吉林省实验中学2015届高三数学上学期第四次模拟考试试题 文

a=1,b=1
a<7？
开始 结束 是
否 a=a+2 输出b=b-a 第4题图
吉林省实验中学2015届高三数学上学期第四次模拟考试试题 文
2.已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是 A.4 B.2 C.8 D.1
3.已知
11m
ni i
=-+，其中,m n R ∈，
i 为虚数单位， 则m ni +=
A.2i +
B.12i +
C.2i -
D.12i -
4.执行如图所示的程序框图，则输出的b 值等于 A.24- B.15- C. 8- D. 3-
5.等差数列{a n }中，a 1+a 4 +a 7 =39，a 2 +a 5+a 8 =33， 则a 6的值为 A.10 B.9 C.8 D.7
6.已知命题:,20x
p x R ∀∈>；
命题q :在曲线cos y x =2的切线，
则下列判断正确的是
A ．p 是假命题
B ．q 是真命题
C ．()p q ∧⌝是真命题
D ．()p q ⌝∧是真命题 7.在三角形ABC 中，若1tan tan tan tan ++=B A B A ，则C cos 的值是 A.22 B. 22 C. 21
D. 2
1-
8.已知函数111log )(2
++-+-=x x x x f ，则)2
1
()21(-+f f 的值为 A ．2 B ．2- C ．0 D ．21
2log 3
9.若()f x 是幂函数，且满足()
()
923f f =，则19f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
= A.
12 B. 1
4
C.2
D. 4
10.已知两条不重合的直线,m n 和两个不重合的平面,,αβ有下列命题： ①若,m n m α⊥⊥，则//n α； ②若,,//,m n m n αβ⊥⊥则//;αβ
③若,m n 是两条异面直线，,,//,//,m n m n αββα⊂⊂则//;αβ
④若,,,,m n n m αβαββ⊥=⊂⊥则n α⊥. 其中正确命题的个数是 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11.已知()x x f x
3log 31-⎪⎭
⎫
⎝⎛=，实数a 、b 、c 满足()()()f a f b f c ⋅⋅＜0，且
0＜a ＜b ＜c ，若实数0x 是函数()x f 的一个零点，那么下列不等式中，不可能．．．
成立的是 A ．0x ＜a
B ．0x ＞b
C ．0x ＜c
D ．0x ＞c
12.若x x
x f a b ln )(,3=
>>，则下列各结论中正确的是 A
．()()2
a b
f a f f +<< B
．()()2
a b
f f f b +<< C ．)()2(
)(a f b
a f a
b f <+<
D ．)()2
(
)(ab f b
a f
b f <+< 第Ⅱ卷（非选择题）
一、填空题：本大题共4小题，每小题 5分，共20分。

13.已知α
为第二象限角，sin cos αα+=
，则cos 2α=___________； 14.已知向量a 与b 的夹角为120°，且4a b ==，那么(2)b a b ⋅+的值为________.
15.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≤--≤-+.022,022,02y x y x y x 若2≤-mx y 恒成立，则实数m 的取值范围
为 .
16.已知关于x 的方程|210|x
a -=有两个不同的实根12x x 、，且212x x =，则实数
a = .
二、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）
在锐角ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,. 已知)4
sin()4sin(
2sin B B B -+=π
π （Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若1=b ，求ABC ∆的面积的最大值.
C
B
A
D
1B
1A
1C
18.（本小题满分12分）
某市统计局就某地居民的月收入调查了 10 000 人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1 000,1500））．
（I ）求居民收入在[3 000,3 500）的频率；
（II ）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；
（III ）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这 10 000 人中按
分层抽样方法抽出 100 人作进一步分析，则月收入在[2 500,3 000）的这段应抽取多少人？
19.（本小题满分12分）
如图，底面是正三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，12AA AB ==. （Ⅰ）求证：1//AC 平面1AB D ； （Ⅱ）求点A 1 到平面1AB D 的距离.
20.（本小题满分12分）
已知圆M 过C (1，－1)，D (－1,1)两点，且圆心M 在x ＋y －2＝0上． (Ⅰ)求圆M 的方程；
(Ⅱ)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆M 的两条切线，A ，B 为切点，求四边形P AMB 面积的最小值．
21.（本小题满分12分）
已知函数()ln ()f x x mx m R =-∈．
（I ）若曲线()y f x =过点P (1,－1)，求曲线()y f x =在点P 处的切线方程； （Ⅱ）若()0f x ≤对(0,)x ∈+∞恒成立,求实数m 的取值范围; （III ）求函数()f x 在区间[1，e ]上的最大值.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22.（本小题满分10分）选修4-1 ：几何证明选讲
如图,已知四边形ABCD 内接于圆O,且AB 是圆O 的直径,以点D 为切点的圆O 的切线与BA 的延长线交于点M .
（I ）若MD 6=，MB 12=，求AB 的长； （II ）若AM AD =，求DCB ∠的大小.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系和参数方程
在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=-
=t y t x 225
22
3（t 为参数）. 在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的单位长度，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）
中，圆C 的方程为ρθ=. （I
）求圆C 的直角坐标方程；
（II ）设圆C 与直线l 交于点B A ,，若点P 的坐标为，求||+||PA PB .
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()|21||2|f x x x =--+ （I ）求不等式()3f x ≥的解集；
（II ）若关于x 的不等式2
()3f x t t ≥-在[0,1]上无解，求实数t 的取值范围．
18.（Ⅰ）0.00035000.15⨯=----------2分
（Ⅱ）0.00025000.1⨯=， 0.00045000.2⨯=， 0.00055000.25⨯=--------5分
设中位数为x,则0.10.2(2000)5000.5x ++-⨯=，解得： 2400x = 中位数为2400元--------7分 （III ）
1001
10000100
=
-----9分 0.00055000.25⨯=-----10分
1
100000.2525100
⨯⨯=------12分
19.证明：（Ⅰ）连接1A B 交1AB 于O ，连接OD ，在1BAC ∆中，O 为1BA 中点，D 为BC 中点 1
//OD AC ∴…………3分 11
1,OD AB D AC AB D ⊂⊄面面 11//AC AB D ∴平面…………6分
1DH BB ∴⊥ 11DH A B BA ∴⊥面
且3
sin 302
DH AD =⋅=
…………10分 1111A AB D D AA B V V --=
即1151323232h = 解得25
5
h =
分 解法二：由①可知11//AC AB D 平面
∴点1A 到平面1AB D 的距离等于点C 到平面1AB D 的距离…………8分
1AD B ∆为Rt ∆
115
2
ADB S ∆∴=
13
22
ADC ABC S S ∆∆=
=
分 设点C 到面1AB D 的距离为h
11C AB D B ADC V V --=
即11233h =⨯
解得h =分 21.解：（1）
()f x 过点(1,1)P -
1ln1m ∴-=-，1m ∴=…………1分
()ln f x x x ∴=-
1
'()1f x x
=
- '(1)0f =…………2分
∴过点(1,1)P -的切线方程为1y =-…………3分
（2）()0f x ≤恒成立，即ln 0x mx -≤恒成立，ln mx x ∴≥
又
()f x 定义域为(0,)+∞，ln x
m x
∴≥
恒成立…………4分 设ln ()x
g x x =
2
1ln '()x
g x x
-= ∴当x=e 时，'()0g e =
当0x e <<时，'()0,()g x g x >为单调增函数 当x e >时，'()0,()g x g x <为单调减函数
max 1
()()g x g e e
∴==…………6分
∴当1
m e
≥时，()0f x ≤恒成立…………7分
（3）11'()mx
f x m x x
-=-=
①当0m ≤时，'()0f x > ()f x ∴在(0,)+∞为单增函数 在[1,]x e ∈上，max ()()1f x f e me ==-…………8分 ②当
11m e ≤≤时，即1
1e m
≤≤时
1
(0,)x m
∈时，'()0f x >，()f x 为单增函数 1
(
,)x m
∈+∞时，'()0f x <，()f x 为单减函数 [1,]x e ∴∈上max 1
()()ln 1f x f m m ==--…………9分
③当1m >时，101,()f x m <<在1
(,)m +∞为单减函数
[1,]x e ∴∈上，max ()(1)f x f m ==-…………10分
22.解：
(Ⅰ)因为MD 为O 的切线,由切割线定理知, MD 2=MA ⋅MB ，又MD=6，MB=12，MB=MA+AB ,
所以MA=3，AB=12－3=9. ………………………5分 （Ⅱ）因为AM=AD ，所以∠AMD=∠ADM,
连接DB ，又MD 为圆O 的切线,由弦切角定理知,∠ADM=∠ABD ， 又因为AB 是圆O 的直径,所以∠ADB 为直角，
即∠BAD=90°-∠ABD. 又∠BAD=∠AMD+∠ADM=2∠ABD, 于是90°-∠ABD=2∠ABD,所以∠ABD=30°,所以∠BAD=60°. 又四边形ABCD 是圆内接四边形,所以∠BAD+∠DCB=180°, 所以∠DCB=120° ………………10分 23.解（Ⅰ）2
2cos ρρθ=--------2分
2225x y y +=--------4分
5)5(22=-+y x ……………………………… 5分
（Ⅱ）5)52
25()223(22=-++-
t t 04232
=+-t t ------7分 22=A t ，2=
B t -------8分
23||||||||=+=+B A t t PB PA ………………………………… 10分。