数学与应用数学专业《复变函数》教学大纲

数学与应用数学专业《复变函数》教学大纲课程编码( ) 课程总学时：54 学分：3

一、课程说明 1．课程性质

《复变函数》是数学与应用数学专业的一门专业主干课程，是数学分析的后续课程。本课程的主要内容是讨论单复变量的复值可微函数的性质，其主要研究对象是全纯函数，即复解析函数。

复变函数论又称复分析，是数学分析的推广和发展。因此它不仅在内容上与数学分析有许多类似之处，而且在逻辑结构方面也非常类似。

复变函数论是一门古老而富有生命力的学科。早在19世纪，Cauchy、Weierstrass及Riemann等数学巨匠就已经给这门学科奠定了坚实的基础。复变函数论作为一种强有力的工具，已经被广泛应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。

复变函数论作为一门学科，有其自身的特点，有其特有的研究方法。在学习过程中，应注意将所学的知识融汇贯通，并通过与微积分理论的比较加深理解，掌握它自身所固有的理论和方法。 2．课程教学目标与要求

（1）通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分

析和解决某些相关理论和实际问题的能力。为进一步学习其他课程，并为将来从事教学，科研及其他实际工作打好基础。

（2）通过基本概念的正确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，

逐步提高学生的数学修养。同时注意扩展学生的学习思路，使他们了解更多的和现代生活息息相关的数学应用知识。

（3）作为师范专业，在有关内容方面注重高等数学对初等数学的提高和指导意义，

使学生在今后的工作中有较高的起点。

3．选用教材与参考书目选用教材：

《复变函数论》（第三版），钟玉泉，高等教育出版社，2021年。参考书目：

《复变函数》（第二版），余家荣，高等教育出版社，1992年。《多复变函数》[美]那托西姆汉著，科学出版社。《解析函数边值问题》路见可著，上海科技出版社。《解

析函数的边界性质》[苏]N.普里瓦洛夫著，科学出版社。《函数论习题集》远木幸成[日] 湖南科技出版社 1979年 4．课程教学重点与难点

复变函数主要研究解析函数。复变函数论的基本理论由柯西的积分理论、

Weierstrass的级数理论、Riemann的几何理论三大部分组成。留数定理为柯西定理的推广，罗朗级数是泰勒级数的推广，保形变换是复变函数几何理论的基本概念。留数理论、

级数理论和保形变换为实际应用提供了特有的复变函数论方法。因此课程的教学重点是：（1）解析函数，柯西积分定理和积分公式

（2）级数，泰勒展开式和罗朗展开式，解析函数的唯一性定理（3）留数定理及应

用（4）线性变换，保形映射（5）解析开拓和黎曼面介绍课程教学的难点是：（1）

多值函数（2）保形映射

5．课程教学方法与手段

1）学与思的结合：既要了解相关内容，又要对此进行深入的思考与分析； 2）听与

说的结合：要求学生既要认真听老师的讲解，又要勇于发表自己的见解； 3）知与做的结合：通过对数学方法的掌握，解决与之相关的其他数学问题；

4）理论与实践的结合：通过本课程理论学习形成的数学思想方法，应用于实际之中，同时加深对其他数学专业课的理解。

6．课程考核方法与要求

本课程考核以笔试为主，是一门考试课程，主要考核学生对基础理论，基本概念的掌

握程度，以及学生逻辑推理能力和计算能力。平时作业成绩占10%，期中考试成绩占20%，期末考试成绩占70%。 7．先修课程与后续课程

先修课程：数学分析，解析几何，高等代数，普通物理，

后续课程：数学建模，常微分方程，概率论与数理统计，实变函数，泛函分析 8．其

他有关说明

课时期中考试。二、教学内容

第一章复数与复变函数

一、复数与复变函数是研究复变函数的基础。二、主要内容：（6 学时） 1.复数：

复数的定义，代数表达，四则运算，共轭；复数与平面上点一一对应关系，复平面在

几何中的应用；复平面与平面向量的关系，复数的模与辐角、三角表达式。

2.复平面上的点集

初步概念：内点、外点、边界点、聚点、圆盘、连通性、开集、闭集等，约当曲线、区域的概念 3 复变函数

复变函数的概念，复变函数的的极限与连续 4 复球面与无穷远点

复球面，扩充复球面上的几个概念三、要求：

1.复数的运算，复数与平面点、平面向量的对应关系、模，辐角的概念、性质；

2.区域（单、复连通）光滑曲线、无穷远点复平面，扩充复平面

3 复变函数的极限、连续与其实、虚部这一对二元函数的极限连续性的等价性。

4 有界闭集上连续函数的性质。四、难点：辐角无穷远点

第二章解析函数

一、复变函数及其理论与微分学的相应内容有相似亦有不同，并有一定的联系。解析函数是本课程主要研究对象，解析函数的实、虚部之间深刻的内在联系，体现在Cauchy―Riemann方程中。二、主要内容（8学时）

1. 解析函数的概念与柯西―黎曼条件

复变函数的导数与微分、解析函数极其简单性质、柯西―黎曼条件 2. 初等解析函数：指数函数、三角函数与双曲函数

3. 初等多值函数：根式函数、对数函数、具有多个有限支点的情形、一般幂函数与一般指数函数、反三

角函数与反双曲函数。

三、要求：

1. 解析的概念、复变函数的可导性与其实虚部的可导性的关系、Cauchy―Riemann 方程。 2 基本初等函数的定义、性质、与相应实函数的同与不同之处 3 多值函数的概念、分支、分支点的概念。

四、重点：Cauchy―Riemann方程和基本初等函数的定义和性质

难点：辐角函数、多值函数的分支点

第三章复变函数的积分

一、本章研究复积分。它从柯西积分定理出发得出柯西积分公式，从而得到解析函数的积分表达及其导数的存在性和积分表达，这是实分析中所没有的性质。二、主要内容：（8学时）