杭州市启正中学2013年5月中考数学模拟试卷

某某市启正中学2013年5月中考数学模拟试卷
温馨提醒：球的体积3
3
4R v π=
（其中R 是球的半径） 一. 仔细选一选 (本题有10个小题, 每小题3分, 共30分)
下面每小题给出的四个选项中, 只有一个是正确的. 注意可以用多种不同的方法来选取正确答案. 1. 要反映某某市一天内气温的变化情况, 比较适宜采用的是 ( )
(A) 折线统计图 (B) 条形统计图 (C) 扇形统计图 (D) 频数分布统计图 2. 无理数3732++在两个相邻的整数之间的是 ( )
(A) 5和6 (B) 4和5 (C) 3和4 (D) 2和3 3.如图, ABC ∆内接于⊙O , 若
28=∠OAB , 则=∠C ( ) (A)
56 (B)
62 (C)
67 (D)
64
4. 已知113a b +=（a b ≠），则()()
a b b a b a a b -
--的值为 ( ) (A) 3 (B) 32 (C) 2 (D) 1
5. 如图, 在四边形ABDC 中, EDC ∆是由ABC ∆绕顶点C 旋转
40所得, 顶点A 恰好转到AB 上一点E 的位置, 则=∠+∠21 ( )
(A)
90 (B)
100 (C)
110 (D) 120
6. 直角三角形的斜边长是|3|-x , 一条直角边的长是|3-4|x , 那么当另一条直角边达到最大时, 这个直角三角形的周长的X 围大致在 ( )
(A) 3与4之间 (B) 4与5之间 (C) 5与6之间 (D) 6与7之间 7.如图，在四边形ABCD 中，=AB 4，=CD 13，=DE 12，∠=DAB
=∠DEC 90°，∠=ABE 135°, 四边形ABCD 的面积是 ( )
(A) 94 (B) 90 (C) 84 (D) 78
8. 以数形结合的观点解题, 方程2
10x x +-=的实根可看成函数2
x y =与函数
x y -=1的图象的横坐标, 也可以看成函数1y x =+与函数
x y 1
=
的图象交点
的横坐标. 那么用此方法可推断方程3
10x x +-=的一个实根x 所在的X 围为 （ ） (A) 02
1<<-
x (B) 210<<x (C) 121
<<x (D) 231<<x
9.一个长8厘米，宽7厘米，高6厘米的长方体容器平放在桌面，里面盛
(第3题)
(第5题)
(第7题)
有高2厘米的水（如图一）; 将这个长方体沿着一条宽旋转90°，平放在桌面（如图二）. 在旋转的过程中，水面的高度最高可以达到 ( )
(A) 38厘米 (B) 4厘米 (C) 3厘米 (D) 417
厘米
10. 设b a ,是两个任意独立的一位正整数, 则点（b a ,）在抛物线bx ax y -=2
上方的概率是 ( )
（A ）8111 （B ）8113 （C ）8117 （D ）8119
二. 认真填一填 (本题有6个小题, 每小题4分, 共24分)
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容, 尽量完整地填写答案.
3<x 的代数式：
12. 已知012
=-+m m ，则=++320122
3
m m _______ .
13.小明用48元钱按零售价买了若干练习本. 如果按批发价购买, 每本便宜2元, 恰好多买4本. 那么零售价每本 _______ 元.
14. 如图，在三行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子(相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点)，开始时，骰子如左图所示摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如右图所示位置，若要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为2的概率是 _______ . 1△ABC 的两条高线的长分别为5和20, 若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为 _______ .
16. 如图, 边长是5的正方形ABCD 内, 半径为2的⊙M 与边DC 和CB 相切, ⊙N 与⊙M 外切于点P , 并且M 与边DA 和AB 相切. EF 是两圆的内公
切线, 点E 和F 分别在DA 和AB 上. 则EF 的长等于 _______ . 三. 全面答一答 (本题有7个小题, 共66分)
解答应写出文字说明, 证明过程或推演步骤. 如果觉得有的题目有点困难, 那么把自己 能写出的解答写出一部分也可以. 17．(本小题满分6分)
某足球联赛记分规则为胜一场积3分, 平一场积1分, 负一场积0分. 当比赛进行到14轮结束时, 甲队积分28分. 判断甲队胜, 平, 负各几场, 并说明理由.
(第13题)
第16题
第9题
18. (本小题满分8分)
某一空间图形的三视图如右图所示, 其中主视图：半径为1的半圆以及高为1的矩形; 左视图：半径为1的41圆以及高为1的矩形; 俯视图：半径为1的圆. 求此图形的体积.
19. (本小题满分8分)
如图是一个锐角为=∠B
30的直角三角形, C ∠是直角.
(1) 用直尺和圆规在此三角形中作出一个半圆, 使它的圆心在线段BC 上, 且与AC AB ,都相切(保留作图痕迹，不必写出作法);
(2) 求(1)中所作半圆与三角形的面积比(保留一个有效数字). (7.13,4.12,14.3≈≈≈π)
20. (本小题满分10分)
在ABC ∆中,
120,4=∠==ABC BC AB , 将ABC ∆绕点B 顺时针旋转角)900(
<<αα, 得11BC A ∆, B A 1交AC 于点E ,
11C A 分别交BC AC ,于F D ,两点.
(1) 在旋转过程中, 线段1EA 与FC 有怎样的数量关系? 证明你的结论;
(2) 当
30=α时, 试判断四边形DA BC 1的形状, 并说明理由; (3) 在(2)的情况下, 求线段ED 的长.
(第18题)
(第19题)
(第20题)
21. (本小题满分10分)
对关于x 的一次函数24
1k k kx y --=和二次函数)0(2>++=a c bx ax y . (1) 当0<c 时, 求函数2013||22
+++-=c bx ax s 的最大值;
(2) 若直线241k k kx y --=和抛物线)0(2
>++=a c bx ax y 有且只有一个公共点, 求
333c b a ++的值.
22. (本小题满分12分) 如图,已知二次函数c bx x y ++=2
的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点P ，顶点为C （1，-2）. （1)求此函数的关系式；
（2)作点C 关于x 轴的对称点D ，顺次连接A 、C 、B 、D.若在 抛物线上存在点E ，使直线PE 将四边形ABCD 分成面积相等 的两个四边形，求点E 的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F ，使得△PEF 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F 的坐标 及△PEF 的面积；若不存在，请说明理由.
23. (本小题满分12分)
已知AB 是半圆O 的直径, 点C 在BA 的延长线上运动(点C 与点A 不重合), 以OC 为直径的半圆M 与半圆O 交于点DCB D ∠,的平分线与半圆M 交于点E .
(1) 如图甲, 求证: CD 是半圆O 的切线;
(2) 如图乙, 作AB EF ⊥于点F , 猜想EF 与已有的哪条线段的一半相等, 并加以证明; (3) 如图丙, 在上述条件下, 过点E 作CB 的平行线交CD 于点N , 当NA 与半圆O 相切时, 求
EOC ∠的正切值.
启正中学2013年中考模拟卷（5月）数学模拟试卷
参考答案及评分标准
一. 仔细选一选 (本题有10个小题, 每小题3分, 共30分)
号
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10
案
A
D B A C B A C B D
二. 认真填一填 (本题有6个小题, 每小题4分, 共24分) 11.略 12.2014 13. 6 14. 31 15. 6 16. 426- 三. 全面答一答 (本题有8个小题, 共66分) 17．(本小题满分6分)
设甲队胜x 场,平y 场, 则283=+y x , 由0328≥-=x y , 得3
28
≤x ; 又由14228≤-=+x y x ,
得7≥x . 所以x 可取7或8或9.
甲队胜, 平, 负的场数可以是: 7,7,0; 或8,4,2; 或9,1,4.
18. (本小题满分8分)
根据题意，该图形为圆柱和一个1/4的球的组合体, 其体积应为πππ34334412)1(1)1(=⋅⋅⋅+⋅⋅.
甲 乙 丙 (第23题)
19. (本小题满分8分) (1) 所作半圆O 如图: (2) 设边a AC =, 则
6
.03:)2123321≈⋅⋅=2
a a S S （：三角形半圆π. 20. (本小题满分10分)
(1) 1EA =FC . 由旋转可证明BF C ABE 1∆≅∆, 或者CBE BF A ∆≅∆1, 所以可得结论; (2) 四边形DA BC 1为菱形. 先证四边形DA BC 1为平行四边形, 再由1BC AB =, 所以得菱形; (3) 过点E 作AB EG ⊥于G , 在AEG Rt ∆中, 可求得33
2=AE ,
所以3
232-=-=AE AD ED . (也可从
90=EBC , 先求得BE , 再求得ED EA =1.) 21. (本小题满分10分)
(1) 因为0,0<>c a , 所以判别式042
>-ac b , 函数c bx ax y ++=2
和x 轴必有两个交点,
则函数y 的最小值为0, 则函数2013||22
+++-=c bx ax s 的最大值应为2013;
(2) 将直线与抛物线解析式联立, 消去y , 得0)()(2
412=+++-+c k k x k b ax , 因为直线与抛物线有且只
有一个公共点, 所以判别式等于零, 化简整理成0)4()2(2)1(2
2=-++--ac b k b a k a , 对于k 取任何实数, 上式恒成立, 所以应有04,02,012
=-=+=-ac b b a a 同时成立, 解得
1,2,1=-==c b a , 所以6333-=++c b a .
22. (本小题满分12分)
1）∵c bx x y ++=2
的顶点为C （1，-2），
∴2)1(2
--=x y ，122
--=x x y ． ————————————————2 2）设直线PE 对应的函数关系式为b kx y +=．由题意，四边形ACBD 是菱形. 故直线PE 必过菱形ACBD 的对称中心M ． ————————————————1 由P (0，-1)，M （1，0），得⎩⎨
⎧=+-=0
1
b k b ．从而1-=x y ， ————————2
设E (x ，1-x )，代入122
--=x x y ，得1212
--=-x x x ．
解之得01=x ，32=x ，根据题意，得点E (3，2)—————————2
3）假设存在这样的点F ，可设F (x ，122
--x x )．过点F 作FG ⊥y 轴，垂足为点G .
在Rt △POM 和Rt △FGP 中，∵∠OMP +∠OPM =90°，∠FPG +∠OPM =90°， ∴∠OMP =∠FPG ，又∠POM =∠PGF ，∴△POM ∽△FGP . ∴
GF
GP OP OM =
．又OM =1，OP =1，∴GP =GF ，即x x x =----)12(12
． 解得01=x ，12=x ，根据题意， 得F (1，-2)．
故点F (1，-2)即为所求．
3222
1
1221=⨯⨯+⨯⨯=
+=MFE MFP PEF S S S △△△．
23. (本小题满分12分)
(1) 如图甲, 连接OD , 则OD 为半圆O 的半径, 而OC 为半圆M 的直径, 所以
90=∠CDO , 即CD 是半圆O 的切线; (2) 猜想: OA EF 21=.
证1: 如图乙, 以OC 为直径作⊙M , 延长EF 交⊙M 于点P ,连接OD , ∵OC EF ⊥, ∴,2
1EP PF EF ==∵CE 平分DCB ∠, ∴DE OP OE 弧弧弧==,
∴EP OD =, ∴OA OD EP EF 21
212
1
===
;
证2: 如图丙, 连接ME OD ME OD ,,
,相交于点H . ∵CE 平分DCB ∠, ∴DE OE 弧弧=,
∴OD OH OD ME 21,=⊥, ∴可证MOH MEF ∆≅∆, ∴OA OD OH EF 21
21===;
(3) 如图丁, 延长OE 交CD 于点K , 设y EF x OF ==,, 则y OA 2=,
甲 乙 丙 丁 O
x
y
P
E
A B D
C
M M
B A E
P
y
x
O
G
）
∵四边形AFEN 是矩形, ∴x y OF OA AF NE -=-==2, 同(2)证法E 是OK 中点, ∴N 是CK 中点, ∴x y OF CO CF x y NE CO 34),2(22-=-=-==,
可证CEF Rt ∆∽EOF Rt ∆, ∴OF CF EF ⋅=2
, 即)34(2
x y x y -=, 解得3=x y 或1=x y
.
当1=x
y 时, 点C 与点A 重合, 舍去; 当3=x
y
时, 3tan ===∠x
y
OF
EF
EOC .。