【中考冲刺】中考数学试题分类汇编 知识点18 二次函数概念、性质和图象

知识点18 二次函数概念、性质和图象一、选择题1.（2018山东滨州，10，3分）如图，若二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）图象的对称轴为x ＝1，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、点B （－1，0）则①二次函数的最大值为a ＋b ＋c ；②a －b ＋c ＜0；③b ²－4ac ＜0；④当y＞0时，－1＜x ＜3．其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第10题图【答案】B【解析】由图像可知，当x ＝1时，函数值取到最大值，最大值为：a ＋b ＋c ,故①正确；因为抛物线经过点B （－1,0），所以当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＝0,故②错误；因为该函数图象与x 轴有两个交点A 、B ，所以b ²－4ac ＞0，故③错误；因为点A 与点B 关于直线x ＝1对称，所以A (3，0)，根据图像可知，当y ＞0时，－1＜x ＜3，故④正确；故选B ．【知识点】数形结合、二次函数的图像和性质2. （2018四川泸州，10题，3分）已知二次函数22233y ax ax a =+++（其中x 是自变量），当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，且21x -≤≤时，y 的最大值为9，则a 的值为（ ）A.1或2-B. D.1【答案】D【解析】原函数可化为y=a(x+1)2+3a 2-a+3，对称轴为x=-1，当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，所以a>0，抛物线开口向上，因为21x -≤≤时，y 的最大值为9，结合对称轴及增减性可得，当x=1时，y=9，带入可得，a 1=1，a 2=-2，又因为a>0，所以a=1 【知识点】二次函数，增减性3. （2018甘肃白银，10，3）如图是二次函数2(,,y ax bx c a b c =++是常数，0)a ≠图像的一部分，与x 轴的交点A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x =1，对于下列说法：①0ab <，②20a b +=，③30a c +>，④()(a b m am b m +≥+为常数），⑤当13-<x <时，0y >，其中正确的是（ ）A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤【答案】A【思路分析】由抛物线的图像结合对称轴、与x 轴的交点逐一判断即可。

【解题过程】解：①②∵抛物线的开口向下 ∴0a <∵抛物线的对称轴x =1，即12bx a=-=， ∴20>,b a =-20a b += ∴①②正确。

③∵当x =-1时，y a b c =-+=3a c +，由对称轴为x =1和抛物线过x 轴上的A 点，A 点在2与3之间，则抛物线与x 轴的另一个交点则在-1到0之间，所以当x= -1时，抛物线30y a c =+<。

所以③错误。

④∵当x =1时，抛物线y a b c =++,此点为抛物线的顶点，即抛物线的最高点，也是抛物线的最大值。

当x m=时，2()y am bm c m am b c =++=++，∴此时有：()a b c m am b c ++≥++，即()a b m am b +≥+，所以④正确。

⑤∵抛物线过x 轴上的A 点，A 点在2与3之间，则抛物线与x 轴的另一个交点则在-1到0之间，由图知，当23x <<时，有一部分图像位于x 轴下方，说明此时0<y ，同理，在10-x <<时，也有一部分图像位于x 轴下方，说明此时0<y 。

所以⑤错误。

故选A【知识点】抛物线的图像与抛物线中系数a,b,c 的关系，抛物线的对称轴与抛物线中系数a,b,c 的关系，抛物线与x 轴的交点与对称轴的关系，抛物线的几个特殊点即：1(,)a b c ++，1(-,)a b c -+等。

（2018安徽省，10，4分）如图,直线12,l l 都与直线l 垂直,垂足分别为M,N,MN =1正方形ABCD 的边长为3，对角线AC 在直线l 上,且点C 位于点M 处,将正方形ABCD 沿l 向右平移,直到点A 与点N 重合为止，记点C 平移的距离为x ,正方形ABCD 的边位于12,l l 之间分的长度和为y ，则y 关于x 的函数图象太致为（ ）【答案】A【思路分析】这是一道动面问题，需要分段思考，求解关键是根据函数的表达方法（解析式法，列表法和图像法）之间的联系，先确定函数解析式，再选择图像．其中，在图形运动过程中，确定三种运动状态下的图形形态是重中之重．其中关键是确定图形变化联系瞬间的静态图形位置，从而得到分界点，然后再作动态思考，确定各种情况下的取值范围．最后求出各部分对应的函数关系式，运用函数的图像、性质分析作答．有时，直接根据各运动状态（如前后图形的对称状态带来函数图像的对称，前后图形面积的增减变化带来函数图像的递增或递减等），就能求解．2，∴AC=BD=2.（1）如图1，当C 位于12,l l 之间，;02x x ≤＜1时，y=2 （2）如图2，当D 位于12,l l 之间，1x ≤＜2时， 设PR=a,则SQ=1-a , 22(1)2,a a +-=所以 2.y=2（3）如图3，当A 位于12,l l 之间，2203;x x ≤+≤时，y=2 综上所述，y 关于x 的函数大致如选择支A 所示。

【知识点】函数的图象；分段函数；分类讨论4. （2018湖南岳阳，4，3分） 抛物线23(2)5y x =-+的顶点坐标是（ ） A ．(2,5)- B ．(2,5)-- C ．(2,5) D ．(2,5)- 【答案】C.【解析】解：因为23(2)5y x =-+为抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，5）． 故选C.【知识点】二次函数的性质5. （2018湖南岳阳，8，3分） 在同一直角坐标系中，二次函数2y x =与反比例函数1(0)y x x=>的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同．．．．的点1(,)A x m ，2(,)B x m ，3(,)C x m ，其中m 为常数，令123x x x ω=++，则ω的值为（ ）A ．1B ．mC ．2mD ．1m【答案】D.【解析】解：根据题意可得A ，B ，C 三点有两个在二次函数图象上，一个在反比例函数图象上， 不妨设A ，B 两点在二次函数图象上，点C 在反比例函数图象上， ∵二次函数2y x =的对称轴是y 轴，∴21x x +=0.∵点C 在反比例函数1(0)y x x=>上， ∴3x =m1， ∴mx x x 1321=++=ω. 故选D.【知识点】二次函数的性质，反比例函数的性质6.（2018江苏连云港，第7题，3分）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h (m)与飞行时间r (s)满足函数表达式h =－t 2+24t +1.则下列说法中正确的是 A ．点火后9s 和点火后13s 的升空高度相同 B ．点火后24s 火箭落于地面 C ．点火后10s 的升空高度为139m D ．火箭升空的最大高度为145【答案】D【解析】解：A 、当t =9时，h =－81+216+1=136，当t =13时，h =－169+312+1=144，升空高度不相同，故A 选项说法错误；B 、当t =24时，h =－576+576+1=1，火箭得升空高度是1米，故B 选项说法错误；C 、当t =10时，h =－100+240+1=141，故C 选项说法错误；D 、根据题意，可得：最大高度为：24457614544ac b a ---==-，故D 选项说法正确，故选D.【知识点】二次函数的应用；函数值；二次函数的最大值7. （2018山东潍坊，9，3分）已知二次函数2()y x h =--(h 为常数)，当自变量x 的值满足2≤x ≤5时，与其对应的函数值y 的最大值为－1，则h 的值为（ ） A ．3或6 B ．1或6 C ．1或3 D ．4或6【答案】B【解析】二次函数2()y x h =--，当x =h 时，有最大值0，而当自变量x 的值满足2≤x ≤5时，与其对应的函数值y 的最大值为－1，故h ＜2或h ＞5. 当h ＜2时，2≤x ≤5时，y 随x 的增大而减小，故当x =2时，y 有最大值，此时2(2)1h --=-，解得：h 1=1，h 2=3（舍去），此时h =1；当h ＞5时，2≤x ≤5时，y 随x 的增大而增大，故当x =5时，y 有最大值，此时2(5)1h --=-，解得：h 1=6，h 2=4（舍去），此时h =6；综上可知h =1或6故选择B.【知识点】二次函数的图象和性质8. （2018山东潍坊，12，3分）如图，菱形ABCD 的边长是4厘米，∠B =60°，动点P 以1厘米/秒的速度自A点出发沿AB 方向运动至B 点停止，动点Q 以2厘米/秒的速度自B 点出发沿折线BCD 运动至D 点停止． 若点P 、Q 同时出发运动了t 秒，记△BPQ 的面积为S 厘米²，下面图象中能表示S 与t 之间的函数关系的是（ ）【答案】D【思路分析】分为点Q 在BC 段和CD 段上分别讨论函数的图象结合运动规律即可判断出函数关系的图象.【解题过程】解：当0≤t ≤2时，点Q 在BC 上，此时BP =4－t ，BQ =2t ，213(4)2sin 60232S t t t =-⋅︒=+ 是一段开口向下的抛物线的一部分，可排除答案A 和C ，当2≤t ≤4时,△BPQ 的高不变，始终为4sin 60°=23，此时1(4)233432S t t =-⋅=-+面积随底边的减小而减小，最终变为0，故选择D. 【知识点】函数的图象，分段函数，菱形的性质9.（2018年山东省枣庄市，9，3分） 如图是二次函数c bx ax y ++=2图像的一部分，且过点)0,3(A ，二次函数图像的对称轴是直线1=x ，下列结论正确的是（ ）A ．ac b 42<B ．0>acC ．02=-b aD ．0=+-c b a 【答案】D【思路分析】首先由图像得出a ， c 的符号以及与x 轴的交点，再由对称轴得到a ，b 的关系，最后根据二次函数图像的对称性得到点A 关于对称轴对称的点的坐标得a -b +c 的关系.【解题过程】解：由图像的开口向上可知a ＞0，与x 轴交于负半轴可知c ＜0，∴ac ＜0，A 错误；图像与x 轴有两个交点可知240b ac ->，即24b ac >，B 错误；由对称轴是直线1=x 得12b a -=，∴b=-2a ，2a-b=2a-(-2a)=-4a ＜0, ∴C 错误；由二次函数图像的对称性可得二次函数图像与x 轴的另一个交点的坐标 为（-1，0），∴0=+-c b a ，D 正确.故选D. 【知识点】二次函数的图像与性质10. （2018四川省成都市，10，3）关于二次函数y ＝22x ＋4x －1，下列说法正确的是（ ） A ．图像与y 轴的交点坐标为（0，1） B ．图像的对称轴在y 轴的右侧 C ．当x ＜0时，y 的值随x 值的增大而减小 D ．y 的最小值为－3 【答案】D【解题过程】解：因为当x ＝0时，y ＝－1，所以图像与y 轴的交点坐标为（0，－1），故A 错误；图像的对称轴为x ＝2ba-＝－1，在y 轴的左侧，故B 错误；因为－1＜x ＜0时，在对称轴的右侧，开口向上，y 的值随x 值的增大而增大，故C 错误；y ＝22x ＋4x －1＝()221x +－3，开口向上，所以有最小值－3，D 正确．故此选择D ． 【知识点】二次函数的性质11. （2018四川省达州市，10，3分）如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于点A （－1，0），与y 轴的交点B 在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x ＝2． 下列结论：①abc ＜0；②9a ＋3b ＋c ＞0;③若点M （12，y 1）、N （52，y 2）是函数图象上的两点，则y 1＜y 2； ④－35＜a ＜－25.其中正确结论有（ ）．A ．1个B ． 2个C ．3个D ． 4个第10题图 【答案】D【解析】∵抛物线开口向下，∴a ＜0．∵－2ba＞0，∴b ＞0．∵抛物线交y 轴于正半轴，∴c ＞0． ∴abc ＜0，①正确；当x ＝3时， y ＝9a ＋3b ＋c ＞0，②正确; ∵对称轴为直线x ＝2，点M （12，y 1）与对称轴的距离大于点N （52，y 2）与对称轴的距离，∴y 1＜y 2，③正确； ∵抛物线与x 轴的交点坐标分别为A （－1，0），（5，0）， ∴二次函数的解析式为y ＝a （x ＋1）（x －5） ＝a （x 2－4x －5）＝ax 2－4ax －5a ．∵抛物线与y 轴的交点B 在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点）， ∴2＜－5a ＜3．∴－35＜a ＜－25，④正确.故选D.【知识点】二次函数的图象与性质12. （2018四川广安，题号7，分值：3）抛物线y=(x-2)2-1可以由抛物线y=x 2平移而得到，下列平移正确的是（ ）A.先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度B.先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度C.先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度D.先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度 【答案】D.【解析】根据“左加右减，上加下减”的规律，将抛物线y=x 2向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到y=(x-2)2-1.【知识点】二次函数图像的平移13. （2018浙江绍兴，9，3分） 若抛物线2y x ax b =++与x 轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线.已知某定弦抛物线的对称轴为直线1x =，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（ ）A ．(3,6)--B ．(3,0)-C ．(3,5)--D ．(3,1)--【答案】B【解析】由抛物线的对称轴为直线1x =，12ba-=，可求得抛物线2y x ax b =++，2a =-，抛物线2y x ax b =++与x 轴两个交点间的距离为2，可知0b =，即抛物线2y x ax b =++解析式为()211y x =--，由将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，可得平移后的抛物线为：()214y x =+-，当3x =-时，0y =，也即是抛物线过(3,0)-，故选B【知识点】二次函数的图像和性质、二次函数的平移、二次函数的解析式14. （2018湖南衡阳，12，3分）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A （-1，0），顶点坐标（1，n ），与y 轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论： ①30a b +<；②213a -≤≤-；③对于任意实数m ，2a b am bm +≥+总成立；④关于x 的方程21ax bx c n ++=-有两个不相等的实数根.其中结论正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C.【思路分析】根据抛物线的开口方向向下，可得a ＜0，由顶点坐标（1，n ），得对称轴为直线x=1，即-2ba=1，所以b=-2a ，故3a+b=a ，据此可判断结论①的正误；根据抛物线与y 轴的交点位置可知，2≤c ≤3，由抛物线经过点A （-1，0），可得a-b+c=0，代入b=-2a ，得c=-3a ，即2≤-3a ≤3，据此可判断②的正误；由抛物线顶点坐标为（1，n ），可知当x=1时，函数有最大值n ，且a+b+c=n ，因此a+b+c ≥am 2+bm+c ，化简即可判断故③的正误；结合图象可知，直线y=n-1与抛物线有两个交点，即一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，故可得出④的正误，进而可得出答案. 【解题过程】解：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵顶点坐标（1，n ），∴对称轴为直线x=1，∴-2ba=1，∴b=-2a ， ∴3a+b=3a+（-2a ）=a ＜0，故①正确；∵抛物线与y 轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），∴2≤c ≤3.∵抛物线与x 轴交于点A （-1，0），∴a-b+c=0， ∴a-（-2a ）+c=0，∴c=-3a ，∴2≤-3a ≤3，∴-1≤a ≤-23，故②正确； ∵抛物线顶点坐标为（1，n ），∴当x=1时，函数有最大值n ， 即a+b+c=n ，∴a+b+c ≥am 2+bm+c ，∴a+b ≥am 2+bm ，故③正确； ∵抛物线顶点坐标为（1，n ），抛物线开口向下，∴直线y=n-1与抛物线有两个交点，即一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，故④正确. 综上所述，结论正确的是①②③④共4个． 故选D ．【知识点】二次函数的图象与性质、 抛物线与一元二次方程的关系、数形结合思想15. （2018湖南长沙，12题，3分）若对于任意非零实数a ，抛物线y=ax 2+ax-2a 总不经过点P （x 0-3,x 02-16），则符合条件的点P （ ）A.有且只有1个B.有且只有2个C.有且只有3个D.有无穷多个 【答案】B【解析】由题意得y=a(x+2)(x-1)，总不经过点P （x 0-3,x 02-16），将点P 坐标带入抛物线的解析式，得a(x 0-1)(x 0-4)≠(x 0-+4)(x 0-4)恒成立。