备战2024年高考数学大一轮老教材人教A版理第十二章 培优课概率、统计与其他知识的交汇问题
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1234
(1)若每名队员获得冠、亚军的可能性相同，则比赛结束后，冠、亚军恰 好来自不同校区的概率是多少？
比赛结束后，冠、亚军恰好来自不同校区的概率 P＝C13C14＋CC14C21215＋C13C15 ＝6467.
1234
(2)已知第10轮小李对抗小王，设每局比赛小李取胜的概率均为p(0<p<1). ①记小李以3∶1取胜的概率为f(p).若当p＝p0时，f(p)取最大值，求p0 的值；
1234
②若以①中p0的值作为p的值，这轮比赛小李所得积分为X，求X的分布 列及均值.
则优等品质量差在(μ－σ，μ＋σ)，即(60,80)内， 一等品质量差在(μ＋σ，μ＋2σ)，即(80,90)内， ∴正品质量差在(60,80)和(80,90)，即(60,90)内，
∴该企业生产的产品为正品的概率 P＝P(60<X<90)＝P(60<X<70)＋P(70<X<90)≈ 12×(0.682 7＋0.954 5)＝0.818 6.
(2) 假 如 企 业 包 装 时 要 求 把 2 件 优 等 品 和 n(n≥2，n∈N*)件一等品装在同一个箱子中， 质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验， 若抽取到的两件产品等级相同，则该箱产品 记为A，否则该箱产品记为B. ①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记 为B的概率p；
从(n＋2)件正品中任选 2 件，有 C2n＋2种选 法，其中等级相同的有 C2n＋C22种选法，
1 3
的员工继
续选择“球类”，其余的选择“田径”；在前一天选择“田径”的员工
中，次日会有
1 2
的员工继续选择“田径”，其余的选择“球类”.用频率
估计概率，记某员工第n天选择“球类”的概率为Pn.
①计算P1，P2，并求Pn；
由题意知，P1＝34，P2＝13P1＋12(1－P1)＝12－16P1＝12－16×34＝38， 当 n≥2 时，Pn＝13Pn－1＋12(1－Pn－1)＝12－16Pn－1， 所以 Pn－37＝－16Pn－1－73，
跟踪训练1 (2022·太原模拟)足球运动是深受人们喜爱的一项体育运动，
其中守门员扑点球和传球是足球训练中的两个重要训练项目.
(1)假设发点球时，球员等可能地选择左、中、右三个方向射门，守门员
等可能地选择左、中、右三个方向扑点球，且守门员方向判断正确时，
有
1 3
的可能将球扑出球门外.在一次点球战中，求守门员在前三次点球中，
所以X的分布列为
X 5 6 7 8 9 10
P
1 32
5 32
55 16 16
5 32
1 32
则 E(X)＝5×312＋6×352＋7×156＋8×156＋9×352＋10×312＝23420＝125.
(2)设李明在这5天的“四人赛”活动(每天两局)中，恰有3天每天得分不 低于3分的概率为f(p).求当p为何值时，f(p)取得最大值.
优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理.现从该企 业生产的正品中随机抽取1 000件，测得产品质量差的样本数据统计如图 所示： (1)取样本数据的方差s2的近似值为100，用样 本平均数 x 作为μ的近似值，用样本标准差s作 为σ的估计值，记质量差X～N(μ，σ2)，求该 企业生产的产品为正品的概率P(同一组中的 数据用该组区间的中点值代表)；
＝24403(1＋2p)2(1－p)(4－10p)， 所以当 p∈0，25时，f′(p)>0，f(p)在0，25上单调递增；
当 p∈25，1时，f′(p)<0，f(p)在25，1上单调递减， 所以当 p＝25时，f(p)取得最大值.
课时精练
1.(2023·齐齐哈尔模拟)为落实立德树人的根本任务，坚持“五育”并举， 全面推进素质教育，某校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛 阶段比赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是 3,4,5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛 (每场比赛都采取5局3胜制)，根据积分选出最后的冠军.积分规则如下： 比赛中以3∶0或3∶1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；以3∶2取胜 的队员积2分，失败的队员积1分.
把球扑出球门外的个数X的分布列和均值；
每个点球能被守门员扑出球门外的概率 P＝3×13×13×13＝19， 由题意可知，X～B3，19， P(X＝0)＝C03×893＝571229， P(X＝1)＝C13×191×892＝179229＝26443， P(X＝2)＝C23×192×891＝72249＝2843， P(X＝3)＝C33×193＝7129，
由题意估计从该企业生产的正品中随机抽取1 000件的平均数 x ＝0.010×10×46＋2 56＋0.020×10×56＋2 66＋0.045×10×66＋2 76＋ 0.020×10×76＋2 86＋0.005×10×86＋2 96＝70， ∴μ≈ x ＝70， 又样本方差 s2≈100，∴σ≈ s2＝10， ∴X～N(70，102)，
由题意知“每天得分不低于
3
分”的概率为
p
＋(
1－
p
)
×
13 ＝
1 3
＋
23p(0<p<1)， 所以 5 天中恰有 3 天每天得分不低于 3 分的概率 f(p)＝C5313＋23p31－13－23p2
＝24403(1＋2p)3·(1－p)2，f′(p)＝24403[6(1＋2p)2(1－p)2－2(1＋2p)3(1－p)]
则X的分布列为
X0123
P
512 64 8 1 729 243 243 729
E(X)＝3×19＝13.
(2)某次传球训练中，教练员让甲、乙、丙、丁4名球员进行传接球训练， 从甲开始传球，甲等可能地传给另外3人中的1人，接球者再等可能地传 给另外3人中的1人，如此一直进行.假设每个球都能被接住，记第n次传 球后球又回到甲脚下的概率为Pn.求证：数列 Pn－14为等比数列，并求Pn.
例2 (2023·岳阳模拟)中国国家统计局2021年9月30日发布数据显示， 2021年9月中国制造业采购经理指数(PMI)为49.8%，反映出中国制造业扩 张步伐有所加快.以新能源汽车、机器人、增材制造、医疗设备、高铁、 电力装备、船舶、无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，进一步体现 了中国制造业当前的跨越式发展.已知某精密制造企业根据长期检测结果， 得到生产的产品的 质量差服从正态分布N(μ，σ2)，并把质量差在(μ－σ，μ ＋σ)内的产品称为优等品，质量差在(μ＋σ，μ＋2σ)内的产品称为一等品，
又因为 P1－37＝34－37＝298， 所以Pn－37是以298为首项，以－16为公比的等比数列， 所以 Pn－37＝298×－16n－1，
即 Pn＝37＋298×－16n－1.
②该公司共有员工1 400人，经过足够多天后，试估计该公司接下来每 天各有多少员工参加“球类”和“田径”运动？
由①知，当 n 足够大时，选择“球类”的概率近似于37，
由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为 p(0<p<1)，则5箱产品恰有3箱被记为B的概率为 f(p)＝C35p3(1－p)2＝10p3(1－2p＋p2) ＝10(p3－2p4＋p5)， ∴f′(p)＝10(3p2－8p3＋5p4)＝10p2(3－8p＋5p2) ＝10p2(p－1)(5p－3)， ∴当 p∈0，35时，f′(p)>0，函数 f(p)单调递增； 当 p∈35，1时，f′(p)<0，函数 f(p)单调递减，
由已知得，第(n－1)次传球后球又回到甲脚下的概率为Pn－1， ∴当 n≥2 时，Pn＝(1－Pn－1)·13， ∴Pn－14＝－13Pn－1－14， ∴Pn－14是首项为 P1－14＝－14，公比为－13的等比数列， ∴Pn－14＝－14×－13n－1， ∴Pn＝14－14×－13n－1.
题型二 概率、统计与导数的综合问题
假设用ξ表示一天中选择“球类”的人数，
则
ξ～B1
400，37，
所以 E(ξ)＝1 400×37＝600，
即选择“球类”的人数的均值为600，
所以选择“田径”的人数的均值为800.
即经过足够多天后，估计该公司接.
思维升华
高考有时将概率、统计等问题与数列交汇在一起进行考查， 此类问题常常以概率、统计为命题情景，同时考查等差数列、 等比数列的判定及其前n项和，解题时要准确把握题中所涉 及的事件，明确其所属的事件类型.
∴某箱产品抽检被记为 B 的概率 p＝1－CC2n＋2n＋C2 22＝1－nn22＋－3nn＋＋22＝n2＋43nn＋2.
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为 f(p)，求当n为何值时，f(p)取得最大值，并求 出最大值. 参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)， 则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<ξ≤μ ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3.
设事件E为“该员工前四天恰好能集齐这4枚纪念币”， 由题意知，基本事件总数N＝4×4＝16， 事件E包含的基本事件的个数n＝2×1＝2， 所以该员工前四天恰好能集齐这四枚纪念币的概率 P(E)＝126＝18.
(2)通过抽样调查发现，活动首日有
3 4
的员工选择“球类”，其余的员工
选择“田径”；在前一天选择“球类“的员工中，次日会有
X的所有可能取值为5,6,7,8,9,10， P(X＝5)＝125＝312，
P(X＝6)＝C15×121×124＝352， P(X＝7)＝C25×122×123＝1302＝156， P(X＝8)＝C35×123×122＝1302＝156， P(X＝9)＝C45×124×121＝352， P(X＝10)＝C55×125＝312.
例1 “每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子”.某公司 组织全员每天进行体育锻炼，订制了主题为“百年风云”的系列纪念币 奖励员工，该系列纪念币有A1，A2，A3，A4四种.每个员工每天自主选择 “球类”和“田径”中的一项进行锻炼.锻炼结束后员工将随机等可能地 获得一枚纪念币. (1)某员工活动前两天获得A1，A4，则前四天恰好能集齐“百年风云”系 列纪念币的概率是多少？
第十二章 概率、随机变量及其分布
§12.6 概率、统计与 其他知识的交 汇问题[培优课]
有关概率、统计与其他知识相交汇的考题，能体现“返璞归真，支持课改；突破定 势，考查真功”的命题理念，是每年高考的必考内容.近几年将概率、统计问题与数列、 函数、导数结合，成为创新问题.
题型一 概率、统计与数列的综合问题
跟踪训练2 (2023·江门模拟)学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为 “双人对战”，另一项为“四人赛”.活动规则如下：一天内参加“双 人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1分；一天 内参加“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分， 次局获胜得2分，失败均得1分.已知李明参加“双人对战”活动时，每 局比赛获胜的概率为12；参加“四人赛”活动(每天两局)时，第一局和第 二局比赛获胜的概率分别为p，13 .李明周一到周五每天都参加了“双人对 战”活动和“四人赛”活动(每天两局)，各局比赛互不影响. (1)求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和均值；
∴当 p＝35时，f(p)取得最大值 f 35＝C35×353×1－352＝261265，
此时，p＝n2＋43nn＋2＝35，解得 n＝3 或 n＝23(舍). ∴当 n＝3 时，5 箱产品恰有 3 箱被记为 B 的概率最大，最大值为261265.
思维升华
在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有 关概率.决策方案的最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大 (最小)的方案作为最佳方案，这往往借助于函数、不等式或 数列的有关性质去实现.
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由题可知f(p)＝Cp2(1－p)·p＝3p3(1－p)， f′(p)＝3[3p2(1－p)＋p3×(－1)]＝3p2(3－4p)， 令 f′(p)＝0，得 p＝34或 p＝0(舍去)， 当 p∈0，34时，f′(p)>0，f(p)在0，34上单调递增， 当 p∈34，1时，f′(p)<0，f(p)在34，1上单调递减， 所以 p0＝34.
(1)若每名队员获得冠、亚军的可能性相同，则比赛结束后，冠、亚军恰 好来自不同校区的概率是多少？
比赛结束后，冠、亚军恰好来自不同校区的概率 P＝C13C14＋CC14C21215＋C13C15 ＝6467.
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(2)已知第10轮小李对抗小王，设每局比赛小李取胜的概率均为p(0<p<1). ①记小李以3∶1取胜的概率为f(p).若当p＝p0时，f(p)取最大值，求p0 的值；
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②若以①中p0的值作为p的值，这轮比赛小李所得积分为X，求X的分布 列及均值.
则优等品质量差在(μ－σ，μ＋σ)，即(60,80)内， 一等品质量差在(μ＋σ，μ＋2σ)，即(80,90)内， ∴正品质量差在(60,80)和(80,90)，即(60,90)内，
∴该企业生产的产品为正品的概率 P＝P(60<X<90)＝P(60<X<70)＋P(70<X<90)≈ 12×(0.682 7＋0.954 5)＝0.818 6.
(2) 假 如 企 业 包 装 时 要 求 把 2 件 优 等 品 和 n(n≥2，n∈N*)件一等品装在同一个箱子中， 质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验， 若抽取到的两件产品等级相同，则该箱产品 记为A，否则该箱产品记为B. ①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记 为B的概率p；
从(n＋2)件正品中任选 2 件，有 C2n＋2种选 法，其中等级相同的有 C2n＋C22种选法，
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的员工继
续选择“球类”，其余的选择“田径”；在前一天选择“田径”的员工
中，次日会有
1 2
的员工继续选择“田径”，其余的选择“球类”.用频率
估计概率，记某员工第n天选择“球类”的概率为Pn.
①计算P1，P2，并求Pn；
由题意知，P1＝34，P2＝13P1＋12(1－P1)＝12－16P1＝12－16×34＝38， 当 n≥2 时，Pn＝13Pn－1＋12(1－Pn－1)＝12－16Pn－1， 所以 Pn－37＝－16Pn－1－73，
跟踪训练1 (2022·太原模拟)足球运动是深受人们喜爱的一项体育运动，
其中守门员扑点球和传球是足球训练中的两个重要训练项目.
(1)假设发点球时，球员等可能地选择左、中、右三个方向射门，守门员
等可能地选择左、中、右三个方向扑点球，且守门员方向判断正确时，
有
1 3
的可能将球扑出球门外.在一次点球战中，求守门员在前三次点球中，
所以X的分布列为
X 5 6 7 8 9 10
P
1 32
5 32
55 16 16
5 32
1 32
则 E(X)＝5×312＋6×352＋7×156＋8×156＋9×352＋10×312＝23420＝125.
(2)设李明在这5天的“四人赛”活动(每天两局)中，恰有3天每天得分不 低于3分的概率为f(p).求当p为何值时，f(p)取得最大值.
优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理.现从该企 业生产的正品中随机抽取1 000件，测得产品质量差的样本数据统计如图 所示： (1)取样本数据的方差s2的近似值为100，用样 本平均数 x 作为μ的近似值，用样本标准差s作 为σ的估计值，记质量差X～N(μ，σ2)，求该 企业生产的产品为正品的概率P(同一组中的 数据用该组区间的中点值代表)；
＝24403(1＋2p)2(1－p)(4－10p)， 所以当 p∈0，25时，f′(p)>0，f(p)在0，25上单调递增；
当 p∈25，1时，f′(p)<0，f(p)在25，1上单调递减， 所以当 p＝25时，f(p)取得最大值.
课时精练
1.(2023·齐齐哈尔模拟)为落实立德树人的根本任务，坚持“五育”并举， 全面推进素质教育，某校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛 阶段比赛的12名队员来自3个不同校区，三个校区的队员人数分别是 3,4,5.本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛 (每场比赛都采取5局3胜制)，根据积分选出最后的冠军.积分规则如下： 比赛中以3∶0或3∶1取胜的队员积3分，失败的队员积0分；以3∶2取胜 的队员积2分，失败的队员积1分.
把球扑出球门外的个数X的分布列和均值；
每个点球能被守门员扑出球门外的概率 P＝3×13×13×13＝19， 由题意可知，X～B3，19， P(X＝0)＝C03×893＝571229， P(X＝1)＝C13×191×892＝179229＝26443， P(X＝2)＝C23×192×891＝72249＝2843， P(X＝3)＝C33×193＝7129，
由题意估计从该企业生产的正品中随机抽取1 000件的平均数 x ＝0.010×10×46＋2 56＋0.020×10×56＋2 66＋0.045×10×66＋2 76＋ 0.020×10×76＋2 86＋0.005×10×86＋2 96＝70， ∴μ≈ x ＝70， 又样本方差 s2≈100，∴σ≈ s2＝10， ∴X～N(70，102)，
由题意知“每天得分不低于
3
分”的概率为
p
＋(
1－
p
)
×
13 ＝
1 3
＋
23p(0<p<1)， 所以 5 天中恰有 3 天每天得分不低于 3 分的概率 f(p)＝C5313＋23p31－13－23p2
＝24403(1＋2p)3·(1－p)2，f′(p)＝24403[6(1＋2p)2(1－p)2－2(1＋2p)3(1－p)]
则X的分布列为
X0123
P
512 64 8 1 729 243 243 729
E(X)＝3×19＝13.
(2)某次传球训练中，教练员让甲、乙、丙、丁4名球员进行传接球训练， 从甲开始传球，甲等可能地传给另外3人中的1人，接球者再等可能地传 给另外3人中的1人，如此一直进行.假设每个球都能被接住，记第n次传 球后球又回到甲脚下的概率为Pn.求证：数列 Pn－14为等比数列，并求Pn.
例2 (2023·岳阳模拟)中国国家统计局2021年9月30日发布数据显示， 2021年9月中国制造业采购经理指数(PMI)为49.8%，反映出中国制造业扩 张步伐有所加快.以新能源汽车、机器人、增材制造、医疗设备、高铁、 电力装备、船舶、无人机等为代表的高端制造业突飞猛进，进一步体现 了中国制造业当前的跨越式发展.已知某精密制造企业根据长期检测结果， 得到生产的产品的 质量差服从正态分布N(μ，σ2)，并把质量差在(μ－σ，μ ＋σ)内的产品称为优等品，质量差在(μ＋σ，μ＋2σ)内的产品称为一等品，
又因为 P1－37＝34－37＝298， 所以Pn－37是以298为首项，以－16为公比的等比数列， 所以 Pn－37＝298×－16n－1，
即 Pn＝37＋298×－16n－1.
②该公司共有员工1 400人，经过足够多天后，试估计该公司接下来每 天各有多少员工参加“球类”和“田径”运动？
由①知，当 n 足够大时，选择“球类”的概率近似于37，
由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为 p(0<p<1)，则5箱产品恰有3箱被记为B的概率为 f(p)＝C35p3(1－p)2＝10p3(1－2p＋p2) ＝10(p3－2p4＋p5)， ∴f′(p)＝10(3p2－8p3＋5p4)＝10p2(3－8p＋5p2) ＝10p2(p－1)(5p－3)， ∴当 p∈0，35时，f′(p)>0，函数 f(p)单调递增； 当 p∈35，1时，f′(p)<0，函数 f(p)单调递减，
由已知得，第(n－1)次传球后球又回到甲脚下的概率为Pn－1， ∴当 n≥2 时，Pn＝(1－Pn－1)·13， ∴Pn－14＝－13Pn－1－14， ∴Pn－14是首项为 P1－14＝－14，公比为－13的等比数列， ∴Pn－14＝－14×－13n－1， ∴Pn＝14－14×－13n－1.
题型二 概率、统计与导数的综合问题
假设用ξ表示一天中选择“球类”的人数，
则
ξ～B1
400，37，
所以 E(ξ)＝1 400×37＝600，
即选择“球类”的人数的均值为600，
所以选择“田径”的人数的均值为800.
即经过足够多天后，估计该公司接.
思维升华
高考有时将概率、统计等问题与数列交汇在一起进行考查， 此类问题常常以概率、统计为命题情景，同时考查等差数列、 等比数列的判定及其前n项和，解题时要准确把握题中所涉 及的事件，明确其所属的事件类型.
∴某箱产品抽检被记为 B 的概率 p＝1－CC2n＋2n＋C2 22＝1－nn22＋－3nn＋＋22＝n2＋43nn＋2.
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为 f(p)，求当n为何值时，f(p)取得最大值，并求 出最大值. 参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)， 则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<ξ≤μ ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3.
设事件E为“该员工前四天恰好能集齐这4枚纪念币”， 由题意知，基本事件总数N＝4×4＝16， 事件E包含的基本事件的个数n＝2×1＝2， 所以该员工前四天恰好能集齐这四枚纪念币的概率 P(E)＝126＝18.
(2)通过抽样调查发现，活动首日有
3 4
的员工选择“球类”，其余的员工
选择“田径”；在前一天选择“球类“的员工中，次日会有
X的所有可能取值为5,6,7,8,9,10， P(X＝5)＝125＝312，
P(X＝6)＝C15×121×124＝352， P(X＝7)＝C25×122×123＝1302＝156， P(X＝8)＝C35×123×122＝1302＝156， P(X＝9)＝C45×124×121＝352， P(X＝10)＝C55×125＝312.
例1 “每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子”.某公司 组织全员每天进行体育锻炼，订制了主题为“百年风云”的系列纪念币 奖励员工，该系列纪念币有A1，A2，A3，A4四种.每个员工每天自主选择 “球类”和“田径”中的一项进行锻炼.锻炼结束后员工将随机等可能地 获得一枚纪念币. (1)某员工活动前两天获得A1，A4，则前四天恰好能集齐“百年风云”系 列纪念币的概率是多少？
第十二章 概率、随机变量及其分布
§12.6 概率、统计与 其他知识的交 汇问题[培优课]
有关概率、统计与其他知识相交汇的考题，能体现“返璞归真，支持课改；突破定 势，考查真功”的命题理念，是每年高考的必考内容.近几年将概率、统计问题与数列、 函数、导数结合，成为创新问题.
题型一 概率、统计与数列的综合问题
跟踪训练2 (2023·江门模拟)学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为 “双人对战”，另一项为“四人赛”.活动规则如下：一天内参加“双 人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1分；一天 内参加“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分， 次局获胜得2分，失败均得1分.已知李明参加“双人对战”活动时，每 局比赛获胜的概率为12；参加“四人赛”活动(每天两局)时，第一局和第 二局比赛获胜的概率分别为p，13 .李明周一到周五每天都参加了“双人对 战”活动和“四人赛”活动(每天两局)，各局比赛互不影响. (1)求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和均值；
∴当 p＝35时，f(p)取得最大值 f 35＝C35×353×1－352＝261265，
此时，p＝n2＋43nn＋2＝35，解得 n＝3 或 n＝23(舍). ∴当 n＝3 时，5 箱产品恰有 3 箱被记为 B 的概率最大，最大值为261265.
思维升华
在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有 关概率.决策方案的最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大 (最小)的方案作为最佳方案，这往往借助于函数、不等式或 数列的有关性质去实现.
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由题可知f(p)＝Cp2(1－p)·p＝3p3(1－p)， f′(p)＝3[3p2(1－p)＋p3×(－1)]＝3p2(3－4p)， 令 f′(p)＝0，得 p＝34或 p＝0(舍去)， 当 p∈0，34时，f′(p)>0，f(p)在0，34上单调递增， 当 p∈34，1时，f′(p)<0，f(p)在34，1上单调递减， 所以 p0＝34.