2.5一元二次方程的根与系数的关系课件北师大版九年级数学上册

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【点拨】解决第（2）问需要注意的两个地方：①得到的关于 m 的方程是分式方程，需要检验是否有增根；②由于方程的系数 中有参数 m ，容易忽略由Δ≥0得出的参数的取值范围.
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（2023·南充）已知关于 x 的一元二次方程 x2－（2 m －1） x －3 m2＋ m ＝0. （1）求证：无论 m 为何值，方程总有实数根；
【思路导航】求与 x1， x2有关的代数式的值，即将代数式变形 为关于 x1＋ x2和 x1 x2的代数式，或结合根的意义来求解. 解：由一元二次方程的根与系数的关系，得 x1＋ x2＝3， x1 x2＝－2.
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（2）（ x1－3）（ x2－3）＝ x1 x2－3 x1－3 x2＋9＝ x1 x2－3（ x1＋ x2）＋9＝－2－3×3＋9＝－2. 【点拨】小题中 x1， x2的地位是“对称的”，这样的式子一般 用一元二次方程的根与系数的关系就可以解决.
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【思路导航】把 x1＝2代入原方程，先求出 a 的值，再求另一个 根 x2.也可以直接根据根与系数的关系求出 x2.
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【解析】（方法一）把 x ＝2代入原方程，得 4＋2－ a ＝0.解得 a ＝6. 则原方程为 x2＋ x －6＝0. 因式分解，得（ x －2）（ x ＋3）＝0. 解得 x1＝2， x2＝－3. 故答案为－3. （方法二）设另一个根为 m . 由根与系数的关系，得 m ＋2＝－1. ∴ m ＝－3.故答案为－3.
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【点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系，既可以用方 程的根的意义来解答，也可以用根与系数的关系来解答.一般 地，第二种方法更为简捷.
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（2）已知方程 x2－2 x ＋ m ＝0的两根分别为3和 n ，则 m ＋ n 的 值为 －4 .
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解：由一元二次方程的根与系数的关系，得α＋β＝3，αβ＝－1.
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（3）α2－α＋2β. （3）∵α方程是 x2－3 x －1＝0的一个根， ∴α2－3α－1＝0. ∴α2＝3α＋1. ∴α2－α＋2β＝3α＋1－α＋2β＝2（α＋β）＋1＝6＋1＝7.
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第二章 一元二次方程
*5 一元二次方程的根与系数的关系
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目录
CONTENTS
课前预习
典例讲练
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01
课前预习
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－p
q
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02
典例讲练
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（1）已知关于 x 的一元二次方程 x2＋ x － a ＝0的一个根是2，则 另一个根是 －3 .
1. 若4和8是方程 x2＋ mx ＋ n ＝0的两个根，则 m － n 的值为
（B）
A. －20
B. －44
C. 20
D. 44
2. 若关于 x 的方程2 x2＋ mx －4＝0的一个根为1，则另一个根
为 －2 . ⁠
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已知 x1， x2是方程 x2－3 x －2＝0的两个根，不解方程，求下列 代数式的值：
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演示完毕 谢谢观看
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已知关于 x 的一元二次方程 x2－6 x ＋2 m －1＝0有 x1， x2两个实 数根. （1）若 x1＝1，求 x2及 m 的值.
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解：（1）根据题意，得Δ＝（－6）2－4（2 m －1）≥0.
解得 m ≤5.
由根与系数的关系，得 x1＋ x2＝6， x1 x2＝2 m －1. ∵ x1＝1，∴1＋ x2＝6， x2＝2 m －1. ∴ x2＝5， m ＝3.
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【思路导航】根据根与系数的关系得到3＋ n ＝2，3 n ＝ m ，解 出 m 和 n 即可. 【解析】由根与系数的关系，得3＋ n ＝2，3 n ＝ m . 解得 n ＝－1， m ＝－3. 则 m ＋ n ＝－4. 故答案为－4.
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