8.3 第2课时球的表面积和体积-人教A版(2019)高中数学必修第二册课件

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第八章 立体几何初步
2．已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面 得到圆M.若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于________．
【答案】16π 【解析】如图，圆 M 面积为 3π，则圆 M 半径 MB
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第八章 立体几何初步
错解：2
如图，设球的大圆为圆 O，C，D 分别为两截面圆的圆心，AB 为经
(2)已知球的体积为5300π，求它的表面积． 素养点睛：本题考查了数学运算的核心素养．
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第八章 立体几何初步
解：(1)设球的半径为 r，则由已知得 4πr2＝64π，r＝4.所以球的体积 V＝43πr3＝2356π.
的体积为
()
A．43π
B．
2π 3
C．
3π 2
D．π6
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第八章 立体几何初步
【答案】A 【解析】由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知， 此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，故半径为 1， 其体积是43×π×13＝43π.
(1)正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半 径为 r1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图 1.
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第八章 立体几何初步
(2)长方体的外接球
长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定
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第八章 立体几何初步
1．如果两个球的体积之比为8∶27，那么两个球的表面积之比为 ________．
【答案】4∶9 【解析】根据球的体积及表面积公式可知，两个球的体积之比等于 半径之比的立方，表面积的比等于半径之比的平方，因为两个球的体积 之比为8∶27，所以两个球的半径之比为2∶3，所以两个球的表面积的 比为4∶9.
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第八章 立体几何初步
3．一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥里又有 一个内切球．求：
(1)圆锥的侧面积； (2)圆锥里内切球的体积．
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第八章 立体几何初步
解：(1)如图所示，作出轴截面，则等腰△SAB 内接于⊙O，而⊙O1
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第八章 立体几何初步
【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画
“×”)
(1)球的体积之比等于半径比的平方．
()
(2)长方体既有外接球又有内切球．
()
(3)球面展开一定是平面的圆面．
()
12＋22＋32＝ 14，所以球的表面积 S＝4πR2＝14π.
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第八章 立体几何初步
方向 3 球的内接正四面体问题 若棱长为 a 的正四面体的各个顶点都在半径为 R 的球面上，
求球的表面积． 解：把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为 x，则 a＝ 2x，由
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第八章 立体几何初步
【解析】①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径
为 r，则球心到该圆锥底面的距离是2r，于是圆锥的底面半径为 r2－2r2 ＝ 23r，高为32r.该圆锥的体积为13·π· 23r2·32r＝83πr3，球体积为43πr3，所以 该圆锥的体积和此球体积的比值为3843ππrr33＝392.
()
A．πa2
B．37πa2
C．131πa2
D．5πa2
素养点睛：本题型考查了数学运算和直观想象的核心素养．
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第八章 立体几何初步
【答案】B 【解析】由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，
均为
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第八章 立体几何初步
题型2 球的截面问题
平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1.球心 O 到平面 α 的距
离为 2，则此球的体积为
()
A． 6π
B．4 3π
C．4 6π
D．6 3π
素养点睛：本题考查了数学运算和直观想象的核心素养．
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第八章 立体几何初步
球的表面积和体积
1．球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝__4_π_R_2_，即球的表面积等于它的 大圆面积的__4__倍． 2设．球球的的半体径积为R，则球的体积V＝__43_π_R__3 _.
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第八章 立体几何初步
【答案】B 【解析】如图，设截面圆的圆心为 O′，M 为截面圆上任一点，则 OO′＝ 2，O′M＝1，∴OM＝ 22＋1＝ 3，即球的半径为 3，∴V ＝43π( 3)3＝4 3π.
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第八章 立体几何初步
易错警示 问题考虑不全面致误
已 知 半 径 为 10 的 球 的 两 个 平 行 截 面 圆 的 周 长 分 别 是 12π 和 16π，则这两个截面圆间的距离为________．
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为 3，则O2B2＋3＝OB2，即 OB＝OA＝2.则球 O 的表面 积等于 4π×22＝16π.
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第八章 立体几何初步
题型3 与球有关的切、接问题
方向 1 球的外切正方体问题
将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球
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第八章 立体几何初步
特别提醒 对球的体积和表面积的几点认识 (1)从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定 R都有唯一确定的S和V与之对应，故表面积和体积是关于R的函数． (2)由于球的表面不能展开成平面，所以，球的表面积公式的推导与 前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法是不一样的． (3)球的表面积恰好是球的大圆(过球心的平面截球面所得的圆)面积 的4倍．
②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，
该圆锥的体积和此球体积的比值为332.
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第八章 立体几何初步
方向 5 球的内接直棱柱问题
设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在
一个球面上，则该球的表面积为
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第八章 立体几何初步
球截面两个关注点，一个注意点 1．有关球的截面问题，关注两点：①截面是圆面；②过截面圆的 圆心与球心的连线垂直于截面． 2．注意一个直角三角形，即由球心距(球心到截面圆心的距离)、截 面圆的半径、球的半径围成一个直角三角形，满足勾股定理．
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题型1 球的表面积与体积 (1)已知球的表面积为 64π，求它的体积；
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方向 2 球的内接长方体问题 一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点
上的三条棱的长分别为 1,2,3，则此球的表面积为________． 【答案】14π 【解析】长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即 2R＝
内切于△SAB．设⊙O 的半径为 R，则有43πR3＝972π，所以 R3＝729，R
＝9.所以 SE＝2R＝18. 因为 SD＝16，所以 ED＝2. 连接 AE，又因为 SE 是直径， 所以 SA⊥AE，SA2＝SD·SE＝16×18＝288， 所以 SA＝12 2.
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a.如图，P
为三棱柱上底面的中心，O
为球心，易知
AP＝23·23a＝
3 3
a，OP＝21a，所以球的半径
R＝OA
满足
R2＝
33a2＋21a2＝172a2，故
S
球
＝4πR2＝37πa2.
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题意 2R＝ 3x＝ 3× 22a＝ 26a，所以 S 球＝4πR2＝23πa2.
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方向 4 球的内接圆锥问题 球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半
径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________． 【答案】392或332
Байду номын сангаас
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第八章 立体几何初步
【答案】(1)× (2)× (3)× 【解析】(1)体积比应为半径比的立方，故(1)错误． (2)长方体不一定有内切球，故(2)错误． (3)球面展不成平面，故(3)错误．
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第八章 立体几何初步
因为 AB⊥SD， 所以 AD2＝SD·DE＝16×2＝32，所以 AD＝4 2. 所以 S 圆锥侧面＝π×4 2×12 2＝96π. (2)设内切球 O1 的半径为 r，因为△SAB 的周长为 2×(12 2＋4 2)＝ 32 2， 所以 32 2×12r＝12×8 2×16.所以 r＝4. 所以内切球 O1 的体积 V 球＝43πr3＝2356π.
第八章 立体几何初步
8.3 简单几何体的表面积与体积
第2课时 球的表面积和体积
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第八章 立体几何初步
学习目标
素养要求
1.知道球的表面积和体积的计算公式，会计算球 的表面积和体积
数学运算
2.能用公式解决简单的实际问题
数学建模、直观想象
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(2)设球的半径为 R，由已知得43πR3＝5300π，所以 R＝5.所以球的表面 积为 S＝4πR2＝4π×52＝100π.
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求球的表面积与体积的一个关键和两个结论 (1)关键：把握住球的表面积公式 S 球＝4πR2，球的体积公式 V 球＝43πR3 是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．把握住 公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了． (2)两个结论：①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方； ②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方．
义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱
长为 a，b，c，过球心作长方体的对角线，则球的半径为 r2＝12 a2＋b2＋c2，
如图 2.
(3)正四面体的外接球
正四面体的棱长
a
与外接球半径
R
的关系为：2R＝
6 2 a.
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