2020届二轮(理科数学) 解析几何 专题卷(全国通用)

单元质检八
解析几何
(时间:100分钟满分:150分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.到直线3x-4y+1=0的距离为3,且与此直线平行的直线方程是()
A.3x-4y+4=0
B.3x-4y+4=0或3x-4y-2=0
C.3x-4y+16=0
D.3x-4y+16=0或3x-4y-14=0
2.已知方程x2
x2+x −x2
3x2-x
=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()
A.(-1,3)
B.(-1,√3)
C.(0,3)
D.(0,√3)
3.若双曲线C:x2
x2−x2
x2
=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率
为()
A.2
B.√3
C.√2
D.2√3
3
4.已知直线过点A(0,3),圆(x-1)2+y2=4被该直线截得的弦长为2√3,则该直线的方程是()
A.y=-4
3
x+3
B.x=0或y=-4
3
x+3
C.x=0或y=4
3
x+3
D.x=0
5.(2018全国Ⅱ,理12)已知F1,F2是椭圆C:x2
x2+x2
x2
=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P
在过点A且斜率为√3
6
的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为()
A.2
3B.1
2
C.1
3
D.1
4
6.(2018全国Ⅰ,理11)已知双曲线C:x2
3
-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=()
A.3
2
B.3
C.2√3
D.4
7.已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线x2
x2−x2
x2
=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于两点A,B(A,B异于
原点),抛物线的焦点为F.若双曲线的离心率为2,|AF|=7,则p=()
A.3
B.6
C.12
D.42
8.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,A,B是C上两动点,且∠AFB=α(α为常数),线段AB中点为M,过点M作l的垂线,垂足为N.若|xx|
|xx|
的最小值为1,则α=()
A.π
6B.π
4
C.π
3
D.π
2
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
9.若双曲线x2-x2
x
=1的离心率为√3,则实数m= .
10.抛物线y2=8x的焦点到双曲线x2
12−x2
4
=1的渐近线的距离为.
11.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线x2
x
-y2=1的左顶点为A.若双曲线一条渐近线与直线AM平行,则实数a= .
12.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点.若三角形OFM的外接圆与抛物线C 的准线相切,且该圆的面积为36π,则p的值为.
13.已知双曲线C:x2
x2−x2
x2
=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C
的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为.
14.(2018全国Ⅲ,理16)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k= .
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15. (13分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l 上.
(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;
(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.
16.(13分)已知椭圆C:x2
x2+x2
x2
=1(a>b>0)的离心率为√15
4
,F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任意一
点,且△PF1F2的周长是8+2√15.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设圆T:(x-2)2+y2=4
9
,过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E,F两点,求直线EF的斜率.
17.(13分)(2018全国Ⅲ,文20)已知斜率为k的直线l与椭圆C:x2
4+x2
3
=1交于A,B两点,线段AB
的中点为M(1,m)(m>0).
(1)证明:k<-1
2
;
(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且xx
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +xx
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +xx
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.证明:2|xx
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|xx
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|xx
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.
18.(13分)已知双曲线x2
x2−x2
x2
=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0).
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x,且c=2,求双曲线的方程;
(2)以原点O为圆心,c为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为A,过A作圆的切线,斜率为-√3,求双曲线的离心率.
19.(14分)(2018上海,20)设常数t>2,在平面直角坐标系xOy中,已知点F(2,0),直线l:x=t,曲线Γ:y2=8x(0≤x≤t,y≥0).l与x轴交于点A,与Γ交于点B,P,Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点.
(1)用t表示点B到点F的距离;
(2)设t=3,|FQ|=2,线段OQ的中点在直线FP上,求△AQP的面积;
(3)设t=8,是否存在以FP,FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在Γ上?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.
20.(14分)设椭圆x2
x2+x2
x2
=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为1
2
,已知A是抛物线
y2=2px(p>0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为1
2
.
(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;
(2)设l 上两点P ,Q 关于x 轴对称,直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于点A ),直线BQ 与x 轴相交于点
D.若△APD 的面积为√6
2,求直线AP 的方程.
单元质检八 解析几何
1.D 解析设所求直线方程为3x-4y+m=0(m ≠1),由|x -1|5
=3,解得m=16或m=-14.
即所求直线方程为3x-4y+16=0或3x-4y-14=0.
2.A 解析由题意得(m 2
+n )(3m 2
-n )>0,解得-m 2
<n<3m 2
.又由该双曲线两焦点间的距离为4,得m 2+n+3m 2-n=4,即m 2=1,所以-1<n<3.
3.A 解析可知双曲线C 的渐近线方程为bx±ay=0,取其中的一条渐近线方程为bx+ay=0,则圆心(2,0)到这条渐近线的距离为
√=√22-12=√3,即2x
x
=√3,所以c=2a ,所以e=2,故选A .
4.B 解析当弦所在的直线斜率不存在时,即弦所在直线的方程为x=0, 此时圆(x-1)2
+y 2
=4被截得的弦长为2√3.
当弦所在的直线斜率存在时,设弦所在直线l 的方程为y=kx+3,即kx-y+3=0. 因为弦长为2√3,圆的半径为2,
所以弦心距为√22-(√3)2
=1.
由点到直线距离公式, 得
√x 2+(-1)2
=1,解得k=-4
3.
综上所述,所求直线方程为x=0或y=-43
x+3. 5.D 解析∵A (-a ,0),△PF 1F 2为等腰三角形,
∴|PF 2|=|F 1F 2|=2c.过点P 作PE ⊥x 轴. ∵∠F 1F 2P=120°,∴∠PF 2E=60°. ∴|F 2E|=c ,|PE|=√3c ,∴P (2c ,√3c ). ∵k PA =√3
6,∴PA 所在直线的方程为y=√3
6(x+a ).
∴√3c=√36(2c+a ).∴e=x x =1
4.
6.B 解析由条件知F (2,0),渐近线方程为y=±√3
3x ,所以∠NOF=∠MOF=30°,∠MON=60°≠90°.
不妨设∠OMN=90°, 则|MN|=√3|OM|.
又|OF|=2,在Rt △OMF 中,|OM|=2cos30°=√3, 所以|MN|=3.
7.B 解析因为双曲线的离心率为2, 所以e
2
=x 2x 2
=
x 2+x 2
x 2
=4,即b 2=3a 2,
所以双曲线x 2
x 2
−x 2
x 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为
y=±√3x ,代入y 2=2px (p>0),
得x=23
p 或x=0,故x A =x B =23
p.
又因为|AF|=x A +x
2=2
3p+x
2=7,所以p=6.
8.C 解析如图,过点A ,B 分别作准线的垂线AQ ,BP ,垂足分别是Q ,P. 设|AF|=a ,|BF|=b ,连接AF ,BF.
由抛物线定义,得|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|. 在梯形ABPQ 中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b. 由余弦定理得,|AB|2
=a 2
+b 2
-2ab cos α.
∵|xx |
|xx |的最小值为1, ∴a 2
+b 2
-2ab cos α≥
(x +x )
2
4
,当α=π
3
时,不等式恒成立.故选C .
9.2 解析由题意知a=1,b=√x ,m>0,c=√x 2+x 2=√1+x ,则离心率e=x
x =√1+x =√3,解得
m=2.
10.1 解析抛物线y 2
=8x 的焦点坐标为(2,0),其到双曲线x 212−
x 24
=1的渐近线x±√3y=0的距离
d=
√1+3=1.
11.1
9 解析由题意可知,抛物线y 2
=2px (p>0)的准线方程为x=-4, 则p=8,所以点M (1,4).
因为双曲线x 2
x -y 2
=1的左顶点为A (-√x ,0), 所以直线AM 的斜率为1+x
.
由题意得1+
x
=√
x
,解得a=1
9. 12.8 解析设△OFM 的外接圆圆心为O 1,
则|O 1O|=|O 1F|=|O 1M|,所以O 1在线段OF 的垂直平分线上. 又因为☉O 1与抛物线的准线相切,所以O 1在抛物线上,所以O 1(x
4
,
√2
2
x ). 又因为圆面积为36π,所以半径为6, 所以x 2
16+1
2p 2
=36,所以p=8. 13.
2√33
解析如图所示,由题意可得|OA|=a ,|AN|=|AM|=b.
∵∠MAN=60°,
∴|AP|=√3
2b ,|OP|=√|xx |2
-|xx |2
=√x 2-3
4x 2.
设双曲线C 的一条渐近线
y=x x x
的倾斜角为θ,则tan θ=|xx |
|xx |=
√32
x √x 2-4
x 2
.
又
tan θ=x
x ,∴
√32
x √x 2-4
x 2
=x
x ,解得a 2=3b 2
,
∴e=√1+x 2x 2=√1+1
3=
2√33
.
14.2 解析设直线AB :x=my+1, 联立{
x =xx +1,x 2=4x
⇒y 2
-4my-4=0.
设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4. 而xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1-1)=(my 1+2,y 1-1),
xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+1,y 2-1)=(my 2+2,y 2-1). ∵∠AMB=90°,
∴xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 1+2)(my 2+2)+(y 1-1)(y 2-1) =(m 2+1)y 1y 2+(2m-1)(y 1+y 2)+5 =-4(m 2+1)+(2m-1)·4m+5 =4m 2-4m+1=0. ∴m=1
2.∴k=1
x =2.
15.解(1)由{
x =2x -4,
x =x -1,
得圆心C (3,2).
又因为圆C 的半径为1,
所以圆C 的方程为(x-3)2
+(y-2)2
=1. 显然切线的斜率一定存在, 设所求圆C 的切线方程为y=kx+3, 即kx-y+3=0,则
√=1,
所以|3k+1|=√x 2+1, 即2k (4k+3)=0. 所以k=0或k=-3
4.
所以所求圆C 的切线方程为y=3或y=-3
4x+3, 即y=3或3x+4y-12=0.
(2)由圆C 的圆心在直线l :y=2x-4上,可设圆心C 为(a ,2a-4), 则圆C 的方程为(x-a )2
+[y-(2a-4)]2
=1. 设M (x ,y ), 又因为|MA|=2|MO|,
所以√x 2+(x -3)2
=2√x 2+x 2,
整理得x 2+(y+1)2
=4.
设方程x 2
+(y+1)2
=4表示的是圆D ,
所以点M 既在圆C 上又在圆D 上,即圆C 和圆D 有交点,所以2-1≤√x 2+[(2x -4)-(-1)]2
≤2+1,
解得a 的取值范围为[0,12
5]. 16.解(1)由题意,得e=x
x =√154
=
√x 2-x 2
x
,
可知a=4b ,c=√15b.
∵△PF 1F 2的周长是8+2√15, ∴2a+2c=8+2√15,∴a=4,b=1. ∴椭圆C 的方程为x 2
16+y 2=1.
(2)椭圆的上顶点为M (0,1),由题意知过点M 与圆T 相切的直线存在斜率,则设其方程为l :y=kx+1. 由直线y=kx+1与圆T 相切可知=2
3,
即32k 2
+36k+5=0,
∴k 1+k 2=-98,k 1k 2=5
32.
由{x =x 1x +1,
x 2
16
+x 2=1,
得(1+16x 12)x 2
+32k 1x=0,
∴x E =-32x
1
1+16x 1
2.
同理x F =-32x
21+16x 2
2,
k EF =x x -x
x x x
-x x
=
x 1x x -x 2x x x x -x x =x 1+x 2
1-16x 1x
2
=3
4.
故直线EF 的斜率为3
4.
17.证明(1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 124
+
x 123
=1,
x 224
+
x 223
=1.
两式相减,并由x 1-x 2x 1-x 2=k ,得x 1+x
2
4
+
x 1+x 2
3·k=0.
由题设知
x 1+x 2
2
=1,
x 1+x 2
2=m ,于是k=-3
4x .
由题设得0<m<3
2,故k<-1
2.
(2)由题意得F (1,0).设P (x 3,y 3),则(x 3-1,y 3)+(x 1-1,y 1)+(x 2-1,y 2)=(0,0). 由(1)及题设得x 3=3-(x 1+x 2)=1,y 3=-(y 1+y 2)=-2m<0. 又点P 在C 上,所以m=3
4, 从而P (1,-3
2),|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=32.
于是|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x 1-1)2
+x 12=√(x 1-1)2
+3(1-x 124
)=2-
x 12
.
同理|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2-x 22
.
所以|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4-12
(x 1+x 2)=3. 故2|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |. 18.解(1)双曲线
x 2x 2
−
x 2
x 2
=1的渐近线方程为y=±x x
x.
由双曲线的一条渐近线方程为y=x , 可得x
x =1,解得a=b.
因为c=√x 2+x 2=2,所以a=b=√2. 故双曲线的方程为
x 22
−
x 22
=1.
(2)设A 的坐标为(m ,n ),可得直线AO 的斜率满足k=x
x =,即m=√3n. ①
因为以点O 为圆心,c 为半径的圆的方程为x 2
+y 2
=c 2
, 所以将①代入圆的方程,得3n 2
+n 2
=c 2
, 解得n=1
2
c ,m=√32
c.
将点
A (√3
2x ,12x )代入双曲线方程,得(√32x )2
x 2
−
(12
x )
2
x 2
=1,
化简得3
4c 2b 2
-1
4c 2a 2=a 2b 2
.
又因为c 2=a 2+b 2
,
所以上式化简整理得3
4c 4-2c 2a 2+a 4
=0. 两边都除以a 4
,整理得3e 4
-8e 2
+4=0, 解得e 2
=2
3或e 2
=2.
因为双曲线的离心率e>1,所以该双曲线的离心率e=√2(负值舍去). 故双曲线的离心率为√2.
19.解(1)(方法一)设B (t ,2√2x ),
则|BF|=√(x -2)2
+8x =t+2.
(方法二)设B (t ,2√2x ), 由抛物线的定义可知,|BF|=t+2. (2)由题意,得F (2,0),|FQ|=2,t=3,
∴|FA|=1,∴|AQ|=√3,∴Q (3,√3).
设OQ 的中点为D , 则
D (3
2,√3
2),k PF =√3
2-03
2-2=-√3, ∴直线PF 的方程为y=-√3(x-2).
由{
x =-√3(x -2),x 2=8x ,
整理,得3x 2-20x+12=0, 解得x=2
3或x=6(舍去).
∴△AQP 的面积S=12×√3×(3-23)=
7√36
.
(3)存在.设P (x 28
,x ),E (x 28
,x ),
则k PF =x x 2
8
-2
=
8x
x 2-16
,k FQ =
16-x 28x
,直线QF 的方程为y=
16-x 28x
(x-2),
∴y Q =
16-x 28x
(8-2)=
48-3x 24x
,Q (8,
48-3x 24x
).
∵xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴E (x 28
+6,
48+x 24x
).
∴(
48+x 24x
)2
=8(
x 28
+6),解得y 2
=16
5.
∴存在以FP ,FQ 为邻边的矩形FPEQ ,使得点E 在Γ上,且P (25,
4√55). 20.解(1)设F 的坐标为(-c ,0).
依题意,x x =12,x 2=a ,a-c=12, 解得a=1,c=12,p=2,于是b 2=a 2-c 2=34.
所以椭圆的方程为x 2+4x 23=1,抛物线的方程为y 2=4x.
(2)设直线AP 的方程为x=my+1(m ≠0),与直线l 的方程x=-1联立,可得点P (-1,-2x
), 故Q (-1,2x
). 将x=my+1与x 2+4x 23=1联立,消去x ,整理得(3m 2+4)y 2+6my=0,解得y=0或y=-6x 3x 2+4.
由点B 异于点A ,可得点B (
-3x 2+4
3x 2+4,-6x 3x 2+4). 由Q (-1,2x ),可得直线BQ 的方程为(-6x 3x 2+4-2x )(x+1)-(-3x 2+43x 2+4+1)(x -2x )=0. 令y=0,得x=
2-3x 23x 2+2,故D (2-3x 23x 2+2,0). 所以|AD|=1-2-3x 23x 2+2=6x 2
3x 2+2
. 又因为△APD 的面积为√62,
故12×6x 23x 2+2×2|x |=
√62, 整理得3m 2-2√6|m|+2=0,解得|m|=√63,
所以m=±√63.
所以直线AP 的方程为3x+√6y-3=0或3x-√6y-3=0.。