(6)四边形及多边形——2022年中考数学真题专项汇编(含答案)

（6）四边形及多边形——2022年中考数学真题专项汇编
1.【2022年安徽】两个矩形的位置如图所示，若1α∠=，则2∠=( )
A.90α-︒
B.45α-︒
C.180α︒-
D.270α︒-
2.【2022年重庆A 】如图，在正方形ABCD 中，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，点F 是边AB 上一点，连接DF ，若BE AF =，则CDF ∠的度数为( )
A.45°
B.60°
C.67.5°
D.77.5°
3.【2022年湖北恩施州】如图，在四边形ABCD 中，90A B ∠=∠=︒，10AD =cm ，8BC =cm ，点P 从点D 出发，以1cm/s 的速度向点A 运动，点M 从点B 同时出发，以相同的速度向点C 运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动.设点P 的运动时间为t （单位：s ），下列结论正确的是( )
A.当4t =s 时，四边形ABMP 为矩形
B.当5t =s 时，四边形CDPM 为平行四边形
C.当CD PM =时，4t =s
D.当CD PM =时，4t =或6s
4.【2022年河南】如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为CD 的中点.若3OE =，则菱形ABCD 的周长为( )
A.6
B.12
C.24
D.48
5.【2022年浙江绍兴】如图，在平行四边形ABCD 中，22AD AB ==，60ABC ∠=︒，E ，F 是对角线BD 上的动点，且BE DF =，M ，N 分别是边AD ，边BC 上的动点.下列四种说法： ①存在无数个平行四边形MENF ；
②存在无数个矩形MENF ；
③存在无数个菱形MENF ；
④存在无数个正方形MENF .
其中正确的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
6.【2022年山东青岛】图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果.图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中ABC ∠的度数是__________︒.
7.【2022年江西】正五边形的外角和为________度.
8.【2022年北京】如图，在矩形ABCD 中，若3AB =，5AC =，14
AF FC =，则AE 的长为_______.
9.【2022年天津】如图，已知菱形ABCD 的边长为2，60DAB ∠=︒，E 为AB 的中点，F 为CE 的
中点，AF与DE相交于点G，则GF的长等于___________.
10.【2022年北京】如图，在ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE CF
=.
（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；
（2）若BAC DAC
∠=∠，求证：四边形EBFD是菱形.
11.【2022年山东青岛】如图，在四边形ABCD中，//
AB CD，点E，F在对角线BD上，==，90
BE EF FD
∠=∠=︒.
BAF DCE
（1）求证：ABF CDE
△△；
≅
（2）连接AE，CF，已知__________（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AECF的形状，并证明你的结论.
条件①：30
∠=︒；
ABD
条件②：AB BC
=.
（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）
12.【2022年山东济宁】如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在BE上取点F，使EF AE
=，连接BF，DF.
（1）求证：DF与半圆相切；
（2）如果10
BF=，求矩形ABCD的面积.
AB=，6
13.【2022年天津】将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点(0,0)
O，点(3,0)
A，点(0,6)
C，点P在边OC上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且30
=.
OPQ
∠=︒，点O的对应点O'落在第一象限.设OQ t
（Ⅰ）如图①，当1
∠'的大小和点O'的坐标；
t=时，求O QA
（Ⅱ）如图②，若折叠后重合部分为四边形，O Q'，O P'分别与边AB相交于点E，F，试用含有t 的式子表示O E'的长，并直接写出t的取值范围；
（Ⅲ）若折叠后重合部分的面积为t的值可以是___________（请直接写出两个不同的值即可）.
14.【2022年江苏盐城】【经典回顾】
梅文鼎是我国清初著名的数学家，他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法.图1是其中一种方法的示意图及部分辅助线.
在ABC
△的三边为一边的正∠=︒，四边形ADEB、ACHI和BFGC分别是以Rt ABC
ACB
△中，90
方形.延长IH和FG，交于点L，连接LC并延长交DE于点J，交AB于点K，延长DA交IL于点M.
（1）证明：AD LC
=；
（2）证明：正方形ACHI的面积等于四边形ACLM的面积；
（3）请利用（2）中的结论证明勾股定理.
【迁移拓展】
（4）如图2，四边形ACHI和BFGC分别是以ABC
△的两边为一边的平行四边形，探索在AB下方是否存在平行四边形ADEB，使得该平行四边形的面积等于平行四边形ACHI、BFGC的面积之和.若存在，作出满足条件的平行四边形ADEB（保留适当的作图痕迹）；若不存在，请说明理由.
15.【2022年河南】综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.
（1）操作判断
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM.
根据以上操作，当点M在EF上时，写出图（1）中一个30°的角：___________.
（2）迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下.
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ.
①如图（2），当点M在EF上时，MBQ
∠=__________°.
∠=____________°，CBQ
②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图（3），判断MBQ
∠的数量
∠与CBQ
关系，并说明理由.
（3）拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8 cm，当1cm
FQ=时，直接写出AP的长.
答案以及解析
1.答案：C
解析：如图.1903∠=︒+∠，3902∠=︒-∠，190902∴∠=︒+︒-∠，21801180α∴∠=︒-∠=︒-.
2.答案：C 解析：四边形ABCD 为正方形，45BAC ∴∠=︒，AB DA =，90DAF B ∠=∠=︒.又
AF BE =，
DAF ABE ∴≅△△，ADF BAE ∴∠=∠.AE 平分BAC ∠，122.52
BAE BAC ∴∠=∠=︒，22.5ADF ∴∠=︒，9022.567.5CDF ∴∠=︒-︒=︒，故选：C. 3.答案：D
解析：根据题意，可得DP t =，BM t =，10AD =cm ，8BC =cm ，10AP t ∴=-，8CM t =-，当四边形ABMP 为矩形时，AP BM =，即10t t -=，解得5t =，故A 选项不符合题意； 当四边形CDPM 为平行四边形，DP CM =，即8t t =-，解得4t =，故B 选项不符合题意； 当CD PM =时，分两种情况：
①四边形CDPM 是平行四边形，
此时CM PD =，
即8t t -=，解得4t =，
②四边形CDPM 是等腰梯形，
过点M 作MG AD ⊥于点G ，过点C 作CH AD ⊥于点H ，如图所示：
则90MGP CHD ∠=∠=︒，PM CD =，GM HC =，(HL)MGP CHD ∴≅△△，GP HD ∴=，(8)102t t AG AP GP t --=+=-+，又BM t =，(8)102
t t t t --∴-+=，解得6t =，综上，当CD PM =时，4t =s 或6s ，故C 选项不符合题意，D 选项符合题意，故选：D.
4.答案：C
解析：四边形ABCD 为菱形，AB BC CD AD ∴===，OB OD =.又EC ED =，26BC OE ∴==，4624ABCD C ∴=⨯=菱形，故选：C.
5.答案：C
解析：连接AC ，MN ，且令AC ，MN ，BD 相交于点O ，
四边形ABCD 是平行四边形，
OA OC ∴=，OB OD =.
BE DF =.
OE OF ∴=，
只要OM ON =，那么四边形MENF 就是平行四边形，
点E ，F 是BD 上的动点，
∴存在无数个平行四边形MENF ，故①正确；
只要MN EF =，OM ON =，则四边形MENF 是矩形，
点E ，F 是BD 上的动点，
∴存在无数个矩形MENF ，故②正确；
只要MN EF ⊥，OM ON =，则四边形MENF 是菱形，
点E ，F 是BD 上的动点，
∴存在无数个菱形MENF ，故③正确；
只要MN EF =，MN EF ⊥，OM ON =，则四边形MENF 是正方形，
而符合要求的正方形只有一个，故④错误；
故选：C.
6.答案：60
解析：如图，
BAD BAE DAE ∠=∠=∠，360BAD BAE DAE ∠+∠+∠=︒，120BAD BAE DAE ∴∠=∠=∠=︒，//BC AD ，18012060ABC ∴∠=︒-︒=︒.故答案为：60.
7.答案：360
解析：任意多边形的外角和都是360°，故正五边形的外角和为360°.故答案为：360°.
8.答案：1
解析：90ABC ∠=︒，4BC ∴==.
//AD BC ，AEF CBF ∴△△，
14AE AF CB CF ∴==，114144AE BC ∴==⨯=.
9. 解析：点E 为AB 的中点，1AE EB ∴==.如图，过点C 作AB 的垂线，垂足为点H .在菱形ABCD
中，//AD BC ，60CBH DAB ∴∠=∠=︒，112BH BC ∴=
=，CH BC ==EB BH ∴=.连接
BF ，EF FC =，//FB CH ∴，12FB CH =90FBE ∴∠=︒，AF ∴==连接BD ，则ABD △是等边三角形，DE AB ∴⊥，//GE FB ∴，∴点G 是AF 的中点，
12GF AF ∴==
10.答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：证明：（1）四边形ABCD 是平行四边形，
OB OD ∴=，OA OC =.
又AE CF =，
OA AE OC CF ∴-=-，即OE OF =，
∴四边形EBFD 是平行四边形.
（2）四边形ABCD 是平行四边形，
//AD BC ∴，
ACB DAC ∴∠=∠.
又BAC DAC ∠=∠，
ACB BAC ∴∠=∠，
BA BC ∴=，
∴四边形ABCD 是菱形，
AC BD ∴⊥，即EF BD ⊥.
由（1）知四边形EBFD 是平行四边形， ∴四边形EBFD 是菱形.
11.答案：（1）证明见解析
（2）见解析
解析：（1）证明：BE FD =， BE EF FD EF ∴+=+，
即BF DE =，
//AB CD ，
ABF CDE ∴∠=∠，
又90BAF DCE ∠=∠=︒，
()AAS ABF CDE ∴≅△△；
（2）解：若选择条件①：
四边形AECF 是菱形，
由（1）得，ABF CDE ≅△△， AF CE ∴=，AFB CED ∠=∠， //AF CE ∴，
∴四边形AECF 是平行四边形，
90BAF ∠=︒，BE EF =，
12
AE BF ∴=， 90BAF ∠=︒，30ABD ∠=︒， 12
AF BF ∴=， AE AF ∴=，
∴平行四边形AECF 是菱形.
若选择条件②：
四边形AECF 是菱形，
连接AC 交BD 于点O ，
由（1）得，ABF CDE ≅△△，
AF CE ∴=，AFB CED ∠=∠，
//AF CE ∴，
∴四边形AECF 是平行四边形，
AO CO ∴=，
AB BC =，
BO AC ∴⊥，
即EF AC ⊥，
∴平行四边形AECF 是菱形.
12.答案：（1）证明见解析
（2）2003
解析：（1）证明：连接OF .
AE EF =，DOA FOD ∴∠=∠.
AO FO =，DO DO =，(SAS)DAO DFO ∴
≅△△. DAO DFO ∴∠=∠.
矩形ABCD ，90DAO ∴∠=︒.
90DFO ∴∠=︒.∴DF 与半圆相切.
（2）解：连接AF .
AO FO =，DOA DOF ∠=∠，DO AF ∴⊥.
AB 为半圆直径，90AFB ∴∠=︒.BF AF ∴⊥.
//DO BF ∴.AOD ABF ∴∠=∠.
90OAD AFB ∠=∠=︒，AOD FBA ∴△△.
AO DO BF AB ∴=.5610DO ∴=.253
DO ∴=.
在Rt AOD △中，203AD ==. ∴矩形ABCD 的面积为202001033
⨯=.
13.答案：（Ⅰ）60O QA ∠='︒，32⎛ ⎝⎭
（Ⅱ）36O E t '=-，其中t 的取值范围是23t <<
（Ⅲ）3，103
.（答案不唯一，满足3t ≤< 解析：（Ⅰ）在Rt POQ △中，由30OPQ ∠=︒，得9060OQP OPQ ∠=︒-∠=︒. 根据折叠，知O Q OQ '=，60O QP OQP '∠=∠=︒.
180O QA O QP OQP ''∠=︒-∠-∠，
60O QA '∴∠=︒.
如图，过点O '作O H OA '⊥，垂足为点H ，则90O HQ '∠=︒.
在Rt O HQ '△中，9030QO H O QA ''∠=︒-∠=︒.
由1t =，得1OQ =，则1O Q '=. 由1122QH O Q '==，222O H QH O Q ''+=， 得32
OH OQ QH =+=，2232O H O Q QH ''=-=，
∴点O '的坐标为32⎛ ⎝⎭
. （Ⅱ）点(3,0)A ，
3OA ∴=.
又OQ t =，3QA OA OQ t ∴=-=-.
同（Ⅰ）知，O Q t '=，60O QA ∠='︒.
四边形OABC 是矩形，
90OAB ∴∠=︒.
在Rt EAQ △中，9030QEA EQA ∠=-∠=︒︒，
12
QA QE ∴=， 22(3)62QE QA t t ∴==-=-.
又O E O Q QE =''-，
36O E t ∴=-'，其中t 的取值范围是23t <<.
（Ⅲ）过点O '作O H x '⊥轴于点H ，则2t QH =，故32
OH t =. 设折叠后重合部分的面积为S .
当3032
t <≤，即02t <≤时，2O PQ OPQ S S S '==<△△.
当23t <<时，221(36)3)
2O PQ EFO PQEF S S S S t t ''==-=
-⋅-=-+四边形△△
故S <
当3t ≤<S 不变，始终为
综上，当3t ≤<14.答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）证明见解析
（4）图见解析
解析：（1）证明：由正方形ADEB 可得90BAD ∠=︒，AD AB =， 由正方形ACHI 可得90ACH CHI ∠=∠=︒，AC CH =.
由正方形BFGC 可得90BCG CGF ∠=∠=︒，CB CG =，
所以90CHL CGL ∠=∠=︒，
又因为90ACB ∠=︒，所以90HCG ∠=︒，
所以四边形CGLH 是矩形，所以HL CG CB ==，
在ABC △和CLH △中，AC CH =，90ACB CHL ∠=∠=︒，CB HL =， 所以(SAS)ABC CLH ≅△△，所以AB LC =.
因为AD AB =，所以AD LC =.
（2）证明：因为ABC CLH ≅△△，所以CAB HCL ∠=∠， 又90ACH ∠=︒，所以90ACK HCL ∠+∠=︒，
所以90ACK CAB ∠+∠=︒，所以90AKC ∠=︒，
所以90BAD AKC ∠=∠=︒，所以//AD LC .
因为四边形ACHI 是正方形，
所以ACHI S AC HC =⋅正方形，//AC IH ，
又//AD LC ，所以四边形ACLM 是平行四边形，
ACLM S AC HC =⋅四边形，ACHI ACLM S S =∴正方形四边形.
（3）证明：由正方形ADEB 可得//AB DE .
又//AD LC ，所以四边形ADJK 是平行四边形，
由（2）知，四边形ACLM 是平行四边形，
由（1）知，AD LC =，
所以ACHI ADJK ACLM S S S ==正方形平行四边形平行四边形，
延长EB 交LG 于Q ，
同理有BFGC KJEB CBQL S S S ==正方形平行四边形平行四边形，
所以ACHI BFGC ADEB ADJK KJEB S S S S S +=+=正方形正方形正方形平行四边形平行四边形， 所以222AC BC AB +=.
（4）如图为所求作的平行四边形ADEB .（方法中唯一，合理即可）
15.答案：（1）ABP ∠，PBM ∠，MBC ∠，BME ∠
（2）①15，15
②MBQ CBQ ∠=∠，理由见解析
（3）4011cm 或2413cm
解析：（2）①15，15.
②MBQ CBQ ∠=∠.
理由如下：
四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90A C ∠=∠=︒. 由轴对称性质，得BM AB =，90BMP A ∠=∠=︒， 90BMQ C ∴∠=∠=︒，BM BC =. 又BQ 是公共边，
Rt Rt MBQ CBQ ∴≅△△，
MBQ CBQ ∴∠=∠.
（3）由翻折的性质知AP PM =，4DF CF ==. 由（2）可知，MBQ CBQ ≅△△，MQ CQ ∴=. 分两种情况讨论.
①当点Q 在EF 下方时，如图（1）， 则413MQ CQ ==-=，415DQ =+=，3PQ AP =+，8PD AP =-. 由勾股定理，得222PD DQ PQ +=， 222(8)5(3)AP AP ∴-+=+，4011AP ∴=.
②当点Q 在EF 上方时，如图（2），
则415MQ CQ ==+=，413DQ =-=，5PQ AP =+，8PD AP =-. 由勾股定理，得222PD DQ PQ +=， 222(8)3(5)AP AP ∴-+=+，2413AP ∴=. 综上所述，AP 的长为4011cm 或2413
cm.。