上海市上海师范大学附属中学2024届数学高一下期末统考试题含解析

上海市上海师范大学附属中学2024届数学高一下期末统考试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．如果数据12,,,n x x x 的平均数为x ，方差为2s ，则1231,31,
,31n x x x ---的平均数和
方差分别为( ) A ．2,x s
B ．231,x s -
C ．231,3x s -
D ．231,9x s -
2．在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，1CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 没有公共点，则三角形
1PBB 面积的最小值为（ ）
A ．1
B ．
12
C ．
22
D ．
24
3．在△ABC 中，AC 2=，BC ＝1，∠B ＝45°
，则∠A ＝（ ） A ．30°
B ．60°
C ．30°或150°
D ．60°或120°
4．在∆ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤．则的取值范围是（ ）
A ．（0，
6
π
] B ．[
6
π
，π） C ．（0，
3π
] D ．[
3
π
，π） 5．某校高一甲、乙两位同学的九科成绩如茎叶图所示，则下列说法正确的是（ ）
A ．甲、乙两人的各科平均分不同
B ．甲、乙两人的中位数相同
C ．甲各科成绩比乙各科成绩稳定
D ．甲的众数是83，乙的众数为87
6．直线(1)y k x =-与(3,2)A 、(0,1)B 为端点的线段有公共点，则k 的取值范围是（） A ．[1,1]-
B ．[1,3]-
C ．(,1][3,)-∞-⋃+∞
D ．(,1][1,)-∞-+∞
7．已知等差数列{}n a 中，若412203a a d +==，，则5a =（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．如图是函数sin()(0,0,)y A ax A a ϕϕπ=+>><的部分图象２，则该解析式为（ ）
A ．2sin 233y x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭ B ．2sin 324x y π⎛⎫
=
+ ⎪⎝⎭ C ．2sin 33y x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
D ．22sin 233y x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭ 9．垂直于同一条直线的两条直线一定（ ） A ．平行
B ．相交
C ．异面
D ．以上都有可能
10．设有直线,m n 和平面,αβ，则下列四个命题中，正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，l ∥β，则α∥β C ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥β
D ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为100且支出在
[)2060,元的样本，其频率分布直方图如图，则支出在[)50,60元的同学人数为
________
12．等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且3123n n S n T n -=+，则8
8
a b =______. 13．102,238的最大公约数是________．
14．已知圆锥SO 如图所示，底面半径为1cm ，母线长为2cm ，则此圆锥的外接球的表面积为___2cm ．
15．已知函数(
)
2
()4cos 22f x x x x x ππ⎡⎤
=-∈-⎢⎥⎣
⎦，，，该函数零点的个数为_____________
16．七位评委为某跳水运动员打出的分数的茎叶图如图，其中位数为_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。

17．在
中，角，
，的对边分别是，，，
，
．
（1）若，求． （2）若
在线段
上，且
，
，求
的长．
18．己知函数()sin 3f x x x =-． （1）若(0,)x π∈，()0f x =，求x ；
（2）当x 为何值时，()f x 取得最大值，并求出最大值．
19．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，且126a a +=，123a a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）n S 为数列{}n a 的前n 项和，1
1
n n n n a b S S ++=
，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
20．已知函数2
()f x ax bx c =++满足()10f -=.
（1）若()()1f x f x =--，对任意[]31a ∈--，
都有()10f x x ++>，求x 的取值范围；
（2）是否存在实数a ，b ，c 使得不等式()()2
112
x f x x ≤≤+对一切实数恒成立？若存在，请求出a ，b ，c 使；若不存在，请说明理由.
21．已知数列{}n a 满足11a =，21()2
n
n n a a a n N *+=-∈.
(Ⅰ)求2a ，3a 的值，并证明：0<n a ≤1()n *∈N ； (Ⅱ)证明：
12()12
n n
n n n a a a n N a a *+≤≤∈++； (Ⅲ)证明：
12()2
n a n N n n *≤≤∈+. 参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、D 【解题分析】
根据平均数和方差的公式，可推导出131x -，231x -，⋯
⋯，31n x -的平均数和方差． 【题目详解】
因为12n
x x x x n
+++=
，
所以12(31)(31)(31)
31n x x x X x n
-+-+
-=
=-，
所以1231,31,,31n x x x ---的平均数为31x -；
因为222
212()()()n x x x x x x s n
-+-+
+-=
，
所以222
222
1(31)(31)(31)9n x X x X s S x X n
--+--+
+--=
=，
故选：D. 【题目点拨】
本题考查平均数与方差的公式计算，考查对概念的理解与应用，考查基本运算求解能力. 2、D 【解题分析】
根据直线1D P 与平面EFG 没有公共点可知1D P ∥平面EFG .将截面EFG 补全后,可确定点P 的位置,进而求得三角形1PBB 面积的最小值. 【题目详解】
由题意E ,F ,G 分别是棱AB ,BC ,1CC 的中点,补全截面EFG 为EFGHQR ,如下图所示:
因为直线1D P 与平面EFG 没有公共点
所以1D P ∥平面EFG ,即1D P ∥平面EFGHQR ,平面EFG ∥平面EFGHQR 此时P 位于底面对角线AC 上,且当P 与底面中心O 重合时,BP 取得最小值 此时三角形1PBB 的面积最小
111122
12224
PBB S OB BB ∆=
⨯⨯=⨯⨯=
故选:D
【题目点拨】
本题考查了直线与平面平行、平面与平面平行的性质与应用,过定点截面的作法,属于难题. 3、A 【解题分析】
直接利用正弦定理求出sin A 的大小，根据大边对大角可求A 为锐角，即可得解A 的值． 【题目详解】
因为：△ABC 中，BC ＝1，
AC =
B ＝45°
， 所以：BC AC sinA sinB
=，sin
A 112BC sin
B A
C ⋅===． 因为：BC ＜AC ，可得：A 为锐角， 所以：A ＝30°． 故选：A ． 【点评】
本题考查正弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题． 4、C 【解题分析】 试题分析：
由于222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤，根据正弦定理可知222a b c bc +-≤，故
2221
cos 22
b c a A bc +-=≥．又(0,)A π∈，则A 的范围为0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦.故本题正确答案为C.
考点：三角形中正余弦定理的运用. 5、C 【解题分析】
分别计算出甲、乙两位同学成绩的平均分、中位数、众数，由此确定正确选项. 【题目详解】 甲的平均分为
68747783838984929374399
++++++++=，乙的平均分
646674768587989895743
99
++++++++=，两人平均分相同，故A 选项错误.
甲的中位数为83，乙的中位数为85，两人中位数不相同，故B 选项错误.甲的众数是83，乙的众数是98，故D 选项错误.所以正确的答案为C.由茎叶图可知，甲的数据比较集
中，乙的数据比较分散，所以甲比较稳定.（因为方差运算量特别大，故不需要计算出方差.） 故选：C 【题目点拨】
本小题主要考查根据茎叶图比较平均数、中位数、众数、方差，属于基础题. 6、D 【解题分析】
由直线方程可得直线恒过点()1,0C ，利用两点连线斜率公式可求得临界值AC k 和BC k ，从而求得结果. 【题目详解】
直线()1y k x =-恒过点()1,0C 则20131AC k -=
=-，10
101
BC k -==-- (][),11,k ∴∈-∞-+∞
本题正确选项：D 【题目点拨】
本题考查利用直线与线段有交点确定直线斜率取值范围的问题，关键是能够确定直线恒过的定点，从而找到直线与线段有交点的临界状态. 7、A 【解题分析】
根据已知先求出数列的首项1a ，公差d 已知，可得5a 。

【题目详解】
由题得，41211131124220a a a d a d a +=+++=+=，解得111a =-，则
5141a a d =+=.
故选：A 【题目点拨】
本题考查用数列的通项公式求某一项，是基础题。

8、D 【解题分析】
根据函数图象依次求出振幅，周期，根据周期求出2a =，将点52,123π⎛⎫
⎪⎝
⎭代入解析式即可得解.
【题目详解】
sin()(0,0,)y A ax A a ϕϕπ=+>><
根据图象可得：2
3A =
，最小正周期571212T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，2,2a a
ππ== 2sin(2)()3y x ϕϕπ=+<，经过52,123π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，225sin(2)3312πϕ-=⨯+，
5sin(
)16πϕ+=-，532,62k k Z ππϕπ+=+∈， 22,3
k k Z πϕπ=+∈，ϕπ<
所以23ϕπ
=，
所以函数解析式为：22sin 233y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭. 故选：D 【题目点拨】
此题考查根据函数图象求函数解析式，考查函数的图象和性质，尤其是对振幅周期的辨析，最后求解ϕ的值，一般根据最值点求解. 9、D 【解题分析】
试题分析：根据在同一平面内两直线平行或相交，在空间内两直线平行、相交或异面判断．
解：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； ②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面． 故选D
考点：空间中直线与直线之间的位置关系． 10、D 【解题分析】
在A 中，m 与n 相交、平行或异面；在B 中，α与β相交或平行；
在C 中，m ⊥β或m ∥β或m 与β相交；在D 中，由直线与平面垂直的性质与判定定理可得m ∥α． 【题目详解】
由直线m 、n ，和平面α、β，知：
对于A ，若m ∥α，n ∥α，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误；
对于B ，若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β或α与β相交，故B 错误； 对于中，若α⊥β，α⊥β，m ⊂α，则m ⊥β或m ∥β或m 与β相交，故C 错误； 对于D ，若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则由直线与平面垂直的性质与判定定理得m ∥α，故D 正确． 故选D ． 【题目点拨】
本题考查了命题真假的判断问题，考查了空间线线、线面、面面的位置关系的判定定理及推论的应用，体现符号语言与图形语言的相互转化，是中档题．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、30 【解题分析】
由频率分布直方图求出支出在[)50,60元的概率，由此能力求出支出在[)50,60元的同学的人数，得到答案． 【题目详解】
由频率分布直方图，可得支出在[)50,60元的概率，
1(0.010.0240.036)100.3-++⨯=，
所以支出在[)50,60元的同学的人数为1000330⨯=人． 【题目点拨】
本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及概率的计算，其中解答中熟记频率分布直方图的性质，合理求得相应的概率是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 12、
4
3
【解题分析】
取15n =，代入计算得到答案. 【题目详解】
3123n n S n T n -=+，当15n =时
115111585
15815()
451444215()3033332
a a S T
b b b a +-====+=+ 故答案为4
3
【题目点拨】
本题考查了前n 项和和通项的关系，取15n =是解题的关键. 13、34 【解题分析】
试题分析：根据辗转相除法的含义，可得238=2×102+34，102=3×34，所以得两个数102、238的最大公约数是34. 故答案为34. 考点：辗转相除法. 14、
163
π
【解题分析】
根据SO ⊥圆锥的底面和外接球的截面性质可得外接球的球心在SO 上，再根据勾股定理可得求的半径． 【题目详解】
由SO ⊥圆锥的底面和外接球的截面性质可得外接球的球心在SO 上，设球心为C ，球的半径为R ，则SC CD R ==，CO ⊥圆O ，因为2,1SD OD == , 所以
21213SO =-=，所以3CO R =-，1OD =，则有222
CO OD CD +=.解得
233
R =
，则3
41633S R ππ==
球.
【题目点拨】
本题主要考查了几何体的外接球，关键是会找到球心求出半径，通常结合勾股定理求．属于难题． 15、3 【解题分析】
令()0f x =，可得240x x -=或cos 0x =；当240x x -=时，可解得0x =为函数一个零点；当cos 0x =时，可知2
x k π
π=-+，根据x 的范围可求得零点；综合两种情况
可得零点总个数. 【题目详解】
令(
)
2
4cos 0x x x -=，可得：240x x -=或cos 0x =
当240x x -=时，0x =或4x =（舍） 0x ∴=为函数的一个零点 当cos 0x =时，2
x k π
π=-
+，k Z ∈
,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
2x π∴=-，2x π
=为函数的零点
综上所述，该函数的零点个数为：3个 本题正确结果：3 【题目点拨】
本题考查函数零点个数的求解，关键是能够将问题转化为方程根的个数的求解，涉及到余弦函数零点的求解. 16、85 【解题分析】
按照茎叶图，将这组数据按照从小到大的顺序排列，找出中间的一个数即可. 【题目详解】
按照茎叶图，这组数据是79，83，84，85，87，92，93. 把这组数据按照从小到大的顺序排列，最中间一个是85. 所以中位数为85. 故答案为：85 【题目点拨】
本题考查对茎叶图的认识．考查中位数，属于基础题.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）；（2）
【解题分析】
（1）根据正弦定理化简边角关系式，可整理出余弦定理形式，得到；再根据正弦定理求得
，根据同角三角函数得到
；根据两角和差公式求得
；（2）设，在中利用余弦定理构造方程求得
，从而可证得
，利用勾股
定理求得结果. 【题目详解】 （1）
由正弦定理得：
整理得：
由正弦定理
得：
（2）设，则：
，
在
中，利用余弦定理
得：
，解得：
（舍）或
，
，又
，即
【题目点拨】
本题考查正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到正弦定理化简边角关系式、同角三角函数求解、两角和差公式的运算，考查对于定理和公式的应用，属于常规题型. 18、（1）
3π
；（1）52()6
x k k ππ=+
∈Z ，1. 【解题分析】 （1）由题得tan 3x =
x 的值；
（1）先化简得到()2sin()3
f x x π
=-，再利
用三角函数的性质求函数的最大值及此时x 的值. 【题目详解】
（1）令sin 30x x -=，则tan 3x =
因为(0,)x π∈，所以3
x π
=
．
（1）1
3()2(sin )2sin()23
f x x x x π
=-=-， 当23
2
x k π
π
π-
=+
，即52()6
x k k π
π=+
∈Z 时，()f x 的最大值为1． 【题目点拨】
本题主要考查解简单的三角方程，考查三角函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
19、（1）2n
n a =，n ∈N +；（2）211
222
n n T +=
-- 【解题分析】
（1）设公比为q ，q >0，运用等比数列的通项公式，解方程即可得到所求； （2）11111
1
1=n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-==-，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和． 【题目详解】
(1)数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，设公比为q ，q >0，
126a a +=，123a a a =.
即116a a q +=, 2
111a a q a q =，
解得12a q ==,
可得2n
n a =，n ∈N +；
(2) 11111
1
1=n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-=
=-， 前n 项和12231
111111
n n n T S S S S S S +=-+-+⋯+- 1111
1111=n n n S S a S T ++=
--， 由(1)可得a 1=2, ()12122212
n n n S +-==--，
即有211
222
n n T +=
--. 【题目点拨】
本题考查数列的通项和求和，数列求和的常用方法有:分组求和,错位相减求和,倒序相加求和等，本题解题关键是裂项的形式，本题属于中等题. 20、（1）11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）存在14
a c ==，1
2b =使不等式恒成立，详见解析.
【解题分析】
（1）由()()1f x f x =--知函数关于1
2
x =-对称，求出()f x 后，通过构造函数
()()2()1g a x x a x =+⋅++求出x 11,3⎛
⎫∈- ⎪⎝
⎭；
（2）利用不等式的两边夹定理，令1x =，得()()11111f f ≤≤⇒=，结合已知条件
()10f -=，解出11
,22
b c a ==-；然后设存在实数a ，b ，c 命题成立，运用根的判
别式建立关于实数a 的不等式组，解得1
4
a =.
【题目详解】
（1）由()()1f x f x =--得()00,1.22f c b a ⎧==⎪⎨-=-⎪⎩此时()2
f x ax ax =+，
2()1(1)1f x x ax a x ++=+++，
构造函数()
()2
()1g a x x a x =+⋅++，
()(
)()()()
()221
33(1)01113311(1)011
g x x x x x g x x x x ⎧⎧-=+⋅-++>-<<
⎪⎪⇒⇒-<<⎨⎨-=+⋅-++>⎪⎪-<<⎩⎩
. 即x 的取值范围是11,3⎛
⎫- ⎪⎝
⎭.
（2）由()
()2112x f x x +对一切实数恒成立，得()()()2
11111112
f f +⇒= 由()()1,11,210.1.
2b f a b c f a b c a c ⎧⎧
=⎪⎪=++=⎪⎪⇒⎨⎨-=-+=⎪⎪+=⎪⎪⎩⎩
得()2
1122f x ax x a ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭
由2
11()022f x x ax x a ⎛⎫-=-+-≥ ⎪⎝⎭得2
114022a a ⎛⎫⎛⎫∆=---≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
恒成立， 也即2
211422042a a a ⎛⎫
-+=- ⎪⎭
≤⎝，此时14a c ==，12b =.
把14a c ==
，1
2b =.代入()()2112f x x ≤+，不等式也恒成立，
所以14
a c ==
，12b =.
【题目点拨】
本题第（1）问，常用“反客为主法”，即把参数a 当成主元，而把x 看成参数； 第（2）问，不等式对任意实数x 恒成立，常用赋值法切入问题. 21、 (Ⅰ)见证明； (Ⅱ)见证明； (Ⅲ)见证明
【解题分析】
（I ）直接代入计算得23,a a ，利用10n n a a +-<得1n n a a +≤从而可证结论； （II ）证明101n n n a a a +-
≥+，1202
n
n n a a a +-≤+即可； （III ）由（II ）可得12112n n n n n a a a a a +++≤≤，即11111
12n n n a a a ++≤≤+，111112n n
a a +≤-≤，应用累加法可得21
2n n n a +≤≤，从而证得结论． 【题目详解】 解：(Ⅰ)由已知得212
a =
，338a =.
因为2
12n
n n a a a +=- 所以2102
n
n n a a a +-=-≤.
所以111n n a a a +≤≤=
又因为2
1(1)2
n
n n a a a +=-
所以1n a +与n a 同号. 又因为11a =＞0 所以101n n a a +≤＜＜. (Ⅱ)因为
1(1)[(2)(1)2]1212(1n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a +-=--=-+-+++）()()21=21n n n a a a -+ 又因为01n a ≤＜，所以
11
n
n n a a a +≤+. 同理
122(1)222n n n n n n a a a a a a +-=--+-()()()()
3
32242121n n n n n n a a a a a a -=-+-=⎡⎤⎣⎦++ 又因为01n a ≤＜，所以122
n
n n a a a +≤
+
综上，1
212
n n
n n n a a a a a +≤≤++ (Ⅲ)证明：由(Ⅱ)可得
11
n
n n a a a +≤+ 所以11111n n n n a a a a ++≤=+，即1111n n
a a +-≤ 所以
1111n n a a --≤，12
111n n a a ---≤，...，21111a a -≤ 累加可得
1
11
1n n a a -≤- 所以
111
1n n n a a ≤-+= 1n a n
≥
由(Ⅱ)可得122
n
n n a a a +≤
+ 所以
1211122n n n n a a a a ++≥=+，即11112
n n a a +-≥ 所以11112n n a a --≥，121112n n a a ---≥，...，211112
a a -≥ 累加可得
1111
(1)2
n n a a -≥- 所以
11111(1)22n n n a a +≥-+= 即1
2n n a +≤ 综上所述12
2
n a n n ≤≤
+. 【题目点拨】
本题考查数列递推公式，考查数列中的不等式证明．第（I ）问题关键是证明数列是递减数列，第（II ）问题是用作差法证明，第（III ）问题是在第（II ）问基础上用累加法求和（先求1
n
a ）．。