2020-2021学年人教版数学八年级下册第18章 平行四边形 专项培优训练
人教版八年级数学下册第十八章《平行四边形》专题练习卷(培优班)(答案解析)
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。
--培根[答案]3-1 斜边中线一、选择题1. C二、填空题1.② ① 2.2 3.7 4.2.5 5三、解答题 （共1小题 , 共45分）1. 解：方法一：(1)连接DE ；∵AD ⊥BC ，E 是AB 的中点，∴DE 是R t △ABD 斜边上的中线，即AB DE 21=；∴DC=DE=BE ；又∵DG=DG ，∴R t △EDG ≌R t △CDG ；(HL) ∴GE=CG ，∴G 是CE 的中点．(2)由(1)知：BE=DE=CD ；∴∠B=∠BDE ，∠DEC=∠DCE ；∴∠B=∠BDE=2∠BCE ．方法二：(1)连接DE. ∵E 是AB 中点，∠ADB=90°DE=BE= AB∴BE AB DE ==21∵BE=CD∴DE=CD 又DG ⊥CE ∴G 是CE 的中点.(2)∵BE=DE∴∠B = ∠EDB∵ED=DC ，∴∠DEC = ∠BCE∴∠EDB = ∠DEC + ∠BCE = 2∠BCE即 ：∠B = 2∠BCE[答案]3-2 最短距离一、填空题1. 5 (作点A或E关于BC的对称点，然后再连接另一个点)2. 10 (连接CD，CD=PA+PD的最小值)3. 4 (连接AC，AE=PC+PE的最小值)34. 3 (连接AC，CM，CM=PM+PN的最小值)5. 5 (连接CM，点M、A’、C在同一直线上时，A’C有最小值)[答案]3-3 动点问题一、选择题1. A(PD=CQ ，即24-t=3t) 2. B(循环节是AD--CD--点C--BC--AB--...) 3. A (连接PO ，三角形AOD 的面积等于两个小三角形AOP 和DOP 面积之和)二、填空题1. 310 (PB=6-t 为底，BC 为高) 2. )43,43(- (两点之间用时是4秒) 三、解答题1. 解：(1)设t 秒时两点相遇， 根据题意得，t +2t =2(4+8)， 解得t =8，(2)①如图1，点M 在E 点右侧时，当AN=ME 时，四边形AEMN 为平行四边形， 得：8-t =9-2t ， 解得t =1，∵t =1时，点M 还在DC 上，∴t =1舍去；②如图2，点M 在E 点左侧时，当AN=ME 时，四边形AEMN 为平行四边形， 得：8-t =2t -9，解得317=t ∴经过317秒钟，点A 、E 、M 、N 组成平行四边形．。
2020-2021学年 人教版八年级数学下册《18.1平行四边形》单元综合培优提升训练
2021年度人教版八年级数学下册《18.1平行四边形》单元综合培优提升训练（附答案）1．如图，已知平行四边形ABCD中，E，F为对角线BD上两点，且AE⊥AD，CF⊥BC，AC＝BC．（1）求证：AE＝CF；（2）若∠EAC＝60°，求∠BAE的度数．2．如图，▱ABCD中，F在CD延长线上，DC＝DF，FB交AD于点E．求证：DE＝EA．3．如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形．4．如图▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝2，且AO：BO＝2：3．（1）求AC的长；（2）求▱ABCD的面积．5．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，M、N在对角线AC 上，且AM＝CN，求BM与DN的位置关系．6．如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点E，连接ME，已知AM＝4，∠BCE＝30°．（1）求线段EC的长；（2）求证：∠EMC＝2∠AEM．（3）如果EM＝8﹣AE，求△AEM的面积．7．如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，BH⊥EC 于点H．（1）求证：CH＝EH；（2）若AD＝5，CD＝3，求AE的长．8．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且∠B＝∠AEB．（1）求证：AE＝CD；（2）试判断AC与ED的数量关系，并说明理由．9．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，垂足为点O．求证：BM＝DN．10．如图，在▱ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，BE，CF相交于点G．（1）求证：BE⊥CF；（2）若AB＝5，CF＝6，求BE的长．11．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC上的点，且AE＝CF．求证：BE＝DF．12．如图，在▱ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，且AE＝CG，BF＝DH．求证：EG与FH互相平分．13．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，求EF长度的最大值．14．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且DE∥AC，DF∥AB．（1）求证：四边形AEDF是平行四边形；（2）当∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，求证：四边形AEDF是正方形．15．如图，D、E、F分别是△ABC三边中点，AH⊥BC于H．求证：（1）∠BDF＝∠BAC；（2）DF＝EH．16．如图，点E在BC上，△ABC≌△EAD．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AE平分∠DAB．∠EDC＝30°，求∠AED的度数．17．如图，在▱ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AF，DE分别与线段BC交于点F，E，AF与DE交于点G．（1）求证：AF⊥DE，BF＝CE．（2）若AD＝10，AB＝6，AF＝8，求DE的长度．18．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥BD，垂足为点F．（1）求证：AE＝CF；（2）若∠AOE＝74°，∠EAD＝3∠CAE，直接写出∠BCA的度数．19．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．画出图形，写出已知和求证，并证明．20．如图，在▱ABCD中，点E是对角线BD上的一点，过点C作CF∥BD，且CF＝DE，连接AE、BF．求证：AE＝BF．21．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交DA、BC延长线于点E、F．求证：AE＝CF．22．已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，EF与BD相交于点O，AE＝CF．求证：BD、EF互相平分．23．如图，在▱ABCD中，点E、F在直线AC上，且AE＝CF．求证：DE∥BF．24．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，求证：DE＝BF．25．如图，在▱ABCD中，E，F是对角线上的点，且BE＝DF，求证：AF＝CE．26．阅读下列材料：如图1，在四边形ABCD中，若AB＝AD，BC＝CD，则把这样的四边形称之为筝形．（1）如图2，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE＝AF，∠AEC ＝∠AFC．求证：四边形AECF是筝形．（2）如图3，在筝形ABCD中，AB＝AD＝26，BC＝DC＝25，AC＝17，求筝形ABCD 的面积．27．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF，连接AE并延长，交BC于点G，连接CF并延长，交AD于点H．（1）求证：AE＝CF；（2）若AC平分∠HAG，判断四边形AGCH的形状，并证明你的结论．28．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AF＝CE．（1）求证：△ADE≌△CBF．（2）若AC平分∠BAD，则四边形BEDF的形状是．29．如图，已知点E是平行四边形ABCD的边CD延长线上的一点；连接AE，BD，且AE ∥BD；过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，连接DF．求证：DF＝DE．30．如图，在四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，若△ADE≌△CBF．求证：四边形ABCD是平行四边形．31．如图，在▱ABCD中，∠ADC的平分线经过BC的中点E，与AB的延长线交于点F．求证：AE⊥DF．32．如图是某区部分街道示意图，其中CE垂直平分AF，AB∥DC，BC∥DF．从B站乘车到E站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B⇒D⇒A⇒E，且长度为5公里，路线2是B⇒C⇒F⇒E，求路线2的长度．33．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，点E、F分别为OA、OC 的中点，连接BE、DF、DE．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若BD＝2AB，且AB＝10，CF＝6，直接写出DE的长为．34．如图，平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F．（1）求证：△ABE≌△DFE；（2）连接CE，若BE平分∠ABC，且当BF＝8cm，BC＝5cm时，求EC的长．35．如图，在▱ABCD中，点E是CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，BE⊥AF．（1）求证：AE平分∠DAB；（2）若∠DAB＝60°，AB＝4，求▱ABCD的面积．36．如图，已知平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两个点，且BE＝DF．求证：四边形AECF为平行四边形．37．如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，且AB＝AC，CF是∠ACB的角平分线交AB于点F，在AD上取一点E，使AB＝AE，连接BE交CF于点P．（1）求证：BP＝CP；（2）若BC＝4，∠ABC＝45°，求平行四边形ABCD的面积．38．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在DB和BD的延长线上，且BE＝DF，连接CE、CF、AF．（1）求证：AF＝CE；（2）若AD⊥BD，∠BAD＝60°，AD＝2，BE＝1，求△CEF的面积．39．在平行四边形ABCD中，AC⊥CD，E为BC中点，点M在线段BE上，连接AM，在BC下方有一点N，满足∠CAD＝∠BCN，连接MN．（1）若∠BCN＝60°，AE＝5，求△ABE的面积；（2）若MA＝MN，MC＝EA+CN，求证：AB＝AE．40．如图，在平行四边形ABCD中，连接DB．过D点作DE⊥AB于点E，过BE上一点F 作FG⊥AD于点G，交DE于点P；过F作FH⊥DB于点H，连接EH．（1）若DE＝6，DC＝10，AD＝2，求BE的长．（2）若AE＝PE，求证：DH+HF＝EH．参考答案1．解：（1）证明：∵四边形ABCD平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBF，∵AE⊥AD，CF⊥BC，∴∠EAD＝∠FCB＝90°，在△EAD和△FCB中，，∴△EAD≌△FCB（ASA），∴AE＝CF；（2）∵∠EAC＝60°，∴∠CAD＝30°，∴∠ACB＝30°，∵AC＝BC．∴∠BAC＝75°，∴∠BAE＝15°．2．证明：在▱ABCD中，DC＝AB，DC∥AB，∴∠A＝∠FDE，∵DC＝DF，∴DF＝AB，在△ABE和△DFE中，，∴△ABE≌△DFE（AAS），∴AE＝DE．3．证明：（1）∵DF∥BE，∴∠DFE＝∠BEF．在△ADF和△CBE中，，∴△AFD≌△CEB（SAS）；（2）由（1）知△AFD≌△CEB，∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，∴AD∥BC．∴四边形ABCD是平行四边形．4．解：（1）∵AC⊥AB，∴∠BAO＝90°，∵AO：BO＝2：3，∴设AO＝2a，BO＝3a，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2AO＝4a，在Rt△BAO中，由勾股定理得：22+（2a）2＝（3a）2，解得：a＝，∴AC＝4a＝；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥AB，∴▱ABCD的面积是AB•AC＝2×＝．5．解：BM∥DN；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵AM＝CN，∴OM＝ON，在△BOM和△DON中，，∴△BOM≌△DON（SAS），∴∠OBM＝∠ODN，∴BM∥DN．6．（1）解：∵M为AD的中点，AM＝4，∴AD＝2AM＝8．在▱ABCD的面积中，BC＝AD＝8，又∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∵∠BCE＝30°，∴BE＝BC＝4，∴EC＝＝4；（2）证明：延长EM，CD交于点N．∵在▱ABCD中，AB∥CD，∴∠AEM＝∠N，在△AEM和△DNM中∵，∴△AEM≌△DNM（ASA），∴EM＝MN，又∵AB∥CD，CE⊥AB，∴CE⊥CD，∴CM是Rt△ECN斜边的中线，∴MN＝MC，∴∠N＝∠MCN，∴∠EMC＝2∠N＝2∠AEM；（3）解：设AE＝x，由（2）△AEM≌△DNM（ASA），∴AE＝DN＝x，∴DC＝AB＝AE+EB，∴DC＝x+4，∴NC＝DC+DN＝2x+4，∵MN＝ME，∴EN＝2EM＝2（8﹣AE）＝16﹣2x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ECN＝∠BEC＝90°，在Rt△ECN中，EC2+CN2＝EN2，∴（16﹣2x）2＝（4）2+（2x+4）2，解得：x＝，∴NC＝2x+4＝，∴S△ECN＝×4×＝，∵M是EN的中点，∴S△EMC＝S△NMC＝S△ECN＝，过M作CN的垂线，垂足为G，∴S△NMC＝CN•MG＝×MG＝，∴MG＝2，∴S△NMD＝DN•MG＝×MG＝，由（2）△AEM≌△DNM（ASA），∴S△AEM＝S△NMD＝．7．解：（1）∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，∵平行四边形ABCD中，DC∥AB，∴∠E＝∠DCE，∴∠E＝∠BCE，∴BC＝BE，又∵BH⊥CE，∴CH＝EH；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，又∵BE＝BC，∴BE＝5，∴AE＝BE﹣AB＝5﹣3＝2．8．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∵∠B＝∠AEB，∴AE＝AB，∴AE＝CD；（2）解：AC＝ED；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠ADC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵∠B＝∠AEB，∴AE＝AB，∠B＝∠AEB＝∠DAE＝∠ADC，∴AE＝CD，且∠DAE＝∠ADC，AD＝AD，∴△ADC≌△DAE（SAS），∴AC＝ED．9．证明：∵MN是AC的垂直平分线，∴AO＝CO，∠AOM＝∠CON＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠M＝∠N，在△AOM和△CON中，，∴△AOM≌△CON（AAS），∴AM＝CN，∵AB＝CD，∴BM＝DN．10．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，∴∠EBC+∠FCB＝ABC+∠DCB＝90°，∴EB⊥FC；（2）解：如图，过A作AM∥FC，∵AM∥FC，∴∠AOB＝∠FGB，∵EB⊥FC，∴∠FGB＝90°，∴∠AOB＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE＝5，∵AO⊥BE，∴BO＝EO，在△AOE和△MOB中，，∴△AOE≌△MOB（ASA），∴AO＝MO，∵AF∥CM，AM∥FC，∴四边形AMCF是平行四边形，∴AM＝FC＝6，∴AO＝3，∴EO＝＝4，∴BE＝8．11．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，OA＝OC，∵AE＝CF．∴OE＝OF，∵OB＝OD，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BE＝DF．12．证明：连接EF，FG，GH，HE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，∵AE＝CG，BF＝DH，∴AH＝CF，BE＝DG，在△AEH和△CGF中，，∴△AEH≌△CGF（SAS），∴EH＝GF，同理：GH＝EF，∴四边形EFGH为平行四边形，∴EG与FH互相平分．13．解：连接BD、DN，在Rt△ABD中，DB＝＝＝6，∵点E、F分别为DM、MN的中点，∴EF＝DN，由题意得，当点N与点B重合时，DN最大，∴DN的最大值是6，∴EF长度的最大值是3．14．证明：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，∴DE∥AF，DF∥AE，∴四边形AEDF是平行四边形；（2）由（1）得：四边形AEDF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，∴平行四边形AEDF是矩形，∴∠AED＝90°，又∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAF＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝DE，∴四边形AEDF是正方形．15．证明：（1）∵D、F分别是AB、BC边中点，∴DF是△ABC的中位线，∴DF∥AC，DF＝AC，∴∠BDF＝∠BAC；（2）∵AH⊥BC于H，E是AC的中点，∴EH＝AC，∴DF＝EH．16．（1）证明：∵△ABC≌△EAD，∴BC＝AD，∠B＝∠EAD，AB＝EA，∴∠B＝∠AEB，∴∠EAD＝∠AEB，∴BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：由（1）得：∠B＝∠AEB＝∠EAD，四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠B，∵AE平分∠DAB，∴∠BAE＝∠EAD，∴∠B＝∠AEB＝∠BAE，∴△ABE是等边三角形，∴∠ADC＝∠B＝∠BAE＝∠EAD＝60°，∴∠ADE＝∠ADC﹣∠EDC＝60°﹣30°＝30°，∴∠AED＝190°﹣60°﹣30°＝90°．17．（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，∴∠BAD+∠ADC＝180°．∵AE，DF分别是∠BAD，∠ADC的平分线，∴∠DAE＝∠BAE＝∠BAD，∠ADF＝∠CDF＝∠ADC．∴∠DAE+∠ADF＝∠BAD+∠ADC＝90°．∴∠AGD＝90°．∴AE⊥DF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD，∴∠DAF＝∠AFB，又∵∠DAF＝∠BAF，∴∠BAF＝∠AFB，∴AB＝BF，同理可得CD＝CE，∴BF＝CE；（2）解：过点C作CK∥AF交AD于K，交DE于点I，∵AK∥FC，AF∥CK，∴四边形AFCK是平行四边形，∠AGD＝∠KID＝90°，∴AF＝CK＝8，∵∠KDI+∠DKI＝90°，∠DIC+∠DCI＝90°，∠IDK＝∠IDC，∴∠DKI＝∠DCI，∴DK＝DC＝6，∴KI＝CI＝4，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC＝∠CDE，∴CE＝CD，∵CI⊥DE，∴EI＝DI，∵DI＝＝＝2，∴DE＝2DI＝4．18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∵∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴AE＝CF．（2）解：∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°，∵∠AOE＝74°，∴∠EAO＝90°﹣∠AOE＝16°，∵∠EAD＝3∠CAE，∴∠EAD＝3×16°＝48°，∴∠DAC＝∠DAE﹣∠EAO＝48°﹣16°＝32°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BCA＝∠DAC＝32°．19．解：已知：如图，在△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE＝BC．证明：延长DE至F，使EF＝DE，连接CF，∵E是AC中点，∴AE＝CE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴AD＝CF，∠ADE＝∠F，∴BD∥CF，∵AD＝BD，∴BD＝CF，∴四边形BCFD是平行四边形，∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥CB，DE＝BC．20．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，又∵CF∥DB，∴∠DBC＝∠BCF，∴∠ADB＝∠BCF，在△ADE和△BCF中，，∴△ADE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF．21．证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴AO＝CO，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF．22．证明：连接BE、DF，如图所示：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，又∵AE＝CF，∴DE＝BF，∴四边形EBFD为平行四边形，∴BD、EF互相平分．23．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD＝CB，∴∠DAF＝∠BCE，∴∠DAE＝∠BCF，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴∠DEA＝∠BFC，∴DE∥BF．24．证明：∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴BO＝DO，AD∥BC，∴∠EDO＝∠FBO，在△DOE和△BOF中，，∴△DOE≌△BOF（ASA），∴DE＝BF．25．证明：如图，在▱ABCD中，AD∥CB，AD＝CB，∴∠ADF＝∠CBE，∵BE＝DF，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AF＝CE．26．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∵∠AEC＝∠AFC，∠AEC+∠AEB＝∠AFC+∠AFD＝180°，∴∠AEB＝∠AFD，∵AE＝AF，∴△AEB≌△AFD（AAS），∴AB＝AD，BE＝DF，∴平行四边形ABCD是菱形，∴BC＝DC，∴EC＝FC，∴四边形AECF是筝形．（2）如图∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC（SSS），过点B作BH⊥AC，垂足为H，在Rt△ABH中，BH2＝AB2﹣AH2＝262﹣AH2，在Rt△CBH中，BH2＝CB2﹣CH2＝252﹣（17﹣AH）2，∴262﹣AH2＝252﹣（17﹣AH）2，∴AH＝10，∴BH＝＝24，∴S△ABC＝×17×24＝204．∴筝形ABCD的面积＝2S△ABC＝408．27．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（SAS），∴AE＝CF．（2）四边形AGCH是菱形．理由如下：∵△AOE≌△COF，∴∠EAO＝∠FCO，∴AG∥CH，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴四边形AGCH是平行四边形，∵AD∥BC，∵AC平分∠HAG，∴∠HAC＝∠GAC，∵∠GAC＝∠ACB，∴GA＝GC，∴平行四边形AGCH是菱形．28．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，∵AF＝CE．∴AF﹣EF＝CE﹣EF，∴AE＝CF，∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）四边形BEDF的形状是菱形，理由如下：∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠DAC＝∠BCA，∴∠BAC＝∠BCA，∴BA＝BC，∴AD＝AB，∵AE＝AE，∴△ADE≌△ABE（SAS），∴DE＝BE，∵△ADE≌△CBF，∴DE＝BF，∠DEA＝∠BFC，∴∠DEF＝∠BFE，∴DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵DE＝BE，∴平行四边形BEDF是菱形．故答案为：菱形．29．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，又∵AE∥BD∴四边形ABDE是平行四边形；∴AB＝DE，即CD＝DE；又∵EF⊥BC于点F，∴在Rt△CEF中，点D是斜边CE的中点，∴DF＝DE．30．证明：∵△ADE≌△CBF，∴AD＝BC，AE＝CF，∵E、F分别为边AB、CD的中点，∴AB＝2AE，CD＝2CF，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．31．证明：∵E是BC边的中点，∴BE＝EC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠F＝∠CDE，在△BEF和△CED中，∴△CDE≌△BFE（AAS）；∵DF平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠F＝∠CDE，∴∠F＝∠ADF，∴AD＝AF，∵△CDE≌△BFE，∴EF＝ED，∴AE⊥DF．32．解：延长FD交AB于点G，∵BC∥DF，AB∥DC，∴四边形BCDG是平行四边形，∴DG＝CB．∵CE垂直平分AF，∴FE＝AE，DE∥AG，∴FD＝DG，∴CB＝FD．又∵BC∥DF，∴四边形BCFD是平行四边形，∴CF＝BD，∵CE垂直平分AF，∴AE＝FE，FD＝DA，∴BC＝DA，∴路线2的长度：BC+CF+FE＝AD+BD+AE＝5（公里）．33．解：（1）∵平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∴AO＝CO，又∵点E，F分别为OA、OC的中点，∴AE＝CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠DCF，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）∵△ABE≌△CDF，∴BE＝DF，AE＝CF，∵BD＝2AB，平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∴AB＝OB＝OD＝CD，∵AB＝10，CF＝6，∴AB＝OB＝OD＝CD＝10，AE＝6，∵AB＝OB，点E、F分别为OA、OC的中点，∴BE⊥AO，DF⊥CO，AE＝CF＝EO＝OF＝6，∴DF＝BE＝8，EF＝12，在Rt△DEF中，DE＝＝＝4．34．（1）证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABE＝∠F，∠A＝∠EDF，又∵AE＝DE，∴△ABE≌△DFE．（2）∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠ABE＝∠F，∴∠CBE＝∠F，∴CB＝CF，∵△ABE≌△DFE，∴BE＝FE＝BF＝×8＝4，∴CE⊥BF，∴∠BEC＝90°，∴EC＝＝3（cm）．∴EC的长为3cm．35．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠EFC，∵点E是CD边的中点，∴DE＝CE，在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（AAS），∴AE＝FE，∵BE⊥AF．∴BA＝BF，∴∠BAF＝∠BF A，∵∠DAE＝∠BF A，∴∠DAE＝∠BAF，∴AE平分∠DAB；（2）∵∠DAB＝60°，AB＝4，∴∠DAE＝∠BAF＝30°，∵BE⊥AF．∴BE＝AB＝2，∴AE＝BE＝2，∵△ADE≌△FCE，∴△ADE的面积＝△FCE的面积，∴▱ABCD的面积＝△ABF的面积＝2△ABE的面积＝2××AE•BE＝2×2＝4．36．证明：连接对角线AC交对角线BD于点O．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵点E，F是对角线BD上的两点，且BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形．37．解：（1）设AP与BC交于H，∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∴∠ABE＝∠CBE，∴BE平分∠ABC，∵CF是∠ACB的角平分线，BE交CF于点P，∴AP平分∠BAC，∵AB＝AC，∴AH垂直平分BC，∴PB＝PC；（2）∵AH垂直平分BC，∴AH⊥BC，BH＝CH＝BC＝2，∵∠ABH＝45°，∴AH＝BH＝2，∴平行四边形ABCD的面积＝4×2＝8．38．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ADF＝∠CBE，∵BE＝DF，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AF＝CE；（2）解：∵AD⊥BD，∠BAD＝60°，AD∥BC，∴∠ABD＝30°，BC⊥BD，∵BC＝AD＝，∴AB＝2AD＝，∴BD＝，∵DF＝BE＝1，∴EF＝DF+BD+BE＝8，∴S△CEF＝．39．（1）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACB＝∠BCN＝60°，又AC⊥CD，∴AB⊥AC，∴∠B＝30°，在Rt△ABC中，E为BC的中点，∴BC＝2AE＝10，∴AC＝BC＝5，∴，∴；（2）证明：延长CN至G，使CG＝AC，由（1）知∠ACM＝∠GCM，又MC＝MC，∴△ACM≌△GCM，∴AM＝GM，∠MAC＝∠G，又AM＝MN，∴GM＝MN，∴∠G＝∠MNG＝∠MAC＝∠MAE+∠EAC，又由（1）可得EC＝EA，∴∠EAC＝∠ACE＝∠NCM，∵∠MNG＝∠NCM+∠NMC，∴∠NMC＝∠MAE，在MC上截取MF＝AE，∴△MAE≌△NMF，∴ME＝FN，又MC＝ME+CE＝MF+CF，MC＝EA+CN，∵EA＝MF＝CE，∴ME＝CN＝FN＝CF，∴△NCF为等边三角形，∴∠MCN＝60°，∴∠ACB＝60°，∴∠ABC＝30°，∴，∵AE＝BC，∴AB＝AE．40．解：（1）∵DE⊥AB，∴AE＝＝＝2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝10，∴BE＝AB﹣AE＝8；（2）方法一：如图，过点E作EM⊥HE，交HF的延长线于点M，连接AP，GE，DF，∵AE＝PE，且DE⊥AE，∴∠P AE＝∠APE＝45°，∵∠AGP＝∠AEP＝90°，∴点A，点E，点P，点G四点共圆，∴∠PGE＝∠P AE＝45°，∵∠DGF＝∠DEF＝90°，∴点D，GH，点E，点F四点共圆，∴∠EDF＝∠PGE＝45°，∴∠EDF＝∠DFE＝45°，∴DE＝EF，∵∠DHF＝∠DEF＝90°，∴点D，点E，点F，点H四点共圆，∴∠DFE＝∠DHE＝45°，∠EDF＝∠EHF＝45°，且EM⊥EH，∴∠M＝∠EHF＝45°，∴EH＝EM，∴HM＝EH，∵∠DEB＝∠HEM＝90°，∴∠DEH＝∠FEM，且∠DHE＝∠M＝45°，DE＝EF，∴△DEH≌△FEM（AAS）∴DH＝MF，∴DH+HF＝MF+HF＝HM＝EH．方法二：∵∠AED＝∠DGP＝∠PEF＝90°，∠DPG＝∠EPF，∴∠ADE＝∠PFE，∴△ADE≌△PFE（AAS），∴DE＝EF，延长BD到Q使DQ＝FH，∵FH⊥BD，∴∠EDB+∠DBE＝∠HFB+∠HBF＝90°，∴∠EPB＝∠HFB，∴∠QDE＝∠HFE，∴△EQD≌△EFH（SAS），∴∠QED＝∠HEF，QE＝EH，∴∠QEH＝∠DEB＝90°，∴△QEH是等腰直角三角形，∴QH＝EH，∴DH+FH＝EH．。
2020-2021学年八年级数学人教版下册 第18章平行四边形 单元综合培优训练题(附答案)
2020-2021年度人教版八年级数学下册第18章平行四边形单元综合培优训练题（附答案）1．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是（）A．当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形B．当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形C．当AC平分∠BAD时，四边形ABCD是菱形D．当∠DAB＝90°时，四边形ABCD是正方形2．如图，矩形ABCD中，BC＞AB，对角线AC、BD交于O点，且AC＝10，过B点作BE ⊥AC于E点，若BE＝4，则AD的长等于（）A．8B．10C．3D．43．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝6，点E在边AD上，点F在BC的延长线上，且满足BF＝BE＝8，过点C作CE的垂线交BE于点G，若CE恰好平分∠BEF，则BG的长为（）A．2B．3C．4D．24．如图，在正方形ABCD中，M为边BC上的一点，MN⊥BC交BD于点N，连接AM交BD于点E，F为DN中点，连接AF．有下列说法：①BN＝BM；②∠BAF＝∠AEF；③BE2+DF2＝EF2；④AB﹣MN＝DF．其中正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一直线l上，且EF＝2，AB＝6，给出下列结论：①AE＝10，②∠COD＝45°，③△COF的面积S△COF＝6，④CF＝BD＝2，其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④6．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA＝1：3，且AC＝10，则OE的长度是（）A．B．5C．3D．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF 中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2B．4C．D．28．如图，正方形ABCD的边长AB＝8，E为平面内一动点，且AE＝4，F为CD上一点，CF＝2，连接EF，ED，则EF+ED的最小值为（）A．6B．4C．4D．69．如图，AB⊥AF，EF⊥AF，BE与AF交于点C，点D是BC的中点，∠AEB＝2∠B．若BC＝8，EF＝，则AF的长是（）A．B．C．3D．510．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则AC的长是（）A．3B．2C．D．411．矩形ABCD的周长是34cm，对角线相交于O，△AOD与△AOB的周长相差1cm，则AB的长是．12．已知：如图，∠MON＝90°，四边形ABCD为矩形，A、B两点分别在射线ON、OM 上，AD＝2，AB＝4，A、B两点在ON、OM上滑动时，C、D点随之运动，则线段OD 的最大值为．13．如图，▱ABCD中，AB＝10cm，AD＝15cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A 向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），在运动以后，当以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形时，运动时间t为秒．14．如图，在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在直线DC、CB上移动，连接AE和DF交于P，若AD＝6，则线段CP的最小值为．15．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，对角线AC、BD相交于点E，E为BD中点，且AD＝BD，AB＝2，∠BAC＝30°，则DC＝．16．如图，四边形ABCD为正方形，AB为边向正方形外作等边三角形ABE、CE与DB相交于点F，则∠AFD＝度．17．如图，点M为正方形ABCD边CD的中点，连接AM、BM，BM交对角线AC于点P，连接PD交AM于点Q，如果AB长为9，那么PQ的长为．18．如图，M为矩形ABCD中AD边中点，E、F分别为BC、CD上的动点，且BE＝2DF，若AB＝1，BC＝2，则ME+2AF的最小值为．19．已知：正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠DBC的平分线BF交CD于点E，交AC于点F，OF＝1，则AB＝．20．已知如图，正方形ABCD的边长为4，取AB边上的中点E，连接CE，过点B作BF⊥CE于点F，连接DF．过点A作AH⊥DF于点H，交CE于点M，交BC于点N，则MN ＝．21．如图，已知正方形ABCD和等边△DCE，点F为CE的中点，AE与DF相交于点G，AG＝2．（1）直接写出GE＝；（2）求出DG的长；（3）如图，若将题中“等边△DCE”改为“DC＝DE的等腰△DCE”，其他条件不变，求出BG+DG的值．22．如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H．（1）求EF的长；（2）求△DEF的面积．23．在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE＝AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB＝∠EAB，连接AG．（1）如图①，当EF与AB相交时，若∠EAB＝60°，求证：EG＝AG+BG；（2）如图②，当EF与CD相交时，且∠EAB＝90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．24．如图1，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB＝45°（1）求证：AG＝FG；（2）如图2延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM＝10，求FD 的长．25．如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是AB和BC延长线上的点，且AE＝CF．（1）求证：△ADE≌△CDF；（2）连接EF，若AB＝3，AE＝1，求EF的长．26．如图1，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E、F分别是边AB、AD上两个动点，满足AE＝DF，连接BF与DE相交于点G．（1）如图2，连接BD，求∠BGD的度数；（2）如图3，作CH⊥BG于H点，求证：2GH＝DG+BG．27．如图，平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB＝AC，延长BC到点E，使CE ＝BC，连接AE，分别交BD、CD于点F、G．（1）求证：△ADB≌△CEA；（2）若BD＝9，求AF的长．28．已知四边形ABCD是正方形，点P，Q在直线BC上，且AP∥DQ，过点Q作QO⊥BD，垂足为点O，连接OA，OP．（1）如图，点P在线段BC上，①求证：四边形APQD是平行四边形；②判断OA，OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；（2）若正方形ABCD的边长为2，直接写出BP＝1时，△OBP的面积．参考答案1．解：①由矩形的判定“对角线相等的平行四边形是矩形”可知，A正确；②由菱形的判定“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可知，B正确；③∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAB，∵CD∥AB，∴∠DCA＝∠CAB，∴∠DAC＝∠DCA，∴DA＝DC，∴平行四边形ABCD是菱形，故C正确；④在平行四边形ABCD中，∵∠DAB＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，而不能判定其是正方形，故D错误；故选：D．2．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，设AD＝BC＝a，AB＝DC＝b，∵AC＝10，BE⊥AC，BE＝4，∴a2+b2＝102，又∵S矩形ABCD＝2S△ABC∴ab＝2××10×4＝40，∵BC＞AB，解得：a＝4，b＝2，即AD＝4，故选：D．3．解：如图，延长EF，GC两条线相交于点H，过点G作GP∥EF交BC于点P，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝6，∵BF＝BE＝8，∴CF＝BF﹣BC＝2，∵CE平分∠BEF，∴∠GEC＝∠HEC，∵CE⊥GC，∴∠ECG＝∠ECH＝90°，在△ECG和△ECH中，，∴△ECG≌△ECH（ASA），∴CG＝CH，∵GP∥EF，∴∠PGC＝∠FHC，在△PCG和△FCH中，，∴△PCG≌△FCH（ASA），∴CP＝CF＝2，∴BP＝BF﹣PF＝8﹣4＝4，∵BF＝BE，∴∠BEF＝∠BFE，∵GP∥EF，∴∠BGP＝∠BEF，∠BPG＝∠BFE，∴∠BGP＝∠BPG，∴BG＝BP＝4．故选：C．4．解：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC＝45°，∵MN⊥BC，∴∠BMN＝90°，∴△MNB是等腰直角三角形，∴BM＝MN，∴BN＝BM；故①正确；②过F作GH⊥BC于H，交AD于G，连接FM、FC，∵AD∥BC，∴GH⊥AD，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∠ADF＝∠CDF＝45°，∵DF＝DF，∴△ADF≌△CDF，∴AF＝CF，∵∠FDG＝45°，∠FGD＝90°，∴△FGD是等腰直角三角形，∴FG＝DG＝CH，∴Rt△AFG≌Rt△FCH（HL），∴∠F AG＝∠CFH，∵MN∥FH∥DC，F是DN的中点，∴MH＝CH，∵FH⊥CM，∴FM＝FC，∴∠MFH＝∠CFH＝∠F AG，∵∠AGF＝∠F AG+∠AFG＝∠MFH+∠AFG＝90°，∴∠AFM＝90°，∵AF＝FC＝FM，∴△AFM是等腰直角三角形，∴∠MAF＝45°，∵∠BAF＝∠BAM+∠MAF＝∠BAM+45°，∠AEF＝∠BAM+∠ABE＝∠BAM+45°，∴∠BAF＝∠AEF；故②正确；③∵AD＝AB，∠DAB＝90°，∴将△AFD绕点A顺时针旋转90°至△ABF'，∴△AFD≌△AF'B，∴DF＝BF'，∠ABF'＝∠ADF＝45°，AF＝AF'，∴∠EBF'＝45°+45°＝90°，∴EF'2＝BF'2+BE2＝DF2+BE2，∵∠F'AE＝∠F'AB+∠BAE＝∠F AD+∠BAE＝45°＝∠EAF，AN＝AN，∴△F'AE≌△F AE，∴EF＝EF'，∴EF2＝BE2+DF2；故③正确；④过F作FR⊥CD，垂足为P，使FP＝PR，连接DR、RC，∵∠FDP＝45°，∴∠DFP＝45°，∴FP＝PD＝PR，∴∠FDR＝90°，△FDR是等腰直角三角形，∴FR＝DF，∵FR＝2FP，CM＝2CH＝2FP，∴FR＝CM，∵AB＝CB，BM＝MN，∴CM＝BC﹣BM＝AB﹣BM＝AB﹣MN，∴AB﹣MN＝DF，故④正确；本题正确的结论有：①②③④，4个故选：D．5．解：①∵EF＝2，∴OE＝4，∵AO＝AB＝6，∴AE＝AO+OE＝6+4＝10，故正确；②∵∠AOC＝90°，∠DOE＝45°，∴∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝45°，故正确；③作FG⊥CO交CO的延长线于G，则FG＝2，∴△COF的面积S△COF＝×6×2＝6，故正确；④作DH⊥AB于H，CF＝＝2，BH＝6﹣2＝4，DH＝6+2＝8，BD＝＝4，故错误．故选：A．6．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，AC＝BD＝10，OA＝OC＝AC＝5，OB＝OD＝BD＝5，∴OC＝OD，∵∠EDC：∠EDA＝1：3，∠EDC+∠EDA＝90°，∴∠EDC＝22.5°，∠EDA＝67.5°，∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°，∴∠DCE＝90°﹣∠EDC＝67.5°，∴∠ODC＝∠OCD＝67.5°，∴∠ODC+∠OCD+∠DOC＝180°，∴∠COD＝45°，∴OE＝DE，∵OE2+DE2＝OD2，∴（2DE）2＝OD2＝25，∴DE＝，故选：D．7．解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF．∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝1．∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．∴∠DP2P1＝90°．∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长．在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝1．∴BP1＝．∴PB的最小值是．故选：C．8．解：如图，当点E运动到点E′时，EF+ED的值最小，最小值为EF+DE'，在AD边上取AH＝2，∵AE′＝AE＝4，∴＝2，∵AD＝8，∴＝2，∴，∵∠DAE′＝∠E′AH，∴△DAE′∽△E′AH，∴＝2，∴E′H＝DE'，∴EF+ED＝EF+E′D＝EF+E′H＝HF，∴EF+ED的最小值为HF的值，∵DH＝AD﹣AH＝6，DF＝DC﹣CF＝6，在Rt△DHF中，根据勾股定理，得HF＝，故选：A．9．解：∵AB⊥AF，∴∠F AB＝90°，∵点D是BC的中点，∴AD＝BD＝BC，∴∠DAB＝∠B，∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝2∠B，∵∠AEB＝2∠B，∴∠AED＝∠ADE，∴AE＝AD，∵BC＝8，∴AE＝AD＝4，∵EF＝，EF⊥AF，∴AF＝＝＝3，故选：C．10．解：连接OB，过B作BM⊥x轴于M，∵点B的坐标是（1，3），∴OM＝1，BM＝3，由勾股定理得：OB＝＝，∵四边形OABC是矩形，∴AC＝OB，∴AC＝，故选：C．11．解：由图易得：OB＝OD，那么△AOD与△AOB的周长相差1cm其实就是AD与AB相差1cm当AD比AB长1cm时，AD+AB＝AB+1+AB＝17，AB＝8；当AD比AB短1cm时，AD+AB＝AB﹣1+AB＝17，AB＝9．因此AB的长为8或9cm．故AB的长为8或9cm．12．解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，∵OD＜OE+DE，∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，∵AB＝4，BC＝2，∴OE＝AE＝AB＝2，DE＝＝2，∴OD的最大值为：2+2．故答案为：2+2．13．解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，∵P在AD上运动，∴t≤，即t≤15，∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，∴DP＝BQ，分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B﹣C，方程为4t﹣15＝15﹣t，解得：t＝6；②点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，方程为15﹣（4t﹣30）＝15﹣t，解得：t＝10；③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，方程为4t﹣45＝15﹣t，解得：t＝12；故答案为：6或10或12．14．解：由题意得：AD＝CD，DE＝FC，∠ADC＝∠DCF＝90°，∴△DCF≌△ADE（SAS），∴∠DAE＝∠FDC，∴∠APD＝90°，即：相当于点P始终在以AD为直径的圆上，取AD的中点Q，当Q、P、C三点共线时，PC最小，PC＝CQ﹣PQ＝﹣3＝3﹣3．故：答案是3﹣3．15．解：如图，在EA上取一点K，使得EK＝CE，连接DK，BK，延长DK交AB于H．∵DE＝EB，CE＝EK，∴四边形BCDK是平行四边形，∴CD＝BK，DK∥BC，∵BC⊥AB，∴DH⊥AB，∵DA＝DB，∴AH＝HB＝1，∴KA＝KB＝CD，在Rt△AKH中，AK＝AH÷cos30°＝，∴CD＝，故答案为．16．解：∵∠CBA＝90°，∠ABE＝60°，∴∠CBE＝150°，∵四边形ABCD为正方形，三角形ABE为等边三角形∴BC＝BE，∴∠BEC＝15°，∵∠FBE＝∠DBA+∠ABE＝105°，∴∠BFE＝60°，在△CBF和△ABF中，，∴△CBF≌△ABF（SAS），∴∠BAF＝∠BCE＝15°，又∠ABF＝45°，且∠AFD为△AFB的外角，∴∠AFD＝∠ABF+∠F AB＝15°+45°＝60°．故答案为60．17．解：如图，延长P交BC于H．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝AD＝BC＝9，AB∥CD，AD∥BC，∵DM＝CM＝4.5，∴PC：P A＝CM：AB＝1：2，CH：AD＝CP：P A＝1：2，∴AD＝2CH，∴CB＝2CH，∴CH＝BH＝4.5，∵AD＝CD，∠ADM＝∠DCH，DM＝CH，∴△ADM≌△DCH，∴∠DAM＝∠CDH，∵∠DAM+∠AMD＝90°，∴∠CDH+∠DMA＝90°，∴∠DQM＝90°，∵DH＝＝，∵DP{PH＝AD：CH＝2：1，∴DP＝DH＝3，∵AM＝DH＝，∴DQ＝＝，∴PQ＝PD﹣DQ＝，故答案为．18．解：如图，过点M作MH⊥BC于H．设DF＝x，则BE＝2x．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，∵MH⊥BC，∴∠MHB＝90°，∴四边形ABHM是矩形，∴AM＝DM＝BH＝1，AB＝MH＝1，∴EH＝1﹣2x，∴ME+2AF＝+2＝+，欲求ME+2AF的最小值，相当于在x轴上找一点Q（2x，0），使得点Q到J（0，4），和K（1，1）的距离之和最小（如下图），作点J关于x轴的对称点J′，连接KJ′交x轴于Q，连接JQ，此时JQ+QK的值最小，最小值＝KJ′，∵J′（0，﹣4），K（1，1），∴KJ′＝＝，∴ME+2AF的最小值为，故答案为．19．解：如图作FH∥BC交BD于点H．∵四边形ABCD是正方形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，OB＝OC，∠BOC＝90°∵FH∥BC，∴∠OHF＝∠OBC，∠OFH＝∠OCB，∴∠OHF＝∠OFH，∴OH＝OF＝1，FH＝＝，∵BF平分∠OBC，∴∠HBF＝∠FBC＝∠BFH，∴BH＝FH＝，∴OB＝OC＝1+，∴BC＝OB＝2+．故答案为2+．20．解：如图，延长DF交AB于P．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠ABN＝∠DAP＝90°，∵AN⊥DP，∴∠APD+∠P AH＝90°，∠ANB+∠P AH＝90°，∴∠APD＝∠ANB，∴△ADP≌△BAN，∴AN＝DP，∵BF⊥EC，∴∠EBF+∠BEF＝90°，∠BCE+∠BEC＝90°，∴∠EBF＝∠BCE，∴tan∠EBF＝tan∠BCE＝，∵AB＝BC，BE＝AE，∴tan∠EBF＝tan∠BCE＝，设EF＝a，则BF＝2a，CF＝4a，∵PE∥DC，∴＝＝，∵CD＝4，∴PE＝1，∵BE＝2，∴PE＝PB＝1，∴PF＝BE＝1，AP＝3，在Rt△ADP中，DP＝＝5，∴DF＝4，BN＝AP＝3，CN＝1，∴DC＝DF，∴∠DFC＝∠DCF，∵∠BCE+∠DCF＝90°，∠FMH+∠DFC＝90°，∠FMH＝∠NMC，∴∠NCM＝∠NMC，∴MN＝CN＝1．故答案为1．21．解：（1）如图1，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC＝45°，∵点F为等边△DCE边CE的中点，∴DF是CE的垂直平分线，∴GE＝GC，∵∠ADE＝90°+60°＝150°，AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA＝15°，∴∠GEC＝∠GCE＝60°﹣15°＝45°，∴GC⊥AE，∴△AGC为直角三角形，∵∠GAC＝∠DAC﹣∠DAE＝45°﹣15°＝30°，AG＝2，∴GC＝GE＝AG＝2；故答案为：2；（2）由（1）可得AC＝4，则DC＝2，在等边△DCE中DF＝，在等腰直角△CGE中，由斜边上中线等于斜边的一半得GF＝，∴DG＝﹣．（3）如图2，过D作DN⊥AE于N，过A作AM⊥AE交GD的延长线于M，∵∠ADN+∠CDN＝90°，∠ADN+∠DAN＝90°，∴∠DAN＝∠CDN，∵AD＝DC＝DE，∴∠DAN＝∠CDN＝∠DEA，∵F是CE中点，∴∠CDF＝∠EDF，∵∠NDG＝∠CDN+∠CDF，∠DGN＝∠DEA+∠EDF，∴∠NDG＝∠DGN＝45°，∴∠M＝45°，∴AM＝AG，∵∠DAM+∠DAN＝90°，∠BAG+∠DAN＝90°，∴∠DAM＝∠BAG，在△MAD和△GAB中，，∴△MAD≌△GAB（SAS），∴BG＝DM，∴BG+DG＝DM+DG＝MG＝AG＝×2＝2．22．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝4，AB∥CD，AB＝CD＝3，∵E为BC中点，∴BE＝CE＝2，∵∠B＝60°，EF⊥AB，∴∠FEB＝30°，∴BF＝1，由勾股定理得：EF＝；（2）∵AB∥CD，∴∠B＝∠ECH，在△BFE和△CHE中，，∴△BFE≌△CHE（ASA），∴EF＝EH＝，CH＝BF＝1，∵S△DHF＝DH•FH＝4，∴S△DEF＝S△DHF＝2．23．（1）证明：如图①，作∠GAH＝∠EAB交GE于点H．∴∠GAB＝∠HAE．∵∠EAB＝∠EGB，∠APE＝∠BPG，∴∠ABG＝∠AEH．在△ABG和△AEH中，，∴△ABG≌△AEH（ASA）．∴BG＝EH，AG＝AH．∵∠GAH＝∠EAB＝60°，∴△AGH是等边三角形．∴AG＝HG．∴EG＝AG+BG；（2）EG＝AG﹣BG．如图②，作∠GAH＝∠EAB交GE于点H．∴∠GAB＝∠HAE．∵∠EGB＝∠EAB＝90°，∴∠ABG+∠AEG＝∠AEG+∠AEH＝180°．∴∠ABG＝∠AEH．∵又AB＝AE，∴△ABG≌△AEH．∴BG＝EH，AG＝AH．∵∠GAH＝∠EAB＝90°，∴△AGH是等腰直角三角形．∴AG＝HG．∴EG＝AG﹣BG．24．（1）证明：过C点作CH⊥BF于H点，∵∠CFB＝45°∴CH＝HF，∵∠ABG+∠BAG＝90°，∠FBE+∠ABG＝90°∴∠BAG＝∠FBE，∵AG⊥BF，CH⊥BF，∴∠AGB＝∠BHC＝90°，在△AGB和△BHC中，∵∠AGB＝∠BHC，∠BAG＝∠HBC，AB＝BC，∴△AGB≌△BHC，∴AG＝BH，BG＝CH，∵BH＝BG+GH，∴BH＝HF+GH＝FG，∴AG＝FG；（2）方法1、解：∵CH⊥GF，∴CH∥GM，∵C为FM的中点，∴CH＝GM，∴BG＝GM，∵BM＝10，∴BG＝2，GM＝4，∴AG＝4，AB＝10，∴HF＝2，∴CF＝2×＝2，∴CM＝2，过B点作BK⊥CM于K，∵CK＝CM＝CF＝，∴BK＝3，过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q，∴△BKC≌△CQD∴CQ＝BK＝3，DQ＝CK＝，∴QF＝3﹣2＝，∴DF＝＝2．25．解：（1）∵正方形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，则∠DCF＝∠A＝90°，AD＝CD，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS）；（2）∵AB＝BC＝3，CF＝AE＝1，∴BE＝3﹣1＝2，BF＝3+1＝4，∴Rt△BEF中，EF＝＝＝2．26．（1）解：如图2中，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝DB，∠A＝∠FDB＝60°，在△DAE和△BDF中，，∴△DAE≌△BDF，∴∠ADE＝∠DBF，∵∠EGB＝∠GDB+∠GBD＝∠GDB+∠ADE＝60°，∴∠BGD＝180°﹣∠BGE＝120°．（2）证明：如图3中，延长GE到M，使得GM＝GB，连接BD、CG．∵∠MGB＝60°，GM＝GB，∴△GMB是等边三角形，∴∠MBG＝∠DBC＝60°，∴∠MBD＝∠GBC，在△MBD和△GBC中，，∴△MBD≌△GBC，∴DM＝GC，∠M＝∠CGB＝60°，∵CH⊥BG，∴∠GCH＝30°，∴CG＝2GH，∵CG＝DM＝DG+GM＝DG+GB，∴2GH＝DG+GB．27．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠ABC+∠BAD＝180°．又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠ACB+∠ACE＝180°，∴∠BAD＝∠ACE．∵CE＝BC，∴CE＝AD，在△ABE和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（SAS）．（2）解：∵△ADB≌△CEA，∴AE＝BD＝9．∵AD∥BC，∴△ADF∽△EBF．∴＝．∴＝．∴AF＝3．28．（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∵AP∥DQ，∴四边形APQD为平行四边形；②解：结论：OA＝OP，OA⊥OP，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝PQ，∠ABO＝∠OBQ＝45°，∵OQ⊥BD，∴∠PQO＝45°，∴∠ABO＝∠OBQ＝∠PQO＝45°，∴OB＝OQ，在△AOB和△OPQ中，，∴△AOB≌△POQ（SAS），∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，∴∠AOP＝∠BOQ＝90°，∴OA⊥OP；（2）如图，过O作OE⊥BC于E．①如图1，当P点在B点右侧时，则BQ＝1+2＝3，OE＝BQ＝，∴S△OPB＝×1×＝②如图2，当P点在B点左侧时，则BQ＝2﹣1＝1，OE＝BQ＝，∴S△PBO＝×1×＝，综上所述，△POB的面积为或．。
2020-2021学年 人教版八年级数学下册 第18章平行四边形 期中复习优生辅导训练
2021年度人教版八年级数学下册《第18章平行四边形》期中复习优生辅导训练（附答案）1．下列说法正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．矩形的对角线互相垂直C．一组对边平行的四边形是平行四边形D．对角线相等的平行四边形是矩形2．平行四边形一边长是10cm，那么它的两条对角线的长度可以是（）A．8cm和6cm B．8cm和8cm C．8cm和12cm D．8cm和16cm 3．如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E．若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．120°B．100°C．110°D．90°4．如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，AE＝CE，BE＝2，则矩形ABCD 的面积为（）A．24B．24C．12D．125．如图，四边形ABCD中，以对角线AC为斜边作Rt△ACE，连接BE、DE，BE⊥DE，AC，BD互相平分．若2AB＝BC＝4，则BD的值为（）A．2B．C．3D．46．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP 的最小值是（）A．1.2B．1.5C．2.4D．2.57．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，点M，N分别为线段BC，AB 上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF 长度的最大值为（）A．3B．2C．4D．28．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是（）A．50°B．40°C．30°D．20°9．已知坐标系中有O、A、B、C四个点，其中点O（0，0），A（3，0），B（1，1），若以O、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，则C的坐标是．10．在菱形ABCD中，两条对角线相交于点O，且AB＝10cm，AC＝12cm．则菱形ABCD 的面积是cm2．11．如图，过平行四边形ABCD的对角找BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF 与GH，那么图中的平行四边形AEMG的面积S1与平行四边形HCFM的面积S2的大小关系是．12．▱ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，则AB的长为cm．13．如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若BE＝3，则GE＝．14．如图，以△ABC的边AB、AC为边往外作正方形ABEF与正方形ACGD，连接BD、CF、DF，若AB＝2，AC＝4，则BC2+DF2的值为．15．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是．16．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝4，BC＝7，则EF的长为．17．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AB＝5，AC＝6，DE⊥BC于点E，则OE＝．18．如图所示，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC＝2：1，则∠BDE＝．19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心为O，且OC＝4，则BC＝．20．矩形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，在CE上取一点F，且∠F AC＝∠ECB，∠DCA＝∠DAF，若AE＝3，CF＝4，则AB长为．21．如图，在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，E、F分别为垂足，BE＝DF，AF∥CE．（1）试判断四边形AECF、四边形ABCD形状，并说明理由；（2）如果AF＝10，EF＝8，BE＝7，求BC．22．如图，已知四边形ABCD是正方形，点E、F分别在AD、DC上，BE与AF相交于点G，且BE＝AF．（1）求证：△ABE≌△DAF；（2）求证：BE⊥AF；（3）如果正方形ABCD的边长为5，AE＝2，点H为BF的中点，连接GH．求GH的长．23．在正方形ABCD中，点P为射线BA上的一个动点（与点B不重合）．当DP的垂直平分线交线段AC于点E时，猜想：∠PDE的度数是多少？当点P运动时，∠PDE的度数是否发生改变？请你按①如图①，点P在AB上，②如图②，点P在BA延长线上，两种情况进行探究．（1）完成图形，写出你的猜想；（2）选择其中的一种情况给出证明．24．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB∥DC，AB＝BC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝，OE＝2，求四边形ABCD的面积．25．如图，在矩形ABCD中，点E、F为对角线AC上两点，且AF＝CE．（1）证明：四边形DEBF为平行四边形；（2）若DE⊥AC，∠ADE＝30°，AD＝2，求平行四边形DEBF的面积．26．图，点E、F分别在▱ABCD的边AB、CD的延长线上，且BE＝DF，连接AC、EF、AF、CE，AC与EF交于点O．（1）求证：AC、EF互相平分；（2）若EF平分∠AEC，判断四边形AECF的形状并证明．27．如图，已知正方形ABCD的面积是8，连接AC、BD交于点O，CM平分∠ACD交BD 于点M，MN⊥CM，交AB于点N，（1）求∠BMN的度数；（2）求BN的长．28．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是边DC、AB的中点，FE的延长线分别AD、BC的延长线交于点H、G，求证：∠AHF＝∠BGF．参考答案1．解：A、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，∴选项A不符合题意；B、∵矩形的对角线互相平分且相等，∴选项B不符合题意；C、∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形，∴选项C不符合题意；D、∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴选项D符合题意；故选：D．2．解：A、取对角线的一半与已知边长，得4，3，10，不能构成三角形，舍去；B、取对角线的一半与已知边长，得4，4，10，不能构成三角形，舍去；C、取对角线的一半与已知边长，得4，6，10，不能构成三角形，舍去；D、取对角线的一半与已知边长，得4，8，10，能构成三角形．故选：D．3．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠CAB＝∠1＝20°，∵BE⊥AB，∴∠ABE＝90°，∴∠2＝∠EAB+∠EBA＝20°+90°＝110°．故选：C．4．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴∠BAC+∠BCA＝90°，∵AE平分∠BAC，AE＝CE，∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA，∴∠BAE+∠EAC+∠ECA＝90°，∴∠BAE＝∠EAC＝∠ECA＝30°，∴AE＝CE＝2BE＝4，AB＝2，∴BC＝BE+CE＝6，∴矩形ABCD面积＝AB×BC＝2×6＝12；故选：C．5．解：连接OE，如图所示：∵2AB＝BC＝4，∴AB＝2，∵AC，BD互相平分，∴OA＝OC，OB＝OD，四边形ABCD是平行四边形，∵以AC为斜边作Rt△ACE，∴OE＝OA＝OC＝AC，∵BE⊥DE，∴OE＝OB＝OD＝BD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，∠BAD＝90°，∴BD＝＝＝2，故选：A．6．解：连接CM，如图所示：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形CEMF是矩形，∴EF＝CM，∵点P是EF的中点，∴CP＝EF，当CM⊥AB时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，∵△ABC的面积＝AB×CM＝AC×BC，∴CM＝＝＝2.4，∴CP＝EF＝CM＝1.2，故选：A．7．解：连接DN、DB，在Rt△DAB中，∠A＝90°，AB＝2，AD＝2，∴BD＝＝4，∵点E，F分别为DM，MN的中点，∴EF＝DN，由题意得，当点N与点B重合是DN最大，最大值为4，∴EF长度的最大值为2，故选：D．8．解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，∴PE是△ABD的中位线，∴PE＝AD，同理，PF＝BC，∵AD＝BC，∴PE＝PF，∴∠EFP＝×（180°﹣∠EPF）＝×（180°﹣140°）＝20°，故选：D．9．解：如图所示：分三种情况：①AB为对角线时，点C的坐标为（4，1）；②OB为对角线时，点C的坐标为（﹣2，1）；③OA为对角线时，点C的坐标为（2，﹣1）；综上所述，点C的坐标为（4，1）或（﹣2，1）或（2，﹣1），故答案为：（4，1）或（﹣2，1）或（2，﹣1）．10．解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6cm，OB＝OD，∴OB＝＝＝8（cm），∴BD＝2OB＝16cm，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×12×16＝96（cm2）．故答案为：96．11．解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，HG∥AB，∴AD＝BC，AB＝CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，∴四边形HBEM、GMFD是平行四边形，在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（SSS），即△ABD和△CDB的面积相等；同理△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等，故四边形AEMG和四边形HCFM的面积相等，即S1＝S2．故答案为：S1＝S2．12．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，OB＝OD，又平行四边形ABCD的周长为60cm，△AOB的周长比△BOC的周长长8cm，∴，两个方程相加，得AB＝19（cm）．故答案为：19．13．解：取BE的中点H，连接FH、CH，如图：∵F是AE的中点，H是BE的中点，∴FH是△ABE的中位线，∴FH∥AB，FH＝AB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∵E是CD的中点，∴EC＝CD，∴FH∥EC，FH＝EC，∴四边形FHCE是平行四边形，∴GE＝GH＝EH．∵BE＝3，H是BE的中点，∴EH＝，∴GE＝．故答案为：．14．解：如图所示，连接BF，CD，∵四边形ABEF，四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AF，AC＝AD，∠BAF＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠F AC，∴△BAD≌△F AC（SAS），∴∠ACF＝∠ADB，又∵∠AHC＝∠OHD，∴∠CAH＝∠DOH＝90°，∴CF⊥BD，∴BC2＝OB2+OC2，DF2＝OD2+OF2，BF2＝OB2+OF2，DC2＝OD2+OC2，∴BC2+DF2＝OD2+OF2+OB2+OC2，BF2+DC2＝OD2+OF2+OB2+OC2，即BC2+DF2＝BF2+DC2，又∵△ABF和△ACD都是等腰直角三角形，且AB＝2，AC＝4，∴BF2+DC2＝8+32＝40，∴BC2+DF2＝40，故答案为：40．15．解：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，∵DH⊥AB，∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，∴OH＝OD＝OB，∴∠BDH＝∠DHO，∵DH⊥CD，∴∠BDH+∠CDO＝90°，∵BD⊥AC，∴∠CDO+∠DCO＝90°，∴∠BDH＝∠DCO，∴∠DHO＝∠DCA，∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝DC，∴∠CAD＝∠DCA＝20°，∴∠DHO＝20°，故答案为：20°．16．解：∵DE为△ABC的中位线，∴DE＝BC＝3.5，在Rt△AFB中，∠AFB＝90°，D是AB的中点，∴DF＝AB＝2，∴EF＝DE﹣DF＝1.5，故答案为：1.5．17．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝5，AC⊥BD，AO＝AC＝×6＝3，OB＝OD，在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD＝＝＝4，∴BD＝2OD＝8，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵OD＝OB，∴OE＝BD＝×8＝4，故答案为：4．18．解：因为在矩形ABCD中，∠ADC＝90°，∵∠ADE：∠EDC＝2：1，∴3∠EDC＝90°，∴∠EDC＝30°，∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°，∴∠DCE＝60°，∵OD＝OC，∴△ODC是等边三角形，∴∠DOE＝60°，∴∠BDE＝30°．故答案为：30°．19．解：方法一：如图，将△AOC绕O逆时针旋转90°，∴∠OBD＝∠OAC，∵四边形ABEF是正方形，∴AE⊥BF，∴∠AOB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠OAC+∠OBC＝180°，∴∠OBD+∠OBC＝180°，∴C，B，D在同一条直线上，由旋转可知：BD＝AC＝3，OD＝OC＝4，∠AOD＝90°，∴CD＝＝8，∴BC＝CD﹣BD＝8﹣3＝5．方法二：如图，以C为坐标原点建立直角坐标系，CB为x轴，CA为y轴，则A（0，3），作EQ⊥x轴于点Q，OM⊥x轴于点M，设B（x，0），由于O点为以AB一边向三角形外作正方形ABEF的中心，∴AB＝BE，∠ABE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∠ABC+∠EBQ＝90°，∴∠BAC＝∠EBQ，在△ABC和△BEQ中，，∴△ACB≌△BQE（AAS），∴AC＝BQ＝3，BC＝EQ，设BC＝EQ＝x，∴O为AE中点，∴OM为梯形ACQE的中位线，∴OM＝，又∵CM＝CQ＝，∴O点坐标为（，），根据题意得：OC＝4，根据勾股定理，得（4）2＝2（）2解得x＝5，则BC＝5．故答案为：5．20．解：延长EB至G，使BG＝BE，连接CG，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠DCA＝∠BAC，∵∠DCA＝∠DAF，∴∠BAC＝∠DAF，∴∠EAF＝∠DAC，∵∠AFE＝∠F AC+∠ACE，∠ACB＝∠ECB+∠ACE，∠F AC＝∠ECB，∴∠AFE＝∠ACB，∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC，∴∠EAF＝∠EF A，∴AE＝EF，∵AB⊥BC，BG＝BE，∴CG＝CE，∴∠ECB＝∠GCB，∵∠ACG＝∠ACB+∠BCG，∠ACB＝∠CAD，∴∠ACG＝∠DAF＝∠BAC，∴AG＝CG，又∵CE＝CG，∴CE＝AG，∴CF+EF＝AE+2EB，∴CF＝2EB＝4，∴EB＝2，∴AB＝AE+EB＝3+2＝5；故答案为：5．21．解：（1）四边形AECF、四边形ABCD都是平行四边形，理由如下：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形；∴OA＝OC，OE＝OF，又∵BE＝DF，∴OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）由（1）得：四边形AECF是平行四边形，∴AE＝CF，在Rt△AEF中，AE＝＝＝6，∴CF＝6，∵BE＝7，EF＝8，∴BF＝BE+EF＝15，在Rt△BCF中，BC＝＝＝3．22．解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，在Rt△ABE和Rt△DAF中，，∴Rt△ABE≌Rt△DAF（HL）；（2）证明：∵Rt△ABE≌Rt△DAF，∴∠ABE＝∠DAF，∵∠ABE+∠BEA＝90°，∴∠DAF+∠BEA＝90°，∴∠AGE＝∠BGF＝90°，∴BE⊥AF；（3）∵BE⊥AF，∵点H为BF的中点，∴GH＝BF，∵在Rt△BCF中，BC＝5，CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3，根据勾股定理，得∴BF＝＝，∴GH＝．23．解（1）完成图形如图①②所示，EF是线段DP的垂直平分线，猜想：当点P运动时，∠PDE的度数不变，∠PDE＝45°；（2）证明：如图①中，过点E作MN∥BC分别交DC，AB于M，N，则∠PNE＝∠EMD＝90°，∵点E在线段DP的垂直平分线上，∴ED＝EP，∵四边形ABCD是正方形，∴EN＝AN＝DM，在Rt△PNE和Rt△EMD中，，∴Rt△PNE≌Rt△EMD（HL），∴∠PEN＝∠EDM，∵∠EDM+∠DEM＝90°，∴∠PEN+∠DEM＝90°，∴∠PED＝90°，∵ED＝EP，∴∠PDE＝45°．24．（1）证明：∵AB∥DC，∴∠ABD＝∠CDB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠CDB＝∠CBD，∴BC＝CD，且AB＝BC，∴CD＝AB，且AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：由（1）得：四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，BO＝DO，∵CE⊥AB，∴AC＝2OE＝4，∴OA＝2，∴OB＝＝＝1，∴BD＝2OB＝2，∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×4×2＝4．25．（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAF＝∠DCE，在△BAF和△DCE中，，∴△DCE≌△BAF（SAS），∴DE＝BF，∠DEF＝∠BFE，∴DE∥BF，∴四边形DEBF为平行四边形；（2）解：∵DE⊥AC，∠ADE＝30°，AD＝2，AF＝CE，∴CF＝，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝60°，∴∠ACD＝30°，∴AC＝2AD＝4，∴EF＝AC﹣AE﹣CF＝4﹣1﹣1＝2，∴平行四边形DEBF的面积＝2△DEF的面积＝DE×EF＝．26．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥DC．又∵BE＝DF，∴AB+BE＝DC+DF，即AE＝CF．∵AE＝CF，AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．∴AC、EF互相平分．（2）四边形AECF是菱形．证明：∵AB∥DC，∴∠AEO＝∠CFO．∵EF平分∠AEC，∴∠AEO＝∠CEO．∴∠CEO＝∠CFO．∴CE＝CF．∵四边形AECF是平行四边形，∴四边形AECF是菱形．27．解：（1）∵正方形ABCD的面积是8，∴BC＝CD＝＝2，∴BD＝×2＝4．∵四边形ABCD为正方形，∴∠DCO＝∠BCO＝∠CDO＝∠MBN＝45°，∵CM平分∠ACD，∴∠DCM＝∠MCO＝22.5°，∴∠BMC＝∠CDO+∠DCM＝45°+22.5°＝67.5°．∵MN⊥CM，∴∠CMN＝90°，∴∠BMN＝90°﹣67.5°＝22.5°，∴∠BMN的度数为22..5°．（2）∵∠MCO＝22.5°，∠BCO＝45°，∴∠BCM＝∠BCO+∠MCO＝67.5°，又∵∠BMC＝67.5°，∴∠BCM＝∠BMC，∴BM＝BC＝CD＝2，∴DM＝BD﹣BM＝4﹣2．∵∠DCM＝22.5°，∠BMN＝22.5°，∴∠DCM＝∠BMN．∴在△DCM和△BMN中，，∴△DCM≌△BMN（ASA），∴BN＝DM＝4﹣2，∴BN的长为4﹣2．28．证明：连接BD，取BD的中点P，连接EP，FP，∵E、F、P分别是DC、AB、BD边的中点，∴EP是△BCD的中位线，PF是△ABD的中位线，∴PF＝AD，PF∥AD，EP＝BC，EP∥BC，∴∠H＝∠PFE，∠BGF＝∠FEP，∵AD＝BC，∴PE＝PF，∴∠PEF＝∠PFE，∴∠AHF＝∠BGF．。
2020--2021学年人教版八年级数学下册第18章：平行四边形 同步培优习题
人教版八年级数学下册平行四边形同步单元提高选择培优习题选择题1.如图，△ABC中，AC=3，BC=5，AD⊥BC交BC于点D，AD=125，延长BC至E使得CE=BC，将△ABC沿AC翻折得到△AFC，连接EF，则线段EF的长为（）A．6 B．8 C．325D．3232.如图，下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A.AB=DC，AD=BCB.AB//DC，AD//BCC.AB//DC，AD=BCD.AB//DC，AB=DC3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，E为BC的中点，则下列式子中，一定成立的是（）A．AC=2OE B．BC=2OE C．AD=OE D．OB=OE4.如图，正方形ABCD的边长为4，点E对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为点F，则EF的长为（）C．D．A．1 B．4-5.已知ABCD中，∠A＝4∠B，那么∠C等于（）A．36°B．45°C．135°D．144°6.矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下结论不一定成立的是（）A.∠BCD=90°B.AC=BDC.OA=OBD.OC=CD7.直角三角形中，两直角边分别是6和8.则斜边上的中线长是（）A．4B．8C．5D．108.如图等腰梯形ABCD，AE是BC边上的高．已知AE=4，CE=8，则梯形ABCD的面积是（）A．16 B．32 C．24 D．489.如图，在ABC中，AB=5，AC=12，BC=13，P为边BC上一动点，PE ⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（）A．6013B．3013C．2413D．121310.在口ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为3，则口ABCD的面积为（）A.6B.9C.12D.1811.四边形ABCD的对角线交于O，下列能判断四边形ABCD是菱形的是（）A．AC BD=B．OA OC=、OB OD=C．AC BD⊥D．AC BD⊥，OA OC=、OB OD=12.如图,已知矩形ABCD,将△BCD沿对角线BD折叠,记点C的对应点为C'，若20ADC，∠'=︒则∠BDC的度数为（）A．55°B．45°C．60°D．65°13.如图，在矩形ABCD中，120AOB∠=︒，3AD=，则AC=（）A ．6B ．C ．5D ．14.如图，△ABC 中，AB=AC=10，BC=8，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ，则△CDE 的周长为（）A.14B.12C.20D.1315.平行四边形ABCD 中，BC,AD 的长分别为（x+2）cm 和（3-x ）cm,则x 的值为( )A ．2B ．1C ．21D ．21-16.下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（ ）A ．平行四边形B ．正方形C ．等腰梯形D ．矩形 17.已知菱形的两条对角线长分别为和8cm 和10cm,则菱形的面积为（ ）A ．2cm B ．40 2cm C 2 D ．218.一个菱形的两条对角线的长分别为5和8，那么这个菱形的面积是（ ）A.40B.20C.10D.25 19.已知菱形ABCD 的边长为13cm ，若对角线BD 的长为10cm ，则菱形ABCD 的面积为（ ）A ．260cmB ．2120cmC ．2130cmD ．2240cm 20.如图，在等边ABC △中，已知6AB =，N 为AB 上一点，且2AN =，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM MN +的最小值是( )A．8 B．10 C．5D．2721.如图，在ABC中，AB AC=，AD BC⊥，垂足为点D，点E是AC的中点，若5DE=，则AB的长为（）A．10 B．12 C．13 D．1122.如图，平行四边形ABCD中，∠B=60°.G是CD的中点，E是边AD 上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF，下列说法不正确的是（）A.四边形CEDF是平行四边形B.当CE⊥AD时，四边形CEDF是矩形C.当∠AEC=120°时，四边形CEDF是菱形D.当AE=ED时，四边形CEDF是菱形23.若菱形的一条边长为5cm，则这个菱形的周长为（）A．20cm B．18cm C．16cm D．12cm24.如图，在矩形ABCD中，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC 于点P，以点D为圆心，AD长为半径画弧，交BC于点Q，若AB=15，AD=17，则PQ的长为（）A．2 B．6 C．8 D．10 25.如图，在菱形ABCD中MN分别在AB、CD上且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO若∠DAC=62°，则∠OBC的度数为（）A．28°B．52°C．62°D．72°26.四边形的两条对角线互相垂直，且相等，则这个四边形是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．不能确定27.如图，已知正方形ABCD中，E为CD边上的一点，F为BC延长线上一点，且BE=DF，若∠BEC=65°，∠EFD的度数（）A．15°B．20°C．30°D．10°28.已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，则下列命题是假命题的是（）A.若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是菱形B.若BO=2AO，则平行四边形ABCD是菱形C.若AB=AD，则平行四边形ABCD是菱形D.若∠ABD=∠CBD，则平行四边形ABCD是菱形29.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD，若AC＝2，则四边形OCED的周长为（）A．16 B．8 C．4 D．230.下列说法中，错误的是（）A．一组邻边相等的平行四边形是菱形B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形C．四条边相等的四边形是菱形D．对角线相等且互相平分的四边形是菱形31.如图，若要使▱ABCD成为菱形，则可添加的条件是( )A．AB＝CD B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD 32.如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，添加一个条件，可使四边形ABCD是平行四边形．下列错误的是（）A．BC∥AD B．BC=ADB．C．AB=CD D．∠A+∠B=180°33.如图，点D是ABC∆的边AC上一动点，过点D分别作DE AB⊥，DF BC⊥垂足为E，F，连接EF，已知12AC=，当AB=，16BC=，20点D运动到AC中点时，EF等于（）A．6 B．8 C．10 D．1434.如图，在▱ABCD中，下列说法一定正确的是( )A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AB＝BC 35.如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，3），则A、C两点间的距离是（）A．4 B C D．36.如图，在 ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E 处，AD′ 与CE 交于点F ，若∠B =55°，∠DAE =20°，则∠FED′ 的大小为( )A ．20°B ．30°C ．35°D ．45°37.能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．AB ∥CD ，AD BC =B ． AB ∥CD ，B D ∠=∠C ．A B ∠=∠，CD ∠=∠ D ．AB AD =，CB CD = 38.如图，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E 、F 分别在BC 和CD 上，下列结论：①CE=CF ；②∠AEB=75°③BE+DF=EF ；④）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个。
2020-2021学年人教版八年级下册第十八章平行四边形练习题
平行四边形单元练习一、选择题1．如图，四边形ABCD 是平行四边形，将BC 延长至点E ，若100A ∠=，则1∠等于（ ）A ．110°B ．35°C ．80°D ．55°2. 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，下列条件不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．AB ∥DC ，AD ∥BC B ．AB ＝DC ，AD ＝BC C ．AB ∥DC ，AD ＝BC D ．OA ＝OC ，OB ＝OD3．如图，ABC 中，D 为AB 中点，E 在AC 上，且BE AC ⊥．若5DE =，8AE =，则BE 的长度是（ ）A ．5B ．5.5C ．6D ．6.54．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，则DE 的长度是（ ）A ．32B ．2C ．52D ．3 5．矩形ABCD 中，点M 在对角线AC 上，过M 作AB 的平行线交AD 于E ，交BC 于F ，连接DM 和BM ，已知，2,4DE ME ==，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．12B ．10C ．8D ．66．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC ＝8．BD ＝6，点E 是CD 上一点，连接OE ，若OE ＝CE ，则OE 的长是（ ）A ．2B ．52C ．3D ．47．如图，ABCD 的对角线AC BD 、交于点,O DE 平分ADC ∠交AB 于点,60,E BCD ∠=︒12AD AB =，连接OE ．下列结论：①ABCD SAD BD =⋅；②DB 平分CDE ∠；③AO DE =；④OE 垂直平分BD ．其中正确的个数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的顶点D 在y 轴上，且A （﹣3，0），B （2，b ），则b 的值为（ ）A ．3B ．2C ．﹣3D ．﹣29．如图，ABC △的周长为32，点D ，E 都在边BC 上，ABC ∠的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，ACB ∠的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若12BC =，则PQ 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．平行四边形的对角线分别为a 和b ,一边长为12，则a 和b 的值可能是下面各组的数据中的（ ） A ．8和4 B ．10和14 C ．18和20 D ．10和3811．如图，点P 是矩形ABCD 的边AD 上的一个动点，矩形的两条边AB ，B C 的长分别为6和8，若S △APC ＝15，那么点P 到对角线BD 的长是（ ）A ．65B ．95C ．125D ．24512．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，P 是对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接AP ，EF ．给出下列结论：①PD＝DF；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF．其中正确结论的序号为（）A．①②④B．①②C．①④D．①②③④二、填空题1．在ABCD中，如果∠A+∠C＝140°，那么∠C等于_____．2．一个三角形的周长是12cm，则这个三角形各边中点围成的三角形的周长为___．3.已知菱形ABCD的边长为6和8，M,N分别为边BC,CD的中点，P是对角线BD上的一点，则PM PN+的最小值为 .4．如图，在长方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若120AOD∠=︒，2AB=，则CO的长为________．5．如图，在平面直角坐标系中，已知点3OA=，1OB=，菱形ABCD的顶点C在x轴的正半轴上，则对角线BD的长为______．6. 如图，平行四边形 ABCD的周长为20，BE⊥AD，BF⊥CD，BE＝2，BF＝3.则平行四边形 ABCD的面积为．7．正方形ABCD的边长为，点P为对角线AC上一个动点，PE⊥AB，PF⊥CB，垂足分别是E，F．当P在AC 上移动时，线段EF的最小值是．8. 如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD中，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A恰好落在CD上的F点，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为_________NA DMB CP三、解答题1．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交AD ，BC 于点E ，F ．求证：DE ＝BF ．2．已知：如图，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于点E ．（1）若∠DAE ＝2∠BAE ，求∠EAC ；（2）若BE ：ED ＝1：3，AB ＝1，求AD ．3．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，DE AC ∥，CE BD ∥，连接OE .（1）求证：OE CD =；（2）探究：当ABC ∠等于多少度时，四边形OCED 是正方形？并证明你的结论.4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝12cm，BC＝15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，则当P，Q同时出发，设运动时间为t （s）．（1）当t为何值时，四边形APQB为平行四边形？（2）当t为何值时，四边形PDCQ为平行四边形？5．（1）如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+FD；（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足什么关系时，仍有EF＝BE+FD，说明理由．6．如图，在△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△ABC 的外角∠ACD的平分线于点F.(1)探究OE与OF的数量关系并加以证明．(2)连接BE，当点O在边AC上运动时，四边形BCFE能否为菱形？若能，请证明；若不能，请说明理由．。
2020-2021学年人教版八年级下册数学第18章《平行四边形》单元培优卷(Word版 含解析)
2020-2021学年八年级下册数学第18章《平行四边形》单元培优卷时间：100分钟满分：100分一．选择题（每题3分，共30分）1．如图，在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，若矩形的周长为36，则AB的长为（）A．6 B．9 C．12 D．42．△ABC中，AB＝7，BC＝6，AC＝5，点D、E、F分别是三边的中点，则△DEF的周长为（）A．4.5 B．9 C．10 D．123．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，则矩形对角线的长等于（）A．6 B．8 C．D．4．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（）A．20cm B．30cm C．40cm D．20cm5．如图，正方形ABCD中，DE＝2AE＝4，F是BE的中点，点H在CD上，∠EFH＝45°，则FH的长度为（）A．B．5 C．D．26．如图，菱形ABCD中，∠B＝120°，则∠1的度数是（）A．30°B．25°C．20°D．15°7．如图，在▱ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝10，BC边上的高为6，则图中阴影部分的面积为（）A．6 B．15 C．30 D．608．如图，直线a、b、c分别过正方形ABCD的三个顶点A、D、C，且互相平行，若直线a、b 的距离为2，直线b、c的距离为4，则正方形ABCD的边长为（）A．4 B．C．D．69．如图，已知平行四边形OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，点O是坐标原点，则点B的横坐标为（）A ．3B ．4C ．5D ．1010．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AC ＝4，BD ＝16，将△ABO 沿点A 到点C 的方向平移，得到△A 'B 'O '．当点A '与点C 重合时，点A 与点B '之间的距离为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．10二．填空题（每题4分，共20分）11．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 是DC 边上的中点，连接OE ，若OE ＝5，BD ＝12，则菱形ABCD 的面积为 ．12．如图，在▱ABCD 中，DE 平分∠ADC ，AD ＝5，BE ＝2，则▱ABCD 的周长是 ．13．如图，l 1∥l 2，菱形ABCD 的顶点A 、B 分别在直线l 1、l 2上，直线l 1过CD 的中点E ，AB ⊥l 2，AB ＝4，则AE ＝ ．14．若平行四边形ABCD中一内角平分线和某边相交把这条边分成2cm、3cm的两条线段，则平行四边形ABCD的周长是cm．15．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是．三．解答题（每题10分，共50分）16．如图，△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．（1）试判断四边形AEDF的形状．（2）当△ABC满足条件时，EF∥BC；当△ABC满足条件时，EF＝AD．17．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．（1）求证：DE＝CE．（2）当EA⊥AB于点A，AE＝ED＝1时，求菱形的边长．18．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，且OA＝OB．（1）求证：∠ABC＝90°；（2）若AD＝4，∠AOD＝60°，求CD的长．19．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F．（1）求证：CD＝BE；（2）若点F为DC的中点，DG⊥AE于G，且DG＝1，AB＝4，求AE的长．20．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC＝90°，以B为顶点，作∠CBE＝∠ACB交DC延长线于点E（1）求证：四边形ABEC是矩形；（2）若AB＝6，BC＝10，点P从点E出发，沿E→C→B方向，以每秒1个单位的速度向终点B运动；点Q从点D出发，沿D→C→A方向，以每秒2个单位的速度向终点A运动，两点同时出发，其中一点到达终点后，另一点随之停止运动．设运动时间为t（s）．若△APD是等腰三角形，求t的值．参考答案一．选择题1．解∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，在△ABD和△DCO中，，∴△ABO≌△DCO（SAS），∴OA＝OB，∵∠AOD＝90°，∴∠OAD＝∠ODA＝45°，∵∠BAD＝∠CDA＝90°，∴∠BAO＝∠CDO＝45°，∴∠BAO＝∠AOB，∠CDO＝∠COD，∴AB＝BO＝OC＝CD，设AB＝CD＝x，则BC＝AD＝2x，由题意x+x+2x+2x＝36，∴x＝6，∴AB＝6．故选：A．2．解：∵点D、E、F分别是三边的中点，∴DE、EF、DF为△ABC的中位线，∴DE＝AB＝×7＝，DF＝AC＝×5＝，EF＝BC＝×6＝3，∴△DEF的周长＝++3＝9，故选：B．3．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC，OD＝OB，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△ABO是等边三角形，∴OA＝AB＝4，∴AC＝2OA＝8，故选：B．4．解：如图1，图2中，连接AC．图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝20cm，在图2中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝AB＝20cm；故选：D．5．解：过B做BG∥FH交CD于点G，连接EG；延长DC至点M使CM＝AE，连接BM；连接FG；∵正方形ABCD中，DE＝2AE＝4，∴AD＝6，CM＝2，在Rt△ABE和Rt△BCM中，∴AE＝CM＝2，AB＝BC，∴Rt△ABE≌Rt△BCM（SAS），∴∠ABE＝∠CBM，BE＝CM，∵∠EFH＝45°，∴∠ABE+∠CBG＝45°，∴∠CBG+∠CBM＝45°，∴△EBG≌△MBG（SAS），∴EG＝MG，设CG＝x，∴MG＝EG＝2+x，DG＝6﹣x，在Rt△EDG中，EG2＝DE2+DG2，∴（2+x）2＝（6﹣x）2+16，∴x＝3，∴CG＝3，∴G是CD的中点∵F是BE的中点，∴FG是梯形EBCD的中位线，∴FG∥BC，FG＝5，∴∠BGC＝∠FHG，∠FGH＝∠BCG＝90°，∴△BCG∽△FGH，∴，∴，∴GH＝，在Rt△GFH中，FH2＝FG2+HG2，∴FH2＝52+（）2，∴FH＝．故选：A．6．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝120°，∴∠1＝＝30°，故选：A．7．解：观察并结合平行四边形的性质可知，图中下半部分的阴影面积等于上半部分的空白面积，＝S▱ABCD，∴S阴影∵BC＝10，BC边上的高为6，∴S▱ABCD＝10×6＝60，∴S＝×60＝30．阴影故选：C．8．解：如图，过点A作AE⊥b于E，过点C作CF⊥b于F，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ADE+∠CDF＝90°，且∠ADE+∠EAD＝90°，∴∠CDF＝∠DAE，且AD＝CD，∠AED＝∠CFD＝90°，∴△ADE≌△CDF（AAS）∴DE＝AE＝2，CF＝DE＝4，∴AD＝＝＝2，故选：C．9．解：过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x＝1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x＝4与AB交于点N，如图所示：∵四边形OABC是平行四边形，∴∠OAB＝∠BCO，OC∥AB，OA＝BC，∵直线x＝1与直线x＝4均垂直于x轴，∴AM∥CN，∴四边形ANCM是平行四边形，∴∠MAN＝∠NCM，∴∠OAF＝∠BCD，∵∠OFA＝∠BDC＝90°，∴∠FOA＝∠DBC，在△OAF和△BCD中，，∴△OAF≌△BCD（ASA）．∴BD＝OF＝1，∴点B的横坐标为：OE＝4+BD＝4+1＝5，故选：C．10．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝2，OB＝OD＝BD＝8，∵△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'，点A'与点C重合，∴O'C＝OA＝2，O'B'＝OB＝8，∠CO'B'＝90°，∴AO'＝AC+O'C＝6，∴AB'＝＝10，故选：D．二．填空题（共5小题）11．解：∵菱形ABCD对角线AC与BD交于点O，∴DO⊥CO，DO＝BO＝BD＝6，∵E是DC边上的中点，∴OE＝DC，∴DC＝10，∴OC＝＝8，∴AC＝2OC＝16，∴则菱形的面积＝×16×12＝96，故答案为：96．12．解：∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∵▱ABCD中，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠CED，∴∠CDE＝∠CED，∴CE＝CD，在▱ABCD中，AD＝5，BE＝2，∴AD＝BC＝5，∴CE＝BC﹣BE＝5﹣2＝3，∴CD＝AB＝3，∴▱ABCD的周长＝5+5+3+3＝16，故答案为：16．13．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD＝AD＝4，AB∥CD，，∵AB⊥l2∴CD⊥l，1∵点E是CD中点，∴DE＝CE＝2，∴AE＝＝＝2，故答案为：2．14．解：如图所示：∵在平行四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠CBE ，又∠ABE ＝∠CBE ，∴∠ABE ＝∠AEB ，∴AB ＝AE ，（1）当AE ＝2cm 时，则平行四边形的周长＝2（2+5）＝14（cm ）；（2）当AE ＝3cm 时，则平行四边形的周长＝2（3+5）＝16（cm ）；综上所述，▱ABCD 的周长为14或16cm ．故答案为：14或16．15．解：如图：当点F 与点C 重合时，点P 在P 1处，CP 1＝DP 1，当点F 与点E 重合时，点P 在P 2处，EP 2＝DP 2，∴P 1P 2∥CE 且P 1P 2＝CE ．当点F 在EC 上除点C 、E 的位置处时，有DP ＝FP ．由中位线定理可知：P 1P ∥CE 且P 1P ＝CF ．∴点P 的运动轨迹是线段P 1P 2，∴当BP ⊥P 1P 2时，PB 取得最小值．∵矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 为AB 的中点，∴△CBE 、△ADE 、△BCP 1为等腰直角三角形，CP 1＝2．∴∠ADE ＝∠CDE ＝∠CP 1B ＝45°，∠DEC ＝90°．∴∠DP 2P 1＝90°．∴∠DP 1P 2＝45°．∴∠P 2P 1B ＝90°，即BP 1⊥P 1P 2，∴BP 的最小值为BP 1的长．在等腰直角BCP 1中，CP 1＝BC ＝2，∴BP 1＝2∴PB 的最小值是2． 故答案是：2．三．解答题（共5小题）16．解：（1）四边形AEDF 是菱形；理由如下：∵DE ∥AC 交AB 于点E ，DF ∥AB 交AC 于点F ，∴四边形AEDF 是平行四边形，∠EAD ＝∠ADF ，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠EAD ＝∠FAD ，∴∠ADF ＝∠FAD ，∴FA ＝FD ，∴四边形AEDF 是菱形；（2）当△ABC 满足AB ＝AC 条件时，EF ∥BC ；当△ABC 满足∠BAC ＝90°条件时，EF ＝AD ．理由如下：由（1）得：四边形AEDF 是菱形，∴AD ⊥EF ，∵AB ＝AC ，AD 是角平分线，∴AD ⊥BC ，∴EF ∥BC ；当∠ABC ＝90°时，四边形AEDF 是正方形，∴EF ＝AD ；故答案为：AB ＝AC ，∠BAC ＝90°．17．（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ABE ＝∠CBE ，AB ＝CB ，在△ABE 和△CBE 中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE，又∵AE＝DE，∴DE＝CE．（2）解：如图，连接AC交BD于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，∴∠ABD＝∠ADB，∵AE═ED＝1，∴∠DAE＝∠EDA，∴∠DAE＝∠ADE＝∠ABD，∵∠DAE+∠ADE+∠BAE+∠ABD＝180°，∴∠DAE＝∠ADE＝∠ABD＝30°，∴BE＝2AE＝2，∴BD＝BE+DE＝3，∴BH＝DH＝，∵∠ABD＝30°，AH⊥BD，∴AB＝2AH，BH＝AH，∴AH＝，AB＝2AH＝，即菱形的边长为．18．（1）证明：在平行四边形ABCD中，又∵OA＝OC，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，OA＝OD，又∵∠AOD＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴OA＝AD＝4，∴AC＝2OA＝8，在Rt△MCD中，．19．（1）证明：∵AE为∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD＝AB．∴∠DAE＝∠E．∴∠BAE＝∠E．∴AB＝BE．∴CD＝BE．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠BAF＝∠DFA．∴∠DAF＝∠DFA．∴DA＝DF．∵F为DC的中点，AB＝4，∴DF＝CF＝DA＝2．∵DG⊥AE，DG＝1，∴AG＝GF．∴AG＝．∴AF＝2AG＝2．在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS）．∴AF＝EF，∴AE＝2AF＝4．20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵∠CBE＝∠ACB，∴AC∥BE，∴四边形ABEC是平行四边形，∵∠BAC＝90°，∴四边形ABEC是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝10，CD＝AB＝6，∵四边形ABEC是矩形，∴CE＝AB＝6，若△APD是等腰三角形，则有：（i）当DP＝AD，此时有12﹣t＝10，解得t＝2；（ii）当AP＝AD，此时有AD＝AE＝10，解得t＝0；（iii）当AP＝DP时，如图，过点P作PM⊥AD于点M，则DM＝AM＝5，∴．在Rt△PDM中，，∴．综上，若△APD是等腰三角形，t值为2或0或．。
2020-2021学年人教版数学 八年下册 第十八章 平行四边形 章节训练(含答案)
人教版初中数学 八年下册 第十八章 平行四边形 章节训练一、选择题 1. 如图，在▱ABCD 中，BM 是∠ABC 的平分线交CD 于点M ，且MC ＝2，▱ABCD 的周长是14，则DM 等于( )A . 1B . 2C . 3D . 42. 以三角形的三个顶点作平行四边形，最多可以作（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3. (2020·荆门)如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BD 的中点，若EF ＝5，则菱形ABCD 的周长为( )A ．20B ．30C ．40D ．504. （2020·通辽）如图，AD 是△ABC 的中线，四边形ADCE 是平行四边形，增加下列条件，能判断▱ADCE 是菱形的是（ ）A ．∠BAC ＝90°B ．∠DAE ＝90°C ．AB ＝ACD ．AB ＝AE5. 如图，把一张矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 的对应点为B′，AB ′与DC 相交于点E ，则下列结论一定正确的是()A ．∠DAB ′＝∠CAB′ B ．∠ACD ＝∠B′CDC ．AD ＝AE D ．AE ＝CED ACBFE6. (2019▪广西池河)如图，在△ABC中，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，点F 在DE 延长线上，添加一个条件使四边形ADFC 为平行四边形，则这个条件是A ．∠B=∠FB ．∠B=∠BCFC ．AC=CFD ．AD=CF7.（2020·临沂）如图，P 是面积为S 的ABCD 内任意一点，PAD ∆的面积为1S ，PBC ∆的面积为2S ，则（ ）A.122SS S +>B.122SS S +<C.212SS S += D.21S S +的大小与P 点位置有关8. 已知四边形的四条边长分别是a b c d ，，，，其中a b ，为对边，并且满足222222a b c d ab cd +++=+则这个四边形是（ ）A ．任意四边形B ．平行四边形C ．对角线相等的四边形D ．对角线垂直的四边形二、填空题9. 如图，在平行四边形ABCD 中，DB DC =，65A ∠=︒，CE BD ⊥于E ，则BCE ∠= ︒．E EABC图ABCD图2D10. 菱形ABCD 中，E 、F分别是BC 、CD 的中点，且AE BC ⊥，AF CD ⊥，那么EAF ∠等于 ．11.如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则1∠= 度．图21CBA12. 已知正方形BDEF 的边长是正方形ABCD 的对角线，则:BDEF ABCD S S =正方形正方形13. 如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O ，若AB ∥CD ，请添加一个条件________(写一个即可)，使四边形ABCD 是平行四边形．14. 如图，在ABCD 中，E.F 是对角线AC 上两点，AE=EF=CD ，∠ADF=90°，∠BCD=63°，则∠ADE 的大小为__________．15. 某台球桌为如图所示长方形ABCD ，小球从A 沿45︒角出击，恰好经过5次碰撞到B 处，则:AB BC =D CBA DCB A16. 如图，正方形ABCD 的面积为3 cm 2，E 为BC 边上一点，∠BAE ＝30°，F为AE 的中点，过点F 作直线分别与AB ，DC 相交于点M ，N.若MN ＝AE ，则AM 的长等于________cm .三、解答题17. 如图，已知正方形ABCD 与正方形CEFG ，M 是AF 的中点，连接DM ，EM.(1)如图①，点E 在CD 上，点G 在BC 的延长线上，判断DM ，EM 的数量关系与位置关系，请直接写出结论.(2)如图②，点E 在DC 的延长线上，点G 在BC 上，(1)中结论是否仍然成立?请证明你的结论.18. 如图所示，在长方形ABCD 中，点M 是边AD 的中点，点N 是边DC 的中点，AN与MC 交于点P ．若33MCB NBC ∠=∠+︒，求MPA ∠的度数．M PND CBA19. 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE ∆沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC ∆．若60B ∠=︒，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．GF E DCBA20.如图，正方形ABCD 中，8AB =，M 是DC 上的一点，且2DM =，N 是AC 上的一动点，求DN MN +的最小值．NM D CBA人教版初中数学八年下册第十八章平行四边形章节训练-答案一、选择题1. 【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABM＝∠CMB，∵BM平分∠ABC，∴∠ABM＝∠CBM，∴∠CBM＝∠CMB，∴CB＝MC＝2，∴AD＝BC＝2，∵▱ABCD的周长是14，∴AB＝CD＝5，∴DM＝DC－MC＝3.2. 【答案】B3. 【答案】C【解析】∵E，F分别是AD，BD的中点，∴EF是△DAB的中位线．∴AB＝2EF ＝10．∵菱形的四边相等，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝40．故选C．4. 【答案】A【解析】若∠BAC＝90°，又因为AD是△ABC的中线，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得AD=CD，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可证▱ADCE是菱形．5. 【答案】D【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，由折叠的性质可得∠BAC＝∠EAC, ∴∠ACD＝∠EAC，∴AE＝CE.6. 【答案】B【解析】∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE 12 AC．A．根据∠B=∠F不能判定AC∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误．B．根据∠B=∠BCF可以判定CF∥AB，即CF∥AD，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确．C ．根据AC=CF 不能判定AC ∥DF ，即不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故本选项错误．D ．根据AD=CF ，FD ∥AC 不能判定四边形ADFC 为平行四边形，故本选项错误． 故选B ．7. 【答案】C【解析】可以利用割补法对平行四边形进行分割，然后使分割后的图形与PAD ∆的面积1S ，PBC ∆的面积2S 发生关联，然后求出其数量关系，如下图，过点P 作AD 的平行线，分别交ABCD 的边于点M 、N ：2111(21222)AMND MbCN AMND MbCN SS S S S S S =+++==.8. 【答案】B二、填空题 9. 【答案】25︒【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴65A DCB ∠=∠=︒ 又∵DB DC =∴65DBC DCB ∠=∠=︒，∴50CDB ∠=︒ 又∵CE BD ⊥，∴40ECD ∠=︒ ∴654025BCE ∠=︒-︒=︒．10. 【答案】60︒11. 【答案】120︒【解析】由题意可知：构成三角形为等边三角形12. 【答案】2:113. 【答案】AD ∥BC (答案不唯一) 【解析】根据平行四边形的判定，在已有AB ∥DC 的条件下，可再加另一组对边平行即可证得它是平行四边形，即加“AD ∥BC”．14. 【答案】21° 【解析】设∠ADE=x ，∵AE=EF ，∠ADF=90°，∴∠DAE=∠ADE=x ，DE=12AF=AE=EF ，∵AE=EF=CD ，∴DE=CD ， ∴∠DCE=∠DEC=2x ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ， ∴∠DAE=∠BCA=x ，∴∠DCE=∠BCD ﹣∠BCA=63°﹣x ，∴2x=63°﹣x ，解得x=21°，即∠ADE=21°； 故答案为：21°．15. 【答案】2:5【解析】由图形可知：可推出:2:5AB BC =16. 【答案】233或33 【解析】如解图，过N 作NG ⊥AB ，交AB 于点G ，∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ＝AD ＝NG ＝ 3 cm ，在Rt △ABE 中，∠BAE ＝30°，AB ＝ 3 cm ，∴BE ＝1 cm ，AE ＝2 cm ，∵F 为AE 的中点，∴AF ＝12AE ＝1 cm ，在Rt △ABE 和Rt △NGM 中，⎩⎨⎧AB ＝NGAE ＝NM ，∴Rt △ABE ≌Rt △NGM(HL )，∴BE ＝GM ，∠BAE ＝∠MNG ＝30°，∠AEB ＝∠NMG ＝60°，∴∠AFM ＝90°，即MN ⊥AE ，在Rt △AMF 中，∠FAM ＝30°，AF ＝1 cm ，∴AM ＝AF cos 30°＝132＝233cm ，由对称性得到AM′＝BM ＝AB －AM ＝3－233＝33 cm ，综上，AM 的长等于233或33 cm .解图三、解答题17. 【答案】解:(1)结论:DM⊥EM，DM=EM.[解析]延长EM交AD于H.∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，∴∠ADE=∠DEF=90°，AD=CD，∴AD∥EF，∴∠MAH=∠MFE，∵AM=MF，∠AMH=∠FME，∴△AMH≌△FME，∴MH=ME，AH=EF=EC，∴DH=DE，∵∠EDH=90°，∴DM⊥EM，DM=ME.(2)结论不变.DM⊥EM，DM=EM.证明:延长EM交DA的延长线于H.∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，∴∠ADE=∠DEF=90°，AD=CD，∴AD∥EF，∴∠MAH=∠MFE，∵AM=MF，∠AMH=∠FME，∴△AMH≌△FME，∴MH=ME，AH=EF=EC，∴DH=DE，∵∠EDH=90°， ∴DM ⊥EM ，DM=ME.18. 【答案】如图所示，将MC 平移至AQ ，此时Q 为CB 的中点．QM PND C BA连接MB ，则MBC MCB ∠=∠， 故33MBN MCB NBC ∠=∠-∠=︒．由于ADN BCN ∆∆≌，NAD NBC ∠=∠，故33MPA NAQ MAQ NAD MCB NBC ∠=∠=∠-∠=∠-∠=︒．19. 【答案】当32BC AB =时，四边形ABFC 是菱形．∵AB GF ∥，AG BF ∥∴四边形ABFG 是平行四边形 ∵Rt ABE ∆中，60B ∠=︒ ∴30BAE ∠=︒ ∴12BE AB =∵BE CF =，32BC AB = ∴12EF AB =∴AB BF =∴四边形ABFG 是菱形．20. 【答案】10【解析】NMD CB A找点D 关于AC 的对称点，由正方形的性质可知，B 就是点D 关于AC 的对称点，连接BN、BM，由DN MN BN MN BM+=+≥可知，当且仅当B、N、M三点共线时，DN MN+10=．。
2020-2021学年八年级数学人教版下册《18.2特殊的平行四边形》优生辅导训练(附答案)
2021年度人教版八年级数学下册《18.2特殊的平行四边形》优生辅导训练（附答案）1．如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A 端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（）A．变小B．不变C．变大D．无法判断2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝2，∠BAD＝120°，则BD的长为（）A．2B．3C．2D．3．菱形的一条对角线与它的边相等，则它的锐角等于（）A．30°B．45°C．60°D．75°4．顺次连接矩形ABCD各边中点所得四边形必定是（）A．平行四边形B．矩形C．正方形D．菱形5．如图，在▱ABCD中，添加下列一个条件仍不能说明四边形ABCD是菱形的是（）A．AB＝AD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD 6．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得点A，C 之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为（）A．5cm B．4.8cm C．4.6cm D．4cm7．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形CODE的周长（）A．4B．6C．8D．108．如图，在△ABC中，DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是矩形D．如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（）A．5B．4.8C．4.6D．4.410．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（）A．2﹣2B．2C．3﹣1D．211．如图，四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若四边形ABCD 面积为16，则DE的长为（）A．3B．2C．4D．812．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE＝3，则AB的长为．13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BC于点E，若AC ＝6，BD＝8，则OE＝．14．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝，平行四边形CDEB为菱形．15．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB 的面积为4cm2．则OC的长为cm．16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB＝1，∠BOC＝120°，则BC的长为．17．如图，正方形ABCD的边长为，O是对角线BD上一动点（点O与端点B，D不重合），OM⊥AD于点M，ON⊥AB于点N，连接MN，则MN长的最小值为．18．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是．19．如图，菱形ABCD，∠BAD＝60°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，BE．（1）求证：△CEF是等边三角形．（2）若∠BAF＝45°，AE＝5，求BF的长．20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，DF∥AB．求证：四边形AEDF是菱形．21．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC，AE分别交于点O，E，连接EC．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若AB＝AO，OD＝1，则菱形ADCE的周长为．22．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．（1）求证：BD＝CD；（2）如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．23．如图，在△ABC中，AE∥BC，AB＝AC，D为BC中点，AE＝BD．（1）求证：四边形AEBD是矩形．（2）连接CE交AB于点F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求FG的长．24．（1）如图1的正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，延长CD到点G，使DG＝BE，连接EF，AG．求证：EF＝FG；（2）如图2，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，求MN的长．25．如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以每秒3cm的速度向点B移动，点Q以每秒2cm测得速度向点D移动，当点P到达点B处时，两点均停止移动（1）P，Q两点出发多长时间，线段PQ的长度为10cm？（2）是否存在某一时刻，使四边形PBCQ为正方形？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，理由是：连接OP，∵∠AOB＝90°，P为AB中点，AB＝2a，∴OP＝AB＝a，即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a；故选：B．2．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BD＝2BO，∵∠BAD＝120°，∴∠BAO＝60°，∠ABO＝30°，∴AO＝AB＝1，BO＝＝，∴BD＝2．故选：C．3．解：由菱形的性质得，菱形相邻的两边相等，则与这条对角线组成等边三角形，则它的锐角等于60°，故选C．4．解：如图：E，F，G，H为矩形的中点，则AH＝HD＝BF＝CF，AE＝BE＝CG＝DG，在Rt△AEH与Rt△DGH中，AH＝HD，AE＝DG，∴△AEH≌△DGH，∴EH＝HG，同理，△AEH≌△DGH≌△BEF≌△CGF≌△DGH，∴EH＝HE＝GF＝EF，∠EHG＝∠EFG，∴四边形EFGH为菱形．5．解：A、∵在▱ABCD中，AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B、∵在▱ABCD中，AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故选项B符合题意；C、∵在▱ABCD中，AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；D、∵在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝∠ACB，∴AB＝CB，∴四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；故选：B．6．解：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O．由题意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两个矩形等宽，∴AR＝AS，∵AR•BC＝AS•CD，∴BC＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，在Rt△AOB中，∵OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝5，7．解：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝4，OA＝OC，OB＝OD，∴OD＝OC＝AC＝2，∴四边形CODE是菱形，∴四边形CODE的周长为：4OC＝4×2＝8．故选：C．8．解：由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；又有∠BAC＝90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形．故A、B正确；如果AD平分∠BAC，那么∠EAD＝∠F AD，又有DF∥BA，可得∠EAD＝∠ADF，∴∠F AD＝∠ADF，∴AF＝FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形，而不一定是矩形．故C错误；如果AD⊥BC且AB＝AC，那么AD平分∠BAC，同上可得四边形AEDF是菱形．故D 正确．故选：C．9．解：如图，连接CD．∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠C＝90°，∴四边形CFDE是矩形，由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，此时，S△ABC＝BC•AC＝AB•CD，即×8×6＝×10•CD，解得CD＝4.8，∴EF＝4.8．故选：B．10．解：由题意得：BM＝CN，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝4，在△ABM和△BCN中，AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，MB＝CN，∴△ABM≌△BCN（SAS），∴∠BAM＝∠CBN，∵∠ABP+∠CBN＝90°，∴∠ABP+∠BAM＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径一条弧，是这个圆的，如图所示：连接OC交圆O于P，此时PC最小，∵AB＝4，∴OP＝OB＝2，由勾股定理得：OC＝＝2，∴PC＝OC﹣OP＝2﹣2；故选：A．11．解：过点D作BC的垂线，交BC的延长线于F，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠FCD+∠BCD＝180°，∴∠A＝∠FCD，又∠AED＝∠F＝90°，AD＝DC，∴△ADE≌△CDF，∴DE＝DF，S四边形ABCD＝S正方形DEBF＝16，∴DE＝4．故选：C．12．解：∵在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∴△ADC是直角三角形；∵E是AC的中点．∴DE＝AC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半），又∵DE＝3，AB＝AC，∴AB＝6，故答案为：6．13．解：∵菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，∴OA＝OC＝AC＝3，OB＝BD＝4，AC⊥BD，∴BC＝＝＝5，∵OE⊥BC，∴S△OBC＝×OB×OC＝×BC×OE，∴OE＝＝＝，故答案为：．14．解：如图，连接CE交AB于点O．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝5（勾股定理）．若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，且OD＝OB，CD＝CB．∵AB•OC＝AC•BC，∴OC＝．∴在Rt△BOC中，根据勾股定理得，OB＝＝＝，∴AD＝AB﹣2OB＝．故答案是：．15．解：根据作图，AC＝BC＝OA，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝BC＝AC，∴四边形OACB是菱形，∵AB＝2cm，四边形OACB的面积为4cm2，∴AB•OC＝×2×OC＝4，解得OC＝4cm．故答案为：4．16．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，OA＝OB＝OC，∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝1，∴AC＝2OA＝2，∴BC＝＝．17．解：如图，连接AO，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝，BD＝AB＝2，∠DAB＝90°，又∵OM⊥AD，ON⊥AB，∴四边形AMON是矩形，∴AO＝MN，∵当AO⊥BD时，AO有最小值，∴当AO⊥BD时，MN有最小值，此时AB＝AD，∠BAD＝90°，AO⊥BD，∴AO＝BD＝1，∴MN的最小值为1，故答案为：1．18．解：如图，过点D作DE⊥DP交BC的延长线于E，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴四边形DPBE是矩形，∵∠CDE+∠CDP＝90°，∠ADC＝90°，∴∠ADP+∠CDP＝90°，∴∠ADP＝∠CDE，∵DP⊥AB，∴∠APD＝90°，∴∠APD＝∠E＝90°，在△ADP和△CDE中，，∴△ADP≌△CDE（AAS），∴DE＝DP，四边形ABCD的面积＝四边形DPBE的面积＝18，∴矩形DPBE是正方形，∴DP＝＝3．故答案为：3．19．（1）证明：如图，作BG⊥AE于G，连接CF．∵E、C关于BM对称，∴BC＝BE，FE＝FC，∴BM垂直平分CE，∴∠BNE＝90°，∠3＝∠4，∵在菱形ABCD中，AB＝BC，∠BAD＝60°，∴AB＝BE，∠ABC＝120°，又∵BG⊥AE，∴∠1＝∠2，∠BGE＝90°，∴∠2+∠3＝∠ABC＝60°，∴四边形BNEG中，∠CEG＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，∴∠CEF＝60°，又∵FE＝FC，∴△EFC是等边三角形；（2）当∠BAE＝45°时，∠AEB＝45°，∠ABE＝90°，∴△ABE是等腰直角三角形，又∵BG⊥AE，∴AG＝EG＝BG＝AE＝，由（1）可得，∠BFG＝30°，Rt△BFG中，BF＝2BG＝5．20．证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠F AD，∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF，∴∠F AD＝∠FDA∴AF＝DF，∴四边形AEDF是菱形．21．（1）证明：∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AE＝BD，∵AD是边BC上的中线，∴BD＝CD，∴AE＝CD，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线，∴AD＝BC＝CD，∴平行四边形ADCE是菱形；（2）解：∵四边形ADCE是菱形，∴AD＝AE＝CE＝CD，AC⊥DE，OA＝OC，∵BD＝CD，∴OD是△ABC的中位线，∴AB＝2OD＝2，∴AO＝AB＝2，∴AD＝＝＝，∴菱形ADCE的周长＝4AD＝4，故答案为：4．22．证明：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF＝DC，∵AF＝BD，∴BD＝CD；（2）四边形AFBD是矩形．理由：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°∵AF＝BD，∵过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AF∥BC，∴四边形AFBD是平行四边形，又∵∠ADB＝90°，∴四边形AFBD是矩形．23．（1）证明：∵AE∥BC，∴AE∥BD，∵AE＝BD，∴四边形AEBD是平行四边形，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四边形AEBD是矩形；（2）解：∵四边形AEBD是矩形，∴∠AEB＝∠DBE＝90°，BD＝AE＝2，∵∠ABE＝30°，∴BE＝AE＝2，BC＝2BD＝4，∴EC＝＝＝2，∵AE∥BC，∴EF＝EC＝，∵AE∥BC，∴∠AEG＝∠CDG，∵D为BC中点，∴BD＝DC，∵AE＝BD，∴AE＝DC，在△AEG和△CDG中，，∴△AEG≌△CDG（AAS），∴EG＝CG＝EC＝，∴FG＝EG﹣EF＝﹣＝．24．（1）证明：在正方形ABCD中，∠ABE＝∠ADG，AD＝AB，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∴∠EAG＝90°，在△F AE和△GAF中，，∴△F AE≌△GAF（SAS），∴EF＝FG；（2）解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE＝BM．连接AE、EN．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE＝∠B＝45°．在△ABM和△ACE中，，∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE．∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠CAN＝45°．于是，由∠BAM＝∠CAE，得∠MAN＝∠EAN＝45°．在△MAN和△EAN中，，∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN＝EN．在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2+NC2．∴MN2＝BM2+NC2．∵BM＝1，CN＝3，∴MN2＝12+32，∴MN＝．25．解：（1）过点P作PH⊥CD于点H，∴HQ＝16﹣5t，∴PQ2＝PH2+HQ2，即102＝（16﹣5t）2+62，解得：，答：P，Q两点出发或秒，线段PQ的长度为10cm；（2）∵四边形PBCQ是正方形，∴BP＝CQ，即16﹣3t＝2t，解得：t＝，∵，∴不成立．。
2020-2021学年人教版 八年级数学下册 第十八章 平行四边形 综合训练
人教版 八年级数学下册 第十八章 平行四边形综合训练一、选择题1. 如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，60AOB ∠=︒，2AB =，则矩形的对角线AC 的长是（ ）A ．2B ．4C ．23D ．432. 四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F分别是AP 、RP 的中点，当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是 （ ） A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减小 C ．线段EF 的长不变 D ．线段EF 的长与点P 的位置有关P FREDCBA3. （2020·毕节）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是AO ，AD 的中点，连接EF ，若AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，则EF 的长是（ ） A ．2.2 cm B ．2.3 cm C ．2.4 cm D ．2.5 cmFEO D4. （2020·南通） 下列条件中，能判定□ABCD 是菱形的是 A ．AC ＝BDB ．AB ⊥BCC ．AD ＝BDD ．AC ⊥BD5. 如图，在▱ABCD中，对角线AC 与BD 交于点O.若增加一个条件，使▱ABCD 成为菱形，下列给出的条件不正确．．．的是( ) A . AB ＝AD B . AC ⊥BDC . AC ＝BD D . ∠BAC ＝∠DAC6. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若AB ＝2，∠ABC＝60°，则BD 的长为( ) A . 2 B . 3 C . 3 D . 2 37. （2020·遵义）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，AC ＝6，过点D 作DE ⊥BA ，交BA 的延长线于点E ，则线段DE 的长为（ ）A ． 125B ． 185C ． 4D ． 2458. 如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AB 上一点，过点E 作EF ∥AD ，与AC 、DC 分别交于点G 、F ，H 为CG 的中点，连接DE 、EH 、DH 、FH.下列结论：①EG ＝DF ；②∠AEH ＋∠ADH ＝180°；③△EHF ≌△DHC ；④若AE AB ＝23，则3S △EDH ＝13S △DHC ，其中结论正确的有( ) A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个二、填空题9. 如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且ABP ∆为等边三角形，那么DCP ∠=PDCBA10. 菱形的周长为20cm，两邻角度数之比为2:1，则菱形较短的对角线的长度为11. 已知正方形BDEF的边长是正方形ABCD的对角线，则:BDEF ABCDS S=正方形正方形12. 如图，在矩形ABCD中，点E F，分别在边AB CD，上，BF DE∥，若12cm7cmAD AB==，，且:5:2AE EB=，则阴影部分EBPD的面积为FEAB CD13. 如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若BC＝8，则DE的长为________．14. 如图，在平行四边形□ABCD中，2,AB ABC=∠的平分线与BCD∠的平分线交于点E，若点E恰好在边AD上，则22BE CE+的值为．E DCBA15. 如图，在菱形ABCD中，4AB a E=，在BC上，2120BE a BAD P=∠=︒，，点在BD上，则PE PC+的最小值为PDCBA16. 如图，ABCD是边长为1的正方形，EFGH是内接于ABCD的正方形，AE a AF b==，，若23EFGHS=，则b a-=HGFEDCBA三、解答题17. 如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，延长CE ，BA 交于点F ，连接AC ，DF .(1)求证:四边形ACDF 是平行四边形;(2)当CF 平分∠BCD 时，写出BC 与CD 的数量关系，并说明理由.18. 如果点E 、F是正方形ABCD 的对角线BD 上两点，且BE DF ，你能判断四边形AECF 的形状吗？并阐明理由．E CDFBA19. 如图，在菱形ABCD 中，点E.F 分别为AD ．CD 边上的点，DE=DF ，求证：∠1=∠2．20. 如图，AD ∥FE ，点B 、C 在AD 上，∠1＝∠2，BF ＝BC.(1)求证：四边形BCEF 是菱形；(2)若AB ＝BC ＝CD ，求证：△ACF ≌△BDE.21. 已知矩形ABCD 和点P ，当点P 在矩形ABCD 内时，试求证：PBC PAC PCD S S S =+△△△ P ABCD22. 如图，过正方形顶点A 引AE BD ∥，且BE BD =．若BE 与AD 的延长线的交点为F ，求证DF DE =．GFEBDA23. 已知，如图，矩形ABCD 中，CE BD ⊥于E ，AF 平分BAD ∠交EC 于F，求证：CF BD =．DABCEF24. 四边形ABCD 的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形EFGH ，求证：⑴四边形EFGH 对角互补；⑵若四边形ABCD 为平行四边形，则四边形EFGH 为矩形． ⑶四边形ABCD 为长方形，则四边形EFGH 为正方形．HEFG DCBA人教版 八年级数学下册 第十八章 平行四边形综合训练-答案一、选择题 1. 【答案】B【解析】∵60AOB ∠=︒，AO BO =，∴AOB ∆为等边三角形， ∴4AC =2. 【答案】C【解析】连结AR ，利用三角形的中位线可得12EF AR =与点P 无关．3. 【答案】D ，【解析】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理．解：矩形ABCD 中，∵AB ＝6cm ，∴DC ＝6cm ，∵∠BCD ＝90°，BC ＝8cm ，∴BD＝10．∵对角线AC，BD相交于点O，∴OD＝12BD＝5．∵点E，F分别是AO，AD 的中点，∴EF＝2.5．故选D．4. 【答案】D【解析】根据菱形的定义和判断定理判断．定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；判断定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．只有D能够判断出四边形ABCD是菱形．故选D．5. 【答案】C【解析】邻边相等的平行四边形是菱形，所以A正确；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B正确；对角线相等的平行四边形是矩形，所以C错误；由∠BAC＝∠DAC可得对角线是角平分线，所以D正确．6. 【答案】D【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴AB＝BC＝AC＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOB＝90°，AO＝12AC＝1，∴BO＝AB2－AO2＝3，∴BD＝2OB＝2 3.7. 【答案】D【解析】本题考查菱形的性质，菱形的面积，勾股定理的应用．在菱形ABCD中，AB＝5，AO＝12AC＝3，AC⊥BD，∴BO4，BD＝8．∴5DE＝12AC·BD＝24，解得DE＝245．故选D.二、填空题9. 【答案】15︒10. 【答案】5 11. 【答案】2:112. 【答案】220cm13. 【答案】4【解析】∵点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴由三角形的中位线定理可知DE ＝12BC ＝4.14. 【答案】16【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=2,AD=BC,AD ∥BC ，AB ∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°, ∠AEB=∠EBC ，∠DEC=∠ECB.又∵BE 、CE 分别是∠ABC 与∠DCB 的平分线，∴∠ABE=∠EBC ，∠DCE=∠ECB ，∴∠EBC+∠BCE=90°，∠ABE=∠AEB ，∠DCE=∠DEC ，∴AB=AE=2,DC=DE=2,2222416.BC BE CE =+==15. 【答案】 【解析】A C ，关于BD 对称，连AE 交BD 于P ，且30AE BC BAE PE PC AE ⊥∠=︒+==，，为最小值16.【解析】AEF DHE AF DE ∆∆=≌，，则22123a b a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，所以得到b a -=三、解答题17. 【答案】解:(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，∴∠F AE=∠CDE ， ∵E 是AD 的中点，∴AE=DE ，又∵∠FEA=∠CED ，∴△F AE ≌△CDE ，∴CD=F A ， 又∵CD ∥AF ，∴四边形ACDF 是平行四边形. (2)BC=2CD.理由:∵CF 平分∠BCD ，∴∠DCE=45°， ∵∠CDE=90°，∴△CDE 是等腰直角三角形， ∴CD=DE ，∵E 是AD 的中点，∴AD=2CD ， ∵AD=BC ，∴BC=2CD.18. 【答案】连接AC ，交BD 于O ．OE C DF BA∵四边形ABCD 为正方形，∴AC BD ⊥，AO OC =，BO OD = ∵BE DF =，∴EO FO =∴四边形AECF 为平行四边形∵AC EF ⊥，∴四边形AECF 为菱形19. 【答案】∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD=CD ，在△ADF 和△CDE 中，AD CD D D DF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△CDE(SAS)， ∴∠1=∠2．20. 【答案】证明：(1)∵AD ∥EF ，∴∠FEB ＝∠2.∵∠1＝∠2，∴∠FEB ＝∠1.∴BF ＝EF.∵BF ＝BC ， ∴BC ＝EF.∴四边形BCEF 是平行四边形． ∵BF ＝BC.∴四边形BCEF 是菱形． (2)∵EF ＝BC ，AB ＝BC ＝CD ，AD ∥FE.∴四边形ABEF 、四边形CDEF 均为平行四边形， ∴AF ＝BE ，FC ＝ED.又∵AC ＝2BC ＝BD.∴△ACF ≌△BDE.21. 【答案】过点P 作EF 垂直BC ，分别交AD 、BC 于E 、F 两点．PABCEFD∵111()222PBC PAD S S BC PF AD PE BC PF PE +=⋅+⋅=+△△ 1122ABCD BC EF S =⋅=矩形又∵12PAC PCD PAD ABCD S S S S ++=△△△矩形 ∴PBC PAD PAC PAD S S S S S +=++△△△△PCD △ ∴PBC PAC PCD S S S =+△△△22. 【答案】设正方形的边长为a ，如图所示．引BG AE ⊥于G ，则ABG ∆为等腰直角三角形．1122BG BD BE === 所以，在直角BEG ∆中， 30BEG ∠=︒．由于12∠=∠，23∠=∠，所以 1315∠=∠=︒． 从而，在EFD ∆中，()180********F ∠=︒-∠+∠-︒=︒=∠， DE DF =．23. 【答案】连结AC 交BD 于O ，∵四边形ABCD 为矩形，∴1122OA AC OD BD ==，，90AC BD BAD =∠=︒， ∴OA OD =，∴OAD ODA ∠=∠∵AF 平分BAD ∠，∴45FAD ∠=︒，∴245FAD OAD ODA ∠=∠-∠=︒-∠ ∵3FAD ODA ∠=∠+∠，∴345ODA ∠=︒+∠∵CE BD ⊥，∴390F ∠+∠=︒， ∴90(45)F ODA ∠=︒-︒+∠452ODA =︒-∠=∠， ∴CF AC =，∴CF BD =321MO DAB C E F24. 【答案】 ⑴ 因为()11802GHE BHC ABC BCD ∠=∠=︒-∠+∠， ()11802GFE AFD DAB CDA ∠=∠=︒-∠+∠， 所以GHE GFE ∠+∠()13602ABC BCD CDA DAB =︒-∠+∠+∠+∠180=︒ ⑵ 若四边形ABCD 为平行四边形，则 180ABC BCD ∠+∠=︒所以()360180DAB CDA ABC BCD ∠+∠=︒-∠+∠=︒． 从而1180180902GFE ∠=︒-⨯︒=︒，故1180180902GHE ∠=︒-⨯︒=︒． 同理，四边形EFGH 的另两个角都是直角，所以，四边形EFGH 为矩形．⑶若四边形ABCD为矩形，则由⑵知四边形EFGH是矩形．∆∆≌，HBC FAD≌，∆∆GCD EAB=，GH HE=，=，HC HBGC EB故矩形EFGH为正方形．。
2020-2021学年八年级数学人教版下册：第18章平行四边形 训练题
八年级数学 平行四边形一、填空题1．在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，当___________,==BO AO 时，四边形ABCD 是平行四边形．2．如图，已知BC AD //，要使四边形ABCD 为平行四边形，需要增加条件___________（只填一个你认为正确的条件即可）。
3．在ABCD 中，︒=∠+∠120C A ，则_____=∠B 度．4．在ABCD 中，两邻边的差为4cm ，周长为32cm ，则两邻边长分别为________．5．若一个平行四边形的一边长是8，一条对角线长是6，则它的另一条对角线长x 的取值范围是__________．6．菱形的周长为16，那么一边上的中点到两条对角线交点的距离为_________． 7．菱形的一条对角线与边长相等，则菱形较小的内角是_________．8．如图，在正方形ABCD 中，13=AP cm ，点A 和点P 是关于EF 为轴的对称点，则EF 的长为___________cm ．9．如图，E 是正方形内一点，如果ABE ∆是等边三角形，那么______=∠DCE 度，如果DE 的延长线交BC 于F ，那么______=∠BEF 度．10．在菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，DE ⊥BC 于点E ，且DE ＝OC ，OD ＝2，则AC ＝ ．二、选择题11．将两个全等三角形用各种不同的方法拼成四边形，在这些拼成的四边形中，平行四边形的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．不能判定ABCD 为平行四边形的题设是（ ） A ．BC AD CD AB ==, B ．CD AB CD AB =,// C ．BC AD CD AB //,=D ．BC AD CD AB //,//13．ABCD 中，D C B A ∠∠∠∠:::的值可以是（ ） A ．1：2：3：4 B ．1：2：2：1 C ．2：2：1：1D ．2：1：2：114．若ABCD 的BAD ∠的平分线交BC 于E ，且BE AE =，则BCD ∠等于（ ） A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 15．边长为2，且有一个角为60°的菱形的面积为（ ） A ．34B ．32C ．38D ．以上答案都不对16．在菱形ABCD 中，cm 24,cm 10==BD AC ，则菱形的面积是（ ） A ．302cmB ．602cmC ．1202cmD ．2402cm17．如果E 是矩形ABCD 中AB 边的中点，那么ABCD AED S S 矩形:∆为（ ） A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．1：518．能够找到一点，使该点到各顶点的距离都相等的图形为（ ） ①平行四边形 ②菱形 ③矩形 ④正方形A ．①与②B ．②与③C ．②与④D ．③与④19．若菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，菱形ABCD 面积为48cm 2，AE =6cm ，则AB 的长度为（ ）A ．12cmB ．8cmC ．4cmD ．2cm20．A 、B 、C 、D 在同一平面内，从①AB ∥CD ；②AB =CD ；③BC ∥AD ；④BC =AD 这四个条件中任取两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（ ） A ．6种 B ．5种 C ．4种 D．3种三、解答题21．已知：如图，ABCD 中，E 、F 是DC 、BA 的延长线上的点，且F E ∠=∠，求证：.CF AE =22．已知：如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，︒=∠︒=∠=∠18,60BAE EAF B ，求CEF ∠的度数．23．如图，E 是矩形ABCD 边AD 上一点，且P ED BE ,=是对角线BD 上任意一点，BF PF ⊥于AD PG F ⊥,于G ，请你量一下PF 、PG 、AB 的长，它们之间有什么关系？换一个P 点再试一试，你找到的关系还正确吗？证明你的结论是正确的．24．命题：如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，过点A 作EB AG ⊥，垂足为AG G ,交BD 于点F ，则.OF OE =证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴.,90AO BO AOF BOE =︒=∠=∠又EB AG ⊥ ，∴.329031∠+∠=︒=∠+∠∴21∠=∠，∴AOF BOE ∆≅∆，∴.OF OE =问题：对上述命题，若点E 在AC 的延长线上，EB AG ⊥，交EB 的延长线于点G ，AG 的延长线交于点F ，其他条件不变，如图，则结论“OF OE =”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．。
2020-2021学年人教版 八年级下册 第18章 平行四边形 培优训练(含答案)
人教版 八年级下册 第18章 平行四边形 培优训练一、选择题1. 已知四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BC 的中点，以下说法错误的是( )A . OE ＝12DC B . OA ＝OC C . ∠BOE ＝∠OBA D . ∠OBE ＝∠OCE2. 如图，在菱形ABCD 中，6AC =，8BD =，则菱形的边长为（ ）A ．5B ．10C ．6D ．83. （2019·上海）下列命题中，假命题是()A ．矩形的对角线相等B ．矩形对角线交点到四个顶点的距离相等C ．矩形的对角线互相平D ．矩形对角线交点到四条边的距离相等4. 如图，在ABCD 中，将△ADC 沿AC 折叠后，点D 恰好落在DC 的延长线上的点E 处．若∠B=60°，AB=3，则△ADE 的周长为A ．12B ．15C ．18D ．215. 关于▱ABCD的叙述，正确的是( ) A . 若AB ⊥BC ，则▱ABCD 是菱形 B . 若AC ⊥BD ，则▱ABCD 是正方形 C . 若AC ＝BD ，则▱ABCD 是矩形D. 若AB＝AD，则▱ABCD是正方形6. （2020·南通）下列条件中，能判定□ABCD是菱形的是A．AC＝BD B．AB⊥BC C．AD＝BD D．AC⊥BD 7. 如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=7，BD=4，CD=3，E、F、G、H 分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为A．12 B．14 C．24 D．218. 如图，在平行四边ABCD中，AC、BD为对角线，6BC ，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为（）．A．3 B．6 C．12 D．24(1)DBA9.已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，OB＝45，点P是对角线OB上的一个动点，D(0，1)，当CP＋DP最短时，点P的坐标为()A. (0，0)B. (1，12) C. (65，35) D. (107，57)10. （2020·深圳）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝12．将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF，点E、F分别在边AD和边BC上．连接BG，交CD于点K，FG交CD于点H．给出以下结论：①EF ⊥BG ；②GE ＝GF ；③△GDK 和△GKH 的面积相等；④当点F 与点C 重合时，∠DEF ＝75°．其中正确．．的结论共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题11. 如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是．DCAB12. 已知矩形的对角线AC与BD 相交于点O ，若AO ＝1，那么BD ＝________．13. 如图，▱ABCD中，AC ＝8，BD ＝6，AD ＝a ，则a 的取值范围是________．14. 已知平行四边形ABCD 的周长为60cm ，对角线AC 、BD 相交于O 点，AOB ∆的周长比BOC ∆的周长多8cm ，则AB 的长度为 cm ．OD CBA15.矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则边AD 的长是 ．16. 如图，在▱ABCD 中，E 为边CD 上一点，将△ADE 沿AE 折叠至△AD′E 处，AD ′与CE 交于点F ，若∠B ＝52°，∠DAE ＝20°，则∠FED′的大小为________．17. ▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC ⊥BD ，请添加一个条件：________，使得▱ABCD 为正方形．18. 如图，已知等边三角形的边长为10，P 是ABC ∆内一点，PD AC ∥，PE AB PF BC ∥，∥，点D E F ，，分别在AB BC AC ，，上，则PD PE PF ++=PFEDCBA19. 如图，正方形ABCD 中，O 是对角线AC BD ，的交点，过点O 作OE OF ⊥，分别交AB CD ，于E F ，，若43AE CF ==，，则EF = OFE DC BA20.如图，在正方形ABCD 中，点1P P ，为正方形内的两点，且11PB PD PB AB CBP PBP ==∠=∠，，，则1BPP ∠= P 1PDC BA三、解答题21. 如图，将▱ABCD 的边AB 延长至点E ，使BE=AB ，连接BD ，DE ，EC ，DE 交BC 于点O.(1)求证:△ABD ≌△BEC ;(2)若∠BOD=2∠A ，求证:四边形BECD 是矩形.22. 如图，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE ∆是等边三角形．⑴ 求证：四边形ABCD 是菱形；⑵ 若2AED EAD ∠=∠，求证：四边形ABCD 是正方形．OEDCBA23. 如图，正方形ABCD 中，在AD 的延长线上取点E ，F，使DE AD =，DF BD =．连结BF 分别交CD ，CE 于H ，G ．求证：GHD ∆是等腰三角形．3142FE GHCDBA24. 如图所示，矩形ABCD 内一点P 到A 、B 、C 的长分别是3、4、5，求PD 的长．PDCB A人教版八年级下册第18章平行四边形培优训练-答案一、选择题1. 【答案】D【解析】A、B、C均正确，因为OB不一定等于OC，所以∠OBE 不一定等于∠OCE.2. 【答案】A【解析】由菱形的对角线互相垂直平分及勾股数可知选A3. 【答案】D【解析】矩形的对角线的交点到每一组对边的距离相等，故选项D错误，是假命题.4. 【答案】C【解析】由折叠可得，∠ACD=∠ACE=90°，∴∠BAC=90°，又∵∠B=60°，∴∠ACB=30°，∴BC=2AB=6，∴AD=6，由折叠可得，∠E=∠D=∠B=60°，∴∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴△ADE的周长为6×3=18，故选C．5. 【答案】C【解析】逐项分析如下表：选项逐项分析正误A有一个角是直角的平行四边形是矩形，不是菱形×B对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不一定是正方形×C对角线相等的平行四边形是矩形√D有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不一定是正方形×6. 【答案】D【解析】根据菱形的定义和判断定理判断．定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；判断定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．只有D能够判断出四边形ABCD是菱形．故选D．7. 【答案】A【解析】∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，∴2222++，BD CD=43∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴EH=FG=12BC ，EF=GH=12AD ，∴四边形EFGH 的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC ， 又∵AD=7，∴四边形EFGH 的周长=7+5=12．故选A ．8. 【答案】C9. 【答案】D【解析】如解图，连接CA 、AD ，CA 与OB 相交于点E ，过点E作EF ⊥OA ，交OA 于点F .由题知点C 关于OB 的对称点是点A ，AD 与BO 的交点即为点P .根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分两组对角，可知△COE ∽△EOF ，∴CO EO ＝EO OF ，∵OC ＝OA ＝5，OE ＝OB 2＝25，∴OF ＝OE 2CO ＝（25）25＝4，根据勾股定理可得EF ＝OE 2－OF 2＝（25）2－42＝2，点E 的坐标为(4，2)，易得直线OE 的函数解析式为y ＝12x ，直线AD 的函数解析式是y ＝－15x ＋1，联立得：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x y ＝－15x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝107y ＝57，∴点P 的坐标为(107，57)．解图10. 【答案】C【解析】由轴对称可知，B 、G 关于EF 对称，EF 垂直平分BG ，故①正确；又由矩形ABCD 知，AD ∥BC ，∴∠GEF ＝∠BFE ，连接BE ，∠BEF ＝∠GEF ，∴∠BEF ＝∠BFE ，∴BE ＝BF ，而BE ＝GE ，BF ＝GF ，∴GE ＝GF ，故②正确；由BE ＝GE ＝BF ＝GF 知，四边形BEGF 是菱形，∴GK 平分∠DGH ，而DG ＜GH ，∴DK ≠KH ，∴S △GDK ≠S △GKH ，故③错误；当点F 与点C 重合时，BF ＝BC ＝12，∴BE ＝12，而AB ＝6，∴∠AEB ＝30°，∴∠GEF ＝180°－∠AEB2＝75°，故④正确；因此本题选C ．二、填空题11. 【答案】AB AD AC BD =⊥，12. 【答案】2【解析】根据“矩形的对角线相等且互相平分”进行解题便可．∵四边形ABCD 是矩形，∴BD ＝AC ＝2OA ，∵OA ＝1，∴BD ＝2.13. 【答案】1＜a ＜7 【解析】如解图，对角线AC ，BD 相交于点O ，则OA ＝12AC ＝4，OD ＝12BD ＝3，在△OAD 中，OA －OD ＜AD ＜OA ＋OD ，即1＜a ＜7.14. 【答案】19【解析】如图，AOB ∆的周长为AB AO BO ++，BOC ∆的周长为BC BO CO ++ 由平行四边形的对角线互相平分可得()()8AB AO BO BC BO CO AB BC ++-++=-= ∴6082194AB +⨯==．15. 【答案】10cm【解析】∵AC AO BO =+，∴()()10cm AD BC AB AC BC AB AO BO ==++-++=．16. 【答案】36° 【解析】∵在▱ABCD 中，∠D ＝∠B ＝52°，∴∠AEF ＝∠DAE ＋∠D ＝20°＋52°＝72°，∴∠AED ＝180°－∠AEF ＝108°，由折叠的性质得，∠AED ′＝∠AED ＝108°，∴∠FED ′＝∠AED′－∠AEF ＝108°－72°＝36°.17. 【答案】∠BAD ＝90°(答案不唯一) 【解析】∵▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC ⊥BD ，∴▱ABCD 是菱形，当∠BAD ＝90°时，菱形ABCD 为正方形．故可添加条件：∠BAD ＝90°.18. 【答案】1019. 【答案】520. 【答案】45︒【解析】连结PC ，则45PCD PCB BCP DCP ∆∆∠=∠=︒≌，，又1PBP CBP ∆∆≌，得145BPP BCP ∠=∠=︒三、解答题21. 【答案】[解析](1)根据平行四边形的判定与性质得到四边形BECD 为平行四边形，然后由SSS 推出两三角形全等即可;(2)欲证明四边形BECD 是矩形，只需推出BC=ED 即可.证明:(1)在▱ABCD 中，AD=BC ，AB=CD ，AB ∥CD ，则BE ∥CD. 又∵BE=AB ，∴BE=DC ， ∴四边形BECD 是平行四边形， ∴BD=EC.在△ABD 与△BEC 中，∴△ABD ≌△BEC (SSS).(2)由(1)知四边形BECD 是平行四边形， 则OD=OE ，OC=OB.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A=∠BCD ，即∠A=∠OCD.又∵∠BOD=2∠A ，∠BOD=∠OCD +∠ODC ， ∴∠OCD=∠ODC ， ∴OC=OD ， ∴BC=ED ，∴平行四边形BECD 是矩形.22. 【答案】⑴ ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO CO =．又∵ACE ∆是等边三角形，∴EO AC ⊥，即DB AC ⊥． ∴平行四边形ABCD 是菱形．⑵ ∵ACE ∆是等边三角形，∴60AEC ∠=︒．∵EO AC ⊥，∴1302AEO AEC ∠=∠=︒．∵2AED EAD ∠=∠，∴15EAD ∠=︒．∴45ADO EAD AED ∠=∠+∠=︒． 四边形ABCD 是菱形，∴290ADC ADO ∠=∠=︒ ∴四边形ABCD 是正方形．23. 【答案】首先证明：GDH GHD ∠=∠．因为DE BC DE BC =∥，，所以四边形BCED 为平行四边形，14∠=∠，又BD FD =，所以1123452∠=∠=∠=⨯︒，134452∠=∠=⨯︒，BC GC CD ==．因此，DCG ∆为等腰三角形，故()11351804522CDG ︒∠=︒-︒=． 又451359039022GHD ︒︒∠=︒-∠=︒-=，所以CDG GHD ∠=∠．从而GD GH =．24. 【答案】【解析】过P 点分别作AD 、AB 、BC 、CD 的垂线，垂足分别为E 、F 、G 、H ，HGFEP D CBA显然AFPE ，EPHD ，FBGP ，PGCH 都是矩形，则 2222AP AE EP PF PE =+=+，222PC PG PH =+，222PB PF PG =+，222PD PE PH =+， ∴22222222PA PC PE PF PG PH PB PD +=+++=+， ∴222222235418PD PA PC PB =+-=+-=，∴PD =．另解：如图所示，连接AC 、BD 交于点O ，连接PO ．OAB CDP因为AO OC =，BO DO =，故2222111224OP PA PC AC =+-（中线定理），2222111224OP PB PD BD =+-．而AC BD =，故2222PA PC PB PD +=+，则PD ==。
2020-2021学年人教版八年级下册：第18章平行四边形练习题
平行四边形1、在□ABCD中，AD=8,AE平分∠BAD交BC于点E,DF平分∠ADC交BC于点F,且EF=2,则AB的长为（）A .3 B. 5 C. 2或3 D. 3或52、下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（）．（A）对角线互相垂直（B）对角线相等（C）对角线互相垂直且相等（D）对角线互相平分3、如图，在▱ABCD中，AC和BD相交于点O，则下面条件能判定▱ABCD是矩形的是（）A．AC=BD B．AC=BC C．AD=BC D．AB=AD4、下面性质中，菱形不一定具有的是（）A．对角线相等B．是中心对称图形C．是轴对称图形D．对角线互相平分5、下列说法中错误的是（）A、对角线相等的菱形是正方形B、有一组邻边相等的矩形是正方形C、四条边都相等的四边形是正方法D、有一个角为直角的菱形是正方形6、□ABCD的对角线交于点O，S△AOB =2cm2，则S□ABCD=__________.7、如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=___ _cm，CD=___ _cm时，四边形ABCD为平行四边形；（2）若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=__ _cm，DO=__ _cm时，四边形ABCD为平行四边形．8、已知矩形的一条对角线长为10cm，且该对角线与一边的夹角为30°，则矩形的边长分别为 cm， cm， cm， cm．9、以菱形ABCD的钝角顶点A引BC边的垂线，恰好平分BC，则此菱形各角是____________．10、正方形的边长是5cm时，它的周长是，面积是。
11、如图，在ABCD中，BC=10，AC=8，BD=14.△AOD的周长为多少？△ABC与△DBC的周长哪个长？长多少？12、已知：如图（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA 的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．13、如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD，交BC于E，若∠CAE=15°，求∠BOE的度数．14、如图，菱形花坛ABCD的边长为20cm，∠ABC=60°沿菱形的两条对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积。
2020—2021学年人教版数学八年级下册 第十八章 平行四边形 过关练习
第十八章平行四边形一、选择题1.如图，已知菱形ABCD，AB=4，∠BAD=120∘，E为BC的中点，P为对角线BD上点，则PE+PC的最小值等于( )A．2√2B．2√3C．2√5D．82.在直角三角形中，两条直角边边长分别为12和5，则斜边中线的长是( )A．26B．13C．30D．6.53.矩形ABCD中AB=10，BC=8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，点D正好落在AB边上的F点，则AE的长是( )A．3B．4C．5D．64.如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P．若GO=GP，则S正方形ABCDS正方形EFGH的值是( )A．1+√2B．2+√2C．5−√2D．154 5.在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则点A到对角线BD的距离为( )A．125B．2C．52D．1356.如图，菱形ABCD中，∠D=135∘，BE⊥CD于E，交AC于F，FG⊥BC于G，若△BFG的周长为4，则菱形ABCD的面积为( )A．4√2B．8√2C．16D．16√27.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点（点P不与点B，D重合），PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列几个结论：① AP=EF；② AP⊥EF；③当△APD 是等腰三角形时，∠DAP=67.5∘；④ ∠PFE=∠BAP．其中有正确有( )个．A．1B．2C．3D．48.如图，在△ABC中，AC=4，点D，E分别是边AB，CB的中点，那么DE的长为( )A．2B．1.5C．4D．39.平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是( )A．对角线互相平分B．对角线相等C．对角线互相垂直D．对角线互相垂直平分10.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论：① BE⊥AC；②四边形BEFG是平行四边形；③ EG=GF；④ EA平分∠GEF．其中正确的是( )A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④11.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是( )A．BE平分∠ABC B．AD=BDC．BE⊥AC D．AB=AC12.如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，点E为AC的中点，连接DE．若△ABC的周长为20，则△CDE的周长为( )A．10B．12C．14D．1613.如图，正方形纸片ABCD的边长为15，E，F分别是CD，AD边上的点，连接AE，把正方形纸片沿BF折叠，使点A落在AE上的一点G，若CE=7，则GE的长为( )A．3B．4917C．4D．3715二、填空题14.如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE，若∠ADB=36∘，则∠E=15.如图，点E，F分别在矩形ABCD的边BC和CD上，如果△ABE，△ECF，△FDA的面积分别刚好为6，2，5，那么矩形ABCD的面积为．16.在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处，折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处，请完成下列探究：（1）∠PAQ的大小为（2）当四边形APCD是平行四边形时，AB的值为．QR17.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，且AD⊥BD，E为AC的中点，AD=6cm，BD=8cm，BC=16cm，则DE的长为cm．BC，点G是AB上一点，点18.如图，△ABC的面积为16，点D是BC边上一点，且BD=14H在△ABC内部，且四边形BDHG是平行四边形，则图中阴影部分的面积是．三、解答题19.如图，矩形ABCD中，点E，F在边AD上，AE=FD．求证：四边形EBCF是等腰梯形．20.如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．(1) 求证：四边形ACDF是平行四边形．(2) 当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．21.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OE=OF．(1) 求证：△BOE≌△DOF．(2) 若BD=EF，连接DE，BF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．22.如图：BE，CF是锐角△ABC的两条高，M，N分别是BC，EF的中点，若EF=6，BC=24．(1) 证明∠ABE=∠ACF；(2) 判断EF与MN的位置关系，并证明你的结论；(3) 求MN的长．23.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90∘，∠B=15∘，边AB的垂直平分线交边BC于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，连接DF．求证：AC=DF．（说明：此题的证明过程需要批注理由）答案一、选择题1. 【答案】B【解析】连接AC，AE，AE交BD于点F，连接FC，∵四边形ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC，∴AF=FC，∴FC+FE=AE，根据两点之间，线段最短，当P点运动到F点时，PE+PC的值最小，最小值为AE的长，∵∠BAD=120∘，∴∠ABC=60∘，∵AB=BC，∴△ABC是等边三角形，∵E为BC中点，BC=2，∴AE⊥BC，BE=12∴AE=2−BE2=√42−22=2√3．2. 【答案】D3. 【答案】A【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=10，BC=AD=8，∠A=∠D=∠B=90∘，∵折叠，∴CD=CF=10，EF=DE，在Rt△BCF中，BF=√CF2−BC2=6，∴AF=AB−BF=10−6=4，在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，∴AE2+16=(8−AE)2，∴AE=3．4. 【答案】B【解析】因为四边形EFGH为正方形，所以∠EGH=45∘，∠FGH=90∘，因为OG=GP，所以∠GOP=∠OPG=67.5∘，所以∠PBG=22.5∘，又因为∠DBC=45∘，所以∠GBC=22.5∘，所以∠PBG=∠GBC，因为∠BGP=∠BGC=90∘，BG=BG，所以△BPG≌△BCG(ASA)，所以PG=CG．设OG=PG=CG=x，因为O为EG，BD的交点，所以EG=2x，FG=√2x，因为四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，所以BF=CG=x，所以BG=x+√2x，所以BC2=BG2+CG2=x2(√2+1)2+x2=(4+2√2)x2，所以S正方形ABCDS正方形EFGH=(4+2√2)x22x2=2+√2．故选：B．5. 【答案】A【解析】∵BC=4，AB=3，故AD=4，则S△DBC=12×3×4=6，又∵BD=√32+42=5，S△ABD=12×5AE，∴12×5AE=6，AE=125．6. 【答案】B【解析】因为菱形ABCD中，∠D=135∘，所以∠BCD=45∘，因为BE⊥CD于E，FG⊥BC于G，所以△BFG与△BEC是等腰直角三角形，因为∠GCF=∠ECF，∠CGF=∠CEF=90∘，CF=CF，所以△CGF≌△CEF（AAS），所以FG=FE，CG=CE，设BG=FG=EF=x，所以BF=√2x，因为△BFG的周长为4，所以x+x+√2x=4，所以x=4−2√2，所以BE=2√2，所以BC=√2BE=4，所以菱形ABCD的面积=4×2√2=8√2．7. 【答案】C【解析】延长FP，交AB于M，∵PF⊥CD，AB∥DC，∴PM⊥AB，∵PE⊥BC，AB⊥BC，∴PE∥AB，同理可得，∴PM∥BE，∴四边形PEBM是平行四边形，∵∠PBE=45∘，∴BE=PE，∴平行四边形PEBM是正方形，同理可得PF=DF，且四边形PECF是矩形，对于①，AP2=AM2+MP2，由正方形BMPE可知，PM=PE，∵AM=DF，DF=PF，∴AM=PF，∴AP2=PE2+PF2=EF2，∴AP=EF，故①正确；对于②，延长AP，交EF于N，则∠APM=∠FPN，∴∠APM+∠EPN=∠FPN+∠EPN=90∘，在Rt△APM与Rt△FEP中，由①可知，AP=EF，PM=PE，∴△APM≌△FEP(HL)，∴∠PEF+∠EPN=90∘，即PN⊥EF，∴AP⊥EF，故②正确；对于③，若△APD是等腰三角形，则AP=PD或AD=PD，当AP=PD时，∠DAP=∠ADP=45∘，当AD=PD时，∠DAP=∠DPA=180∘−45∘2=67.5∘，故③不正确；对于④，由②可得，△APM≌△FEP，∴∠BAP=∠PFE，故④正确．综上：正确的个数有3个．8. 【答案】A【解析】∵点D，E分别是边AB，CB的中点，AC=2．∴DE=129. 【答案】A【解析】A．平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分，故本选项正确；B．只有矩形，正方形的对角线相等，故本选项错误；C．只有菱形，正方形的对角线互相垂直，故本选项错误；D．只有菱形，正方形的对角线互相垂直平分，故本选项错误．10. 【答案】B11. 【答案】A【解析】当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，理由：∵DE∥BC，∴∠DEB=∠EBC，∵∠EBC=∠EBD，∴∠EBD=∠DEB，∴BD=DE，∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形，∵BD=DE，∴四边形DBFE是菱形．其余选项均无法判断四边形DBFE是菱形．12. 【答案】A【解析】因为AB=AC，AD为BC边上的高，所以BD=DC，因为△ABC的周长为20，所以AC+CD=10，在Rt△ADC中，点E为AC的中点，AC=AE，所以DE=12所以△CDE的周长=DE+EC+DC=AE+EC+CD=AC+CD=10，故选：A．13. 【答案】B二、填空题【解析】连接AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=36∘，∴∠E=∠DAE，又∵BD=CE，∴CE=CA，∴∠E=∠CAE，∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，∴∠E+∠E=36∘，∴∠E=18∘．故答案为：18．15. 【答案】20【解析】设AB=CD=a，AD=BC=b，∵S△ABE=6，AB×BE=6，∴12∴BE=12，a，∴EC=b−12a∵S△EFC=2，EC×CF=2，∴12，∴CF=4aab−12，∴DF=a−4aab−12∵S△ADF=5，AD×DF=5，∴12)=10，∴b(a−4aab−12∴(ab)2−26ab+120=0，∴ab=20或ab=6（不合题意舍去），∴矩形ABCD的面积为20．16. 【答案】30；√3【解析】如图，延长AD交BC于F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠FBD，∵AD⊥BD，∴∠BDA=∠BDF=90∘，AB=√AD2+BD2=√62+82=10（cm），在△BDF和△BDA中，{∠FBD=∠ABD, BD=BD,∠BDF=∠BDA.∴△BDF≌△BDA(ASA)，∴DF=AD，FB=AB=10（cm），∴CF=BC−FB=16−10=6（cm），又∵点E为AC的中点，∴DE是△ACF的中位线，∴DE=12CF=3（cm）．18. 【答案】4【解析】设△ABC底边BC上的高为ℎ，△AGH底边GH上的高为ℎ1，△CGH底边GH上的高为ℎ2，则有ℎ=ℎ1+ℎ2．S△ABC=12BC⋅ℎ=16，S阴影=S△AGH+S△CGH=12GH⋅ℎ1+12GH⋅ℎ2=12GH⋅(ℎ1+ℎ2)=12GH⋅ℎ.∵四边形BDHG是平行四边形，且BD=14BC，∴GH=BD=14BC，∴S阴影=14×(12BC⋅ℎ)=14S△ABC=4．三、解答题19. 【答案】提示：先证明四边形EBCF是梯形，再由△ABE≌△DCF可得BE=CF．20. 【答案】(1) ∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠FAE=∠CDE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，又∵∠FEA=∠CED，∴△FAE≌△CDE，∴CD=FA，又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形．(2) BC=2CD．∵CF平分∠BCD，∴∠DCE=45∘，∵∠CDE=90∘，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD=DE，∵E是AD的中点，∴AD=2CD，∵AD=BC，∴BC=2CD．21. 【答案】(1) ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，在△BOE和△DOF中，{OB=OD,∠BOE=∠DOF, OE=OF,∴△BOE≌△DOF(SAS)．(2) 四边形EBFD是矩形，如图所示：∵OB=OD，OE=OF，∴四边形EBFD是平行四边形，又∵BD=EF，∴四边形EBFD是矩形．22. 【答案】(1) ∵BE，CF是锐角△ABC的两条高，∴∠ABE+∠A=90∘，∠ACF+∠A=90∘，∴∠ABE=∠ACF；(2) MN垂直平分EF．证明：如图，连接EM，FM，∵BE，CF是锐角△ABC的两条高，M是BC的中点，∴EM=FM=12BC，∵N是EF的中点，∴MN垂直平分EF；(3) ∵EF=6，BC=24，∴EM=12BC=12×24=12，EN=12EF=12×6=3，由勾股定理得，MN=√EM2−EN2=√122−32=3√15．23. 【答案】连接AE，∵DE是AB的垂直平分线（已知），∴AE=BE，∠EDB=90∘（线段垂直平分线的性质），∴∠EAB=∠EBA=15∘，（等边对等角），∴∠AEC=30∘（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），Rt△EDB中，∵F是BE的中点（已知），∴DF=12BE（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），Rt△ACE中，∵∠AEC=30∘（已知），∴AC=12AE（直角三角形30∘角所对的直角边是斜边的一半），∴AC=DF（等量代换）．。
2020-2021年度人教版八年级数学下册 18.2特殊的平行四边形 同步培优训练题(附答案)
2020-2021年度人教版八年级数学下册18.2特殊的平行四边形同步培优训练题（附答案）1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD 是菱形，则这个条件可以是（）A．∠ABC＝90°B．AB＝BD C．AC⊥BD D．AC＝BD2．如图，长方形ABCD中，AD＝BC＝6，AB＝CD＝10．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为（）A．2或8B．或18C．或2D．2或183．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP 的最小值是（）A．1.2B．1.5C．2.4D．2.54．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是BC上的一点且CE＝3，连接DE，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值是（）A．3.5B．5.5C．6.5D．3.5或6.55．菱形的周长为8，一个内角为120°，则较短的对角线长为（）A．4B．2C．2D．16．下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对边相等且平行7．如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且AE＝AB，连接BE，DE，则∠CDE的度数为（）A．20°B．22.5°C．25°D．30°8．如图，矩形ABCD中，作CE⊥BD于点E，若∠DCE＝3∠ECB，则∠ACE度数为（）A．30°B．60°C．45°D．22.5°9．如图，正方形ABCD中，∠EAF＝45°，有以下四个结论：①BE+DF＝EF；②BM2+DN2＝MN2③若AB＝3，BE＝1，则BN＝3；④若CE＝2，则DN＝，其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．两本长方形的书按如图所示方式叠放在一起，则∠3+∠2+2∠1＝（）A．360°B．540°C．720°D．以上案均不对11．如图，菱形ABCD的边长为10，对角线BD的长为16，点E，F分别是边AD，CD的中点，连接EF并延长与BC的延长线相交于点G，则EG的长为．12．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E为CD的中点，连接AE、BD于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝．13．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为11和7，按如图所示的方式交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形BGDH的周长为．14．如图，平面内直线l1∥l2∥l3∥l4，且相邻两条平行线间隔均为1，正方形ABCD四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为．15．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC交于点F，若AB＝12，DF＝2FC，则BC的长是16．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，且点D是AB的中点，△DEF的周长是11，则AB＝．17．如图，摆放矩形ABCD与矩形ECGF，使B，C，G在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若H为AF的中点，连接DH，HE，那么DH与HE之间的数量关系是．18．如图，正方形BEFG的顶点E在正方形ABCD的边AD上，CD、EF交于点H，AD＝16，连接EC，FC，则△CEF的面积的最小值为．19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BA＝5，AC＝8，D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN长的最小值为．20．如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝．21．菱形ABCD的边长为6，∠D＝60°，点E在边AD上运动．（1）如图1，当点E为AD的中点时，求AO：CO的值；（2）如图2，F是AB上的动点，且满足BF+DE＝6，求证：△CEF是等边三角形．22．如图，过△ABC边AC的中点O，作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD，CE，若CE平分∠ACB，CE⊥BO于点F．（1）求证：①OC＝BC；②四边形ABCD是矩形；（2）若BC＝3，求DE的长．23．如图，若在正方形ABCD中，点E为CD边上一点，点F为AD延长线上一点，且DE＝DF，则AE与CF之间有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．24．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB交于点F．（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明理由；（2）若OE＝5，AC＝8，求菱形ABCD的面积．25．如图，在四边ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角AC、BD交于O，AC平分∠BAD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE，若AB＝2，BD＝4，求OE 的长．26．（1）如图1的正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，延长CD到点G，使DG＝BE，连接EF，AG．求证：EF＝FG；（2）如图2，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，求MN的长．27．如图1，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，BE平分∠ABC，交AD于点E，过点E作EF∥AB，交BC于点F，O是BE的中点，连接OF，OC，OD．（1）求证：四边形ABFE是菱形；（2）若∠ABC＝90°，如图2所示：①求证：∠ADO＝∠BCO；②若∠EOD＝15°，AE＝1，求OC的长．参考答案1．解：添加一个条件为AC⊥BD，理由如下：∵四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形．故选：C．2．解：分两种情况讨论：①当E点在线段DC上时，∵△AD'E≌△ADE，∴∠AD'E＝∠D＝90°，∵∠AD'B＝90°，∴∠AD'B+∠AD'E＝180°，∴B、D'、E三点共线，∵，AD'＝AD，∴BE＝AB＝10，∵，∴DE＝D'E＝10﹣8＝2；②当E点在线段DC的延长线上时，如下图，∵∠ABD″+∠CBE＝∠ABD″+∠BAD″＝90°，∴∠CBE＝∠BAD″，在△ABD″和△BEC中，∵，∴△ABD″≌△BEC（ASA），∴BE＝AB＝10，∵，∴DE＝D″E＝BD''+BE＝8+10＝18．综上所知，DE＝2或18．故选：D．3．解：连接CM，如图所示：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形CEMF是矩形，∴EF＝CM，∵点P是EF的中点，∴CP＝EF，当CM⊥AB时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，∵△ABC的面积＝AB×CM＝AC×BC，∴CM＝＝＝2.4，∴CP＝EF＝CM＝1.2，故选：A．4．解：如图，当点M在BC上时，∵△ABM′和△DCE全等，∴BM＝CE，由题意得：BM′＝2t﹣4＝3，所以t＝3.5（秒）；当点M在AD上时，∵△ABM″和△CDE全等，∴AM″＝CE，由题意得：AM″＝16﹣2t＝3，解得t＝6.5（秒）．所以，当t的值为3.5秒或6.5秒时．△ABM和△DCE全等．故选：D．5．解：如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则∠B+∠BAD＝180°，∴∠B＝60°，∵菱形ABCD的周长为8，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝2，故选：C．6．解：A．因为矩形的对角线相等，所以A选项不符合题意；B．因为矩形和菱形的对角线都互相平分，所以B选项不符合题意；C．因为菱形对角线互相垂直，所以C选项符合题意；D．因为矩形和菱形的对边都相等且平行，不符合题意．故选：C．7．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∵AE＝AB，∴AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝67.5°，∴∠CDE＝90°﹣67.5°＝22.5°，故选：B．8．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DCB＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OD＝OB，∴OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵∠DCE＝3∠ECB，∠DCB＝90°，∴∠ECB＝×90°＝22.5°，∵CE⊥BD，∴∠CEB＝90°，∴∠OBC＝90°﹣∠ECB＝67.5°＝∠OCB，∴∠ACE＝∠OCB﹣∠ECB＝67.5°﹣22.5°＝45°，故选：C．9．解：①延长CB，截取BI＝DF，连接AI，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABE＝∠ADC＝90°，∴∠ABI＝90°，在△ADF和△ABI中，，∴△ADF≌△ABI（SAS），∴∠BAI＝∠DAF，AI＝AF，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°，∴∠BAI+∠BAE＝45°，即∠EAI＝45°，∴∠EAI＝∠EAF，∵AE＝AE，∴△AIE≌△AFE（SAS），∴IE＝FE，即DE+BF＝EF，故①正确；②过B作BD的垂线，截取BH＝ND，连接AH，HM，如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠ADB＝∠ABD＝45°，∠BAD＝90°，∴∠ABH＝45°＝∠ADN，在△ADN和△ABH中，，∴△ADN≌△ABH（SAS），∴∠DAN＝∠BAH，AN＝AH，∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠DAN+∠BAM＝∠BAH+∠BAM＝45°，∴∠MAN＝∠HAM＝45°，在△AHM和△ANM中，，∴△AHM≌△ANM（SAS），∴MH＝MN，在Rt△BHM中，HM2＝BH2+BM2，∴MN2＝BM2+DN2，故②正确；③连接AC，过E作EH⊥AC于点H，∵四边形ABCD为正方形，AB＝3，∴∠ACB＝∠BAC＝∠ADB＝∠CAD＝45°，AB＝BC＝3，∴∠HEC＝∠HCE＝45°，∵BE＝1，∴CE＝2，∴EH＝，∴BE≠HE，∵∠BAE≠∠CAE，∵∠EAF＝∠CAD＝45°，∴∠BAE≠∠DAF，∴∠EAF+∠BAE≠∠ADN+∠DAF，∵∠BAN＝∠EAF+∠BAE，∠BNA＝≠∠ADN+∠DAF，∴∠BAN≠∠BNA，∴AB≠BN，∵AB＝3，∴BN≠3，故③错误；④过点D作DG⊥BD过N作NG∥BC，与DG交于点G，连接CG，与AF的延长线交于点H，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°∴∠CDG＝∠ADC＝45°，NG⊥CD，∴∠DNG＝∠DGN＝45°，∴DN＝DG，∵∠ADN＝∠CDG＝45°，∴△ADN≌△CDG（SAS），∴∠DAN＝∠DCG，∵∠DAN+∠AFD＝90°，∠AFD＝∠CFH，∴∠HCF+∠CFH＝90°，∴∠CHF＝90°，∵∠CBD＝∠EAF＝45°，∴A、B、E、N四点共圆，∴∠ABE+∠ANE＝180°，∴∠ANE＝90°＝∠CHF，∴EN∥CG，∴四边形CENG为平行四边形，∴NG＝EC＝2，∴DN＝CG•sin45°＝2×＝，故④正确，故选：C．10．解：过B作BN∥EH，∵四边形EFGH是长方形，矩形ABCD是长方形，∴∠ABC＝90°，∠A＝∠H＝90°，EH∥FG，∴EH∥BN∥FG，∴∠HIB+∠IBN＝180°，∠BQG+∠CBN＝180°，∴∠HIB+∠IBN+∠BQG+∠CBN＝360°，∴∠HIB+∠ABC+∠BQG＝360°，∴∠HIB+∠BQG＝360°﹣90°＝270°，∵∠3＝∠HIB，∠1＝∠BQG，∴∠1+∠3＝270°，∵∠3＝∠A+∠AMI，∠2＝∠H+∠HMD，∠AMI＝∠DMH，∠A＝∠H＝90°，∴∠3＝∠2，∴∠3+∠2+2∠1＝∠3+∠3+2∠1＝2（∠3+∠1）＝2×270°＝540°，故选：B．11．解：连接AC，交BD于点O，如图所示：∵菱形ABCD的边长为10，∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝DA＝10，∵点E、F分别是边AD，CD的中点，∴EF是△ACD的中位线，∴EF∥AC，∵AC、BD是菱形的对角线，BD＝16，∴AC⊥BD，OB＝OD＝8，OA＝OC，又∵AD∥BC，EF∥AC，∴四边形CAEG是平行四边形，∴AC＝EG，在Rt△AOB中，AB＝10，OB＝8，∴OA＝OC＝＝6，∴AC＝2OA＝12，∴EG＝AC＝12；故答案为：12．12．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，∵E为CD的中点，∴DE＝CD＝AB，∴△ABP∽△EDP，∴，∴，∴，∵PQ⊥BC，∴PQ∥CD，∴△BPQ∽△DBC，∴，∵CD＝2，∴PQ＝，故答案为：．13．解：由题意得：矩形ABCD≌矩形BEDF，∴∠A＝90°，AB＝BE＝7，AD∥BC，BF∥DE，AD＝11，∴四边形BGDH是平行四边形，∴平行四边形BGDH的面积＝BG×AB＝BH×BE，∴BG＝BH，∴四边形BGDH是菱形，∴BH＝DH＝DG＝BG，设BH＝DH＝x，则AH＝11﹣x，在Rt△ABH中，由勾股定理得：72+（11﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴BH＝，∴四边形BGDH的周长＝4BH＝，故答案为：．14．解：过C点作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点．∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，∴EF⊥l1，EF⊥l4，即∠CED＝∠BFC＝90°．∵ABCD为正方形，∴∠BCD＝90°．∴∠DCE+∠BCF＝90°．又∵∠DCE+∠CDE＝90°，∴∠CDE＝∠BCF．在△CDE和△BCF中，∴△CDE≌△BCF（AAS），∴BF＝CE＝2．∵CF＝1，∴BC2＝12+22＝5，即正方形ABCD的面积为5．故答案为：5．15．解：延长EF和BC，交于点G∵矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，∴∠ABE＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE＝12，∴直角三角形ABE中，BE＝＝12，又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，∴∠BEG＝∠DEF，∵AD∥BC，∴∠G＝∠DEF，∴∠BEG＝∠G，∴BG＝BE＝12，∵∠G＝∠DEF，∠EFD＝∠GFC，∴△EFD∽△GFC，∴＝＝，设CG＝x，DE＝2x，则AD＝12+2x＝BC，∵BG＝BC+CG，∴12＝12+2x+x解得x＝4﹣4，∴BC＝12+2（4﹣4）＝8+4，故答案为：8+4．16．解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，∴DE＝DF＝AB，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴点F是BC的中点，∴BF＝FC＝3，∵BE⊥AC，∴EF＝BC＝3，∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝AB+3＝11，∴AB＝8，故答案为：8．17．理由：如图，延长EH交AD于点M，∵四边形ABCD和ECGF是矩形，∴AD∥EF，∴∠EFH＝∠MAH，又∵∠FHE＝∠AHM，FH＝AH，在△FHE和△AHM中，，∴△FHE≌△AHM（ASA），∴MH＝EH，在直角△MDE中，MH＝EH，∴DH＝MH＝EH，∴DH＝HE．故答案是：DH＝HE．18．解：过F作FG⊥DC于点G，FM⊥AD，交AD的延长线于M，连接CF，∵S△CEF＝S△CHF+S△CHE＝CH•EM，∵△EMF≌△BAE，∴EM＝AB＝16，∴S△CEF＝8CH，∵△EDH∽△BAE，∴，设AE为x，则DH＝（﹣x2+16x）＝﹣（x﹣8）2+4≤4，∴DH≤4，∴CH≥12，CH最小值是12，∴△CEF面积的最小值是96．故答案为：96．19．解：∵∠BAC＝90°，且BA＝5，AC＝8，∴BC＝＝＝，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝＝，∴MN的最小值为，故答案为：．20．解：连接BD，交AC于点O，如图：∵菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝DA＝13，EF∥BD，∵AC、BD是菱形的对角线，AC＝24，∴AC⊥BD，AO＝CO＝12，OB＝OD，又∵AB∥CD，EF∥BD，∴DE∥BG，BD∥EG，∴四边形BDEG是平行四边形，∴BD＝EG，在△COD中，∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12，∴OB＝OD＝＝5，∴BD＝2OD＝10，∴EG＝BD＝10；故答案为：10．21．（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝AD＝6，AD∥BC，∵点E为AD的中点，∴AE＝AD＝3，∴△AOE∽△COB，∴＝＝＝；（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AD∥BC，∠B＝∠D＝60°，∴∠CAE＝∠ACB，△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∴∠EAC＝60°＝∠B，∵AE+DE＝AD＝6，BF+DE＝6，∴AE＝BF，在△ACE和△BCF中，，∴△ACE≌△BCF（SAS），∴CE＝CF，∠ACE＝∠BCF，∴∠ACE+∠ACF＝∠BCF+∠ACF＝∠ACB＝60°，即∠ECF＝60°，∴△CEF是等边三角形．22．（1）证明：①∵CE平分∠ACB，∴∠OCE＝∠BCE，∵BO⊥CE，∴∠CFO＝∠CFB＝90°，在△OCF与△BCF中，，∴△OCF≌△BCF（ASA），∴OC＝BC；②∵点O是AC的中点，∴OA＝OC，∴∠DAO＝∠BCO，∠ADO＝∠CBO，在△OAD与△OCB中，，∴△OAD≌△OCB（ASA），∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵OE⊥AC，∴∠EOC＝90°，在△OCE与△BCE中，，∴△OCE≌△BCE（SAS），∴∠EBC＝∠EOC＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3，∠DAB＝90°，AC＝BD，∴OB＝OC，∵OC＝BC，∴OC＝OB＝BC，∴△OBC是等边三角形，∴∠OCB＝60°，∴∠ECB＝OCB＝30°，∵∠EBC＝90°，∴EB＝EC，∵BE2+BC2＝EC2，BC＝3，∴EB＝，EC＝2，∵OE⊥AC，OA＝OC，∴EC＝EA＝2，在Rt△ADE中，∠DAB＝90°，∴DE＝＝＝．23．解：AE＝CF，AE⊥CF，理由如下：如图，延长AE交CF于点G，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠CDE＝90°，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，∵∠DCF+∠F＝90°，∴∠DAE+∠F＝90°，∴AG⊥CF，即AE⊥CF．∴AE＝CF，AE⊥CF．24．解：（1）四边形AEBO是矩形，理由如下：∵BE∥AC，AE∥BD∴四边形AEBO是平行四边形．又∵菱形ABCD对角线交于点O∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°．∴四边形AEBO是矩形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝AC＝4，OB＝OD，AC⊥BD，∵四边形AEBO是矩形，∴AB＝OE＝5，∴OB＝＝＝3，∴BD＝2OB＝6，∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×8×6＝24．25．解：（1）∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴▱ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∵BD＝4，∴OB＝BD＝2，在Rt△AOB中，AB＝2，OB＝2，∴OA＝＝＝4，∴OE＝OA＝4．26．（1）证明：在正方形ABCD中，∠ABE＝∠ADG，AD＝AB，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∴∠EAG＝90°，在△F AE和△GAF中，，∴△F AE≌△GAF（SAS），∴EF＝FG；（2）解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE＝BM．连接AE、EN．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE＝∠B＝45°．在△ABM和△ACE中，，∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE．∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠CAN＝45°．于是，由∠BAM＝∠CAE，得∠MAN＝∠EAN＝45°．在△MAN和△EAN中，，∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN＝EN．在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2+NC2．∴MN2＝BM2+NC2．∵BM＝1，CN＝3，∴MN2＝12+32，∴MN＝．27．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，即AE∥BF，∵EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形，∵AE∥BF，∴∠AEB＝∠ABE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∴平行四边形ABFE是菱形；（2）①证明：过O作ON∥BC交DC于N，如图2所示：∵AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AD∥BC，∴AD∥ON∥BC，∵O为BE的中点，∴N为DC的中点，ON⊥DC，∴OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∵∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ADO＝∠BCO；②解：过O作OM作BC于M，如图3所示：∵四边形ABFE是平行四边形，AB＝AE，∠ABC＝90°，∴四边形ABFE是正方形，∴EF＝BF＝AE＝1，∠BFE＝90°，∠AEB＝∠AEF＝45°，∵O为BE的中点，∴OF＝BE＝OB，∵OM⊥BC，∴BM＝FM，∴OM是△BEF的中位线，∴OM＝EF＝，∵∠EOD＝15°，∴∠ADO＝∠AEB﹣∠EOD＝45°﹣15°＝30°，由（2）得：∠BCO＝∠ADO＝30°，∴OC＝2OM＝1．。
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【平行四边形】专项培优训练
一．选择题
1．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ABD＝30°，BC＝4，则边AD与BC之间的距离为（）
A．2B．2C．D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．若四边形CDEF的周长是10cm，AC的长为4cm，则△ABC的周长是（）
A．28B．24C．14D．18
3．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法不正确的是（）
A．当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当AC平分∠BAD时，四边形ABCD是菱形
D．当∠DAB＝90°时，四边形ABCD是正方形
4．下列关于判定平行四边形的说法错误的是（）
A．一组对角相等且一组对边平行的四边形
B．一组对边相等且另一组对边平行的四边形
C．两组对角分别相等的四边形
D．四条边相等的四边形
5．如图，面积为1的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积
是（）
A．1B．C．D．
6．如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝4，过点D作DF∥BE交AC于F，则EF的长等于（）
A．2B．3C．D．
7．已知直角三角形的两边长分别为4、6，则这两边的中点之间的距离可能为（）A．B．3C．D．或
8．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD．添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是（）
A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC
9．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，DE⊥AC于点E，若DE＝1，∠A＝30°，则△ABC的面积为（）
A．B．3C．D．
10．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，O是对角线BD的中点，过点O作OE⊥CD 于点E，连接OA．则四边形AOED的周长为（）
A．9+2B．9+C．7+2D．8
二．填空题
11．如图，在正方形ABCD的右边作等腰三角形ADE，AD＝AE，∠DAE＝50°，连BE，则∠BED ＝．
12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ACB＝30°，BD＝4，则矩形ABCD 的面积是．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，若BF＝5，则DE＝．
14．已知矩形ABCD中，BE平分∠ABC交矩形的一边于点E，若BD＝6，∠EBD＝15°，则线段AB的长为．
15．如图，F是矩形ABCD内一点，AF＝BF．连接DF并延长交BC于点G，且点C与AB的中点E 恰好关于直线DG对称．若AD＝9，则AB的长为．
三．解答题
16．已知：如图，AC是▱ABCD的一条对角线，延长AC至F，反向延长AC至E，使AE＝CF．求证：四边形EBFD是平行四边形．
17．如图，▱ABCD中，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E，BE＝CE，∠B＝80°，求∠1的度数．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．点D是AB中点，点E为边AC上一点，连接CD，DE，以DE为边在DE的左侧作等边三角形DEF，连接BF．
（1）△BCD的形状为；
（2）随着点E位置的变化，∠DBF的度数是否变化？并结合图说明你的理由；
（3）当点F落在边AC上时，若AC＝6，请直接写出DE的长．
19．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．（1）求证：DE＝CE．
（2）当EA⊥AB于点A，AE＝ED＝1时，求菱形的边长．
20．如图1，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC交BC于点E，连接ED，且ED平分∠AEC．（1）求证：AE＝BC；
（2）如图2，过点C作CF⊥DE交DE于点F，连接AF，BF，猜想△ABF的形状并证明．。