)=M+1，
a2019=S2019-S2018=(N-1)-M=N-M-1，
所以a2021=a2019+a2020=N，a2022=a2020+a2021=M+N+1，
故答案为：M+N+1．
由已知两式相加得S2020=M+N，由a1+a3+a5+⋯+a2019=M得S2018=M-a1=M，由a2+a4+a6+⋯+a2020=N得S2019=N-1，从而得到a2020=S2020-S2019，a2019=S2019-S2018，利用a n+2=a n+1+a n(n∈N*)可得答案．
本题考查数列的递推关系式及前n项和，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
4.(2022·陕西省咸阳市·模拟题)意大利数学家斐波那契于1202年在他的著作《算盘书》中，从兔子的繁殖问
题得到一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、⋯⋯，这个数列称斐波那契数列，也称兔子数列．斐波那契数列中的任意一个数叫斐波那契数．人们研究发现，斐波那契数在自然界中广泛存在，如图所示．大多数植物的花瓣数、向日葵花盘内葵花籽排列的螺线数就是斐波那契数等等，而且斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着直接的应用．设斐波那契数列为{a n}，其中a1=a2=1，有以下几个命题：
①a n+a n+1=a n+2(n∈N+)；
②a21+a22+a23+a24=a4⋅a5；
③a1+a3+a5+⋯+a2021=a2022；
④a22n+1=a2n⋅a2n+2-1(n∈N+)．
其中正确命题的序号是．
【答案】①②③
【解析】斐波那契数列从第3项起，每一项都是前2项的和，所以a n+a n+1=a n+2(n∈N+)，①正确；a21+a22+a23
+a24=1+1+4+9=15，a4⋅a5=3×5=15，②正确；
a2022=a2021+a2020=a2021+a2019+a2018=⋯=a2021+a2019+a2017+a2016=⋯=a2021+a2019+a2017+a2015+⋯+a3+a2= a2021+a2019+a2017+a2015+⋯+a3+a1，
所以③正确．
当n=1时，a22n+1=a23=4，a2n⋅a2n+2-1=a2⋅a4-1=1×3-1=2，所以④错误．
故答案为：①②③．
根据斐波那契数列的知识对四个命题进行分析，从而确定正确答案．
本题属新概念题，考查了数列的递推式，理解斐波那契数列的定义是关键点，属于基础题．
5.(2022·江苏省苏州市·单元测试)数列a n
：1，1，2，3，5，8，⋯，称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家菜昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci)从观察兔子繁殖而引入，故又称为“兔子数列”.数学上，该数列可表述为a1=a2=1，a n+2=a n+1+a n n∈N*
.对此数列有很多研究成果，如：该数列项的个位数是
以60为周期变化的，通项公式a n=1
5
1+5
2
n-1-52
n
等．借助数学家对人类的此项贡献，我
们不难得到a2n+1=a n+1a n+2-a n
=a n+2a n+1-a n+1a n，从而易得a21+a22+a23+⋯+a2126值的个位数为．【答案】4
【解析】因为a2n+1=a n+1(a n+2-a n)=a n+2a n+1-a n+1a n，
所以a21+(a2a3-a2a1)+(a3a4-a3a2)+⋯+(a126a127-a126a125)
=1-a2a1+a126a127=a126a127．
又该数列项的个位数是以60为周期变化，
所以a126，a6的个位数字相同，a127，a7的个位数字相同，
易知a6=8，a7=a6+a5=13，则8×3=24，
所以a126a127的个位数字为4．
故答案为：4．
6.(2022·全国·期末考试)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列：1，1，
2，3，5，8，13，21，⋯，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，记为F n
.利用下图所揭示的F n
的性质，则在等式F22022 -F21+F22+⋅⋅⋅+F22021
=F2022⋅F m中，m=．
【答案】2020
【解析】由题意，F n+2=F n+1+F n，
所以F2022⋅F2021=F2021+F2020
⋅F2021=F22021+F2021⋅F2020，
F2021⋅F2020=F22020+F2020⋅F2019，
F2020⋅F2019=F22019+F2019⋅F2018，
⋯F3⋅F2=F22+F2⋅F1=F22+F21，
所以F2022⋅F2021=F22021+F22020+F22019+⋯+F22+F21，
所以F22022-F21+F22+⋅⋅⋅+F22021
=F22022-F2022⋅F2021=F2022F2022-F2021
=F2022⋅F m，
所以F2022-F2021=F m，
所以F2022=F2021+F m，
由F2022=F2021+F2020，
所以F m=F2020，
所以m=2020，
故答案为 2020．。