初三数学二次函数专题

二次函数图象与性质（1）

【学习目标】

1．理解二次函数的定义及解析式的三种形式；

2．了解二次函数图像与字母系数的关系.并巩固二次函数的性质. 3．了解二次函数的平移，能够根据条件确定二次函数的解析式.

【知识梳理】

1． 二次函数的定义：形如c bx ax y ++=2的函数叫做二次函数。 2． 二次函数解析式的几种形式

（1）一般式：c bx ax y ++=2

，其中 a 、b 、c 为常数，0≠a ． （2）顶点式：k h x a y +-=2

)(，其中a 、h 、k 为常数，0≠a ． （3）两根式（交点式）：))((21x x x x a y --=，其中a ≠0，且x 1、x 2

是 ．

4．抛物线c bx ax y ++=2

的图象与a 、b 、c 之间的关系

5．二次函数与一元二次方程的关系

Δ＞0⇔抛物线与x 轴 ；Δ＝0⇔抛物线与x 轴 ；Δ＜0⇔物线与x 轴 ．

6．二次函数图像的平移规律

从2

ax y =到k h x a y +-=2

)(，抓住顶点从（0，0）到（h ，k ）.

【考点解析】

考点一：二次函数的性质

例1．（长沙）如图，关于抛物线2

(1)2y x =--，下列说法错误的是

（ ）

A ．顶点坐标为(1，2-)；

B ．对称轴是直线x =1；

C ．开口方向向上；

D ．当x >1时，y 随x 的增大而减小。

跟踪练习：1.（2014•新疆）对于二次函数y =（x ﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ） A . 开口向下 B. 对称轴是x =﹣1 C. 顶点坐标是（1，2） D. 与x 轴有两个交点。 2.（2014•毕节地区）抛物线y =2x 2，y =﹣2x 2，

共有的性质是（ ）

A . 开口向下 B.对称轴是y 轴 C.都有最低点 D. y 随x 的增大而减小 3.（2014•青岛）函数y=x

k 与y=﹣kx 2

+k （k ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A

C

例2．（2014•莱芜）已知二次函数y=ax 2

+bx+c 的图象如下图所示．下列结论：①abc ＞0；

22

跟踪练习：1.（2014•孝感）抛物线y =ax +bx +c 的顶点为D （﹣1，2），与x 轴的一个交点A 在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图， 则以下结论：①b 2﹣4ac ＜0； ②a +b +c ＜0；③c ﹣a =2；④方程ax 2

+bx +c ﹣

2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个

C ． 3个

考点三：根据条件确定二次函数的解析式.

第1题例2题图

例3．（广东）已知二次函数c bx x y ++-=2的图象如图所示，

它与x 轴的一个交点坐标为（－1，0），与y 轴的交点坐标为（0，3）. （1）求出b ，c 的值，并写出此二次函数的解析式；

（2）根据图象，写出函数值y 为正数时，自变量x 的取值范围.

跟踪练习：1.（2014•温州）如图，抛物线y =﹣x 2+2x +c 与x 轴交于A ，B 两点，它的对称轴与x 轴交于点N ，过顶点M 作ME ⊥y 轴于点E ，连结BE 交MN 于点F ，已知点A 的坐标为（﹣1，0）．

（1）求该抛物线的解析式及顶点M 的坐标． （2）求△EFM 与△BFN 的面积之比。

2.（2014•毕节地区）如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的顶点为A （﹣1，﹣1），与x 轴交点M （1，0）．C 为x 轴上一点，且∠CAO =90°，线段AC 的延长线交抛物线于B 点，另

有点F （﹣1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求直线Ac 的解析式及B 点坐标；

3.（2014•浙江宁波）如图，已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象过

A （2，0），

B （0，﹣1）和

C （4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；

（2）设二次函数的图象与x 轴的另一个交点为D ，求点D 的坐标；

（3）在同一坐标系中画出直线y =x +1，并写出当x 在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．

考点四：二次函数图像的平移 例4．（广元）在平面直角坐标系中，如果抛物线y ＝3x 2不动，而把x 轴、y 轴分别向上、

向右平移3个单位，那么在新坐标系中此抛物线的解析式是（ ） A ．y ＝3(x －3)2＋3 B ．y ＝3(x －3)2－3 C ．y ＝3(x ＋3)2＋3 D ．y ＝3(x ＋3)2－3 跟踪练习：1.（2014•哈尔滨）将抛物线y=﹣2x 2

+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（ ）

A ． y =﹣2（x+1）2﹣1

B ． y ﹣2（x+1）2+3

C ． y =﹣2（x ﹣1）2+1

D ． y =﹣2（x ﹣1）2

+3 2.（2014•湖北荆门）将抛物线y=x 2

﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）

A ．y=（x ﹣4）2

﹣6 B ．y=（x ﹣4）2

﹣2 C ．y=（x ﹣2）2

﹣2 D ．y=（x ﹣1）2

﹣3

3.（2014•丽水）在同一平面直角坐标系内，将函数y=2x 2

+4x ﹣3的图象向右平移2个单位，

【基础演练】 一.选择题：

1. （ 2014•广东）二次函数y =

ax 2+bx +c （a ≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（ ） A ．函数有最小值； B.对称轴是直线x =；

C.当x ＜2

1，y 随x 的增大而减小；D. 当﹣1＜x ＜2时，y ＞0.

2. （2014•广西贺州）已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，且a ≠0）的图象如图所示，则一次函数y =cx +与反比例函数y =

在同一坐标

系内的大致图象是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

3．(2014年四川资阳)二次函数y =ax 2

+bx +c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4

ac

﹣

b 2＜0；②4a +

c ＜2b ；③3b +2c ＜0；④m （am +b ）+b ＜a （m ≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ） A ． 4个 B ． 3个 C ． 2个 D ．1个

4．(2014年天津市)已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，且关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ﹣m =0没有实数根，有下列结论：