《两条直线的位置关系》第一课时示范教学课件人教新课标B版

A．－8 C．2
B．0 D．10
解析：由已知，得 4 m ＝－2，∴m＝－8． m2
目标检测
3 已知直线l1的倾斜角为45°，直线l2的斜率为k＝m2－3，若l1∥l2，则m的值为___±__2___．
解析：由题意知m2－3＝tan 45°，解得m＝±2．
敬请各位老师提出宝贵意见！
所有直线的解决方案，并尝试给出最后的结论？
y l1
v2
l2
O
x
v1
y v2
v1 O
l2
l1 x
此时l1的方程可以改写为λ（A2x＋B2y）＋C1＝0，即A2x＋B2y＋
C1 λ
＝0．
可以看出，方程组
A2
x
B2
y
C1 λ
＝
0
A2 x B2 y C2 ＝ 0
要么有无穷多组解，要么无解，而且有无穷多组解的充要条件为
使得
B1
＝
λB2
C1 ＝ λC2
上述结论也说明，直线l1∶A1x＋B1y＋C1＝0，l2∶A2x＋B2y＋C2＝0，平行的充要条件是 C1≠C2，重合的充要条件是C1＝C2．
初步应用
例1 判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标： （1）l1∶x－y＋1＝0，l2∶2x－2y＋1＝0； （2）l1∶x－2y＋1＝0，l2∶x＋2y＋5＝0
y y
＝ ＝
k1x k2 x
b1 b2
消去未知数y并整理
（k1－k2）x＝－（b1－b2） ①
➢ 当且仅当k1－k2＝0且－（b1－b2）＝0，即k1＝k2且b1＝b2时，
任意实数都是①式的解
方程组有无数组解
此时直线l1与 l2的方程完全一样，它们有无穷多个交点，因此重合．
新知探究
综上，若直线l1∶y＝k1x＋b1，l2∶y＝k2x＋b2，则 ➢ l1与 l2相交⇔k1≠k2； ➢ l1与 l2平行⇔k1＝k2且b1≠b2； ➢ l1与 l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2．
作业布置
作业：教科书的练习
目标检测
1 直线x＋ay－7＝0与直线（a＋1）x＋2y－14＝0平行，则a的值是（ B ）
A．1 C．1或－2
B．－2 D．－1或2
解析：由已知，得a（a＋1）－2＝0， 解得a＝－2或a＝1． 当a＝1时，两直线重合，∴a＝－2．
目标检测
2 已知过点A（－2，m）和B（m，4）的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为（ A ）
C2
C1 λ
新知探究
问题3 上述结论中包括了平面直角坐标系中所有的直线吗？如果没有，请提出能包括
所有直线的解决方案，并尝试给出最后的结论？
y l1
v2
l2
O
x
v1
y v2
v1 O
l2
l1 x
因此l1∶A1x＋B1y＋C1＝0，l2∶A2x＋B2y＋C2＝0重合的充要条件是，存在实数λ，
A1 ＝ λA2
v2 ＝（A2，B2）是直线l2的一个法向量，如图所示
新知探究
问题3 上述结论中包括了平面直角坐标系中所有的直线吗？如果没有，请提出能包括
所有直线的解决方案，并尝试给出最后的结论？
y l1
v2
l2
O
x
v1
y v2
v1 O
l2
l1 x
不难看出：
（1）l1与 l2相交（即只有一个交点）的充要条件是 v1 与 v2 不共线，即A1B2≠A2B1；
（2）直线l1∶A1x＋B1y＋C1＝0，l2∶A2x＋B2y＋C2＝0，则如何判断两条直线相交、平 行、重合？
（2）l1∶A1x＋B1y＋C1＝0，l2∶A2x＋B2y＋C2＝0重合的充要条件是，存在实数λ，
A1 ＝ λA2
使得
B1
＝
λB2
C1 ＝ λC2
上述结论也说明，直线l1∶A1x＋B1y＋C1＝0，l2∶A2x＋B2y＋C2＝0，平行的充要条件是 C1≠C2，重合的充要条件是C1＝C2．
➢ 当且仅当k1－k2≠0，即k1≠k2时， ①式有唯一的解 x ＝ - b1 b2 k1 k2
因此可知方程组有唯一的解 且 y ＝ b2k1 b1k2
k1 k2
此时l1与
l2有唯一的交点（称为相交），且交点坐标为
b1 k1
b2 k2
，b2 k1 k1
b1k2 k2
．
新知探究
若直线l1∶y＝k1x＋b1，l2∶y＝k2x＋b2， 可得方程组
（2）l1与 l2平行或重合的充要条件是 v1 与 v2 共线，即A1B2＝A2B1
在 v1 与v2 共线时，存在实常数λ，使得 v1 ＝ λv2 ，
因为 v1
与v2
都不是零向量，所以λ≠0，且
BA11
＝ ＝
λA2 λB2
新知探究
问题3 上述结论中包括了平面直角坐标系中所有的直线吗？如果没有，请提出能包括
（1）若直线l1∶y＝k1x＋b1，l2∶y＝k2x＋b2，则 ➢ l1与 l2相交⇔k1≠k2； ➢ l1与 l2平行⇔k1＝k2且b1≠b2； ➢ l1与 l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2．
归纳小结
问题4 （1）若直线l1∶y＝k1x＋b1，l2∶y＝k2x＋b2，则如何判断两条直线相交、平行、 重合？
两条直线的位置关系
第一课时
新知探究
问题1 在初中平面几何中，我们如何判断两条直线l1与l2的位置关系呢？
如图所示，两条不重合的直线l1与l2； 如果它们没有公共点，那么l1与l2平行； 否则，l1与l2相交，而且有唯一的交点． 在平面直角坐标系中，直线可以用直线的方程来表示，那么如何依据两条直线的方程来 判断它们之间的位置关系呢？
y y
＝ ＝
k1x k2 x
b1 b2
消去未知数y并整理
（k1－k2）x＝－（b1－b2） ①
➢ 当且仅当k1－k2＝0且－（b1－b2）≠0，即k1＝k2且b1≠b2时，
①式无解
方程组也无解
此时直线l1与 l2没有交点，因此它们相互平行．
新知探究
若直线l1∶y＝k1x＋b1，l2∶y＝k2x＋b2， 可得方程组
新知探究
问题2 （1）已知直线l1∶x－y＋1＝0，直线l2∶x＋y＋3＝0，判断l1与l2之间的关系，
如果相交，求出交点坐标，如果不相交，说明理由． （2）总结怎样依据两条直线的方程来考察他们之间的位置关系．
因为平面直角坐标系中，一个点在直线上的充要条件是这个点的坐标能满足直线的方程，
所以为了考察l1与l2之间的位置关系，只要看它们的方程组成的方程组的解的情况即可．
又因为解方程组
x x
y y
1＝ 0 3＝0
可得x＝－2，y＝－1，
所以可知l1与l2是相交的，而且交点的坐标为（－2，－1）．
新知探究
若直线l1∶y＝k1x＋b1，l2∶y＝k2x＋b2， 可得方程组
y y
＝Biblioteka Baidu＝
k1x k2 x
b1 b2
消去未知数y并整理
（k1－k2）x＝－（b1－b2） ①
解答：
（1）将l1，l2的方程分别化成斜截式方程为
l1
:
y
＝
x
1，l2
:
y
＝
x
1 2
，
因为l1，l2的斜率相等，单截距不相等，所以他们平行．
（2）解方程组
x x
2y 2y
1＝0 ， 5＝0
解得x＝－3，y＝－1，因为l1，l2相交，而且交点的坐标为（－3，－1）
初步应用
例2 已知直线l过点（1，－4）且与直线2x＋3y＋5＝0平行，求直线l的方程．
新知探究
问题3 上述结论中包括了平面直角坐标系中所有的直线吗？如果没有，请提出能包括
所有直线的解决方案，并尝试给出最后的结论？
y l1
v2
l2
O
x
v1
y v2
v1 O
l2
l1 x
前面的讨论中并没有包括斜率不存在的直线． 为此，可以考虑直线的一般式方程，设直线l1∶A1x＋B1y＋C1＝0，l2∶A2x＋B2y＋C2＝0． 虽然同样可以通过方程组的解的情况来考察l1与 l2的关系，但这里我们用法向量来处理． 因为 v1 ＝（A1，B1）是直线l1的一个法向量，
解答：依题意可设l的方程为2x＋3y＋C＝0． 由于l过点（1，－4），因此2×1＋3×（－4）＋C＝0， 解得C＝10．因此直线l的方程为2x＋3y＋10＝0
归纳小结
问题4 （1）若直线l1∶y＝k1x＋b1，l2∶y＝k2x＋b2，则如何判断两条直线相交、平行、 重合？ （2）直线l1∶A1x＋B1y＋C1＝0，l2∶A2x＋B2y＋C2＝0，则如何判断两条直线相交、平 行、重合？