2016届湖南省湘西自治州高三第二次质量检测数学(理)试题【word】

2016届湖南省湘西自治州高三第二次质量检测数学（理）试题【word 】
数学（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的）.
1.若集合{}2|230A x x x =-->，集合{}
|38x B x =>，则A
B 等于（ ）
A ．()1,3-
B ．(),1-∞-
C ．()3,+∞
D ．()3log 8,+∞ 2.复数()()232i i z i
--=
的实部与虚部之和为为（
）
A ．-3
B ．4
C ．3
D ．-11 3.已知函数()()()sin 0f x x ωωπω=->的最小正周期为π，则12f π⎛⎫
⎪⎝⎭
等于（ ）
A ．
12 B ．1
2
- C D ．
4.命题：():0,2p k ∃∈，直线y kx =与双曲线22
194y x -=有交点，则下列表述正确的是（ ）
A ．p 是假命题，其否定是：()2,k ∃∈+∞，直线y kx =与双曲线22
194y x -=有交点
B ．p 是真命题，其否定是：()0,2k ∀∈，直线y kx =与双曲线22
194y x -=无交点
C ．p 是假命题，其否定是：()0,2k ∀∈，直线y kx =与双曲线22
194y x -=无交点 D ．p 是真命题，其否定是：()2,k ∀∈+∞，直线y kx =与双曲线22
194
y x -=无交点 5.袋子中装有大小相同的6个小球，2红4白，现从中有放回的随机摸球3次，每次摸出1个小球，则至少有2次摸到白球的概率为（ ）
A．
20
27
B．
2
3
C．
16
27
D．
7
9
6.如图是一个程序框图，则输出S的值是（）
A．5 B．7 C．9 D．11
7.函数()
21x
y x e
=-的图象大致是（）
A．B．C．D．
8.若
5
,
412
x
ππ
⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
，则()
2sin
4
sin2
x x
f x
x
π
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
=的最大值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
9.已知向量a b
、满足2,3
a b
==，且a与a b
+夹角的余弦值为
1
3
，则a b可以是（）A．4 B．-3 C．3
-D．-2
10.已知椭圆()
22
22
10
x y
a b
a b
+=>>的左右焦点分别为()()
12
,0,0
F c F c
-、，过点
2
F且斜率为
2b
a 的直线l交直线20
bx ay
+=于M，若M在以线段
12
F F为直径的圆上，则椭圆的离心率为（）A．
1
3
B
2
C．
1
2
D
3
11.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A ．
803 B ．703
C ．23
D ．24 12.已知函数()()()2
ln x x b b R f x x +-∈=，若存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，使得()()0f x xf x '+>，则实数
b 的取值范围是（ ）
A ．3,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
C ．(),3-∞
D ．(2-∞
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.如果实数,x y 满足条件30
2020
x y x y +-≥⎧⎪
-≤⎨⎪-≤⎩
，则y z x =的最大值为_________．
14. 5
2322x x x ⎛
⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭的展开式中的常数项为_________．
15.在三棱锥1A ABC -中，1AA ⊥底面11,BC A ,2ABC B AA AC ⊥==，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．
16.在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别是a b c 、、，5
cos 2C =
，且cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为____________．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
在等差数列{}n a 中，26a =，其前n 项和为n S ． 等比数列{}n b 的各项均为正数，11b =，且
2433b S +=，22b S =．
（1）求n a 与n b ；
（2）设数列{}n c 的前n 项和为n T ，且54n n c b a =-，求使不等式6n T S >成立的最小正整数n 的值． 18.（本小题满分12分）
某技术公司新开发了,A B 两种新产品，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种产品各100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 [)70,76
[)76,82
[)82,88
[)88,94
[]94,100
产品A 8 12 40 32 8 产品B
7
18
40
29
6
（1）试分别估计产品A ，产品B 为正品的概率；
（2）生产一件产品A ，若是正品可盈利80元，次品则亏损10元；生产一件产品B ，若是正品可盈利100元，次品则亏损20元，在（1）的前提下，记X 为生产1件产品A 和1件产品B 所得的总利润，求随机变量X 的分列和数学期望． 19.（本小题满分12分）
在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,ABCD ABC ∆是正三角形，AC 与BD 的交点为M ，又
04,,120PA AB AD CD CDA ===∠=，点N 是CD 的中点．
（1）求证：平面PMN ⊥平面PAB ； （2）求二面角A PC B --的余弦值.
20.（本小题满分12分）
已知抛物线()2
:20C x py p =>的焦点为F ，直线220x y -+=交抛物线C 于A B 、两点，P 是线
段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q ．
（1）D 是抛物线C 上的动点，点()1,3E -，若直线AB 过焦点F ，求DF DE +的最小值；
（2）是否存在实数p ，使22QA QB QA QB +=-？若存在，求出p 的值；若不存在，说明理由． 21.（本小题满分12分） 设函数()()ln 1f x m x m x =+-．
（1）若()f x 存在最大值M ，且0M >，求m 的取值范围．
（2）当1m =时，试问方程()2
x x xf x e e
-=-
是否有实数根，若有，求出所有实数根；若没有，请说明理由．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，点P 是圆O 直径AB 延长线上的一点，PC 切圆O 于点C ，直线PQ 平分APC ∠，分别交AC BC 、于点M N 、．
求证：（1）CMN ∆为等腰三角形； （2）PB CM PC BN =．
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知三点()0,0,2,
,2,24O A B ππ⎛⎫
⎛
⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
． （1）求经过,,O A B 的圆1C 的极坐标方程；
（2）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角 坐标系，圆2C 的参数方程为
1cos 1sin x a y a θ
θ
=-+⎧⎨
=-+⎩（θ是参数），若圆1C 与圆2C 外切，求实数a 的值． 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知()11f x x x =++-，不等式()4f x <的解集为M ． （1）求M ；
（2）若不等式()0f x a +<有解，求a 的取值范围．
参考答案
一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
C
D
A
B
A
C
C
A
D
C
A
B
二、填空题
13. 2 14. -240 15. 8π 16. 5
2
三、解答题
17.解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，则
（2）∵615a =，∴14154315n n n c b -=-=-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
∴134152315213
n n n T n n -=-=---，
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 由6n T S >得2315263n n -->，即有231565n n >+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 设1223,1565n y y n ==+，数形结合知，当4n ≥时，6n T S >，
使不等式6n T S >成立的最小正整数n 的值为4．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 12分
18．解：（1）产品A 为正品的概率为
403284
1005
++=．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 产品B 为正品的概率约为402963
1004
++=．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分 （2）随机变量X 的所有取值为180，90，60，-30．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
()433180545P X ==⨯=；()133905420P X ==⨯=
；()411
60545
P X ==⨯=； ()111
305420
P X =-=⨯=
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 所以，随机变量X 的分布列为：
X 180 90 60 -30 P
3
5
320 15 120 ()()3311
180906030132520520
E X =⨯+⨯+⨯+-⨯=．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19．解：（1）证明：在正三角形ABC 中，AB BC =，
在ACD ∆中，∵AD CD =，易证ABD CDB ∆≅∆，∴M 为AC 中点， ∵点N 是CD 的中点，∴//MN AD ， ∵PA ⊥面ABCD ，∴PA AD ⊥， ∵0120CDA ∠=，∴030DAC ∠=，
∵060BAC ∠=，∴090BAD ∠=，即BA AD ⊥， ∵PA
AB A =，∴AD ⊥平面PAD ，
∴MN ⊥平面PAB ，又MN PMN ⊂平面，∴平面PMN PAB ⊥平面．．．．．．．．．．．．5分 （2）
分别以直线,,AB AD AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
∴()()
()434,0,02,3,0,,0,0,4B C D P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，． 由（1）可知，434,DB ⎛
⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
为平面PAC 的一个法向量， ()
()2,23,4,4,0,4PC PB =-=-，
设平面PBC 的一个法向量为(),,n x y z =，
则00
n PC n PB ⎧=⎨
=⎩，即22340
440x y z x z ⎧+-=⎪⎨
-=⎪⎩
，
令3z =，解得3,3x y ==
，
则平面PBC 的一个法向量为()
3,3,3n =，
7cos ,7
n DB n DB n DB =
=，
由题知二面角A PC B --为锐二面角，∴二面角A PC B --余弦值为
7
7
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．解：（1）
∵直线220x y -+=与y 轴的交点为()0,2，
∴()0,2F ，则抛物线C 的方程为2
8x y =，准线:2l y =-，
设过D 作DG l ⊥于G ，则DF DE DG DE +=+，
当E D G 、、三点共线时，DF DE +取最小值2+3=5．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）假设存在，抛物线2
2x py =与直线22y x =+联立方程组得：
2440x px p --=，
设()()1122,,,A x y B x y ，则12124,4x x p x x p +==-，∴()2,2Q p p ， ∵22QA QB QA QB +=-，∴QA QB ⊥，则
0QA QB =得：()()()()121222220x p x p y p y p --+--=，
()()()()1212222222220x p x p x p x p --++-+-=，
()()212125468840x x p x x p p +-++-+=，
代入得24310p p +-=，
解得1
14
p p =
=-或（舍去）
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21．解：（1）()()ln 1f x m x m x =+-的定义域为()0,+∞，()()11m x m m
f x m x x
-+'=
+-=， 当0m ≤或1m ≥时，()f x 在区间()0,+∞上单调，此时函数()f x 无最大值， 当01m <<时，()f x 在区间0,
1m m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭内单调递增，在区间,1m m ⎛⎫
+∞
⎪-⎝⎭
内单调递减， 所以当01m <<时，函数()f x 有最大值， 最大值ln 11m m M f m m m m ⎛⎫==-
⎪
--⎝⎭
， 因为0M >，所以有ln
01m m m m ->-，解之得1e
m e
>
+， 所以m 的取值范围是,11e e ⎛⎫
⎪+⎝⎭
．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）当1m =时，方程可化为2ln x x x x e e -
=-，即2
ln x
x x x e e
=-， 设()ln h x x x =，则()1ln h x x '=+，
∴10,x e ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，∴()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()0h x '>，
∴()h x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上是增函数，
∴()min 11h x h e e
⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 设()2x x g x e e =
-，则()1x
x
g x e
-'=， ∴当()0,1x ∈时，()0g x '>，即()g x 在()0,1上单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0g x '<，即()g x 在()0,1上单调递减； ∴()()max 1
1g x g e
==-，
∵
1
1e
≠，∴数形结合可得()()h x g x >在区间()0,+∞上恒成立， ∴方程()2
x x xf x e e
-=-没有实数
根．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22．解：（1）∵PC 切圆O 于点C ， ∴PCB PAC ∠=∠，
又∵CPM APM ∠=∠，∴CNM CPM PCB APM PAM CMN ∠=∠+∠=∠+∠=∠，
∴CMN ∆为等腰三角形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分 （2）∵,CMN CNM CNM BNP ∠=∠∠=∠， ∴CMN BNP ∠=∠， ∵CPN BPN ∠=∠， ∴PNB
PMC ∆∆，则
PB BN
PC CM
=
， ∴PB CM PC BN =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
23．解：（1）()0,0,2,
,24O A B ππ⎛
⎫
⎛
⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
对应的直角坐标分别为()()()0,0,0,2,2,2O A B ，则过,,O A B 的圆的普通方程为2
2
220x y x y +--=，又因为cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨
=⎩
，代入可求得经过,,O A B 的
圆1C 的极坐标方程为4πρθ⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）圆21cos :1sin x a C y a θθ
=-+⎧⎨
=-+⎩（θ是参数）对应的普通方程为()()22
211x y a +++=，
因为圆1C 与圆2C a +=，解得a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 24．解：（1）∵114x x ++-<，
∴1111,,242424x x x x x ⎧<-⎧>-≤≤⎧⎪⎨⎨⎨
-<<<⎩⎪⎩⎩
或或， 解得21x -<<-或11x -≤≤或12x <<．
∴()2,2M =-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）因为()()11112f x x x x x =++-≥+--=，
佑昌包装
.11 所以()min 2f x =，
所以不等式()0f x a +<有解，只要()min 0f x a +<即可，
则2a <-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。