重庆市南岸区南开(融侨)中学2018-2019年八年级(下)期中数学试卷 解析版

2018-2019学年八年级（下）期中数学试卷
一．选择题（共12小题）
1．下列代数式中，是分式的是（）
A．B．C．180（n﹣2）D．
2．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）
A．9﹣a2＝（3+a）（3﹣a）B．x2﹣2x＝（x2﹣x）﹣x
C．D．y（y﹣2）＝y2﹣2y
3．若代数式有意义，则x的取值是（）
A．x＝0 B．x≠0 C．x＝3 D．x≠﹣3
4．已知，则A，B的值分别为（）
A．A＝3，B＝﹣4 B．A＝4，B＝﹣3 C．A＝1，B＝2 D．A＝2，B＝1 5．顺次连接矩形四边中点所得的四边形是（）
A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形6．若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值可以是（）A．4 B．﹣4 C．±2 D．±4
7．菱形ABCD的边长为13cm，其中对角线BD长10cm，菱形ABCD的面积为（）A．60 cm2B．120cm2C．130cm2D．240 cm2
8．某车间加工1200个零件后采用了新工艺，工效提高了50%，这样加工同样多的零件少用10h，求采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？若设采用新工艺前每小时加工x 个零件，则可列方程为（）
A．＝10
B．﹣＝10
C．﹣＝10
D．＝10
9．多项式x2+x﹣2与x2+3x+2的公因式是（）
A．x+1 B．x﹣1 C．x+2 D．x﹣2
10．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD
于F点，若CF＝1，FD＝2，则BC的长为（）
A．3B．2C．2D．2
11．下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有2个空心菱形，第②个图形中一共有5个空心菱形，第③个图形中一共有11个空心菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中空心菱形的个数为（）
A．68 B．76 C．86 D．104
12．若关于x的分式方程有正整数解，且关于x的多项式x a﹣4y2能用平方差公式分解因式，则符合条件的所有整数a之和为（）
A．26 B．32 C．34 D．40
二．填空题（共6小题）
13．因式分解：a2﹣a＝．
14．当x＝时，分式的值为0．
15．若，则＝．
16．如图，若将四根木条钉成的矩形木框ABCD变形为平行四边形A′BCD′，并使其面积为矩形ABCD面积的一半，若A′D′与CD交于点E，且AB＝2，则△ECD′的面积是．
17．如图，在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的中线，AE∥BC，CE∥AD，EC的垂直平分线FG
交AC点G，连接DG，若∠ADG＝24°，则∠B的度数为度．
18．如图，在同一平面内，点O为正方形ABCD对角线交点，过点O折叠正方形，使C、C′两点重合，EF是折痕，连接AC′、DC′，若DC′＝，AC′＝6，则AD的长是．
三．解答题（共5小题）
19．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3cm，点D为AC边上一点（不与点A、C 重合），以CD为边，在三角形内作矩形CDEF，在三角形外作正方形CDMN，且顶点E、F 分别在边AB、BC上，连接CE．设AD的长为xcm，矩形EFMN的面积为y1cm2，△ACE的面积为y2cm2
（1）填空：y1与x的函数关系式是，y2与x的函数关系式是，自变量x 的取值范围是；
（2）在平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当矩形EFNM的面积小于△ACE的面积时，x的取值范围是．
20．某超市进货员预测一种应季水果能畅销市场，用3000元购进第一批这种水果，面市后
果然供不应求，全部卖完，超市进货员又用1500元购进了第二批这种水果，但进价比第一批上涨了50%，若两批水果的平均价格为9元/kg
（1）求购进第一批该种水果的单价；
（2）第一批水果的销售单价为10元/kg，第二批水果的销售单价为15元/kg，但在第二批水果的销售过程中发现销量不好，超市决定第二批水果销售一定数量后将剩余水果按原售价的7折销售．要使两批水果全部销售后共获利不少于900元，问第二批水果按原销售单价至少销售多少千克？
21．阅读材料：一般情形下等式＝1不成立，但有些特殊实数可以使它成立，例如：x ＝2，y＝2时，＝1成立，我们称（2，2）是使＝1成立的“神奇数对”．请完成下列问题：
（1）数对（，4），（1，1）中，使＝1成立的“神奇数对”是；
（2）若（5﹣t，5+t）是使＝1成立的“神奇数对”，求t的值；
（3）若（m，n）是使＝1成立的“神奇数对”，且a＝b+m，b＝c+n，求代数式（a ﹣c）2﹣12（a﹣b）（b﹣c）的最小值．
22．矩形ABCD的对角线相交于点O，∠COE＝45°，过点C作CE⊥BD于点E，（1）如图1，若CB＝1，求△CED的面积；
（2）如图2，过点O作OF⊥DB于点O，OF＝OD，连接FC，点G是FC中点，连接GE，求证：DC＝2GE．
23．如图1，平面直角坐标系中，B、C两点的坐标分别为B（0，3）和C（0，﹣），点A 在x轴正半轴上，且满足∠BAO＝30°．
（1）过点C作CE⊥AB于点E，交AO于点F，点G为线段OC上一动点，连接GF，将△OFG沿FG翻折使点O落在平面内的点O′处，连接O′C，求线段OF的长以及线段O′C
的最小值；
（2）如图2，点D的坐标为D（﹣1，0），将△BDC绕点B顺时针旋转，使得BC⊥AB于点B，将旋转后的△BDC沿直线AB平移，平移中的△BDC记为△B′D′C′，设直线B′C′与x轴交于点M，N为平面内任意一点，当以B′、D′、M、N为顶点的四边形是菱形时，求点M的坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．下列代数式中，是分式的是（）
A．B．C．180（n﹣2）D．
【分析】根据分式的定义逐个判断即可．
【解答】A、不是分式，故本选项不符合题意；
B、是分式，故本选项符合题意；
C、不是分式，故本选项不符合题意；
D、不是分式，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）
A．9﹣a2＝（3+a）（3﹣a）B．x2﹣2x＝（x2﹣x）﹣x
C．D．y（y﹣2）＝y2﹣2y
【分析】直接利用因式分解的意义分别分析得出答案．
【解答】解：A、9﹣a2＝（3+a）（3﹣a），从左到右的变形是因式分解，符合题意；
B、x2﹣2x＝（x2﹣x）﹣x，不符合题意因式分解的定义，不合题意；
C、x+2无法分解因式，不合题意；
D、y（y﹣2）＝y2﹣2y，是整式的乘法，不合题意．
故选：A．
3．若代数式有意义，则x的取值是（）
A．x＝0 B．x≠0 C．x＝3 D．x≠﹣3 【分析】根据分式有意义的条件可得x+3≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x+3≠0，
解得：x≠﹣3，
故选：D．
4．已知，则A，B的值分别为（）
A．A＝3，B＝﹣4 B．A＝4，B＝﹣3 C．A＝1，B＝2 D．A＝2，B＝1
【分析】先通分，再合并，即可得出关于A、B的方程组，求出方程组的解即可．【解答】解：+
＝
＝，
∵，
∴，
解得：A＝1，B＝2，
故选：C．
5．顺次连接矩形四边中点所得的四边形是（）
A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形【分析】因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．
【解答】解：连接AC、BD，
在△ABD中，
∵AH＝HD，AE＝EB
∴EH＝BD，
同理FG＝BD，HG＝AC，EF＝AC，
又∵在矩形ABCD中，AC＝BD，
∴EH＝HG＝GF＝FE，
∴四边形EFGH为菱形．
故选：B．
6．若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值可以是（）A．4 B．﹣4 C．±2 D．±4
【分析】利用完全平方公式（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab、（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab计算即可．
【解答】解：∵x2+mx+4＝（x±2）2，
即x2+mx+4＝x2±4x+4，
∴m＝±4．
故选：D．
7．菱形ABCD的边长为13cm，其中对角线BD长10cm，菱形ABCD的面积为（）A．60 cm2B．120cm2C．130cm2D．240 cm2
【分析】由菱形的对角线互相垂直平分，可利用勾股定理求得AE或CE的长，从而求得AC的长；利用菱形的面积公式：两条对角线的积的一半求得面积．
【解答】解：如图，设AC，BD的交点为E
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，BE＝DE＝5，AE＝CE
在Rt△ABE中，AE＝＝＝12
∴AC＝24cm
∴S菱形ABCD＝AC×BD＝120cm2
故选：B．
8．某车间加工1200个零件后采用了新工艺，工效提高了50%，这样加工同样多的零件少用10h，求采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？若设采用新工艺前每小时加工x 个零件，则可列方程为（）
A．＝10
B．﹣＝10
C．﹣＝10
D．＝10
【分析】设新工艺前每小时分别加工x个零件，则新工艺前加工时间为：；新工艺加工时间为：，然后根据题意列出方程即可．
【解答】解：设新工艺前每小时分别加工x个零件，则新工艺前加工时间为：；
新工艺加工时间为：
可得出：﹣＝10
故选：B．
9．多项式x2+x﹣2与x2+3x+2的公因式是（）
A．x+1 B．x﹣1 C．x+2 D．x﹣2
【分析】首先把两个多项式分解因式，然后再确定公因式．
【解答】解：x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2），
x2+3x+2＝（x+1）（x+2），
公因式是x+2，
故选：C．
10．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD 于F点，若CF＝1，FD＝2，则BC的长为（）
A．3B．2C．2D．2
【分析】首先过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，易证得△ENG≌△BNM（AAS），MN是△BCF的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得GN＝MN，由折叠的性质，可得BG＝3，继而求得BF的值，又由勾股定理，即可求得BC的长．
【解答】解：过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，AD＝BC，
∵∠EMB＝90°，
∴四边形ABME是矩形，
∴AE＝BM，
由折叠的性质得：AE＝GE，∠EGN＝∠A＝90°，
∴EG＝BM，
∵∠ENG＝∠BNM，
∴△ENG≌△BNM（AAS），
∴NG＝NM，
∴CM＝DE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝ED＝BM＝CM，
∵EM∥CD，
∴BN：NF＝BM：CM，
∴BN＝NF，
∴NM＝CF＝，
∴NG＝，
∵BG＝AB＝CD＝CF+DF＝3，
∴BN＝BG﹣NG＝3﹣＝，
∴BF＝2BN＝5，
∴BC＝＝＝2．
故选B．
补充方法：连接EF．易证△EFD≌△EFG，可得FG＝DF＝2，BG＝AB＝DC＝3，可得BF＝5，再利用勾股定理求BC比较简单．
11．下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有2个空心菱形，第②个图形中一共有5个空心菱形，第③个图形中一共有11个空心菱形，…，
按此规律排列下去，第⑨个图形中空心菱形的个数为（）
A．68 B．76 C．86 D．104
【分析】设第n个图形中有a n个空心菱形（n为正整数），根据各图形中空心菱形个数的变化可得出变化规律“a2n﹣1＝（2n﹣1）2+n，a2n＝（2n）2+n（n为正整数）”，再代入n ＝5即可求出结论．
【解答】解：设第n个图形中有a n个空心菱形（n为正整数），
∵a1＝12+1＝2，a2＝22+1＝5，a3＝32+2＝11，a4＝42+2＝18，…，
∴a2n﹣1＝（2n﹣1）2+n，a2n＝（2n）2+n（n为正整数）．
当2n﹣1＝9，即n＝5时，a9＝92+5＝86．
故选：C．
12．若关于x的分式方程有正整数解，且关于x的多项式x a﹣4y2能用平方差公式分解因式，则符合条件的所有整数a之和为（）
A．26 B．32 C．34 D．40
【分析】解分式方程得到x＝且x≠3，根据题意得到a﹣2＝1、2、3、4、6、12，且a≠6，再利用a为偶数得到a的值，然后求进行它们的和．
【解答】解：去分母得ax﹣15﹣（x﹣3）＝x，
解得x＝且x≠3，
因为分式方程有正整数解，
所以a﹣2＝1、2、3、4、6、12，且a≠6，
又因为关于x的多项式x a﹣4y2能用平方差公式分解因式，
所以a为偶数，
所以a的值为4、8、14，
所以符合条件的所有整数a的和为4+8+14＝34．
故选：A．
二．填空题（共6小题）
13．因式分解：a2﹣a＝a（a﹣1）．
【分析】直接提取公因式a，进而分解因式得出即可．
【解答】解：a2﹣a＝a（a﹣1）．
故答案为：a（a﹣1）．
14．当x＝ 1 时，分式的值为0．
【分析】分式的值为零的条件：分子为0，分母不为0．
【解答】解：根据题意，得
x﹣1＝0，且x+1≠0，
解得x＝1．
故答案是：1．
15．若，则＝ 2 ．
【分析】若，则x＝3y，代入所求式子即可求解．
【解答】解：∵
∴x＝3y．
∴＝＝2．
16．如图，若将四根木条钉成的矩形木框ABCD变形为平行四边形A′BCD′，并使其面积为矩形ABCD面积的一半，若A′D′与CD交于点E，且AB＝2，则△ECD′的面积是．
【分析】作A'F⊥BC于F，则∠A'FB＝90°，根据题意得：平行四边形A′BCD′的面积＝BC•A'F＝BC•AB，dc1A'F＝AB＝1，得出∠D＝∠B＝30°，得出BF＝A'F＝，由矩形和平行四边形的性质得出BC＝AD＝A'D'，A'D'∥AD∥BC，CD⊥BC，得出CD⊥A'D'，得出A'F∥CD，证出四边形A'ECF是矩形，得出CE＝A'F＝1，A'E＝CF，证出DE＝BF＝，即可得出答案．
【解答】解：作A'F⊥BC于F，如图所示：
则∠A'FB＝90°，
根据题意得：平行四边形A′BCD′的面积＝BC•A'F＝BC•AB，
∴A'F＝AB＝1，
∴∠D＝∠B＝30°，
∴BF＝A'F＝，
∵四边形ABCD是矩形，四边形A′BCD′是平行四边形，
∴BC＝AD＝A'D'，A'D'∥AD∥BC，CD⊥BC，
∴CD⊥A'D'，
∴A'F∥CD，
∴四边形A'ECF是矩形，
∴CE＝A'F＝1，A'E＝CF，
∴DE＝BF＝，
∴△ECD的面积＝DE×CE＝××1＝；
故答案为：．
17．如图，在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的中线，AE∥BC，CE∥AD，EC的垂直平分线FG 交AC点G，连接DG，若∠ADG＝24°，则∠B的度数为38 度．
【分析】连接GE，证明四边形ADCE为菱形，得到∠DAC＝∠EAC，根据△AGD≌△AGE得到∠AEG＝∠ADG＝24°，根据线段垂直平分线的性质得到GC＝GE，根据等腰三角形的性质得到∠GEC＝∠ECA，根据平行线的性质列式计算即可．
【解答】解：连接GE，
∵AE∥BC，CE∥AD，
∴四边形ADCE为平行四边形，
∵Rt△ABC中，AD为斜边BC上的中线，
∴AD＝BC＝DC，
∴平行四边形ADCE为菱形，
∴∠DAC＝∠EAC，
在△AGD和△AGE中，
，
∴△AGD≌△AGE（SAS）
∴∠AEG＝∠ADG＝24°，
∵四边形ADCE为菱形，
∴∠DCA＝∠ECA，
∵GF是EC的垂直平分线，
∴GC＝GE，
∴∠GEC＝∠ECA，
∵AE∥BC，
∴∠AEC+∠BCE＝180°，
∴3∠ACB+24°＝180°，
解得，∠ACB＝52°，
∴∠B＝90°﹣52°＝38°，
故答案为：38．
18．如图，在同一平面内，点O为正方形ABCD对角线交点，过点O折叠正方形，使C、C′两点重合，EF是折痕，连接AC′、DC′，若DC′＝，AC′＝6，则AD的长是5．
【分析】由正方形的性质和折叠的性质可得AO＝CO＝DO＝C'O，∠ACD＝45°，可证点A，点C'，点C，点D在以点O为圆心的圆上，可得∠C＝∠AC'M＝45°，即可求AM＝C'M 的长，由勾股定理可求AD的长．
【解答】解：如图，连接AC，BD，过点A作AM⊥DC'，
由折叠可得OC＝OC'，
∵点O为正方形ABCD对角线交点，
∴AO＝CO＝DO＝C'O，∠ACD＝45°，
∴点A，点C'，点C，点D在以点O为圆心的圆上，
∴∠C＝∠AC'M＝45°，且AM⊥DC'，AC'＝6，
∴AM＝C'M＝3，
∴DM＝4，
∵AD＝＝＝5
故答案为5
三．解答题（共5小题）
19．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3cm，点D为AC边上一点（不与点A、C 重合），以CD为边，在三角形内作矩形CDEF，在三角形外作正方形CDMN，且顶点E、F 分别在边AB、BC上，连接CE．设AD的长为xcm，矩形EFMN的面积为y1cm2，△ACE的
面积为y2cm2
（1）填空：y1与x的函数关系式是y1＝﹣3x+9 ，y2与x的函数关系式是y2＝x，自变量x的取值范围是0＜x＜3 ；
（2）在平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当矩形EFNM的面积小于△ACE的面积时，x的取值范围是2＜x＜3 ．
【分析】（1）证出△ADE是等腰直角三角形，得出DE＝AD＝x，求出CD＝AC﹣AD＝3﹣x，由正方形的性质得出MN＝DN＝CD＝x﹣3，EN＝AC＝3，由矩形和三角形面积公式即可得出y1＝﹣3x+9，y2＝x；自变量x的取值范围是0＜x＜3；
（2）由函数关系式和自变量的取值范围画出图象即可；
（3）结合图象即可得出答案．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A＝45°，
∵四边形CDEF是矩形，
∴∠CDE＝90°，
∴∠ADE＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE＝AD＝x，
∴CD＝AC﹣AD＝3﹣x，
∵四边形CDMN是正方形，
∴MN＝DN＝CD＝x﹣3，
∴EN＝AC＝3，
∴矩形EFMN的面积为y1＝EN×MN＝3（3﹣x）＝﹣3x+9，即y1＝﹣3x+9；
△ACE的面积为y2c＝AC×DE＝×3x＝x；即y2＝x；
自变量x的取值范围是0＜x＜3；
故答案为：y1＝﹣3x+9，y2＝x，0＜x＜3；
（2）两个函数的图象是不包括两个端点的线段，如图所示：
（3）由图象可知，当矩形EFNM的面积小于△ACE的面积时，x的取值范围是2＜x＜3；
故答案为：2＜x＜3．
20．某超市进货员预测一种应季水果能畅销市场，用3000元购进第一批这种水果，面市后果然供不应求，全部卖完，超市进货员又用1500元购进了第二批这种水果，但进价比第一批上涨了50%，若两批水果的平均价格为9元/kg
（1）求购进第一批该种水果的单价；
（2）第一批水果的销售单价为10元/kg，第二批水果的销售单价为15元/kg，但在第二批水果的销售过程中发现销量不好，超市决定第二批水果销售一定数量后将剩余水果按原售价的7折销售．要使两批水果全部销售后共获利不少于900元，问第二批水果按原销售单价至少销售多少千克？
【分析】（1）设购进第一批该种水果的单价为x元/千克，则购进第二批该种水果的单价为（1+50%）x元/千克，根据数量＝总价÷单价，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）根据数量＝总价÷单价可求出第一批及第二批购进该种水果的数量，设第二批水果按原销售单价销售了y千克，则打折销售了（125﹣y）千克，根据利润＝销售收入﹣成本结合共获利不少于900元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设购进第一批该种水果的单价为x元/千克，则购进第二批该种水果的
单价为（1+50%）x元/千克，
依题意，得：（3000+1500）÷9＝+，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是所列分式方程的解，且符合题意．
答：购进第一批该种水果的单价为8元/千克．
（2）第一批购进该种水果3000÷8＝375（千克），
第二批购进该种水果1500÷[（1+50%）×8]＝125（千克）．
设第二批水果按原销售单价销售了y千克，则打折销售了（125﹣y）千克，
依题意，得：10×375+15y+15×0.7（125﹣y）﹣3000﹣1500≥900，
解得：y≥75．
答：第二批水果按原销售单价至少销售75千克．
21．阅读材料：一般情形下等式＝1不成立，但有些特殊实数可以使它成立，例如：x ＝2，y＝2时，＝1成立，我们称（2，2）是使＝1成立的“神奇数对”．请完成下列问题：
（1）数对（，4），（1，1）中，使＝1成立的“神奇数对”是（，4）；
（2）若（5﹣t，5+t）是使＝1成立的“神奇数对”，求t的值；
（3）若（m，n）是使＝1成立的“神奇数对”，且a＝b+m，b＝c+n，求代数式（a ﹣c）2﹣12（a﹣b）（b﹣c）的最小值．
【分析】（1）按照题中定义将数对（，4），（1，1）分别验算即可；
（2）根据题意得关于t的分式方程，解方程即可；
（3）根据已知条件，先将m和n用含a，b，c的式子表示出来，再根据题意得出关于m 和n的等式，然后可得关于a，b，c的等式，从而可对所给的代数式配方，求得最值．【解答】解：（1）∵+＝+＝1
∴（，4）是使＝1成立的“神奇数对”．
∵+＝2≠1
∴（1，1）不是使＝1成立的“神奇数对”．
故答案为：（，4）；
（2）若（5﹣t，5+t）是使＝1成立的“神奇数对”，
则：+＝1
∴5+t+5﹣t＝25﹣t2
∴t＝±
经检验，t＝±是原方程的解
∴t的值为±；
（3）∵a＝b+m，b＝c+n
∴m＝a﹣b，n＝b﹣c
由题意得：+＝1
+＝1
∴b﹣c+a﹣b＝（a﹣b）（b﹣c）
∴a﹣c＝（a﹣b）（b﹣c）
∴（a﹣c）2﹣12（a﹣b）（b﹣c）
＝（a﹣c）2﹣12（a﹣c）
＝（a﹣c﹣6）2﹣36
∵（a﹣c﹣6）2≥0
∴（a﹣c﹣6）2﹣36≥﹣36
∴代数式（a﹣c）2﹣12（a﹣b）（b﹣c）的最小值为﹣36．
22．矩形ABCD的对角线相交于点O，∠COE＝45°，过点C作CE⊥BD于点E，（1）如图1，若CB＝1，求△CED的面积；
（2）如图2，过点O作OF⊥DB于点O，OF＝OD，连接FC，点G是FC中点，连接GE，求证：DC＝2GE．
【分析】（1）由矩形的性质得出OA＝OC＝OB＝OD，∵∠COE＝45°，CE⊥BD，证出△OCE 是等腰直角三角形，得出OE＝CE，OC＝OE，设OE＝CE＝x，则OB＝OD＝OC＝x，得出DE＝（+1）x，BE＝（﹣1）x，在Rt△BCE中，由勾股定理得：BC2＝BE2+CE2＝（﹣1）2x2+x2＝（4﹣2）x2＝1，得出x2＝＝，由三角形面积公式即可得出答案；
（2）延长OF、EG交于点H，证明△GHF≌△GEC（AAS），得出GH＝GE，FH＝CE，证出ED ＝OH，证明△CDE≌△EHO（SAS），得出CD＝EH，即可得出结论．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵∠COE＝45°，CE⊥BD，
∴△OCE是等腰直角三角形，
∴OE＝CE，OC＝OE，
设OE＝CE＝x，则OB＝OD＝OC＝x，
∴DE＝（+1）x，BE＝（﹣1）x，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：BC2＝BE2+CE2＝（﹣1）2x2+x2＝（4﹣2）x2＝1，∴x2＝＝，
∴△CED的面积＝DE×CE＝（+1）x2＝（+1）×＝；
（2）证明：延长OF、EG交于点H，如图所示：
∵OF⊥BD，CE⊥BD，
∴OF∥CE，∠EOH＝∠CED＝90°，
∴∠H＝∠CEG，
∵点G是FC中点，
∴GF＝GC，
在△GHF和△GEC中，，
∴△GHF≌△GEC（AAS），
∴GH＝GE，FH＝CE，
∴FH＝OE，
∵OF＝OD，
∴ED＝OH，
在△CDE和△EHO中，，
∴△CDE≌△EHO（SAS），
∴CD＝EH，
∵EH＝2GE，
∴CD＝2GE．
23．如图1，平面直角坐标系中，B、C两点的坐标分别为B（0，3）和C（0，﹣），点A 在x轴正半轴上，且满足∠BAO＝30°．
（1）过点C作CE⊥AB于点E，交AO于点F，点G为线段OC上一动点，连接GF，将△OFG沿FG翻折使点O落在平面内的点O′处，连接O′C，求线段OF的长以及线段O′C 的最小值；
（2）如图2，点D的坐标为D（﹣1，0），将△BDC绕点B顺时针旋转，使得BC⊥AB于点B，将旋转后的△BDC沿直线AB平移，平移中的△BDC记为△B′D′C′，设直线B′C′
与x轴交于点M，N为平面内任意一点，当以B′、D′、M、N为顶点的四边形是菱形时，求点M的坐标．
【分析】（1）解直角三角形求出OF，CF，根据CO′≥CF﹣O′F求解即可．
（2）分四种情形：①如图2中，当B′D′＝B′M＝BD＝＝时，可得菱形MND′B′．②如图3中，当B′M是菱形的对角线时．③如图4中，当B′D′是菱形的对角线时．④如图5中，当MD′是菱形的对角线时，分别求解即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，
∵∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，
∴∠CBE＝60°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，∠BCE＝30°，
∵C（0，﹣），
∴OC＝，OF＝OC•tan30°＝，CF＝2OF＝3，
由翻折可知：FO′＝FO＝，
∴CO′≥CF﹣O′F，
∴CO′≥，
∴线段O′C的最小值为．
（2）①如图2中，当B′D′＝B′M＝BD＝＝时，可得菱形MND′B′．
在Rt△AMB′中，AM＝2B′M＝2，
∴OM＝AM﹣OA＝2﹣3，
∴M（3﹣2，0）．
②如图3中，当B′M是菱形的对角线时，由题意B′M＝2OB＝6，此时AM＝12，OM＝12﹣3，可得M（3﹣12，0）．
③如图4中，当B′D′是菱形的对角线时，可得B′M＝，AM＝，OM＝3﹣，
所以M（3﹣，0）．
④如图5中，当MD′是菱形的对角线时，MB′＝B′D′＝，可得AM＝2，OM＝OA+AM＝3+2，所以M（3+2，0）．
综上所述，满足条件的点M的坐标为（3﹣2，0）或（3﹣12，0）或（3﹣，0）或（3+2，0）．。