T182-初二数学-【联赛】初二暑假班课后加练1-10讲

第1讲因式分解（四）【测1】分解因式：
【测2】分解因式：
【测3】分解因式：
第2讲因式分解（五）【测1】分解因式：
【测2】分解因式：
【测3】分解因式：
第3讲数论初步-整除
【测1】证明对任意的正整数，．
【测2】设是自然数，它们的和能被整除，证明：能被整除．
【测3】，，均为整数，若，求证
【测4】证明对于每个整数，不能被整除．
【测5】组装甲、乙、丙三种产品，需用、、三种零件，每件甲需用各个；每件乙
需用各个；每件丙需用个和个．用库存的、、三种零件，如组
装成件甲产品，件乙产品，件丙产品，则剩下个和个，但恰好用完．试
证无论怎样改变产品甲、乙、丙的件数，也不能把库存的、、三种零件都恰好用
完．
【测6】基里亚国和达里亚国的货币单位分别叫基涅尔和达涅尔．在基里亚国中，基涅尔可以兑
换达涅尔，在达里亚国中，达涅尔可以兑换基涅尔，一魔术师手中原来有达涅
尔的钱，他可以自由往来于这两个国家，并可随意在两国兑换货币．证明任何时候他手中的两种钱的数目都不相等．
第4讲数论初步-同余
【测1】(1)求除以的余数；(2)求的个位数字；(3)求化为七进制数后的
个位数字．
【测2】求证：(1)；(2)；
(3)；（4）；
(5)．
【测3】求的个位数字．
【测4】求被除的余数．
【测5】在黑板上写上数，，，…，，，每一步是从写出的数中擦去某些数，写
上它们的和除以的余数代替它们，若干步之后，在黑板上剩下两个数，其中之一是，剩下的第二个数是什么？
第5讲数论初步-整除与同余的综合应用【测1】已知能被整除，能被整除，则归纳可知，
能被________整除，能被________整除．(为正整数)
【测2】对任意正整数，求证：．
【测3】求正整数，，满足：(1)不能被整除；(2)能被整除．
【测4】有片玻璃片，每片上涂有红黄蓝三色之一，进行下列操作：将不同颜色的两块玻璃片擦净，然后涂上第三种颜色(例如将一块蓝玻璃和红玻璃片上的红色与蓝色擦掉，然后在两片上涂上黄色)．证明：(1)无论开始时，红、黄、蓝玻璃片各有多少片，总可以经过有限次操作而使所有玻璃片涂有同一种颜色；(2)最后变成哪一种颜色，与操作顺序无关．
【测5】设是奇数．试证存在个整数；，使得对任意一个整数
，下列个数；；；，
，被除所得的余数互不相同．
【测6】有个国家参加的一次国际会议，每个国家有两名代表．求证：不可能将位代表安排在一张圆桌的周围就座，使得任一国的两位代表之间都夹有个人．
第6讲数论初步-一次不定方程
【测1】证明：不定方程有整数解的充分必要条件是．
【测2】证明：若是方程的一组整数解，则方程的所有解是，其中为整数．
【测3】设正整数、互质，而正整数大于．证明：不定方程有非负整数解．
【测4】波尔达维亚是一个奇特的国家，它的货币单位是布尔巴基，可是钱币只有两种：金币与银币．每一金币等于布尔巴基，每一银币等于布尔巴基，和都是自然数．用金币
和银币可以组成10000布尔巴基，布尔巴基，布尔巴基等等．实际上，布尔达
维亚的货币体系并没有看上去那样奇特．(1)证明只要保证有钱可找，就能购买任何价值为
整数布尔巴基的货物．(2)证明任何超过布尔巴基的货款均可支付，而不需要找
钱．
【测5】证明方程有无穷多组满足如下条件的正整数解：其中，，两两不同，而
且它们中任何两数的乘积都可被第三个数整除．
【测6】证明对于任意的整数和，方程组有整数解．
第7讲数论初步-高斯函数
【测1】证明：对正实数，，有．
【测2】设为正整数，则
【测3】证明：，．
【测4】设，用不断除以，直到结果不能被整除为止，
一共可以除以________次．
【测5】，求
【测6】设，为任意实数，求证：；
【测7】证明，其中．
【测8】证明：对大于的实数，有．
【测9】设为大于的自然数，求证：．
【测10】求方程的所有实数解．
【测11】解方程．
【测12】求整数的末尾两位数字．
【测13】前个正整数当中，有多少个可以表示成的形式．【测14】证明方程无实数解．
【测15】解方程：
【测16】解方程．【测17】求使为质数的自然数的值．
【测18】求满足下式的所有自然数和：
第8讲几何变换之平移
【测1】平面上一个单位正方形与距离为的两条平行线均相交，使得正方形被两条平行线截出两
个三角形(在两条平行线之外)．证明：这两个三角形的周长之和与正方形在平面上的位置无关．
【测2】设，各为四边形的对边和的中点，和延长交于，过作
交于．求证：，，成等差数列
【测3】四边形中，，分别以，为底边作两个相似的等腰三角形，
(其中，，三点按逆时针顺序排列；，，三点也按逆时针顺序排列)，
设，的中点分别为，，证明：与平行．
【测4】设
是一个正三角形，在边上，在边上，在边上，
且凸六边形的六边长都相等．求证：三条直线
交于一
点．
第9讲几何变换之轴对称
【测1】设为凸六边形，满足，，,
设和是这个六边形内部的两点，使得试证明：
．
【测2】已知为平面上两个半径不等的圆与的一个交点，两圆的两条外公切线分别为
、，切点分别为、、、，、分别是、的中点．求证：．
【测3】设为的平分线上的一点，点和点分别在直线和上，其中，
．点在线段上，过点任作一直线分别交、于点
和．求证：若则并且若则．
【测4】在三角形中，，分别是和的角平分线，已知，
，试求三角形的三个内角的度数．
【测5】设的外心为，和分别为边和上的点，且，证
明：的周长不小于边之长．
第10讲几何变换之旋转
【测1】在正三角形的边上任取一点，设三角形与三角形的内心分别为
，外心分别为，求证：.
【测2】如图，设,,均为正三角形（顶点均按逆时针方向排列），,,
分别为,,的中点，求证：也是一个正三角形.
【测3】设是正方形内部一点，且满足以下三个条件：(1)；(2)，，
成等差数列；(3)，，成等比数列．证明：这样的点存在且唯一．
【测4】如左图，设为三角形所在平面上三点，满足：
．求证：
，且．
【测5】设圆与圆交于两点．圆在点的切线交圆于，圆在点的切线交
圆于．是的中点．求证：．。