4.4 对数函数及其性质 课件【共13张PPT】

x
a)
是奇函数，
求f(x)<0的解集.
{x | 1 x 0}
巩固练习
5.已知 loga(3a－1)恒为正,求 a 的取值范围.
解：由题意知 loga(3a－1)＞0＝loga1. 当 a＞1 时，y＝logax 是增函数， ∴33aa－－11＞＞10，， 解得 a＞23，∴a＞1； 当 0＜a＜1 时，y＝logax 是减函数， ∴33aa－－11＜＞10，， 解得13＜a＜23.∴13＜a＜23. 综上所述，a 的取值范围是13，32∪(1，＋∞).
(2)若函数 f(x)的最小值为－4，求 a 的值．
解：(1)要使函数有意义，则有1x－＋x3＞＞00，， 解得－3＜x＜1，所以函数的定义域为(－3,1)．
(2)函数可化为：f(x)＝loga(1－x)(x＋3)＝loga(－x2－2x＋3) ＝loga[－(x＋1)2＋4],
因为－3＜x＜1,所以 0＜－(x＋1)2＋4≤4.
[解] (1)由 loga12＞1 得 loga12＞logaa. ①当 a＞1 时，有 a＜21，此时无解； ②当 0＜a＜1 时，有12＜a，从而12＜a＜1.∴a 的取值范围是12，1.
(2)∵函数 y＝log0.7x 在(0，＋∞)上为减函数，
2x＞0， ∴由 log0.7(2x)＜log0.7(x－1)，得x－1＞0，
则x1＋ －1x＞ ＞00， ， 即－1＜x＜1,所以 F(x)的定义域为{x|－1＜x＜1}． (2)F(x)＝f(x)－g(x)，其定义域为(－1,1)，且 F(－x)＝f(－x)－g(－x) ＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(1＋x)－loga(1－x)]＝－F(x)，所 以 F(x)是奇函数．
(2)函数 f(x)＝log3(x2＋2x＋4)的值域为________．
1 解：f(x)＝log313x·log3(27x)＝(－1＋log3x)(3＋log3x)，x∈19，3， 令 t＝log3x，则 t∈[－2,1]， 令 g(t)＝(－1＋t)(3＋t)＝t2＋2t－3＝(t＋1)2－4， 当 t＝－1 时，g(t)取得最小值，g(t)min＝g(－1)＝－4； 当 t＝1 时，g(t)取得最大值，g(t)max＝g(1)＝0， ∴函数 f(x)的值域为[－4,0]．
对数函数及其性质
复习引入 名称
指数函数
对数函数
指 一般形式
y = ax y = Log a x
数
a>1
函 数
图像
、
0<a<1
对
数
函 定义域
R
(0，+∞）
数 值域
(0，+∞）
性 质
单调性 a>1
增函数
比
0<a<1 减函数
R 增函数 减函数
较
函数的 a>1
x<0时，0<y<1， 0<x<1时，y<0
一 变化情
(3)F(x)＞0,即 loga(x＋1)－loga(1－x)＞0,即 loga(x＋1)＞loga(1－x)．
x＋1＞0， 当 a＞1 时,有1－x＞0，
x＋1＞1－x，
解得 0＜x＜1.
∴使 F(x)＞0 成立的 x 的集合为{x|0＜x＜1}．
巩固练习
1．若函数 f(x)＝log 1 (－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调
2x＞x－1，
解得 x＞1.
∴x 的取值范围是(1，＋∞)．
方法总结
常见对数不等式的2种解法
(1)形如 logax＞logab 的不等式，借助 y＝logax 的单调性求解， 如果 a 的取值不确定，需分 a＞1 与 0＜a＜1 两种情况讨论．
(2)形如 logax＞b 的不等式，应将 b 化为以 a 为底数 的对数式的形式，再借助 y＝logax 的单调性求解.
A. (0,1) B.(1,2) C. (0,2) D.[2,+∞)
4.若x满足-2+log2x=-x,则x属于( B )
A. (0,1) B.(1,2) C. (2,3) D.(3,4)
深化练习
1.若0<loga2<logb2,那么有( C )
A.0<a<b<1 B.1<a<b C.1<b<a D.0<b<a<1
2.使式子log(2x-1)(5-x)有.5<x<5,且x≠1
C. 0.5<x<5 D 以上都不对
3.已知函数y=loga(2-ax)在[0,1]上是减函数,则 实数a的取值范围是( B )
2
(2,5)．要使函数 f(x)＝log 1 (－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋
2
2)内单调递增，只需3mm＋－22≤≥52，， 3m－2＜m＋2，
解得43≤m＜2.
巩固练习
2．已知函数 f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)，其中 0＜a＜1. (1)求函数 f(x)的定义域；
(4) y= loga( 4 x2 )
{x | x 1} 2
{x | 2 x 2}
2.已知函数 y= loga(x-k)的图象恒过点(2,0),则
k 的值为 1
典型例题
例 1.(1)已知 loga12＞1，求 a 的取值范围； (2)已知 log0.7(2x)＜log0.7(x－1)，求 x 的取值范围．
2
递增，则实数 m 的取值范围为
(C )
A.43，3
B.43，2
C.43，2
D.43，＋∞
解析：由－x2＋4x＋5＞0，解得－1＜x＜5.
二次函数 y＝－x2＋4x＋5 的对称轴为 x＝2.由复合函数单调
性 可 得 函 数 f(x) ＝ log 1 (－ x2 ＋ 4x ＋ 5) 的 单 调 递 增 区 间 为
(3)要注意变量的取值范围．例如，f(x)＝log2x， g(x)＝x2＋x，则 f(g(x))＝log2(x2＋x)中需有 g(x)>0； g(f(x))＝(log2x)2＋log2x 中需有 x>0.
典型例题
例 2.(1)已知函数 f(x)＝log313x·log3(27x)，其中 x∈19，3， 求函数 f(x)的值域．
因为 0＜a＜1,所以 loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4,
即
f(x)min＝loga4,由
loga4＝－4,得
a－4＝4,所以
a＝4－41＝
2 2.
巩固练习
3.已知函数f(x)=loga(x+1)(a>0且a≠1)的定义域 和值域都是[0,1],求a的值.
a2
4.设
f
(x)
lg( 2 1
典型例题
例 3.已知函数 f(x)＝loga(x＋1)，g(x)＝loga(1－x)，其中 a＞0，a≠1.
(1)求函数 F(x)＝f(x)－g(x)的定义域；
(2)判断 F(x)＝f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由；
(3)当 a＞1 时，求使 F(x)＞0 成立的 x 的集合．
[解] (1)F(x)＝f(x)－g(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x),若要式子有意义,
x>0时 ， y>1
x>1时，y>0
览况 表
0<a<1 x<0时，y>1
0<x<1时，y>0
x>0时 ，0<y<1
x>1时，y<0
复习练习
1.求下列函数的定义域:
(1) y=
log1 (3x 2)
2
{x | 2 x 1}
3
(2) y=loga(4-x).
{x | x 4}
(3)y= 1 log1 x 2
(2)解：令 u＝x2＋2x＋4，则 u＝(x＋1)2＋3≥3， ∴log3(x2＋2x＋4)≥log33＝1， 即函数 f(x)＝log3(x2＋2x＋4)的值域为[1，＋∞)．
方法总结
(1)对数函数的值域为(－∞，＋∞)．
(2)求形如 y＝logaf(x)(a＞0,且 a≠1)的复合函数值域的步骤: ①求函数的定义域； ②将原函数拆分成 y＝logau(a＞0,且 a≠1),u＝f(x)两个函数; ③由定义域求 u 的取值范围； ④利用函数 y＝logau(a＞0,且 a≠1)的单调性求值域． 同理可求 y＝f(logax)(a＞0,且 a≠1)型复合函数的值域．