初等方法建模1双层玻璃窗的功效--数学建模案例分析

第一章 初等方法建模

如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模目的时，我们基本上可以用初等数学的方法来构造和求解模型。通过下面介绍的若干例子能够看到，用很简单的数学方法已经可以解决一些饶有兴味的实际问题。需要强调的是，如果对于某个实际问题可以用初等的方法解决，就不要用更高等的方法。

§1 双层玻璃窗的功效

背景 将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层窗的热传导进行对比，对双层窗能减少多少热量损失给出定量分析结果。

模型假设

1、热量的传播只有传导，没有对流，即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃间的空气是不流动的。

2、室内温度1T 和室外温度2T 保持不变，热传导过程已处于稳定状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数。

3、玻璃材料均匀，热传导系数是常数。

模型构成与求解

记 a T —内层玻璃的外侧温度

b T —外层玻璃的内侧温度

1K —玻璃的热传导系数

2K —空气的热传导系数

空气

Q —单位时间通过双层窗单位面积的热量

'Q —单位时间通过单层窗单位面积的热量 由热传导过程的物理定律：d

T K Q ∆=，得到 d

T T K l T T K d T T K Q b b a a 21211-=-=-= （1） d T T K Q 2211

'-= （2） 从（1）中消去b a T T ,，可得

d

l h K K h S S d T T K Q ==+-=,,)2()(21211 （3） 2

2+='S Q Q （4） 显然Q Q '<，且S 越大，比例越悬殊，331108~104--⨯⨯=K （焦耳/CM ·秒·度），

42105.2-⨯=K （焦耳/CM ·秒·度），于是31~1621=K K ,做最保守的估计，即取162

1=K K ，由(3)、(4)即有 d

l h h Q Q =+=',181 （5） 模型分析 比值Q Q '反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，它只与d l h =有关，h 不宜选择过大，通常建筑要求是4≈h ，按此模型，%3≈'

Q Q ，即使用同样材料制成的双层窗较单层窗节约热量97%左右。当然实际上功效会比上述结果差一些，这是由于模型假设是在空气干燥、不流通这个理想化的前提下的，在实际环境下不会完全满足。