求解数列前n_项和问题常用的技巧

解题宝典
求数列的前n 项和问题具有较强的综合性，此类问题侧重于考查等差数列和等比数列的定义、通项公式、性质、前n 项和公式.求数列前n 项和的技巧很多，如裂项相消、错位相减、分组求和、并项求和等.下面结合实例谈一谈下列三种技巧.
一、裂项相消
运用裂项相消法求数列的前n 项和，需先将数列
中的各项拆分为两项之差的形式，如1
n (n +k )=
1k æèöø1n -1n +k 、14n 2+1=12æèöø12n -1-12n +1、
1n +n +1
=n +1-n ；
然后将各项相加，即可通过正负相消，顺利求得数列的前n 项和.
例1.设数列{}a n ，其前n 项和S n =-3n 2
，
{}b n 为单调递增的等比数列，
b 1b 2b 3=512，a 1+b 1=a 3+b 3.（1）求数列{}a n ,{}b n 的通项公式；
（2）若c n =b n
()b n -2()b n -1，求数列{}c n 的前n 项
和T n .
解：（1）a n =-6n +3，
b n =b 2∙2n -2
=2n +1；
（2）由（1）可得：c n =2
n +1
()2n +1-2()
2n +1-1=
2n
()2n -1()2n +1
-1=1()2n -1-1()2n +1-1，
所以T n =c 1+⋯+c n =æèçöø÷121-1-122
-1+æèç122-1
-öø÷123
-1+⋯+æèçöø
÷12n
-1-12n +1
-1=12-1-12n +1
-1=1-12n +1-1.仔细观察，可发现{}c n 的通项公式的分母
()2
n
-1()2n +1-1为两项的乘积，其差为2n +1-1-()
2n
-1=2
n
，于是将{}c n 的通项公式裂项得2
n
()2n -1()
2n +1
-1=1()2n -1-1
()2n +1-1，
这样数列中大部分的项可以互相
抵消.运用裂项相消法就能求得数列前n 项的和.
二、错位相减
错位相减法是求数列前n 项和常用的方法之一.
该方法主要运用于求形如{}a n ∙b n 的数列的前n 项和，
其中{}a n 为等差数列，
{}b n 为等比数列.先将数列{}a n ∙b n 的每一项乘以数列{}b n 的公比；然后将其与数
列{}a n ∙b n 的前n 项和错位相减，即可将问题转化为等
比数列求和问题.
例2.数列{}a n 的前n 项和为S n ,a 1=-9
4
，且
4S n +1=3S n -9(n ∈N *).
（1）求数列{}a n 的通项公式；
（2）设数列{}b n 满足3b n +(n -4)a n =0(n ∈N *
)，记
{}b n 的前n 项和为T n ，求T n .
解：（1）a n =-3×æèöø
34n
；（过程略）
（2）由3b n +(n -4)a n =0得：b n =-n -43a n =(n -4)×æèöø
34n
，
即b n +1=(n -3)×æèö
ø
34n +1
，设c n =(An +B )×æèöø
34n
，
则b n +1=c n +1-c n =[A (n +1)+B ]×æèö
ø
34n +1
-(An +B )×
æèöø34n
=[-An 4+14(3A -B )]×æèöø34n
=(n -3)×æèö
ø34n +1
，
可得ìíîïï-A 4=34，3A -B 4
=-94，
解得{
A =-3，
B =0，所以c n =-3n ×æèöø
34n
，则T n =-()3×1-1×34-()3×2-1×æèöø
342
-(3×3-1)
n 41
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×æèöø343
-⋯-()3×n -4×æèöø
34n -1
-3n ×æèöø34n
34
T n
=-()3×1-1×æèöø342
-()3×2-1×æèöø
343
-⋯-()
3×n -4×æèöø34n
-3n ×æèöø
34n +1
，
将上述两式相减可得14T n =-2×34-2×æèöø
342
-2×æèöø343-⋯-2×æèöø34n -3n ×æèöø34n +1=-2
34×éëêùûú1-æèöø34n 1-3
4
-3n ×æèö
ø
34n +1
，
得T n =-4n ×æèöø
34n +1
.
仔细观察{}c n 的通项公式，可发现该式为等差数
列{}-3n 与等比数列ìíîü
ýþ
æèöø34n 的对应项的乘积，
可运用错位相减法来求和.将数列的前n 项和式左右同时乘以公比3
4，即可得到等比数列-2×34,-2×æèöø
342
,-2×
æèöø
343
,⋯,-2×æèöø34n
,利用等比数列的前n 项和公式进
行求解即可解题.
例3.已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S n =2a n -2
(n ∈N *)，数列{}b n 的首项b 1=1，点P (b n ,b n +1)满足
2+b n =b n +1.
（1）求数列{}a n 、{}b n 的通项公式；（2）记T n =a 1b 1+a 2b 2+∙∙∙+a n b n ，求T n .
解：（1）a n =2n
，b n =2n -1；（过程略）
（2）T n =a 1b 1+a 2b 2+∙∙∙+a n b n
=1×2+3×22+5×23+∙∙∙+(2n -3)2n -1+(2n -1)2n ，
2T n =1×22+3×23+5×24+∙∙∙+(2n -3)2n +(2n -1)2n +1，将两式相减得-T n =1×2+2(22+23+∙∙∙+2n
)-(2n -1)2
n +1
=2+2∙
22
+2n ∙21-2
-(2n -1)2n +1
=(3-2n )∙2n +1-6.
故T n =(2n -3)∙2
n +1
+6.
由问题（1）可知数列{}a n 为等比数列，数列{}
b n 为等差数列，则{}a n b n 的各项由等差、等比数列的对应项的积构成，于是采用错位相减法，首先列出T n 的
表达式；然后列出2T n 的表达式；再将两式作差，通过错位相减求得-T n .
三、分组求和
若问题中出现形如a n =b n ±c n 的数列，其中
{}b n 、{}c n 为等差、等比或常数列，便可以采用分组求和
法，将数列中的各项进行拆分，再重新组合成几组，使得每一组为等差、等比或常数列，即可根据等差、等比数列的前n 项和公式进行求和.例4.已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，
a 1=1,a 2=2，且a n +2=3S n -3S n +1+3,n ∈N *
.
（1）求证：
a n +2=3a n ；（2）求S n .
解：（1）过程略；
（2）由（1）可知，a n ≠0，所以
a n +2
a n
=3，则数列{}a 2n -1是首项a 1=1，公比为3的等比数列.
则a 2n -1=3n -1,a 2n =2×3n -1
，所以S 2n =a 1+a 2+∙∙∙+a 2n
=()a 1+a 3+∙∙∙+a 2n -1+()a 2+a 4+∙∙∙+a 2n =()1+3+∙∙∙+3n -1+2()1+3+∙∙∙+3n -1=3×()1+3+∙∙∙+3n -1=
3×()3n -12
.
所以S
2n -1
=S 2n -a 2n =
3×()3n -12
-2×3n -1
=32
()5×3n -2-1.综上可得，S n =ìíîïïïï32æèçö
ø÷5×3n -3
2-1,n 为奇数，32æè
çö
ø÷3n
2-1，n 为偶数.
求出a 2n -1=3
n -1
,a 2n =2×3n -1后，可以发现在n 取
奇数、偶数时，对应的S n 不同，需采用分组求和法，将数列中的项分成两组，一组由奇数项构成，一组由偶数项构成，分别根据等比数列的前n 项公式进行求
和，得S 2n 、S 2n -1，最后用分段式表示S n .裂项相消、错位相减、分组求和的适用情形以及
用法均不相同，同学们在解题时要重点研究数列的通项公式，对其进行合理的变形，可将其拆分、裂项、乘以公比等，以便将复杂的数列求和问题转化为简单的计算问题，这样便能化难为易、化繁为简.
（作者单位：安徽省泗县第二中学）
42。