高考数学复习第四章三角函数第四课时二倍角公式文市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件

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1．(课本习题改编)下列各式中，值为 23的是________．
①2sin15°cos15°；
②cos215°－sin215°；
③2sin215°－1;
④sin215°＋cos215°.
答案 ②
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2．(2016·四川改编)cos4π8 －sin4π8 等于(
)
A．0
B.
2 2
C．1
【答案】 －2785
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题型二 化简
化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12cos2αcos2β. 【解析】 方法一：(从“角”入手，化复角为单角) 原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12(2cos2α－1)(2cos2β－1) ＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－12 ＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－12 ＝sin2β＋cos2β－12＝1－12＝12.
＝cos2(α＋β)－12·[2cos2(α＋β)－1]＝12.
【答案】
1 2
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★状元笔记★ 分式的化简关键是将分子、分母、分解因式，然后约分，运 用二倍角的变形公式．可将一些多项式化为完全平方式，便于分 解因式．同学们应熟练掌握下列公式： 1±sin2α＝(sinα±cosα)2， 1＋cos2α＝2cos2α， 1－cos2α＝2sin2α. 在一些根式的化简中也经常用到上述公式．
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二倍角公式不仅限于 2α 是 α 的二倍的形式，其他如 4α ＝2·2α；α2＝2·α4；3α＝2·32α都适用．
由 cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α可得降幂公式：cos2 α＝1＋c2os2α；sin2α＝1－c2os2α；升幂公式 cos2α＝2cos2α －1＝1－2sin2α．
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【解析】
cos2α π
sin（ 4 ＋α）
＝
sin（π2π＋2α） ＝ sin（ 4 ＋α）
π 2cos( 4 ＋
α) ＝
ππ
π
π
ππ
2cos[ 2 －( 4 －α)]＝2sin( 4 －α)，∵0<α< 4 ，∴0< 4 －α< 4 .又
cos(
π 4
－
α)
＝
12 13
，
∴
sin(
π 4
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授人以渔
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题型一 求值 求值： (1)cosπ9 cos2π 9 cos3π 9 cos4π 9 ； (2)1＋2sicno2s02°0°－sin10°(tan15°－tan5°)．
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【思路】 (1)注意到π9 ，2π 9 ，4π 9 之间的关系，可考虑分子
π 分母同时乘以 sin 9 ，这样即可连续使用二倍角的正弦公式，从
D．－
2 2
答案 B
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3．已知 sin10°＝a，则 sin70°等于( )
A．1－2a2
B．1＋2a2
C．1－a2
D．a2－1
答案 A 解析 由题意可知，sin70°＝cos20°＝1－2sin210°＝1－2a2. 故选 A.
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4．化简 2＋cos2－sin21的结果是( )
A．－cos1
9
cos 9 cos π
9
＝12·2sin
9
cos π
9
＝12·sin
9π＝
8sin 9
8sin 9
8sin 9
π
π
12·sin（π－π9 ）＝12· sin 9π＝116.
8sin 9
8sin 9
方法二：由 sin2α＝2sinαcosα，得 cosα＝s2isni2nα α.
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2π 4π
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课前自助餐
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二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin2α＝2sinαcosα；
(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan2α＝1－2tatannα2α(α≠kπ 2 ＋π4 且
π α≠kπ＋ 2 ，k∈Z)．
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半角公式(不要求记忆) (1)sinα2＝± 1－c2osα； (2)cosα2＝± 1＋c2osα； (3)tanα2＝± 11－ ＋ccoossα α＝1＋sicnoαsα＝1－sicnoαsα.
解析 因为 α 为锐角，cos(α＋π6 )＝45，所以
sin(α＋π6 )＝35，sin2(α＋π6 )＝2245，cos2(α＋π6 )＝275.
所以
π
ππ
sin(2α＋12)＝sin[2(α＋ 6 )－ 4 ]＝
22×1275＝1750
2 .
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π 6．(2018·山东淄博一模)已知tan( 4 ＋θ)＝3，则sin2θ－ 2cos2θ＝__________．
＝2csoisn1100°°－sin10°·12csoisn1100°°
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＝2csoisn1100°°－2cos10°＝cos102°sin－102s°in20°
＝cos10°－22ssinin（103°0°－10°）
＝cos10°－2（122Βιβλιοθήκη Baidusoisn1100°°－ 23sin10°） ＝ 23ssinin1100°°＝ 23.
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＝cosα2 （sin2α2α－cos2α2 ）＝cosα2 （－αcosα），
|cos 2 |
|cos 2 |
∵π<α<2π，∴π2 <α2<π.∴cosα2<0.
∴原式＝－cosα2 cαosα＝cosα. －cos 2
【答案】 cosα
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π
π
(1)函数 f(x)＝4tanxsin( 2 －x)cos(x－ 3 )－ 3的最小正
8π
sin ∴原式＝
9π· sin 29π·12· sin 49π＝116.
2sin 9 2sin 9
2sin 9
(2)原式＝2×2s2inco1s02°10c°os10°－sin10°(csoins55°°－csoins55°°)
＝2csoisn1100°°－sin10°·cossi2n55°°－cossi5n°25°
B．cos1
C. 3cos1
D．－ 3cos1
答案 C 解 析 2＋cos2－sin21 ＝ ＝ 3cos21＝ 3cos1.
2＋cos2－1－2cos2 ＝
3＋3cos2 2
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5．设
α
为锐角，若
cos(α＋π6 )＝45，则
π sin(2α＋12)的值为
________．
答案
17 2 50
【答案】
1 (1)16
3 (2) 2
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★状元笔记★ 对于给角求值问题，如果所给角是非特殊角，解决这类问题 的基本思想有： (1)化非特殊角为特殊角； (2)化为正负相消的项，消去后求值； (3)化分子、分母使之出现公约数，进行约分求值； (4)当有 α，2α，3α，4α同时出现在一个式子中，一般将 α 向 2α，3α(或 4α)向 2α 转向，再求关于 2α 式子的值．
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思考题 3 化简：
αα
（1＋sinα＋cosα）（sin 2＋2cosα
2
－cos
2
） (π<α<2π)．
【解析】
α
αα
αα
（2cos2 原式＝
2
＋2sin
2
cos 2 ）（sin 4cos2α2
2
－cos
2
）
＝2cosα2 （cosα2 ＋sinα2 α）（sinα2 －cosα2 ） 2|cos 2 |
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思考题 1 求值：(1)sin18°cos36°； (2)1＋2sicno2s02°0°－2sin10°·tan80°. 【解析】 (1)原式＝2sin18°2ccooss1188°°cos36° ＝2sin43c6o°s1c8o°s36°＝4scions7128°°＝14.
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(2)原式＝4sin21c0o°s21c0o°s10°－2sin10°·csoins8800°° ＝2csoisn1100°°－2sin1s0in°10c°os10° ＝2csoisn1100°°－ssiinn1200°°＝cos102°sin－102s°in20° ＝cos10°－22ssinin（103°0°－10°）
π
π
cos2x＝sin( 2 －2x)，cos2x＝sin( 2 ＋2x)．
π 以上变换，结合二倍角公式可将 2x 的三角函数与 4 ±x 的三
角函数联系在一起．
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思考题 2 若 cos(π4 ＋x)＝35，1172π＜x＜74π， 求sin21x－＋ta2nsxin2x的值． 【解析】 ∵171π 2 <x<7π 4 ，∴5π 3 <π4 ＋x<2π. 又 cos(π4 ＋x)＝35，sin(π4 ＋x)＝－45，∴cosx＝cos[(π4 ＋x)－π4 ]
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π
ππ
π
＝cos( 4 ＋x)cos 4 ＋sin( 4 ＋x)sin 4 ＝－
2 10 .
∴sinx＝－7102， tanx＝7. ∴sin21x－＋ta2nsxin2x＝2sinx1co－sxta＋nx2sin2x
＝2（－7102）·（－11－027）＋2（－7102）2＝－2785.
第4课时 二倍角公式
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…2018 考纲下载… 1．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． 2．能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角 的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和 差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．
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请注意 1．灵活运用三角公式特别是倍角公式进行三角恒等变换， 进而考查三角函数的图像和性质是高考的热点内容． 2．以三角函数为背景、向量为载体考查恒等变形能力以及 运用正、余弦定理判定三角形的形状，求三角形的面积等问题是 在知识交汇点处命题的一个热点问题．
答案 －45 解析 方法一：sin2θ－2cos2θ＝sin2θ－cos2θ－1，
π sin2θ＝－cos2(θ＋π4 )＝－11－ ＋ttaann22（ （θθ＋ ＋π44 ））＝45，
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π cos2θ＝sin2(θ＋π4 )＝1＋2tatann（2（θ＋θ＋4π4））＝35， ∴原式＝45－35－1＝－45. 方法二：tan(π4 ＋θ)＝3，11－＋ttaannθθ＝3，解得 tanθ＝12， sin2θ－2cos2θ＝2sinsθinc2θos＋θ－ cos22cθos2θ＝2tatann2θθ＋－12＝－45.
而实现化简的目的．
(2)切化弦、通分．
【解析】 (1)方法一：cosπ9 cos2π 9 cos3π 9 cos4π 9
π π 2π 4π
＝12cosπ9 cos2π 9 cos4π 9 ＝12·8sin 9 cos
9 cos 9 π
cos
9
8sin 9
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2π 2π 4π
4π 4π
8π
＝12·4sin
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方法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次) 原式＝1－c2os2α·1－c2os2β＋1＋c2os2α·1＋c2os2β－12cos2 α·cos2β＝14(1＋cos2αcos2β－cos2α－cos2β＋1＋cos2α cos2β＋cos2α＋cos2β)－12cos2αcos2β＝14＋14＝12.
－
α)
＝
1－cos2（π4 －α） ＝
1－（1123）2＝153，∴原式＝2×153＝1103.
【答案】
10 13
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★状元笔记★
π 解决此类问题相对来说，已知条件中的角 4 －α，尽量不拆
开而作为一个整体去表示其他角，这样可减少运算量．
注意下列变换：
sin2x＝cos(π2 －2x)，sin2x＝－cos(π2 ＋2x)，
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方法二：(从“名”入手，化异名为同名) 原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－12cos2αcos2β ＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－12cos2αcos2β ＝cos2β－sin2αcos2β－12cos2αcos2β ＝cos2β－cos2β(sin2α＋12cos2α) ＝1＋c2os2β－12cos2β＝12.
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＝cos10°－2（sin30°2csoins1100°°－cos30°sin10°）
＝cos10°－2（122csoisn1100°°－
23sin10°）＝
3 2.
【答案】
1 (1)4
3 (2) 2
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已知 cos(π4 －α)＝1123，α∈(0，π4 )，则sin（coπs42＋αα）＝ ________．
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方法四：从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方
原式＝(sinα·sinβ－cosα·cosβ)2＋2sinα·sinβ·cos
α·cosβ－12cos2α·cos2β＝cos2(α＋β)＋12sin2α·sin2β－12cos2
α·cos2β＝cos2(α＋β)－12·cos(2α＋2β)